В предыдущем параграфе наличие магнитного момента у электрона было установлено с помощью перехода к нерелятивистскому приближению, где, как было показано, появляется ожидаемая магнитная энергия. Сам по себе спин электрона не несет энергии, и его можно наблюдать только благодаря связи с орбитальным движением. В начале настоящего параграфа мы попытаемся выявить эту связь двумя путями: во-первых, используя закон сохранения полного момента количества движения, и, во-вторых, вычислив энергию спин-орбитального взаимодействия, введенную в § 38 . В обоих случаях будут использованы такие потенциалы А, $\varphi$, при которых момент количества движения электрона сохраняется; это означает, что поле является центральным ( $\mathrm{A}=0$ и потенциал $\varphi$ сферически симметричен). В конце параграфа мы проведем разделение переменных в уравнении Дирака для случая произвольного центрального поля и найдем уровни энергии атома водорода.

Спиновый момент количества движения.
Если $\mathbf{A}(\mathbf{r}, t)=0$ и $\varphi(\mathbf{r}, t)=\varphi(r)$, то уравнение (43.22) можно переписать в виде
\[
\begin{array}{c}
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=H \psi, \\
H=-c \alpha \cdot \mathbf{p}-\beta m c^{2}+V,
\end{array}
\]

где $V=e \varphi$. Можно было бы ожидать, что в подобном центральном поле орбитальный момент количества движения $\mathbf{L}=\mathbf{r} \times \mathbf{p}$ является интегралом движения. Чтобы выяснить этот вопрос, вычислим при помощи (23.2) и (23.16) производную от $\mathbf{L}$ по времени:
\[
\begin{aligned}
i \hbar \frac{d L_{x}}{d t}=L_{x} H-H L_{x} & =-c \alpha \cdot\left[\left(y p_{z}-z p_{y}\right) \mathbf{p}-\mathbf{p}\left(y p_{z}-z p_{y}\right)\right]= \\
& =i \hbar c\left(\alpha_{z} p_{y}-\alpha_{y} p_{z}\right) .
\end{aligned}
\]

Здесь принято во внимание, что оператор $L$ коммутирует с любой сферически симметричной функцией, в том числе и с $V(r)$. Ясно видно, что $\mathbf{L}$ отнюдь не коммутирует с $H$ и потому не является интегралом движения. Однако из физических соображений следует ожидать, что в центральном силовом поле возможно определить

сохраняющийся полный момент количества движения. Это означает, что нужно найти другой оператор, коммутатор $x$-компоненты которого с $H$ равен правой части (44.2), взятой со знаком минус. Сумма этого оператора с L будет тогда интегралом движения, и ее можно будет интерпретировать как оператор полного момента количества движения.

Легко видеть, что искомый оператор кратен матрице $\sigma^{\prime}$, определяемой соотношением (43.19). В силу (43.11) и (43.13) $\sigma_{x}^{\prime}$ коммутирует с $\alpha_{x}$ и с $\beta$, хотя и не коммутирует с другими компонентами $\alpha$ :
\[
\begin{array}{c}
\sigma_{x}^{\prime} \alpha_{y}-\alpha_{y} \sigma_{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}
\sigma_{x} & 0 \\
0 & \sigma_{x}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
0 & \sigma_{y} \\
\sigma_{y} & 0
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}
0 & \sigma_{y} \\
\sigma_{y} & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
\sigma_{x} & 0 \\
0 & \sigma_{x}
\end{array}\right)= \\
=\left(\begin{array}{cc}
0 & i \sigma_{z} \\
i \sigma_{z} & 0
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}
0 & -i \sigma_{z} \\
-i \sigma_{z} & 0
\end{array}\right)=2 i \alpha_{z} .
\end{array}
\]

Теперь можно вычислить производную по времени от $\sigma^{\prime}$ :
\[
i \hbar \frac{d \sigma_{x}^{\prime}}{d t}=\sigma_{x}^{\prime} H-H \sigma_{x}^{\prime}=-2 i c\left(\alpha_{z} p_{y}-\alpha_{y} p_{z}\right) .
\]

Из (44.2) и (44.3) следует, что величина $\mathbf{L}+1 / 2 \hbar \sigma^{\prime}$ коммутирует с $H$, в связи с чем и ее можно считать полным моментом количества движения. При этом оператор
\[
\mathrm{S}=\frac{1}{2} \hbar \sigma^{\prime}
\]

мы будем называть спиновым моментом количества движения электрона.

