стороны,
\[
\begin{array}{l}
x=r \sin \theta \cos \varphi=\frac{1}{2} r \sin \theta\left(e^{i \varphi}+e^{-i \varphi}\right), \\
y=r \sin \theta \sin \varphi=-\frac{1}{2} i r \sin \theta\left(e^{i \varphi}-e^{-i \varphi}\right) .
\end{array}
\]

Рассмотрение интеграла по $\varphi$ в (37.1) показывает теперь, что указанное соотношение между матричными элементами $x$ и $y$ справедливо лишь в том случае, когда магнитное квантовое число в начальном состоянии $u_{k}$ на единицу больше, чем в конечном состоянии $u_{n}$. Пользуясь равенством (14.23), мы видим, что при таком переходе $z$-компонента момента количества движения частицы уменьшается на $\hbar$. Поэтому общий момент количества движения излучающей частицы и испускаемого кванта сохраняется.

Этот результат основан на соотношении (36.20) между классической и квантовой плотностями тока. Из успешного вывода формулы Планка (§36) следует, что во всяком случае абсолютная величина $J$ правильно передается выражением (36.20). Данное выше доказательство закона сохранения момента количества движения показывает, кроме того, что и фазы начального и конечного состояний в (36.20) выбраны правильно; если бы, например, вектор J был пропорционален $\bar{u}_{k}$ grad $u_{n}$, то результат предыдущего абзаца был бы иным.

Если при переходе магнитное квантовое число не изменяется, то отличным от нуля будет лишь матричный элемент $z$; в этом случае из формулы (36.18) вытекает, что квант не уносит с собой никакого момента количества движения. На первый взгляд могло бы показаться, что это противоречит изменению орбитального квантового числа $l$ на единицу. Но $x$ – и $y$-компоненты момента количества движения не коммутируют с $z$-компонентой (которая в данном случае равна $m \hbar$ и остается неизменной), так что их нельзя определить точно. Средние значения их в состояниях, описываемых квантовыми числами $l$ и $m$, равны нулю, так как соответствующие матрицы не имеют диагональных элементов [см. соотношения (24.15)]. Поэтому в данном случае нет наблюдаемых изменений каких-либо компонент момента, откуда следует, что среднее значение момента количества движения, уносимого квантом, должно быть равно нулю. Мы можем представить себе дело таким образом, что в стационарном состоянии $x$ – и $y$-компоненты момента количества движения частицы флуктуируют около нуля, так что их средние значения равны нулю (хотя средние значения их квадратов отличны от нуля). Изменения $l$ соответствуют изменению средних значений этих квадратов.

Правила отбора для систем из многих частиц. Если квантовомеханическая система состоит из нескольких невзаимодействующих друг с другом частиц, то полный гамильтониан равен просто

сумме членов типа $H_{0}+H^{\prime}$, определяемых соотношениями (35.13). Собственные функции невозмущенного оператора энергии представляют собой произведения собственных функций отдельных частиц, рассмотренные в § 32 (их можно и не симметризовать, если частицы не тождественны). Очевидно, матричный элемент, фигурирующий в первом приближении теории возмущений (применяемой в § 35 в связи с вопросами о поглощении и вынужденном испускании), содержит многократный интеграл вида
\[
\begin{aligned}
\iint & \ldots \int \bar{u}_{a^{\prime}}(1) \bar{u}_{b^{\prime}}(2) \ldots \\
& \ldots\left[H^{\prime}(1)+H^{\prime}(2)+\ldots\right] u_{a}(1) u_{b}(2) \ldots d \tau_{1} d \tau_{2} \ldots
\end{aligned}
\]

Поскольку для данной частицы различные функции и ортогональны, этот интеграл будет отличен от нуля лишь в том случае, когда все одночастичные функции $u_{a^{\prime}}, \ldots$, кроме одной, равны соответствующим функциям $u_{a}, \ldots$ Поэтому при переходе может измениться состояние только одной из частиц, вследствие чего правила отбора (для центрального силового поля) в точности совпадают с полученными выше для одной частицы. Поскольку с помощью формулы Планка вероятность спонтанного излучения можно выразить через этот же интеграл, то указанные правила отбора будут справедливы не только для поглощения и вынужденного излучения, но также и для спонтанного излучения.

