энергии на границах области (на конечную величину), вообще говоря, приводит к отбрасыванию частицы внутрь области. Подобный потенциал можно представлять себе как предельный случай потенциала, изображенного на фиг. $5, a$, где сила – $d V / d x$ всегда направлена к точке $x=0$. В прямоугольной потенциальной яме сила равна нулю везде, кроме границ, так что, за исключением внезапных импульсов, передаваемых частице в точках $x= \pm a$ и направленных к началу координат, на частицу вообще не действуют никакие силы.
Фиг. 7. Одномерная прямоугольная яма с абсолютно твердыми стенками (a) и с конечным скачком потенциала (б).
Идеально твердые стенки. В § 8 было показано, что если вид потенциала определяется в соответствии с фиг. 7 , $a$, то в точках $x= \pm a$ волновая функция должна обращаться в нуль. При $|x|<a$ волновое уравнение (8.5) записывается в виде
\[
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} u}{d x^{2}}=E u,
\]

и его общее решение есть
\[
u(x)=A \sin \alpha x+B \cos \alpha x, \quad \alpha=+\left(\frac{2 m E}{\hbar^{2}}\right)^{1 / 2} .
\]

Граничное условие при $x= \pm a$ дает
\[
\begin{aligned}
A \sin \alpha a+B \cos \alpha a & =0, \\
-A \sin \alpha a+B \cos \alpha a & =0,
\end{aligned}
\]

откуда
\[
A \sin \alpha a=0, \quad B \cos \alpha a=0 .
\]

Решение, для которого константы $A$ и $B$ равны нулю, не представляет физического интереса, так как при этом $u=0$ в любой точке. Нельзя также одновременно приравнять нулю $\sin \alpha a$ 4 л. ШиФФ

и $\cos \alpha a$ при одном и том же значении $\alpha$ (т. е. E). Поэтому имеется два возможных класса решений. Для первого класса

а для второго
\[
\begin{array}{llll}
A=0 & \text { и } & & \cos \alpha a=0, \\
B=0 & \text { и } & \sin \alpha a=0 .
\end{array}
\]

Таким образом, $\alpha a=n \pi / 2$, где для первого класса $n$ – нечетное, а для второго класса – четное целое число. Таким образом, собственные функции обоих классов и принадлежащие им собственные значения энергии имеют вид
\[
\begin{aligned}
u(x) & =B \cos \frac{n \pi x}{2 a}, & & \text { где } n \text { нечетное; } \\
u(x) & =A \sin \frac{n \pi x}{2 a}, & & \text { где } n \text { четное; } \\
E & =\frac{\pi^{2} \hbar^{2} n^{2}}{8 m a^{2}} & & \text { в обоих случаях. }
\end{aligned}
\]

Ясно, что при $n=0$ получается физически неинтересное решение $u=0$, а решения с отрицательными и положительными значениями $n$ линейно связаны друг с другом. Во всех случаях константы $A$ и $B$ легко выбрать в соответствии с условием нормировки собственных функций $u(x)$.

Таким образом, мы получаем бесконечную систему дискретных уровней энергии, соответствующих всем положительным целым значениям квантового числа $n$. Каждому уровню принадлежит только одна собственная функция; число узлов (внутри потенциальной ямы) у $n$-й собственной функции равно $n$ – 1. Эти результаты согласуются с общими соображениями § 8. Интересно отметить, что порядок величины энергии низшего (основного) состояния находится в соответствии с соотношением неопределенности (3.1). Неопределенность координаты порядка $a$ приводит к неопределенности импульса порядка по меньшей мере $\hbar / a$, что в свою очередь приводит к минимальной кинетической энергии порядка $\hbar^{2} / m a^{2}$.

Конечный скачок потенциала.
Если потенциальная энергия имеет вид, показанный на фиг. 7, б, то общее решение (9.2), по-прежнему справедливое при $|x|<a$, так как уравнение (9.1) в этой области не меняется, необходимо дополнить решением в области $|x|>a$. В этой области волновое уравнение имеет вид
\[
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} u}{d x^{2}}+V_{0} u=E u,
\]

и его общее решение при $E<V_{0}$ (для связанного состояния) дается формулой
\[
u(x)=C e^{-\beta x}+D e^{\beta x}, \quad \beta=+\left[\frac{2 m\left(V_{0}-E\right)}{\hbar^{2}}\right]^{1 / 2} .
\]

На фиг. 9 аналогичное построение проведено для уравнения (9.6), когда уровни энергии определяются пересечением тех же окружностей с кривой $\eta=-\xi \operatorname{ctg} \xi$ (в первом квадранте). Для
$\Phi_{\text {. }}^{\text {и г. }}$ г. Графическое решение уравнения (9.7) для трех значений $V_{0} a^{2}$.
Вертикальные пунктирные линии представляют первые две асимптоты кривых $\eta=\xi \operatorname{tg} \xi$.
\[
\text { для трех значений } V_{0} a^{2} \text {. }
\]

Вертикальная пунктирная линия представляет собой первую асимптоту кривой $\eta=-\xi \operatorname{ctg} \xi$.

