В предыдущем параграфе была развита теория возмущений собственных значений и собственных функций дискретного спектра. Обратимся теперь к вопросу о возмущениях в непрерывном спектре. Подобные собственные функции, как и в гл. V, будут интересовать нас в связи с теорией столкновений. Задача здесь состоит не в том, чтобы определить собственное значение оператора энергии, которое в данном случае можно задать заранее, а в том, чтобы найти возмущенные собственные функции и связать их с эффективным сечением рассеяния. Для простоты ограничимся случаями, когда всю потенциальную энергию взаимодействия между сталкивающимися частицами можно рассматривать как возмущение, и проведем вычисления с точностью только до членов первого порядка. Как мы увидим, это борновское приближение [6] лучше всего применимо при условии, что кинетическая энергия сталкивающихся частиц велика по сравнению с энергией взаимодействия. Поэтому данное приближение дополняет метод парциальных волн (§19), который наиболее полезен при малой энергии рассеиваемых частиц.

Приближение теории возмущений.
Нужно найти решение волнового уравнения для относительного движения (18.8)
\[
-\frac{\hbar^{2}}{2 \mu}
abla^{2} u+V(\mathbf{r}) u=E u, \quad \mu=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}
\]

при условии, что асимптотическое поведение $и$ определяется формулой (18.10):
\[
u(r, \theta, \varphi) \underset{r \rightarrow \infty}{\longrightarrow} e^{i k z}+r^{-1} f(\theta, \varphi) e^{i k r}, \quad E=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 \mu} .
\]

Действуя в духе теории возмущений (§25), положим
\[
u(\mathbf{r})=e^{i k z}+v(\mathbf{r}),
\]

где рассеянная волна $v(\mathbf{r})$ должна быть малой добавкой к невозмущенному решению $e^{i k z}$. Величину $v(\mathbf{r})$ найдем только с точностью до членов первого порядка малости относительно рассеивающего потенциала $V(\mathbf{r})$; вычисление высших приближений по этому методу оказывается чрезвычайно трудным.
Подставляя (26.3) в (26.1), получаем
\[
\left(-
abla^{2}-k^{2}\right) v=-U(\mathbf{r}) e^{i k z}-U(\mathbf{r}) v, \quad U(\mathbf{r})=\frac{2 \mu}{\hbar^{2}} V(\mathbf{r}) .
\]

Предполагая, что функция $v(\mathbf{r})$ мала по сравнению с $e^{i k z}$ (это, грубо говоря, эквивалентно условию малости $U(\mathbf{r})$ по сравнению с $k^{2}$ ), пренебрежем вторым членом в правой части уравнения (26.4). Мы получим тогда неоднородное волновое уравнение
\[
\left(-
abla^{2}-k^{2}\right) v(\mathbf{r})=-U(\mathbf{r}) e^{i k z}
\]

с известной правой частью. Достаточным критерием применимости нашего решения будет неравенство
\[
|v(\mathbf{r})| \ll\left|e^{i k z}\right|=1 \text { при всех r. }
\]

Это условие всегда достаточно, но в некоторых случаях оно накладывает более жесткие ограничения, чем фактически необходимо для того, чтобы в борновском приближении получались полезные результаты.

Функция Грина.
Вместо того, чтобы рассматривать специальный случай (26.5), наметим метод решения более общего неоднородного дифференциального уравнения в частных производных:
\[
\left(\Omega-\omega_{0}\right) v(\mathbf{r})=F(\mathbf{r}) ;
\]

здесь $\Omega$ – эрмитов оператор с собственными значениями $\omega$ и полной ортонормированной системой собственных функций $u_{\omega}(\mathrm{r})$, a $F(\mathbf{r})$ – заданная функция r. По определению, имеем
\[
\begin{array}{c}
\Omega u_{\omega}(\mathbf{r})=\omega u_{\omega}(\mathbf{r}), \\
\int \vec{u}_{\omega^{\prime}}(\mathbf{r}) u_{\omega}(\mathbf{r}) d \tau=\delta\left(\omega-\omega^{\prime}\right), \quad \int \bar{u}_{\omega}(\mathbf{r}) u_{\omega}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d \omega=\delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Пусть для определенности собственные значения $\omega$ принадлежат непрерывному спектру.