Если система состоит из нескольких заряженных частиц, взаимодействием между которыми пренебречь уже нельзя, то правила отбора нужно основывать на общих законах сохранения момента количества движения и четности. Результаты § 35 и 36 нетрудно обобщить таким образом, чтобы показать, что если длина волны излучения велика по сравнению с размерами системы, то главную роль будет играть матричный элемент полного дипольного момента $e_{1} \mathbf{r}_{1}+e_{2} \mathbf{r}_{2}+\ldots$.

Как указывалось при обсуждении формулы (36.19), момент количества движения кванта, испускаемого колеблющимся диполем, не может превышать $\hbar$; этот классический результат, полученный для произвольного распределения токов, не изменится и в том случае, когда диполь образован из нескольких частиц. Вопрос о сохранении полного момента количества движения кванта и излучающей системы осложняется тем обстоятельством, что все изложение носит полуклассический характер. Последовательное рассмотрение в рамках квантовой электродинамики приводит к строгому правилу отбора, основанному на указанном законе сохранения. Согласно этому правилу, квантовое число полного момента количества движения излучающей системы может либо оставаться неизменным, либо изменяться на единицу. Исключение составляет случай, когда и в начальном и в конечном состояниях это квантовое число равно нулю. В этом случае волновые функции начального и

Разложение напряженностей поля излучения в интеграл Фурье.
По аналогии с (37.5) выражения для напряженностей электрического и магнитного полей можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{E}(\mathbf{r}, t)=\int_{0}^{\infty}\left[\mathbf{E}_{\omega}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t}+\text {. c. }\right] d \omega, \\
\mathbf{H}(\mathbf{r}, t)=\int_{0}^{\infty}\left[\mathbf{H}_{\omega}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t}+\text { к. } \mathbf{c} .\right] d \omega .
\end{array}
\]

В силу уравнений Максвелла векторы Е и Н зависят от $\mathbf{J}$ линейно; поэтому каждая из компонент Фурье $\mathbf{E}_{\omega}$ и $\mathbf{H}_{\omega}$ связана с соответствующей компонентой плотности тока $J_{i \omega}$. Вектор Пойнтинга, соответствующий (37.7), равен
\[
\begin{array}{l}
\frac{c}{4 \pi} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \times \mathbf{H}(\mathbf{r}, t)=\frac{c}{4 \pi} \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}\left[\mathbf{E}_{\omega}(\mathbf{r}) \times \mathbf{H}_{\omega^{\prime}}(\mathbf{r}) e^{-i\left(\omega+\omega^{\prime}\right) t}+\right. \\
+\overline{\mathbf{E}_{\omega}(\mathbf{r})} \times \overline{\mathbf{H}_{\omega^{\prime}}(\mathbf{r})} e^{i\left(\omega+\omega^{\prime}\right) t}+\mathbf{E}_{\omega}(\mathbf{r}) \times \overline{\mathbf{H}_{\omega^{\prime}}(\mathbf{r})} e^{-i\left(\omega-\omega^{\prime}\right) t}+ \\
\left.+\overline{\mathbf{E}_{\omega}(\mathbf{r})} \times \mathbf{H}_{\omega^{\prime}}(\mathbf{r}) e^{i\left(\omega-\omega^{\prime}\right) t}\right] d \omega d \omega^{\prime} .
\end{array}
\]

Формулой (37.8) можно воспользоваться для нахождения спектрального распределения энергии излучения. Если акт испускания занимает время, малое по сравнению с обычными лабораторными масштабами, то распределение испускаемой энергии по частотам обычно представляет больший интерес, чем распределение во времени. Поэтому проинтегрируем (37.8) по времени от $-\infty$ до $+\infty$, получив тем самым полный поток энергии. Поскольку время $t$ входит только в показатели степеней, то в силу формулы (11.10) мы получим $\delta$-функции от частот. При последующем интегрировании по $\omega^{\prime}$ первые два члена в подинтегральном выражении ничего не дадут, а последние два члена примут вид
\[
\begin{aligned}
\frac{c}{4 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) & \times \mathbf{H}(\mathbf{r}, t) d t= \\
& =\frac{1}{2} c \int_{0}^{\infty}\left[\mathrm{E}_{\omega}(\mathbf{r}) \times \overline{\mathbf{H}_{\omega}(\mathbf{r})}+\overline{\mathbf{E}_{\odot}(\mathbf{r})} \times \mathbf{H}_{\omega}(\mathbf{r})\right] d \omega .
\end{aligned}
\]