Разложение по степеням $v / c$. Энергия спин-орбитального взаимодействия.
Покажем теперь, что выражение для энергии спинорбитального взаимодействия (38.13) само собой вытекает из уравнения Дирака. Можно показать, что по порядку величины этот член отличается от потенциальной энергии множителем $(v / c)^{2}$ :
\[
\frac{1}{V} \frac{1}{2 m^{2} c^{2}} \frac{1}{r} \frac{d V}{d r}(\mathbf{L} \cdot \mathbf{S}) \sim \frac{1}{V} \frac{1}{m^{2} c^{2}} \frac{V}{a^{2}} p a \hbar \sim \frac{v^{2}}{c^{2}},
\]

где $a$ характеризует линейные размеры системы и
\[
\frac{\hbar}{a} \sim p \sim m v .
\]

Таким образом, приближение, которое привело нас к уравнению (43.27), в данном случае является недостаточным.

Чтобы получить последовательную апроксимацию, пользуясь более привычными нам двухкомпонентными волновыми функциями, заменим в (44.1) $\psi$ на $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$, подразумевая под этими величинами

соответственно две первые и две последние компоненты функции $\psi$. Допустим, что совокупность $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$ в целом представляет нерелятивистскую собственную функцию оператора энергии; это означает, что величина
\[
E=E^{\prime}+m c^{2}
\]

рассматривается как число, а не как оператор. Кроме того, $E^{\prime}$ и $V$ предполагаются малыми по сравнению с $m c^{2}$. Тогда волновое уравнение примет вид
\[
\begin{aligned}
\left(E^{\prime}+2 m c^{2}-V\right) \psi_{1}+c \sigma \cdot \mathbf{p} \psi_{2} & =0, \\
\left(E^{\prime}-V\right) \psi_{2}+c \sigma \cdot \mathbf{p} \psi_{1} & =0,
\end{aligned}
\]

где $\mathbf{p}$ – по-прежнему оператор. Первое из этих уравнений показывает, что функция $\psi_{1}$ по порядку величины равна ( $\left.v_{1}^{i} c\right) \psi_{2}$. Поэтому есть смысл исключить $\psi_{1}$, получив уравнение только для $\psi_{2}$. Подставляя выражение
\[
\psi_{1}=-\left(E^{\prime}+2 m c^{2}-V\right)^{-1} c \sigma \cdot \mathbf{p} \psi_{2}
\]

во второе из уравнений (44.5), получаем
\[
E^{\prime} \psi_{2}=\frac{1}{2 m}(\sigma \cdot \mathbf{p})\left(1+\frac{E^{\prime}-V}{2 m c^{2}}\right)^{-1}(\sigma \cdot \mathbf{p}) \psi_{2}+V \psi_{2} .
\]

До сих пор никаких приближений не делалось.
Искомая апроксимация получается разложением в ряд по степеням ( $\left.E^{\prime}-V\right) / 2 m c^{2}$ с точностью до членов наименьшего порядка. Легко получить следующие соотношения:
\[
\begin{array}{c}
\left(1+\frac{E^{\prime}-V}{2 m c^{2}}\right)^{-1} \approx 1-\frac{E^{\prime}-V}{2 m c^{2}}, \\
\mathbf{p} V=V \mathbf{p}-i \hbar \operatorname{grad} V, \\
(\sigma \cdot \operatorname{grad} V)(\sigma \cdot \mathbf{p})=(\operatorname{grad} V) \cdot \mathbf{p}+i \sigma \cdot[(\operatorname{grad} V) \times \mathbf{p}] .
\end{array}
\]

