Всякая унитарная матрица. V и всякая эрмитова матрица Н могут быть приведены к диагональному виду с помощью унитарной матрицы U. Для таких матриц не может встретиться исключительный случай, упомянутый на стр. 32. Прежде всего отметим, что унитарная (или эрмитова) матрица остается унитарной (или эрмитовой) после унитарного преобразования. Будучи произведением трех унитарных матриц, $\mathrm{U}^{-1} \mathrm{VU}$ само унитарно. Матрица $\mathbf{U}^{-1} \mathrm{HU}$ также эрмитова, если только $\mathbf{H}$ эрмитова, поскольку, согласно (3.17),
\[
\left(\mathbf{U}^{-1} \mathbf{H U}\right)^{\dagger}=\mathbf{U}^{\dagger} \mathbf{H U}^{-1^{\dagger}}=\mathrm{U}^{\dagger} \mathbf{H U}=\mathbf{U}^{-1} \mathbf{H U} .
\]

Чтобы привести V или $\mathbf{H}$ к диагональному виду, определим некоторое собственное значение $\mathrm{V}$ или $\mathrm{H}$. Пусть оно равно $\lambda_{1}$;
соответствующий собственный вектор $\boldsymbol{U}_{1}=\left(U_{11}, \ldots, U_{n 1}\right)$ определяется только с точностью до постоянного множителя. Выберем этот постоянный множитель так, чтобы
\[
\left(\boldsymbol{U}_{\cdot 1}, \boldsymbol{U}_{\cdot 1}\right)=1 .
\]

Это всегда возможно, так как $\left(\boldsymbol{U}_{.1}, \boldsymbol{U}_{.1}\right)$ никогда не может обратиться в нуль. Построим теперь унитарную матрицу U, первым столбцом которой будет $\boldsymbol{U}_{\cdot 1}{ }^{1}$ ). С помощью этой унитарной матрицы мы преобразуем соответственно $\mathbf{V}$ и $\mathbf{H}$ в $\mathbf{U}^{-1} \mathbf{V}$ и $\mathbf{U}^{-1} \mathbf{H U}$. Например, $\mathbf{U}^{-1} \mathbf{V U}$ имеет первый столбец
\[
X_{r 1}=\left(\mathrm{U}^{-1} \mathrm{VU}\right)_{r 1}=\left(\mathrm{U}^{\dagger} \mathrm{VU}\right)_{r 1}=\sum_{
u} U_{
u r}^{*} \sum_{\mu .} V_{
u \mu} U_{\mu 1}=\sum_{
u} U_{v r}^{\star} \lambda_{1} U_{v 1}=\delta_{r 1} \lambda_{1},
\]

носкольку $\boldsymbol{U}_{1}$ уже является собственным вектором матрицы $\mathbf{V}$. Мы видим, что $\lambda_{1}$ появляется в первой строке первого столбца, и что все остальные элементы первого столбца равны нулю.

Это верно, очевидно, не только для $\mathrm{U}^{-1} \mathrm{VU}$, но и для $\mathrm{U}^{-1} \mathrm{HU}$. Так как матрица $\mathbf{U}^{-1} \mathrm{HU}$ эрмитова, первая строка также состоит из нулей, за исключением первого элемента; таким образом, матрица $\mathbf{U}^{-1} \mathbf{H U}$ имеет вид
\[
\left(\begin{array}{llll}
\lambda_{1} & 0 & \ldots & 0 \\
0 & & & \\
. & & & \\
. & & &
\end{array}\right) .
\]

Ho $\mathbf{U}^{-1} \mathbf{V U}$ должно иметь точно такой же вид! Поскольку $\mathbf{X}$ — унитарная матрица, ее первый столбец $\boldsymbol{X}_{\cdot}$ является единичным вектором, откуда следует, что
\[
\left|X_{11}\right|^{2}+\left|X_{21}\right|^{2}+\ldots+\left|X_{n 1}\right|^{2}=\left|\lambda_{1}\right|^{2}=1 \text {. }
\]