Подинтегральное выражение в (37.9) равно удвоенному значению вещественной части произведения $\mathbf{E}_{\omega}(\mathbf{r}) \times \overline{\mathbf{H}_{\omega}}(\mathbf{r})$ и в соответствии с (36.8) его можно обозначить через ( $4 \pi / c$ ) $\mathbf{P}_{\omega}(\mathbf{r})$. Поскольку (37.9) имеет вид интеграла по частоте, величина $2 \pi \mathbf{P}_{\text {o }}$ (r) $d \omega$ представляет собой поток энергии в интервале частот от $\omega$ до $\omega+d \omega$.

Будем считать, что рассматриваемая среда представляет собой однородный изотропный диэлектрик, характеризуемый ди-

электрической проницаемостью $\varepsilon$. Это означает, что в формулах § 35 и 36 константу с надо заменить на $c / \varepsilon^{1 / 2}=c / n$ ( $n$-показатель преломления среды, равный $\varepsilon^{\frac{1 / 2}{2}}$, а вместо к нужно взять произведение $n \mathbf{k}^{\mathbf{1}}$. Поэтому в наших обозначениях формула (36.11) принимает вид
\[
P_{k}(\mathbf{r})=\frac{n k^{z}}{2 \pi r^{2} c}\left|\int J_{\perp \mathbf{k}, \boldsymbol{a}}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) e^{-i n \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}^{\prime}} d \tau^{\prime}\right|^{2} ;
\]

здесь $P_{k \oplus}$ – компонента вектора $\mathbf{P}_{\bullet}$ в направлении наблюдения (т. е. параллельно $\mathbf{k}$ или $\mathbf{r}$ ), а абсолютная величина $\mathbf{k}$ равна прежнему значению $\omega / c$.

Излученная энергия.
Пусть направление наблюдения характеризуется полярными углами $\theta, \varphi$ относительно оси $z$. Тогда скалярное произведение $\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}^{\prime}$ в (37.10) равно
\[
k\left(x^{\prime} \sin \theta \cos \varphi+y^{\prime} \sin \theta \sin \varphi+z^{\prime} \cos \theta\right)
\]

и $J_{\perp \mathbf{k}, \omega}=J_{z \omega} \sin \theta$.
Подставив (37.6) в (37.10), найдем поток энергии, отнесенный к единичному интервалу частоты :
\[
\begin{array}{c}
\left.2 \pi P_{k \omega}(\mathbf{r})=2 \pi \frac{n k^{2}}{2 \pi r^{2} c} \frac{e^{2}}{4 \pi^{2}} \sin ^{2} \theta \right\rvert\, \iiint \delta\left(x^{\prime}\right) \delta\left(y^{\prime}\right) \exp \left(i \omega z^{\prime} / v\right) \times \\
\times\left.\exp \left[-i n k\left(x^{\prime} \sin \theta \cos \varphi+y^{\prime} \sin \theta \sin \varphi+z^{\prime} \cos \theta\right)\right] d x^{\prime} d y^{\prime} d z^{\prime}\right|^{2}= \\
=\frac{n e^{2} \omega^{2} \sin ^{2} \theta}{4 \pi^{2} c^{3} r^{2}}\left|\int \exp \left[i \omega z^{\prime}\left(\frac{1}{v}-\frac{n \cos \theta}{c}\right)\right] d z^{\prime}\right|^{2} .
\end{array}
\]