Для решения уравнения (26.7) разложим $v(\mathbf{r}$ ) по функциям $u$ :
\[
v(\mathbf{r})=\int A_{\omega} u_{\omega}(\mathbf{r}) d \omega .
\]

Подстановка (26.9) в (26.7) дает
\[
\int A_{\omega}\left(\omega-\omega_{0}\right) u_{\omega}(\mathrm{r}) d \omega=F(\mathrm{r}) .
\]

Умножая это на $\bar{u}_{\omega^{\prime}}(\mathbf{r})$ и интегрируя по $\mathbf{r}$, получаем
\[
A_{\omega^{\prime}}=\frac{\int \bar{u}_{\omega^{\prime}}(\mathrm{r}) F(\mathrm{r}) d \tau}{\omega^{\prime}-\omega_{0}} .
\]

Таким образом, решение уравнения (26.7) можно записать в виде
\[
v(\mathbf{r})=\int G_{\omega_{0}}\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right) F\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d \tau^{\prime},
\]

где величина
\[
G_{\omega_{0}}\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)=\int \frac{u_{\omega}(\mathbf{r}) \bar{u}_{\omega}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\omega-\omega_{0}} d \omega
\]

называется функцией Грина для оператора $\Omega$ и числа $\omega_{0}{ }^{1}$.

Функция Грина для свободной частицы.
Если оператор $\Omega$ представляет собой гамильтониан свободной частицы, то функцию Грина (26.11) можно вычислить без особого труда. Согласно (11.11), собственная функция оператора – $\Gamma^{2}$, соответствующая собственному значению $k^{\prime 2}$ и должным образом нормированная, имеет вид
\[
\boldsymbol{u}_{\mathbf{k}^{\prime}}(\mathbf{r})=(2 \pi)^{-\mathbf{s} / 2} e^{i \mathbf{k}^{\prime} \cdot \mathbf{r}},
\]

где $\mathbf{k}^{\prime}$ – произвольный вектор с абсолютной величиной $k^{\prime}$. Поэтому функция Грина есть
\[
G_{k}\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)=(2 \pi)^{-3} \int \frac{e^{i \mathbf{k}^{\prime} \cdot \mathbf{r}} e^{-i-i \mathbf{k}^{\prime} \cdot \mathbf{r}^{\prime}}}{k^{\prime 2}-k^{2}} d \tau_{k^{\prime}} .
\]

Интегрирование по всем значениям $\mathbf{k}^{\prime}$ проведем в сферических координатах, выбрав полярную ось в направлении вектора $\varrho \equiv \mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}$. Мы имеем
\[
\begin{array}{c}
G_{k}\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)=(2 \pi)^{-3} \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{e^{i k^{\prime} \varrho \cos \theta}}{k^{\prime 2}-k^{2}} k^{\prime 2} d k^{\prime} \sin \theta d \theta d \varphi= \\
\quad=\left(2 \pi^{2} \varrho\right)^{-1} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin \dot{k}^{\prime} \varrho}{k^{\prime 2}-k^{2}} k^{\prime} d k^{\prime}=\left(4 \pi^{2} \varrho\right)^{-1} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\kappa \sin x}{x^{3}-\sigma^{2}} d x,
\end{array}
\]

где $\sigma \equiv k \varrho=k\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|$ – положительное число.

Второй интеграл в (26.14) вычисляем, замыкая контур в нижней полуплоскости (фиг. 21, в). Результат равен (умноженному на – 2 ) $i$ ) вычету в единственном полюсе ( $x=-\sigma$ ), расположенном внутри контура интегрирования, т. е. 一ліе іб. Таким образом, вся сумма в (26.14) равна $\pi e^{i \sigma}$. Легко видеть, что при любом другом выборе контура интегрирования наряду с членом, содержащим $e^{i \sigma}$ (или вместо него), появляется и член $e^{-i \sigma}$. Подобный член в $G$ соответствует наличию в $v(\mathbf{r})$ падающей волны и должен быть отброшен

формула (26.20). Вообще говоря, гораздо проще вычислять интегралы в (26.27), чем находить точные значения фаз, решая радиальное волновое уравнение. Далее, формулой (26.20) можно воспользоваться для суммирования ряда по парциальным волнам при
$\Phi$ и г. 23. $a$ – угловое распределение при рассеянии на прямоугольной потенциальной яме (26.29); 6 – полное эффективное сечение (26.30). больших $l$, когда фазы $\delta_{l}$ действительно малы; после этого в первые члены ряда можно внести поправки.
Рассеяние прямоугольной потенциальной ямой. В качестве первого примера применения борновского приближения (26.20) рассмотрим рассеяние прямоугольной потенциальной ямой, когда $V(r)=-V_{0}$ при $r<a$ и $V(r)=0$ при $r>a$. Подставив это в (26.20), получим
\[
\begin{array}{c}
f(\theta)=\frac{2 \mu V_{0}}{\hbar^{2} K^{3}}(\sin K a-K a \cos K a), \\
K=2 k \sin \frac{\theta}{2} .
\end{array}
\]