С их помощью уравнение (44.6) преобразуется к виду
\[
\begin{aligned}
E^{\prime} \psi_{2} & =\left[\left(1-\frac{E^{\prime}-V}{2 m c^{2}}\right) \frac{\mathbf{p}^{2}}{2 m}+V\right] \psi_{2}- \\
& -\frac{\hbar^{2}}{4 m^{2} c^{2}}(\operatorname{grad} V) \cdot\left(\operatorname{grad} \psi_{2}\right)+\frac{\hbar^{2}}{4 m^{2} c^{2}} \sigma \cdot\left[(\operatorname{grad} V) \times \mathbf{p} \psi_{2}\right] .
\end{aligned}
\]

Если функция $V$ сферически симметрична, то возможны дальнейшие упрощения. Воспользуемся соотношениями
\[
\begin{array}{c}
(\operatorname{grad} V) \cdot \operatorname{grad}=\frac{d V}{d r} \frac{\partial}{\partial r}, \\
\operatorname{grad} V=\frac{1}{r} \frac{d V}{d r} \mathbf{r}
\end{array}
\]

и заметим, что разность $E^{\prime}-V$ приблизительно равна $\mathbf{p}^{2} / 2 m$; точность этого приближения достаточна для того, чтобы член второго порядка ( $\left.E^{\prime}-V\right) \mathbf{p}^{2}$ в (44.7) можно было заменить на $\mathbf{p}^{4} / 2 m$. Тогда уравнение (44.7) можно переписать в виде
\[
E^{\prime} \psi_{2}=\left[\frac{\mathbf{p}^{2}}{2 m}-\frac{\mathbf{p}^{4}}{8 m^{3} c^{2}}+V-\frac{\hbar^{2}}{4 m^{2} c^{2}} \frac{d V}{d r} \frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{2 m^{2} c^{2}} \frac{1}{r} \frac{d V}{d r} \mathbf{S} \cdot \mathbf{L}\right] \psi_{2},
\]

где $\mathbf{S}=1 / 2 \hbar \sigma$ и $\mathbf{L}=\mathbf{r} \times \mathbf{p}$.
Первый и третий члены в правой части (44.8) дают нерелятивистское уравнение Шредингера. Второй член имеет вид классической релятивистской поправки к массе, которую можно получить, разлагая в ряд квадратный корень из (42.2):
\[
E^{\prime}=E-m c^{2}=\left(c^{2} \mathbf{p}^{2}+m^{2} c^{4}\right)^{1 / 2}-m c^{2} \approx \frac{\mathbf{p}^{2}}{2 m}-\frac{\mathbf{p}^{4}}{8 m^{3} c^{2}} .
\]

Последний член представляет собой энергию спин-орбитального взаимодействия (38.14), которая, как мы теперь видим, автоматически получается из уравнения Дирака. Четвертый член дает релятивистскую поправку к потенциальной энергии и не имеет классического аналога. Поскольку он не зависит от момента количества движения, наличие его гораздо труднее проверить экспериментально, чем существование энергии спин-орбитального взаимодействия1).

Разделение переменных.
В сферических координатах уравнение Дирака для центрального поля допускает точное разделение переменных. Вследствие взаимозависимости орбитального и спинового моментов количества движения эта процедура здесь более сложна, чем для уравнения Шредингера.

Начнем с определения операторов радиального импульса и скорости
\[
p_{r}=r^{-1}(\mathbf{r} \cdot \mathbf{p}-i \hbar), \quad \alpha_{r}=r^{-1}(\alpha \cdot \mathbf{r}) .
\]

Как можно показать, оба они эрмитовы. Определим также оператор $k$, который, как мы вскоре увидим, связан с полным моментом количества движения
\[
\hbar k=\beta\left(\sigma^{\prime} \cdot \mathbf{L}+\hbar\right),
\]