Чтобы придать выражению (37.11) определенный смысл, можно принять, что частица излучает только на конечном участке своего пути, длина которого равна $L$. Тогда интеграл по $z^{\prime}$ можно брать, например, от $-L / 2$ до $L / 2$.
Простой расчет дает для квадрата интеграла в (37.11):
\[
\frac{4 \sin ^{2}\left[\frac{1}{2} \omega L\left(\frac{1}{v}-\frac{n \cos \theta}{c}\right)\right]}{\omega^{2}\left(\frac{1}{v}-\frac{n \cos \theta}{c}\right)^{2}} .
\]

При больших $L$ это выражение будет иметь резкий максимум, если знаменатель равен нулю, т. е. если
\[
\cos \theta_{0}=\frac{c}{n v} \text {. }
\]

Таким образом, частица излучает внутрь конуса в направлении своего движения, причем угол при вершине конуса убывает с уменьшением $n v / c$. Поскольку при $v<c / n$ угол $\theta_{0}$ становится мнимым, то при нарушении условия (37.3) излучение отсутствует. В частности, излучение отсутствует при $n=1$ (в пустом пространстве), поскольку $v$ всегда меньше $c$. Тот факт, что выражение (37.12) не обращается в нуль при $\cos \theta<1$, даже если $v<c / n$, связан с конечностью длины пути частицы $L$. Действительно, в начале пути частице сообщается определенная скорость, а в конце его частица останавливается. Таким образом, частица испытывает известное ускорение, благодаря чему излучение становится возможным.

Полная энергия излучения дается интегралом от (37.11) по поверхности сферы радиуса $r$. При его вычислении, как и в случае (29.11), можно, учитывая остроту максимума подинтегрального выражения, распространить интеграл по $\cos \theta$ на всю бесконечную область, а $\sin ^{2} \theta$ заменить на $\sin ^{2} \theta_{0}$, где $\theta_{0}$ дается формулой (37.13). Интеграл от выражения (37.12) равен $4 \pi^{2} c L r^{2} / n \omega$. Подставив это выражение в (37.11), найдем, что полная энергия, излучаемая частицей на расстоянии $L$ и отнесенная к единичному интервалу частот, составляет
\[
\frac{\omega e^{2} L \sin ^{2} \theta_{0}}{c^{2}}=\frac{\omega e^{2} L}{c^{2}}\left(1-\frac{c^{2}}{n^{2} v^{2}}\right) .
\]

Соответственно число квантов с частотой в интервале от $\omega$ до $\omega+d \omega$, испускаемых на единице пути частицей с зарядом $e$, движущейся со скоростью $v$ в диэлектрике с показателем преломления $n$, дается выражением
\[
\frac{e^{2}}{\hbar c^{2}}\left(1-\frac{c^{2}}{n^{2} v^{2}}\right) d \omega=\frac{1}{137}\left(1-\frac{c^{2}}{n^{2} v^{2}}\right) \frac{d \omega}{c}
\]
( – заряд электрона). Следовательно, число квантов в единичном интервале частот зависит от $\omega$ только через $n$. Выражение (37.14) показывает, что при движении очень быстрых электронов ( $v \approx c$ ) в воде ( $n \approx 1,33$ ) на 1 см пути испускается около 230 квантов видимого света (длина волны от 4000 до $7500 \AA$ ).

Фотоэффект.
Если на систему, содержащую связанные заряженные частицы, падают кванты достаточно высокой энергии, то имеется конечная вероятность разрушения системы. В случае атомов этот процесс обычно называется фотоэффектом, в случае ядер – фоторасщеплением. В качестве примера рассмотрим вырывание электрона из атома под действием фотона с энергией $\hbar \omega>\varepsilon$ (- $-\varepsilon$ есть энергия основного состояния электрона.) В начальном состоянии волновая функция электрона равна $u_{0}(\mathbf{r})$, а кинетическая энергия в конечном состоянии есть
\[
\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m}=\hbar \omega-\varepsilon .
\]

Пусть излучение падает в положительном направлении вдоль оси $z$ и поляризовано так, что вектор напряженности электрического поля параллелен оси $x$. Матричный элемент перехода определяется при этом второй из формул (35.14)
\[
H_{k 0}^{\prime 0}=\frac{i e \hbar}{m c} \int \bar{u}_{k} e^{i \omega z / c} A_{0}\left(\frac{\partial u_{0}}{\partial x}\right) d \tau .
\]