То же рассуждение применимо к первой строке $X_{1}$. матрицы $\mathrm{X}$. Сумма квадратов дается выражением
\[
\begin{aligned}
\left|X_{11}\right|^{2}+\left|X_{12}\right|^{2}+\cdots & +\left|X_{1 n}\right|^{2}= \\
& =\left|\lambda_{1}\right|^{2}+\left|X_{12}\right|^{2}+\left|X_{13}\right|^{2}+\ldots+\left|X_{1 n}\right|^{2}=1 .
\end{aligned}
\]

из которого следует, что все $X_{12}, X_{13}, \ldots, X_{1 n}$ обращаются в нуль.
Следовательно, всякую унитарную или эрмитову матрицу можно привести к виду (3.E.1) с помощью унитарной матрицы. Матрица (3.E.1) не является еще диагональной и не может быть ею, так как мы использовали существование только одного собственного
1) См. лемму на стр. 39.
значения. Она, однако, больше похожа на диагональную матрицу, чем первоначальная матрица $\mathbf{V}$ или $\mathrm{H}$. Естественно записать (3.E.1) в виде суперматрицы
\[
\left(\begin{array}{cc}
\lambda_{1} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathrm{V}_{1}
\end{array}\right) \text { или }\left(\begin{array}{cc}
\lambda_{1} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathrm{H}_{1}
\end{array}\right) \text {. }
\]

где матрицы $\mathbf{V}_{1}$ или $\mathbf{H}_{1}$ имеют только $n-1$ строк и столбцов. Мы можем преобразовать затем (3.Е.3) с помощью другой унитарной матрицы
\[
\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & U_{1}
\end{array}\right),
\]

где $\mathbf{U}_{1}$ имеет только $n-1$ строк и столбцов.
При этом матрица (3.Е. 1) принимает вид
\[
\left(\begin{array}{cc}
\lambda_{1} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{U}_{1}^{\dagger} \mathbf{V}_{1} \mathbf{U}_{1}
\end{array}\right) \text { или }\left(\begin{array}{cc}
\lambda_{1} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{U}_{1}^{\dagger} \mathbf{H}_{1} \mathbf{U}_{1}
\end{array}\right) .
\]

Вышеуказанную процедуру можно применить снова, и $\mathbf{U}_{1}$ можно выбрать так, чтобы $\mathbf{U}_{1}^{\dagger} \mathbf{V}_{1} \mathbf{U}_{1}$ или $\mathbf{U}_{1}^{\dagger} \mathbf{H}_{1} \mathbf{U}_{1}$ имели вид
\[
\left(\begin{array}{cc}
\lambda_{2} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathrm{V}_{2}
\end{array}\right) \text { или }\left(\begin{array}{cc}
\lambda_{2} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathrm{H}_{2}
\end{array}\right),
\]

где $\mathrm{V}_{2}$ или $\mathrm{H}_{2}$ имеет размерность только $n-2$. Тогда $\mathbf{U}_{1}^{+} \mathbf{U}^{+} \mathbf{V U U}_{1}$ имеет вид
\[
\left(\begin{array}{cc}
\boldsymbol{\Lambda}_{1} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathrm{V}_{2}
\end{array}\right) \text {, где } \boldsymbol{\Lambda}_{1}=\left(\begin{array}{cc}
\lambda_{1} & 0 \\
0 & \lambda_{2}
\end{array}\right) .
\]

Ясно, что повторение этой процедуры позволит привести матрицу V или Hк полностью диагональному виду, и таким образом теорема доказана.

Эта теорема не имеет места для симметричных или комплексно ортогональных матриц, как показывает пример на стр. 32 (вторая матрица симметрична и комплексно ортогональна). Однако она справедлива для вещественных симметричных или вещественных ортогональных матриц, которые являются специальными случаями эрмитовых или унитарных матриц.