Соответственно дифференциальное эффективное сечение рассеяния имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\sigma(\theta)=\left(\frac{2 \mu V_{0} a^{3}}{\hbar^{2}}\right)^{2} g\left(2 k a \sin \frac{\theta}{2}\right), \\
g(x)=\frac{(\sin x-x \cos x)^{2}}{x^{6}} .
\end{array}
\]

Функция $g(x) / g(0)=9 g(x)$ изображена на фиг. 23 , a.
При высоких энергиях ( $k a \gg 1$ ) сечение имеет резкий максимум для рассеяния вперед, так что бо́льшая часть рассеянных частиц находится внутри конуса с углом при вершине порядка $1 / \mathrm{ka}$.

Для вычисления полного эффективного сечения проще всего перейти от переменной $\theta$ к $x=K a=2 k a \sin (\theta / 2)$, тогда $\sin \theta d \theta$ заменится на $x d x /(k a)^{2}$ и равенство (26.29) будет иметь вид
\[
\begin{array}{c}
\sigma=\left(\frac{2 \mu V_{0} a^{3}}{\hbar^{2}}\right)^{2} \frac{2 \pi}{(k a)^{2}} \int_{0}^{2 k a} g(x) x d x=\frac{32 \pi \mu^{2} V_{0}^{2} a^{6}}{\hbar^{4}} \gamma(2 k a), \\
\gamma(y)=\frac{1}{y^{2}} \int_{0}^{y} \frac{(\sin x-x \cos x)^{2}}{x^{5}} d x=\frac{1}{4 y^{2}}\left(1-\frac{1}{y^{2}}+\frac{\sin 2 y}{y^{3}}-\frac{\sin ^{2} y}{y^{4}}\right) .
\end{array}
\]

Поскольку $\gamma(0)=1 / 18$, а при больших $у \quad \gamma(y)$ приближается к $1 / 4 y^{2}$, то в пределе при $k a \ll 1$ полное эффективное сечение равно $16 \pi \mu^{2} V_{0}^{2} a^{6} / 9 \hbar^{4}$. Если же энергия рассеиваемых частиц $E$ в системе центра инерции велика, то сечение примет вид
\[
\frac{\pi \mu V_{0}^{2} a^{4}}{\hbar^{2} E} .
\]

Функция $\gamma(y) / \gamma(0)=18 \gamma(y)$ изображена на фиг. 23, .

Условия применимости борновского приближения.
Удобный критерий применимости борновского приближения в предыдущей задаче можно получить, пользуясь (26.6) и предполагая, что функция $v(\mathbf{r})$ максимальна в центре рассеивающего потенциала. Это условие, вероятно, достаточно, но, возможно, является излишне жестким. Например, наше приближение может хорошо описывать рассеяние на малые углы (когда передается небольшой импульс), не будучи в то же время удовлетворительным для больших углов. В силу (26.16) наш критерий имеет вид
\[
\begin{array}{l}
|v(0)|=\frac{\mu}{\hbar^{2}}\left|\int_{0}^{\infty} \int_{-1}^{1} e^{i k r(1+w)} V(r) r d r d w\right|= \\
=\frac{\mu}{\hbar^{2} k}\left|\int_{0}^{\infty}\left(e^{2 i k r}-1\right) V(r) d r\right|=\frac{\mu V_{0}}{2 \hbar^{2} k^{2}}\left|e^{2 i k a}-2 i k a-1\right|= \\
=\frac{\mu V_{0}}{2 \hbar^{2} k^{2}}\left(y^{2}-2 y \sin y+2-2 \cos y\right)^{1 / 2} \ll 1, y \equiv 2 k a \text {. } \\
\end{array}
\]

В предельном случае малых энергий ( $k a \ll 1$ ) неравенство (26.31) дает $\mu V_{0} a^{2} / \hbar^{2} \ll 1$, тогда как при высоких энергиях ( $k a \gg 1$ ) мы имеем
\[
\frac{\mu V_{0} a}{\hbar^{2} k}=\frac{V_{0} a}{\hbar v} \ll 1,
\]

где $v$ – скорость падающей частицы. Таким образом, если прямоугольная яма достаточно „велика” для того, чтобы захватить частицу (как показано в § 15, для этого должно иметь место условие $\mu V_{0} a^{2} / \hbar^{2} \approx 1$ ), то борновским приближением можно пользоваться лишь при высоких энергиях, $k a \gg 1$. Поэтому борновское приближение дополняет метод парциальных волн (см. §19), наиболее полезный, когда $k a$ по порядку величины меньше или равно единице.