Допустим, что конечное состояние с достаточной точностью представляется плоской волной
\[
u_{k}(\mathbf{r})=L^{-8 / 2} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} .
\]

Это эквивалентно предположению о применимости борновского приближения для описания рассеяния электрона остающимся ионом.
Тогда, интегрируя выражение (37.16) по частям, получаем
\[
H_{k 0}^{\prime}=-\frac{e^{\hbar} A_{0} k_{x}}{m c L^{\frac{1}{2} / 2}} \int u_{0} e^{i(\omega z / c-\mathbf{k} \cdot \mathbf{r})} d \tau .
\]

На основании формул (29.12) и (29.14) вероятность перехода в единицу времени из связанного состояния в ионизованное равна
\[
w=\frac{m k L^{3}}{4 \pi^{2} \hbar^{3}}\left|H_{k 0}^{\prime 0}\right|^{2} \sin \theta d \theta d \varphi .
\]

Для дальнейшего оказывается удобным ввести вектор передаваемого атому импульса $\hbar \mathbf{K}$ :
\[
\mathbf{K}=\left(\frac{\omega}{c}\right) 1_{z}-\mathbf{k},
\]

где $1_{z}$ – единичный вектор, параллельный оси $z$. Дифференциальное эффективное сечение фотоэффекта равно вероятности $w$, деленной на величину падающего потока фотонов. Последняя получается делением интенсивности (35.12) на $\hbar \omega$ и, следовательно,
\[
\sigma(\theta, \varphi) \sin \theta d \theta d \varphi=\frac{e^{2} k k_{x}^{2}}{2 \pi m c \omega}\left|\int u_{0} e^{i \mathbf{K} \cdot \mathbf{r}} d \tau\right|^{2} \sin \theta d \theta d \varphi .
\]

Угловое распределение.
Угловое распределение вырываемых фотоэлектронов определяется двумя множителями в (37.18). Первый множитель $k_{x}^{2}$ показывает, что распределение электронов относительно направления поляризации падающего излучения будет характеризоваться квадратом косинуса. Если излучение не поляризовано, то $k_{x}^{2}$ нужно заменить на $\left(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}\right) / 2$, в силу чего распределение относительно направления падающего потока будет характеризоваться квадратом синуса. В обоих случаях вырываемые электроны движутся преимущественно под прямыми углами к направлению падающего пучка фотонов.

На угловое распределение влияет также вектор передачи импульса $\mathbf{K}$, фигурирующего в подинтегральном выражении (37.18). В § 26 было показано, что интегралы типа (37.18), вообще говоря, убывают при увеличении $K$ (см., например, фиг. 23). Наименьшую величину вектор $\mathbf{K}$ будет иметь в том случае, когда вектор $\mathbf{k}$ направлен вдоль оси $z$. Таким образом, наличие вектора $\mathbf{K}$ в (37.18) приводит к смещению максимума дифференциального сечения в направлении вперед. Однако этот эффект будет заметен, лишь если $k$ и $\omega / c$ сравнимы по величине. Временно допуская, что величиной $\varepsilon$ в (37.15) можно пренебречь, получаем
\[
\frac{\omega}{c k} \approx \frac{\hbar k}{2 m c}=\frac{v}{2 c},
\]

где $v$-скорость вырываемого электрона. Таким образом, смещение максимума сечения вперед происходит при большой энергии фотонов и вырываемых электронов, в связи с чем величиной $\varepsilon$, как и предполагалось выше, действительно можно пренебречь’).

Эффективное сечение фотоэффекта на атомах.
Рассмотрим теперь частный случай, когда фотоэлектрон вырывается из нижнего состояния ( $K$ – или $1 s$-оболочки) атома. Тогда начальной волновой функцией $u_{0}(\mathrm{r})$ будет функция $u_{100}(r, \theta, \varphi$,$) . В соответствии с (16.24)$ она имеет вид
\[
u_{0}(r)=\left(\pi a^{3}\right)^{-1 / 2} e^{-r / a}, \quad a=\frac{a_{0}}{Z}, \quad a_{0}=\frac{\hbar^{2}}{m e^{2}} .
\]