где $\mathbf{L}=\mathbf{r} \times \mathbf{p}$. При помощи соотношения (43.24) непосредственной подстановкой можно показать, что
\[
\alpha_{r} p_{r}+i \hbar r^{-1} \alpha_{r} \beta k=\alpha \cdot \mathbf{p} .
\]

В связи с этим гамильтониан (44.1) принимает вид
\[
H=-c \alpha_{r} p_{r}-\frac{i \hbar c}{r} \alpha_{r} \beta k-\beta m c^{2}+V .
\]

При помощи определений (44.9) и (44.10) и соотношений, найденных в § 43, можно получить равенства:
\[
\alpha_{r} k-k \alpha_{r}=0, \quad \beta k-k \beta=0, \quad p_{r} k_{r}-k p_{r}=0 .
\]

Отсюда видно, что оператор $k$ коммутирует с гамильтонианом (44.11) и потому является интегралом движения. Возводя (44.10) в квадрат, можно получить собственные значения $k$ :
\[
\hbar^{2} k^{2}=\left(\sigma^{\prime} \cdot \mathbf{L}\right)^{2}+2 \hbar\left(\sigma^{\prime} \cdot \mathbf{L}\right)+\hbar^{2}=\left(\mathbf{L}+\frac{1}{2} \hbar \sigma^{\prime}\right)^{2}+\frac{1}{4} \hbar^{2} .
\]

Выражение $\left(\mathbf{L}+1 / 2 \hbar \sigma^{\prime}\right)^{2}$ представляет собой квадрат оператора полного момента количества движения, и его собственные значения равны $j(j+1) \hbar^{2}$, где $j$ – половина нечетного положительного целого числа. Таким образом, собственные значения $k^{2}$ равны $(j+1 / 2)^{2}$ и $k$ может равняться $\pm 1, \pm 2, \ldots$

Выберем представление, в котором матрицы $H$ и $k$ диагональны и изображаются соответственно числами $E$ и $k$. При этом величины $\alpha_{r}$ и $\beta$ можно представить в виде эрмитовых матриц, удовлетворяющих соотношениям
\[
\alpha_{r}^{2}=\beta^{2}=1, \quad \alpha_{r} \beta+\beta \alpha_{r}=0
\]
(справедливость их легко проверить). Эти матрицы могут иметь по две строки и по два столбца. Можно положить, например
\[
\beta=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right), \quad \alpha_{r}=\left(\begin{array}{rr}
0 & -i \\
i & 0
\end{array}\right) .
\]

Угловая и спиновая части волновой функции определяются теперь требованием, чтобы $\psi$ была собственной функцией оператора $k$ в (44.10). Для таких задач, как вычисление уровней энергии, нужна только радиальная часть; в соответствии с (44.13) она имеет две компоненты, которые мы запишем в виде
\[
\left(\begin{array}{l}
r^{-1} F(r) \\
r^{-1} G(r)
\end{array}\right) .
\]

Радиальное уравнение для электрона, движущегося в центральном поле, получается в результате подстановки (44.13) и (44.14) в волновое уравнение с гамильтонианом (44.11). Пользуясь соотношением
\[
p_{r}=-i \hbar\left(\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r}\right)
\]

получаем
\[
\begin{array}{l}
\left(E+m c^{2}-V\right) F-\hbar c \frac{d G}{d r}-\frac{\hbar c k}{r} G=0, \\
\left(E-m c^{2}-V\right) G+\hbar c \frac{d F}{d r}-\frac{\hbar c k}{r} F=0 .
\end{array}
\]

Удобно ввести обозначения
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1}=\frac{m c^{2}+E}{\hbar c}, \quad \alpha_{2}=\frac{m c^{2}-E}{\hbar c}, \varrho=\alpha r, \\
\alpha=+\left(\alpha_{1} \alpha_{2}\right)^{1 / 2}=\frac{\left(m^{2} c^{4}-E^{2}\right)^{1 / 2}}{\hbar c} .
\end{array}
\]