Лемма. Если $(\boldsymbol{u} .1, \boldsymbol{u} .1)=1$, то может быть построена (многими различными способами) унитарная матрица, первым столбцом которой является $\boldsymbol{a} \cdot 1=\left(u_{11}, u_{21}, \ldots, u_{n 1}\right)$.

Сначала строим вообще некоторую матрину с первым столбцом $\boldsymbol{u} \cdot$, имеющую отличный от нуля определитель. Пусть второй столбец этой матрицы равен $\boldsymbol{v}_{.2}=\left(\boldsymbol{v}_{12}, \boldsymbol{v}_{22}, \ldots, v_{n 2}\right)$, третий — $\boldsymbol{v}_{.}$ и т. д.:
\[
\left(\begin{array}{ccccc}
u_{11} & v_{12} & v_{13} & \ldots & v_{1 n} \\
u_{21} & v_{22} & v_{23} & \ldots & v_{2 n} \\
u_{31} & v_{32} & v_{33} & \ldots & v_{3 n} \\
\cdot & \cdot & \cdot & & \cdot \\
\cdot & \cdot & \cdot & & \cdot \\
u_{n 1} & v_{n 2} & v_{n 3} & \ldots & v_{n n}
\end{array}\right) .
\]

Тогда векторы $\boldsymbol{u} ._{1}^{\prime}, \boldsymbol{v}_{.2}, \boldsymbol{v}_{3}, \ldots$ будут линейно независимы, так как определитель не обращается в нуль. Поскольку мы хотим, чтобы они были ортогональными, используем метод Шмидта для их ортогонализации. Сначала подставим $\boldsymbol{u} \cdot 2=a_{21} \boldsymbol{u} \cdot 1-\boldsymbol{v}_{.2}$ вместо $\boldsymbol{v}_{.2}$; это не изменит определителя. Затем положим
\[
(\boldsymbol{u} \cdot 1, \boldsymbol{u} \cdot 2)=0=a_{21}(\boldsymbol{u} \cdot 1, \boldsymbol{u} \cdot 1)+\left(\boldsymbol{u} \cdot 1, \boldsymbol{v}_{2}\right)=a_{21}+\left(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}_{\cdot 2}\right)
\]

и определим отсюда $a_{21}$. Далее, напишем $\boldsymbol{u} .3$ вместо $\boldsymbol{v}_{.3}$ с $\boldsymbol{u}_{.3}=$ $=a_{31} \boldsymbol{u} .1+a_{32} \boldsymbol{u}_{.2}+\boldsymbol{v}_{.3}$ и определим $a_{31}$ и $a_{32}$ так, чтобы
\[
\begin{array}{l}
0=\left(\boldsymbol{u} \cdot 1, \boldsymbol{u}_{\cdot 3}\right)=a_{31}\left(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u}_{\cdot 1}, \boldsymbol{u}_{\cdot 1}\right)+\left(\boldsymbol{u} \cdot 1, \boldsymbol{v}_{.3}\right), \\
0=(\boldsymbol{u} \cdot 2, \boldsymbol{u} \cdot 3)=a_{32}\left(\boldsymbol{u}_{\cdot 2}, \boldsymbol{u}_{\cdot 2}\right)+\left(\boldsymbol{u} \cdot 2, \boldsymbol{v}_{.3}\right) .
\end{array}
\]