наименьшего значения $V_{0} a^{2}$ решение отсутствует, а двум другим принадлежит по одному решению. Таким образом, всего для трех последовательно возрастающих значений $V_{0} a^{2}$ имеется соответственно один, два и три уровня энергии.

Из фиг. 8 и 9 ясно, что при заданной массе частицы уровни энергии зависят от параметров потенциальной энергии через

произведение $V_{0} a^{2}$. Если $V_{0} a^{2}$ лежит между нулем и $\pi^{2} \hbar^{2} / 8 m$, то имеется лишь один уровень энергии первого класса; в области $\pi^{2} \hbar^{2} / 8 m \leq V_{0} a^{2}<\pi^{2} \hbar^{2} / 2 m$ имеется по одному уровню энергии каждого класса, т. е. всего два уровня. По мере возрастания $V_{0} a^{2}$ уровни энергии последовательно появляются то для одного класса решений, то для другого. С помощью (9.2) нетрудно видеть, что если расположить собственные функции в порядке возрастания собственных значений, то у $n$-й собственной функции будет $n-1$ узел.

Четность.
Из предыдущего ясно, что собственные функции первого класса будут четными, а второго класса – нечетными относительно изменения знака $x$. Это разделение собственных функций на четные и нечетные отнюдь не случайно; мы увидим сейчас, что оно непосредственно связано с симметрией потенциальной энергии $V(x)$ относительно точки $x=0$. Если в волновом уравнении (8.5)
\[
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} u(x)}{d x^{2}}+V(x) u(x)=E u(x)
\]

изменить знак у $x$ и если $V(-x)=V(x)$, то мы получим
\[
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} u(-x)}{d x^{2}}+V(x) u(-x)=E u(-x) .
\]

Таким образом, функции $u(x)$ и $u(-x)$ удовлетворяют одному и тому же волновому уравнению и принадлежат одному и тому же собственному значению $E$. Если каждому уровню энергии соответствует лишь одна собственная функция, то эти решения могут отличаться только постоянным множителем:
\[
u(-x)=\varepsilon u(x) .
\]

Изменяя в (9.9) знак у $x$, получаем $u(x)=\varepsilon u(-x)$. Из двух этих соотношений непосредственно следует, что
\[
\varepsilon^{2}=1 \text { или } \varepsilon= \pm 1 .
\]

Таким образом, для симметричного потенциала все собственные функции являются либо четными, либо нечетными. 0 таких волновых функциях говорят, что они характеризуются определенной четностью.

Если некоторому собственному значению принадлежит несколько линейно независимых собственных функций, то они необязательно обладают определенной четностью, т. е. необязательно являются четными или нечетными. Легко видеть, однако, что можно найти такие линейные комбинации этих собственных функций, которые будут либо четными, либо нечетными. Пусть собственная функция $u(x)$ не имеет определенной четности. Ее

всегда можно записать в виде
\[
u(x)=u_{\mathrm{t}}(x)+u_{\mathrm{H}}(x),
\]

где $u_{\mathrm{ч}}(x)=1 / 2[u(x)+u(-x)]$-четная, а $u_{\mathrm{н}}(x)=1 / 2\left[u(x)-u^{\prime}(-x)\right]-$ нечетная функции. Тогда, если волновое уравнение (9.8) симметрично, его можно записать в виде
\[
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} u_{\mathrm{ч}}}{d x^{2}}+(V-E) u_{\mathrm{ч}}-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} u_{\mathrm{H}}}{d x^{2}}+(V-E) u_{\mathrm{H}}=0 .
\]

Изменяя в (9.10) знак у $x$, получаем
\[
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} u_{\mathrm{ч}}}{d x^{2}}+(V-E) u_{\mathrm{ч}}+\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} u_{\mathrm{H}}}{d x^{2}}-(V-E) u_{\mathrm{H}}=0 .
\]

Складывая и вычитая уравнения (9.10) и (9.11), находим, что каждая из функций $u_{ч}$ и $u_{\text {н }}$ удовлетворяет волновому уравнению с одним и тем же собственным значением $E$.

Упрощенное решение.
Зная, что решения обладают определенной четностью, можно иногда упростить процедуру вычисления уровней энергии, так как в этом случае достаточно найти решение лишь для положительных значений $x$. Для четных решений в точке $x=0$ обращается в нуль производная, а для нечетных сама волновая функция. Пусть, например, требуется найти четные решения. Тогда вместо выражения (9.2) и (9.3) сразу же можно написать
\[
\begin{array}{ll}
u(x)=B \cos \alpha x, & 0<x<a, \\
u(x)=C e^{-\beta x}, & x>a .
\end{array}
\]

Вместо того, чтобы требовать непрерывности $u$ и $d u / d x$ при $x=a$, достаточно потребовать непрерывности логарифмической производной $(1 / u)(d u / d x)$, так как нормировочные постоянные $B$ и $C$ при этом исключаются. Это тотчас же приводит к уравнению (9.7). Аналогично нечетные решения имеют вид
\[
\begin{array}{ll}
u(x)=A \sin \alpha x, & 0<x<a, \\
u(x)=C e^{-\beta x}, & x>a,
\end{array}
\]
и из условия непрерывности логарифмической производной $(1 / u)(d u / d x)$ при $x=a$ сразу же получается уравнение (9.6).