Поскольку функция $u_{0}$ сферически симметрична, интеграл по угловым переменным в (37.18) легко берется, и мы получаем
\[
\sigma(\theta, \varphi)=\left.\left.\frac{8 \pi e^{2} k k_{x}^{2}}{m c \omega K^{2}}\right|_{0} ^{\infty} u_{0}(r) \sin K r \cdot r d r\right|^{2} .
\]

Подстановка (37.19) в (37.20) дает
\[
\sigma(\theta, \varphi)=\frac{32 e^{2} a^{3} k k_{x}^{2}}{m c \omega\left(1+K^{2} a^{2}\right)^{4}} .
\]

В конце § 26 указывалось, что применение борновского приближения оказывается наиболее оправданным, когда энергия высока и $Z e^{2} / \hbar v \ll 1$. В рассматриваемом теперь случае $\varepsilon=Z^{2} e^{2} / 2 a_{0}$, так что $\hbar^{2} k^{2} / 2 m \varepsilon=\left(\hbar v / Z e^{2}\right)^{2}$, поэтому величиной $\varepsilon$ в (37.15) можно пренебречь. Поскольку, как показано.выше, в этом случае $\omega / c k \approx$

$\approx v / 2 c$, величина $K$, определяемая равенством (37.17), приближенно равна $k$ ( $1-v \cos \theta / 2 c$ ). Кроме того, $k a=\hbar v / Z e^{2} \gg 1$, следовательно, множитель $1+K^{2} a^{2}$ в знаменателе формулы (37.21) можно приближенно заменить на $k^{2} a^{2}(1-v \cos \theta / c)$. Таким образом, окончательно получается следующее выражение для дифференциального сечения фотоэффекта при высоких энергиях:
\[
\sigma(\theta, \varphi) \approx \frac{32 e^{2}}{m \omega \omega(k a)^{5}} \sin ^{2} \theta \cos ^{2} \varphi\left(1+\frac{4 v}{c} \cos \theta\right) .
\]

Поскольку электрон рассматривался в нерелятивистском приближении; отношение $v / c$ должно быть достаточно мало по сравнению с единицей, в связи с чем в формуле (37.22) опущены члены порядка $v^{2} / c^{2}$.
Интегрируя по углам, находим полное эффективное сечение
\[
\sigma \approx \frac{128 \pi}{3} \frac{e^{2}}{m c \omega(k a)^{5}} .
\]

Из соотношений (37.15) и (37.19) следует, что сечение $\sigma$ пропорционально $Z^{5} /(\hbar \omega)^{7 / 3}$. Применяя (37.23), необходимо помнить, что величина $\sigma$ представляет собой полное сечение для каждого из $K$-электронов в отдельности, в связи с чем полное сечение фотоэффекта на $К$-оболочке вдвое превышает это значение.

Интересно отметить, что как главный член в (37.22), соответствующий пренебрежению величиной $v / c$ по сравнению с единицей, так и все выражение (37.23) получаются в рассмотренном в § 35 дипольном приближении. В этом приближении множитель $e^{i \omega z / c}$ в (37.16) заменяется единицей.

Улучшение борновского приближения.
Рассмотренные вычисления в двух отношениях связаны с первым приближением теории возмущений. Во-первых, матричный элемент (37.16) считается малым, так что взаимодействие между электроном и электромагнитным полем рассматривается с точностью до величин первого порядка. Во-вторых, предполагается, что в конечном состоянии волновая функция электрона имеет вид плоской волны, т. е. считается, что влиянием потенциала иона в этом случае можно пренебречь. Что касается первого допущения, то в этом случае улучшить вычисления очень трудно, да и едва ли стоит это делать, так как взаимодействие между электроном и полем излучения действительно очень слабо. Наоборот, от второго предположения можно отказаться; связанную с этим некоторую затрату труда следует считать оправданной, так как полученный результат будет справедлив и в области низких энергий и при больших значениях $Z$; другими словами, параметр $Z e^{2} / \hbar v$ в этом случае не обязательно должен быть мал по сравнению с единицей.

В случае фотоэффекта на атоме водорода для описания конечного состояния можно пользоваться рассмотренными в § 20