Следуя этим путем, мы, наконец, напишем $\boldsymbol{u}_{\cdot n}$ вместо $\boldsymbol{v}_{\cdot n}$, причем $\boldsymbol{u}_{\cdot n}=a_{n 1} \boldsymbol{u} \cdot 1+a_{n 2} \boldsymbol{u} \cdot 2+\ldots+a_{n, n-1} \boldsymbol{u} \cdot n-1+\boldsymbol{v} \cdot n$, и определим $a_{n 1}$, $a_{n 2}, a_{n 3}, \ldots, a_{n, n-1}$ так, чтобы
\[
\begin{array}{l}
0=(\boldsymbol{u} \cdot 1, \boldsymbol{u} \cdot n)=a_{n 1}(\boldsymbol{u} \cdot 1, \boldsymbol{u} \cdot 1)+\left(\boldsymbol{u} \cdot 1, \boldsymbol{v}_{\cdot n}\right), \\
0=\left(\boldsymbol{u} \cdot 2, \boldsymbol{u}_{\cdot n}\right)=a_{n 2}\left(\boldsymbol{u} .2, \boldsymbol{u}_{.2}\right)+\left(\boldsymbol{u} .2, \boldsymbol{v}_{\cdot n}\right), \\
0=\left(\boldsymbol{u} \cdot n-1, \boldsymbol{u}_{\cdot n}\right)=a_{n, n-1}\left(\boldsymbol{u} \cdot n-1, \boldsymbol{u}_{\cdot n-1}\right)+\left(\boldsymbol{u} \cdot n-1, \boldsymbol{v}_{\cdot n}\right) . \\
\end{array}
\]

Таким способом с помощью $\frac{1}{2} n(n-1)$ чисел $a$ мы последовательно подставляем векторы $\boldsymbol{u}$ вместо векторов $\boldsymbol{v}$. Векторы $\boldsymbol{u}$ ортогональны и не являются нулевыми в силу линейной независимости векторов $\boldsymbol{v}$. Допустим, например, что $\boldsymbol{u}_{\cdot n}=0$. Отсюда следует, что
\[
a_{n 1} \boldsymbol{u} \cdot{ }_{.1}+a_{n 2} \boldsymbol{u} \cdot 2+\ldots+a_{n, n-1} \boldsymbol{u} \cdot n-1+\boldsymbol{v}_{\cdot n}=0,
\]

и так как векторы $\boldsymbol{u}_{.1}, \boldsymbol{u}_{.2}, \ldots, \boldsymbol{u}_{n}$ являются линейными комбинациями векторов $\boldsymbol{u} \cdot 1, \boldsymbol{v}_{2}, \ldots, \boldsymbol{v}_{\cdot n-1}$, можно выразить $\boldsymbol{v}_{\cdot n}$ через $n-1$ 9тих векторов, в противоречии с их линейной независимостью.

Наконец, нормируем векторы $\boldsymbol{u}_{\cdot 2}, \boldsymbol{u}_{.3}, \ldots, \boldsymbol{u}_{\cdot n}$, строя тем самым унитарную матрицу, первым столбцом которой является $\boldsymbol{u} .1$.
Этот метод ортогонализации Шмидта показывает, как построить, исходя из любой совокупности линеино независимых векторов, ортогональную нормированную систему, в которой $k$-и единичный вектор является линейной комбинацией точно $k$ исходных векторов. Если исходить из $n n$-мерных векторов, образующих полную систему векторов, получается полная ортогональная система.

Если унитарная матрица V или эрмитова матрица $\mathbf{H}$ приведены таким способом к диагональному виду, получающиеся при этом матрицы $\boldsymbol{\Lambda}_{v}$ или $\boldsymbol{\Lambda}_{h}$ также унитарны или эрмитовы. Следовательно,
\[
\boldsymbol{\Lambda}_{v} \boldsymbol{\Lambda}_{v}^{*}=\mathbf{1} \text { или } \boldsymbol{\Lambda}_{h}=\boldsymbol{\Lambda}_{h}^{\dagger} .
\]

Абсолютная величина каждого согственного значения унитарной матрицы ${ }^{1}$ ) равна 1 ; собственные значения эрмитовой матрицы вещественны. Это следует непосредственно из (3.19), устанавливающего, что для собственных значений $\lambda_{v}$ унитарной матрицы $\lambda_{v} \lambda_{v}^{*}=1$; а для эрмитовой матрицы $\lambda_{h}=\lambda_{h}^{*}$. Собственные векторы матриц V и $\mathbf{H}$, являющиеся столбцами унитарной матрицы $\mathbf{U}$, могут рассматриваться как ортогональные.