Тогда уравнения (44.15) принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{d}{d \varrho}+\frac{k}{\varrho}\right) G-\left(\frac{\alpha_{1}}{\alpha}-\frac{V}{\hbar c \alpha}\right) F=0, \\
\left(\frac{d}{d \varrho}-\frac{k}{\varrho}\right) F-\left(\frac{\alpha_{2}}{\alpha}+\frac{V}{\hbar c \alpha}\right) G=0 .
\end{array}
\]

Атом водорода.
Найдем собственные значения энергии, полагая в (44.17) $V(r)=-Z e^{2} / r$. Величина $V / \hbar c \alpha$ запишется теперь в виде $-\gamma / \varrho$, где $\gamma \equiv Z e^{2} / \hbar c$. Будем поступать так же, как и в § 16 , полагая
\[
F(\varrho)=f(\varrho) e^{-\varrho}, \quad G(\varrho)=g(\varrho) e^{-\varrho} .
\]

Уравнения для функций $f$ и $g$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
g^{\prime}-g+\frac{k g}{\varrho}-\left(\frac{\alpha_{1}}{\alpha}+\frac{\gamma}{\varrho}\right) f=0 \\
f^{\prime}-f-\frac{k f}{\varrho}-\left(\frac{\alpha_{2}}{\alpha}-\frac{\gamma}{\varrho}\right) g=0 .
\end{array}
\]

Решения их будем искать в виде степенных рядов:
\[
\begin{array}{ll}
f=\varrho^{s}\left(a_{0}+a_{1} \varrho+\ldots\right), & a_{0}
eq 0, \\
g=\varrho^{s}\left(b_{0}+b_{1} \varrho+\ldots\right), & b_{0}
eq 0 .
\end{array}
\]

Поскольку при $r=0$ выражения (44.14) предполагаются конечными, следует ожидать, что $s \geqslant 1$. Однако, как и в случае релятивистского уравнения Шредингера (42.15) для кулоновского поля, можно допустить и несколько меньшее значение $s$, если только сходится интеграл по объему от $\psi^{*} \psi$.

Подставим (44.20) в (44.19) и (при $v>0$ ) приравняем нулю коэффициенты при $\varrho^{s+
u-1}$
\[
\begin{array}{l}
(s+v+k) b_{
u}-b_{
u-1}-\gamma a_{
u}-\frac{\alpha_{1}}{\alpha} a_{
u-1}=0, \\
(s+v-k) a_{
u}-a_{
u-1}+\gamma b_{
u}-\frac{\alpha_{2}}{\alpha} b_{
u-1}=0 .
\end{array}
\]

Если $v=0$, то аналогичные уравнения будут иметь вид
\[
\begin{array}{l}
(s+k) b_{0}-\gamma a_{0}=0 \\
(s-k) a_{0}+\gamma b_{0}=0 .
\end{array}
\]

Система (44.22) имеет отличные от нуля решения $a_{0}$ и $b_{0}$, только если детерминант из коэффициентов обращается в нуль. Это дает
\[
s= \pm\left(k^{2}-\gamma^{2}\right)^{1 / 2} .
\]

В силу граничного условия в начале координат здесь следует взять верхний знак.

Умножая первое уравнение (44.21) на $\alpha$, второе уравнение на $\alpha_{1}$ и вычитая одно из другого, найдем соотношение между $a_{v}$ и $b_{
u}$ :
\[
b_{
u}\left[\alpha(s+
u+k)-\alpha_{1} \gamma\right]=\alpha_{\gamma}\left[\alpha_{1}(s+
u-k)+\alpha \gamma\right]
\]
[здесь использованы выражения (44.16)]. Теперь можно исследовать поведение решений при больших $r$. Если ряды в (44.20) не обрываются, то это поведение определяется членами высшего порядка, так что постоянным множителем можно пренебречь по сравнению с $v$. Таким образом, уравнения (44.21) и (44.24) дают
\[
a_{v} \approx \frac{2}{v} a_{v-1}, \quad b_{v} \approx \frac{2}{v} b_{
u-1} .
\]

