и $m_{2}$ приближаются к центру инерции со скоростями соответственно $v^{\prime}$ и $v^{\prime \prime}$, где
\[
v^{\prime \prime}=v-v^{\prime}=\frac{m_{2} v}{\left(m_{1}+m_{2}\right)} .
\]

Очевидно, после столкновения они с теми же скоростями удаляются от центра инерции (см. фиг. 16,б). Из геометрических соображений следует, что углы $\theta$ и $\varphi$ связаны с $\theta_{0}$ и $\varphi_{0}$ соотношениями
\[
\begin{aligned}
v^{\prime \prime} \cos \theta+v^{\prime} & =v_{1} \cos \theta_{0}, \\
v^{\prime \prime} \sin \theta & =v_{1} \sin \theta_{0}, \\
\varphi & =\varphi_{0} .
\end{aligned}
\]

Первые два уравнения (18.3) после исключения $v_{1}$ дают
\[
\begin{aligned}
\operatorname{tg} \theta_{0} & =\frac{\sin \theta}{\gamma+\cos \theta}, \\
\gamma & =\frac{v^{\prime}}{v^{\prime \prime}}=\frac{i m_{1}}{m_{2}} .
\end{aligned}
\]

Соотношения (18.3) и (18.4) можно обобщить на случай таких столкновений (например, ядерных реакций), когда на первоначально неподвижную частицу с массой $m_{1}$ налетает частица с массой $m_{2}$, а после столкновения возникают частицы с массами $m_{3}$ и $m_{4}$, причем $m_{1}+$ $+m_{2}=m_{3}+m_{4}$. Первая из формул (18.4) остается справедливой и в том случае, когда часть внутренней энергии, равная $Q$, переходит в кинетическую энергию возникающих
$\Phi$ иг. 16. $a$ – лабораторная система координат, в которой частица мишени (с массой $m_{2}$ ) первоначально находится в покое; 6 – система центра инерции, в которой до и после столкновения центр инерции двух частиц остается неподвижным; $ө$ – векторное сложение скорости центра инерции в лабораторной системе координат ( $v^{\prime}$ ) со скоростью частицы в системе центра инерции ( $\left.v^{\prime \prime}\right)$. В результате получается скорость частицы в лабораторной системе ( $\left.v_{1}\right)$; при $v^{\prime \prime}<v^{\prime}$ угол $\theta_{0}$ не может превышать $\arcsin \left(v^{\prime \prime} / v^{\prime}\right)$.

частиц (величина $Q$ положительна для экзотермических столкновений и отрицательна – для эндотермических); при этом наблюдается частица с массой $m_{3}$. Величина $\gamma$ в этом случае по прежнему определяется как отношение скорости центра инерции

в лабораторной системе к наблюдаемой скорости частицы в системе центра инерции. Однако, как можно показать, она уже не равна отношению $m_{1} / m_{2}$, а дается формулой
\[
\gamma=+\left(\frac{m_{1} m_{3}}{m_{2} m_{1}} \frac{E}{E+Q}\right)^{1 / 2},
\]

где $E=m_{1} m_{2} v^{2} / 2\left(m_{1}+m_{2}\right)$ – первоначальная энергия относительного движения в системе центра инерции [см. замечания в связи с формулой (18.9)].

Связь между эффективными сечениями.
Связь между эффективными сечениями в лабораторной системе координат и в системе центра инерции вытекает из определения этих величин. Из него следует, что число частиц, рассеиваемых в бесконечно малый телесный угол $d \omega_{0}$ в направлении $\theta_{0}, \varphi_{0}$, равно числу частиц, рассеиваемых в угол $d \omega$ в направлении $\theta, \varphi$ :
\[
\sigma_{0}\left(\theta_{0}, \varphi_{0}\right) \sin \theta_{0} d \theta_{0} d \varphi_{0}=\sigma(\theta, \varphi) \sin \theta d \theta d \varphi .
\]

Пользуясь последней из формул (18.3) и первой формулой (18.4), получаем из (18.6)
\[
\sigma_{0}\left(\theta_{0}, \varphi_{0}\right)=\frac{\left(1+\gamma^{2}+2 \gamma \cos \theta\right)^{3 / 2}}{|1+\gamma \cos \theta|} \sigma(\theta, \varphi),
\]

где в общем случае $\gamma$ дается равенством (18.5). Следует отметить, что, поскольку полное число столкновений не зависит от способа описания процесса, то полное эффективное сечение оказывается одним и тем же как в лабораторной системе, так и в системе центра инерции; оно также одинаково для обеих разлетающихся после столкновения частиц.

Зависимость от $\gamma$.
Из формул (18.4) явствует, что при $\gamma<1$ величина $\theta_{0}$ монотонно возрастает от 0 до $\pi$ при увеличении $\theta$ от 0 до $\pi$. При $\gamma=1$ угол $\theta_{0}=\theta / 2$; следовательно, $\theta_{0}$ изменяется от 0 до $\pi / 2$ при изменении $\theta$ от 0 до $\pi$. В этом случае.
\[
\sigma_{0}\left(\theta_{0}, \varphi_{0}\right)=4 \cos \theta_{0} \sigma\left(2 \theta_{0}, \varphi_{0}\right)
\]