Качественные особенности результатов, полученных для случая прямоугольной потенциальной ямы, сохраняются и для любого потенциала с конечным радиусом действия.

Рассеяние экранированным кулоновским полем.
В качестве второго примера применения борновского приближения рассмотрим упругое рассеяние электронов нейтральным атомом, описывая взаимодействие между ними экранированным кулоновским потенциалом: $V(r)=-\left(Z e^{2} / r\right) e^{-r / a}$. При малых $r$ это выражение ведет себя просто как кулоновский потенциал ядра с атомным номером $Z$; с другой стороны, $V(r)$ быстро убывает, если расстояние $r$ велико по сравнению с „радиусом” а электронного облака. Статистическая теория атома Томаса-Ферми показывает (см. \& 38), что для не слишком легких атомов константа $a$ примерно равна $\hbar^{2} / m e^{2} Z^{1 / 3}$, где $m$ – масса электрона ${ }^{1}$.
Подставляя этот потенциал в (26.20), получаем
\[
f(\theta)=\frac{2 m Z e^{2}}{\hbar^{2} K} \int_{0}^{\infty} \sin K r \cdot e^{-r / a} d r=\frac{2 m Z e^{2}}{\hbar^{2}\left(K^{2}+a^{-2}\right)}, K=2 k \sin \frac{\theta}{2} .
\]

Если импульс, передаваемый при столкновении, достаточно велик, так что в знаменателе можно пренебречь величиной $1 / a^{2}$ по сравнению с $K^{2}$, то выражение (26.32) приводит для эффективного сечения к формуле Резерфорда (20.11). В аналогичном классическом случае частица проходит поблизости от ядра, так что экранирующие электроны играют сравнительно малую роль. Однако в противоположность формуле Резерфорда равенство (26.32) дает конечную величину для сечения рассеяния на исчезающе малые углы. (В аналогичном классическом случае частицы проходят далеко от ядра, и, следовательно, действие его заметно экранируется атомными электронами.) Полное эффективное сечение рассеяния составляет
\[
\sigma=\int_{0}^{2 k}|f|^{2} \frac{2 \pi K d K}{k^{2}}=\frac{16 \pi m^{2} Z^{2} e^{4} a^{4}}{\hbar^{4}\left(4 k^{2} a^{2}+1\right)} .
\]

Если принять для $a$ приведенное выше выражение теории Томаса Ферми, то при больших энергиях ( $k a \gg 1$ ) эффективное сечение обращается в $4 \pi Z^{4} / 3 / k^{2}$, что по порядку величины совпадает с результатом численного решения задачи о рассеянии для потенциала Томаса – Ферми ${ }^{2}$.

Критерий применимости борновского приближения (26.31) принимает вид
\[
\frac{2 m Z e^{2}}{\hbar^{2} k}\left|\int_{0}^{\infty} \sin x e^{i x-x / k a} \frac{d x}{x}\right| \ll 1,
\]

где введена новая переменная интегрирования $x=k r$. Отсюда при $k a \ll 1$ следует неравенство $2 m Z e^{2} a / \hbar^{2} \ll 1$, которое в связи с приведенным выше приближенным значением $a$ эквивалентно условию $Z^{3 / 3} \ll 1$. Поэтому при исследовании рассеяния медленных электронов на атомах борновское приближение оказывается непригодным. С другой стороны, при $k a \gg 1$ мы получаем, что $\left(Z e^{2} / \hbar v\right) \ln k a \ll 1$. Поскольку этот результат, как можно показать, не меняется существенно при переходе к релятивистской теории, то борновское приближение оказывается непригодным для тяжелых элементов, когда величина
\[
\frac{Z e^{2}}{\hbar c}=\frac{Z}{137}
\]

становится сравнимой с единицей.
Интересно отметить тесное соответствие между различными результатами для прямоугольной потенциальной ямы и для экранированного кулоновского поля, если выбрать $a$ одинаковым в обоих случаях и положить $V_{0} \approx Z e^{2} / a$.