Это означает, что оба ряда асимптотически ведут себя как $e^{2 e}$ и регулярные решения получатся только в том случае, когда ряды обрываются. Пусть это имеет место при $v=n^{\prime}$, так что $a_{n^{\prime}+1}=$ $=b_{n^{\prime}+1}=0$. Тогда оба уравнения (44.21) приводят к соотношению
\[
\alpha_{1} a_{n^{\prime}}=-\alpha b_{n^{\prime}}, \quad n^{\prime}=0,1,2, \ldots
\]

Полагая в (44.24) $v=n^{\prime}$ и принимая во внимание (44.25), найдем уровни энергии. В силу (44.16) имеем
\[
2 \alpha\left(s+n^{\prime}\right)=\gamma\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)=\frac{2 E \gamma}{\hbar c} .
\]

Возводя это выражение в квадрат, получаем
\[
\left(m^{2} c^{4}-E^{2}\right)\left(s+n^{\prime}\right)^{2}=E^{2} \gamma^{2}
\]

и, следовательно,
\[
E=m c^{2}\left[1+\frac{\gamma^{2}}{\left(s+n^{\prime}\right)^{-2}}\right]^{-1 / 2} .
\]

Соотношения (44.23) и (44.26) эквивалентны формуле, впервые выведенной Зоммерфельдом [7] на основе старой квантовой теории. Эта формула находится в очень хорошем согласии с наблюдаемым спектром атома водорода’. Если разложить (44.26) в ряд по степеням $\gamma^{2}$, то наличие тонкой структуры становится очевидным. С точностью до членов порядка $\gamma^{4}$ получим результат, напоминающий (42.21), но несколько отличающийся от него:
\[
E=m c^{2}\left[1-\frac{\gamma^{2}}{2 n^{2}}-\frac{\gamma^{4}}{2 n^{4}}\left(\frac{n}{|k|}-\frac{3}{4}\right)\right] .
\]

Здесь $n=n^{\prime}+|k|$ – полное квантовое число, фигурирующее в (16.14), а $|k|$ принимает целые положительные значения. Из (44.27) легко найти, что при данном $n$,ширина\” системы подуровней, образующих тонкую структуру, составляет
\[
\frac{m c^{2} \gamma^{4}}{n^{3}} \frac{n-1}{2 n} .
\]

Эта величина много меньше получающейся из релятивистского уравнения Шредингера [см. (42.22)], и хорошо согласуется с опытом.

Классификация уровней энергии.
При $n^{\prime}>0$ допустимы все положительные и отрицательные целые значения $k$ [как видно из формулы (44.12), $k$ не может быть равно нулю]. Однако при $n^{\prime}=0$ может возникнуть противоречие между соотношениями (44.22) и (44.25); действительно, они дают соответственно
\[
\frac{b_{0}}{a_{0}}=\frac{\gamma}{s+k} \quad \text { и } \quad \frac{b_{0}}{a_{0}}=-\frac{\alpha_{1}}{\alpha} .
\]

Поскольку $s<|k|$, первое из этих выражений будет положительным или отрицательным в зависимости от того, положительно или отрицательно число $k$, тогда как второе выражение всегда отрицательно. Поэтому если $n^{\prime}=0$, то $k$ может принимать только отрицательные значения.

До сих пор мы показали только, что значение $j$, характеризующее уровень энергии, равно $|k|-1 / 2$. Чтобы связать с уровнем энергии значение орбитального квантового числа $l$, следует перейти к нерелятивистскому приближению, считая $l$ хорошим квантовым числом. Поскольку в этом случае $G$ много больше $F$, в (44.10) можно заменить $\beta$ на -1 и $\sigma^{\prime}$ на $\sigma$. Тогда
\[
\left(\mathbf{L}+\frac{1}{2} \hbar \sigma\right)^{2}=\left[l(l+1)+\frac{3}{4}\right] \hbar^{2}+\hbar \sigma \cdot \mathbf{L} .
\]