и в лабораторной системе не происходит рассеяния частиц. в заднюю полусферу. При $\gamma>1$ угол $\theta_{0}$ сначала [при увеличении $\theta$ от 0 до $\arccos (-1 / \gamma)]$ возрастает от 0 до $\arcsin (1 / \gamma)$; это максимальное в данных условиях значение $\theta_{0}$ меньше $\pi / 2$. Затем при дальнейшем увеличении $\theta$ до $\pi$ угол $\theta_{0}$ уменьшается до нуля. Для максимального $\theta_{0}$ сечение $\sigma_{0}\left(\theta_{0}, \varphi_{0}\right)$ обычно становится бесконечным, но вклад от этой сингулярности в полное эффективное сечение конечен; в лабораторной системе не происходит рассеяния на угол, превышающий максимальное значение $\theta_{0}$. Два значения $\theta$, соответствующие одному и тому же $\theta_{0}$ [лежащему в интервале от 0 до $\arcsin (1 / \gamma)$ ],

скорости относительного движения $v$. Поэтому можно представить себе, что уравнение (18.8) описывает рассеяние частицы с массой $\mu$, начальной скоростью $v$ и кинетической энергией $E=\mu v^{2} / 2$ на неподвижном рассеивающем центре, описываемом потенциальной энергией $V(\mathbf{r})$; при этом положение (фиктивной) частицы с массой $\mu$ относительно рассеивающего центра определяется вектором $\mathbf{r}$.

Как и в § 17 , рассеяние определяется асимптотическим поведением функции $u(r, \theta, \varphi)$ в области, где $V=0$. На больших расстояниях между сталкивающимися частицами функция $и$ должна содержать, во-первых, часть, описывающую падающую частицу с массой $\mu$, движущуюся в определенном направлении со скоростью $v$ и, во-вторых, радиально расходящуюся волну:
\[
u(r, \theta, \varphi) \underset{r \rightarrow \infty}{\longrightarrow} A\left[e^{i k z}+r^{-1} f(\theta, \varphi) e^{i k r}\right], \quad k=\frac{\mu v}{\hbar} .
\]

Первый член в (18.10) описывает частицу, движущуюся в положительном направлении вдоль оси $z$ (т. е., поскольку $z=r \cos \theta$, вдоль полярной оси $\theta=0$ ). Он представляет собой плоскую волну – собственную функцию оператора импульса (11.2), причем волновой вектор $\mathbf{k}$ направлен вдоль полярной оси и по абсолютной величине равен $k$. Второе слагаемое в $(18.10)$ изображает радиально расходящуюся волну, амплитуда которой зависит от $\theta$ и $\varphi$ и обратно пропорциональна $r$ (поскольку радиальная составляющая тока должна быть обратно пропорциональна квадрату радиуса). Легко

Фиг. 17. Схема лабораторной установки для исследования рассеяния.

В точкенаблюдения $P$ отсутствует интерференция между падающей и рассеянной волнами. проверить, что при любом виде функции $f(\theta, \varphi)$ выражение (18.10) асимптотически удовлетворяет волновому? уравнению (18.8) в области, где $V=0$, с точностью до членов порядка $1 / r$.
Нормировка.
Физический смысл коэффициента $A$ и угловой функции $f$ можно выяснить, вычислив поток частиц (как в § 17).

Однако при непосредственной подстановке (18.10) в уравнение (7.3) возникают члены, соответствующие интерференции между падающей и рассеянной волнами, которая не имеет места в большинстве экспериментальных устройств. Действительно, практически падающие и рассеянные частицы обычно отделяют друг от друга, коллимируя те \”или другие частицы. Пусть, например, экспериментальная установка имеет вид, представленный схематически на фиг. 17. Падающие частицы, выходя из источника $S$, коллимируются

диафрагмами $D D$ в достаточно ограниченный пучок. Хотя коллимированный пучок и не описывается плоской волной типа $e^{i k z}$, однако его можно образовать путем наложения таких волн с волновыми векторами, лишь слегка отличающимися по величине и по направлению. Полный угловой разброс, выраженный в радианах, по порядку величины будет равен отношению длины волны частицы к диаметру коллимирующего отверстия и, следовательно, практически его можно сделать чрезвычайно малым. Так как функция $f$ обычно не слишком быстро изменяется при изменении углов, то небольшой разброс направлений волновых векторов не очень существен. Таким образом, в точке наблюдения $P$ имеется только член, содержащий $t$, и он практически совпадает с членом, фигурирующим в (18.10). При достаточно большом удалении от области рассеяния, член с $f$ становится пренебрежимо малым, вследствие чего при вычислении падающего потока можно принимать во внимание только член, описывающий плоскую волну. Поэтому в области наблюдения интерференционные члены обычно не имеют физического смысла, будучи лишь следствием идеализации, связанной с подстановкой в уравнение (18.10) точно плоской волны ${ }^{1}$.

Подставляя в отдельности каждое из слагаемых (18.10) в формулу (7.3), видим, что падающий поток направлен вдоль полярной оси и по абсолютной величине равен $v|A|^{2}$; главный член в рассеянном (радиальном) потоке есть
\[
\frac{v|A|^{2}|f(\theta, \varphi)|^{2}}{r^{2}} \text {. }
\]

Отсюда по определению эффективного сечения получаем
\[
\sigma(\theta, \varphi)=|f(\theta, \varphi)|^{2} .
\]

Какуже отмечалось в § 17, в задачах о рассеянии точный выбор коэффициента $A$ не играет существенной роли. Можно, в частности, нормировать волновую функцию так, чтобы плотность падающего потока была равна единице, для чего достаточно положить $A=1 / \sqrt{v}$; иногда пользуются также условием $\int|u|^{2} d \tau=1$, где интегрирование проводится по объему большого параллелепипеда, на границах которого наложены условия периодичности. Часто мы будем полагать константу $A$ просто равной единице.