Это выражение равно $j(j+1) \hbar^{2}$. Таким образом, мы получаем
\[
k=l(l+1)-j(j+1)-\frac{1}{4}=\left\{\begin{array}{cc}
-l-1, & j=l+\frac{1}{2} \\
l, & j=l-\frac{1}{2} .
\end{array}\right.
\]

Рассмотрим, например, уровни энергии в атоме водорода для случая $n=3$. Радиальное квантовое число $n^{\prime}$ может равняться 0,1 или 2 , а $k$ может быть равно $\pm\left(3-n^{\prime}\right)$, исключая случай

$n^{\prime}=0$, когда $k$ может равняться только – 3 . В нерелятивистской классификации уровни энергии будут
\begin{tabular}{ccccc}
$n^{\prime}$ & $k$ & $l$ & $j$ & \\
0 & -3 & 2 & $\frac{5}{2}$ & ${ }^{2} D_{5 / 2}$ \\
1 & 2 & 2 & $\frac{3}{2}$ & ${ }^{2} D_{3 / 2}$ \\
1 & -2 & 1 & $\frac{3}{2}$ & ${ }^{2} P_{3 / 2}$ \\
2 & 1 & 1 & $\frac{1}{2}$ & ${ }^{2} P_{1 / 2}$ \\
2 & -1 & 0 & $\frac{1}{2}$ & ${ }^{2} S_{1 / 2}$
\end{tabular}

В силу (44.23) и (44.26) состояния с одинаковыми значениями $|k|$ или $j$ имеют одинаковую энергию. Из формулы (44.27) видно, что энергия возрастает с увеличением $|k|$.

Состояния с отрицательной энергией.
Мы видели, что релятивистские уравнения Шредингера и Дирака допускают решения, для которых частица имеет отрицательную кинетическую энергию и отрицательную массу покоя. Они соответствуют отрицательному знаку перед квадратным корнем из правой части классического выражения (42.2). В квантовой теории пренебрегать решениями с отрицательной энергией, как это делалось в классической механике, уже нельзя, поскольку ничто не мешает заряженной частице совершить радиационный переход из состояния с положительной в состояние с отрицательной энергией.

Дирак предложил считать, что все состояния с отрицательной энергией, получающиеся в результате решения уравнения (43.22), целиком заполнены. В этом случае принцип Паули исключает возможность подобных переходов. Соответственно в состоянии вакуума плотность электронов с отрицательной энергией бесконечно велика. Предполагается, что с зтими электронами не связаны какие-либо электромагнитные или гравитационные эффекты; однако отклонения от нормального состояния, когда один или несколько уровней отрицательной энергии оказываются вакантными, могут быть наблюдаемы. Следует ожидать, что отсутствие отрицательно заряженного электрона с отрицательными массой и кинетической энергией будет проявляться как положительно заряженная частица с такими же (по абсолютной величине) положительными массой и кинетической энергией. Таким путем можно сформулировать, дырочную\” теорию позитрона.

Однако при наличии столь большого числа электронов мы уже не имеем теории одной частицы, как это предполагалось при

выводе волнового уравнения. Исходя из уравнения Дирака, можно развить теорию позитрона и построить теорию многих частиц, используя формализм квантованных полей, обсуждаемый в следующей главе.

На первый взгляд могло бы показаться, что для релятивистского уравнения Шредингера нельзя применить тот же метод, так как это уравнение описывает частицы с нулевым спином, подчиняющиеся не принципу Паули, а статистике Бозе-Эйнштейна. Однако Паули и Вайскопф [9] показали, что в этом случае энергия квантованного поля всегда положительна, хотя фигурирующий в волновом уравнении параметр $E$ может быть и отрицательным. С другой стороны, плотность заряда в квантованном поле может иметь любой знак в соответствии с неопределенностью знака $P$, о которой говорилось в связи с (42.8). Обе рассмотренные в настоящей главе теории предсказывают существование частиц с положительными энергиями и с обоими знаками электрического заряда. Однако наличие спина у частицы следует из уравнения Дирака, откуда вытекает, что именно оно описывает электроны.