Главная > ТЕОРИЯ ГРУПП И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К КВАНТОМЕХАНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ АТОМНЫХ СПЕКТРОВ (Е.Вигнер)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Всякая унитарная матрица. V и всякая эрмитова матрица Н могут быть приведены к диагональному виду с помощью унитарной матрицы U. Для таких матриц не может встретиться исключительный случай, упомянутый на стр. 32. Прежде всего отметим, что унитарная (или эрмитова) матрица остается унитарной (или эрмитовой) после унитарного преобразования. Будучи произведением трех унитарных матриц, U1VU само унитарно. Матрица U1HU также эрмитова, если только H эрмитова, поскольку, согласно (3.17),
(U1HU)=UHU1=UHU=U1HU.

Чтобы привести V или H к диагональному виду, определим некоторое собственное значение V или H. Пусть оно равно λ1;
соответствующий собственный вектор U1=(U11,,Un1) определяется только с точностью до постоянного множителя. Выберем этот постоянный множитель так, чтобы
(U1,U1)=1.

Это всегда возможно, так как (U.1,U.1) никогда не может обратиться в нуль. Построим теперь унитарную матрицу U, первым столбцом которой будет U11 ). С помощью этой унитарной матрицы мы преобразуем соответственно V и H в U1V и U1HU. Например, U1VU имеет первый столбец
Xr1=(U1VU)r1=(UVU)r1=uUurμ.VuμUμ1=uUvrλ1Uv1=δr1λ1,

носкольку U1 уже является собственным вектором матрицы V. Мы видим, что λ1 появляется в первой строке первого столбца, и что все остальные элементы первого столбца равны нулю.

Это верно, очевидно, не только для U1VU, но и для U1HU. Так как матрица U1HU эрмитова, первая строка также состоит из нулей, за исключением первого элемента; таким образом, матрица U1HU имеет вид
(λ1000..).

Ho U1VU должно иметь точно такой же вид! Поскольку X — унитарная матрица, ее первый столбец X является единичным вектором, откуда следует, что
|X11|2+|X21|2++|Xn1|2=|λ1|2=1

То же рассуждение применимо к первой строке X1. матрицы X. Сумма квадратов дается выражением
|X11|2+|X12|2++|X1n|2==|λ1|2+|X12|2+|X13|2++|X1n|2=1.

из которого следует, что все X12,X13,,X1n обращаются в нуль.
Следовательно, всякую унитарную или эрмитову матрицу можно привести к виду (3.E.1) с помощью унитарной матрицы. Матрица (3.E.1) не является еще диагональной и не может быть ею, так как мы использовали существование только одного собственного
1) См. лемму на стр. 39.
значения. Она, однако, больше похожа на диагональную матрицу, чем первоначальная матрица V или H. Естественно записать (3.E.1) в виде суперматрицы
(λ100V1) или (λ100H1)

где матрицы V1 или H1 имеют только n1 строк и столбцов. Мы можем преобразовать затем (3.Е.3) с помощью другой унитарной матрицы
(100U1),

где U1 имеет только n1 строк и столбцов.
При этом матрица (3.Е. 1) принимает вид
(λ100U1V1U1) или (λ100U1H1U1).

Вышеуказанную процедуру можно применить снова, и U1 можно выбрать так, чтобы U1V1U1 или U1H1U1 имели вид
(λ200V2) или (λ200H2),

где V2 или H2 имеет размерность только n2. Тогда U1+U+VUU1 имеет вид
(Λ100V2), где Λ1=(λ100λ2).

Ясно, что повторение этой процедуры позволит привести матрицу V или Hк полностью диагональному виду, и таким образом теорема доказана.

Эта теорема не имеет места для симметричных или комплексно ортогональных матриц, как показывает пример на стр. 32 (вторая матрица симметрична и комплексно ортогональна). Однако она справедлива для вещественных симметричных или вещественных ортогональных матриц, которые являются специальными случаями эрмитовых или унитарных матриц.

Лемма. Если (u.1,u.1)=1, то может быть построена (многими различными способами) унитарная матрица, первым столбцом которой является a1=(u11,u21,,un1).

Сначала строим вообще некоторую матрину с первым столбцом u, имеющую отличный от нуля определитель. Пусть второй столбец этой матрицы равен v.2=(v12,v22,,vn2), третий — v. и т. д.:
(u11v12v13v1nu21v22v23v2nu31v32v33v3nun1vn2vn3vnn).

Тогда векторы u.1,v.2,v3, будут линейно независимы, так как определитель не обращается в нуль. Поскольку мы хотим, чтобы они были ортогональными, используем метод Шмидта для их ортогонализации. Сначала подставим u2=a21u1v.2 вместо v.2; это не изменит определителя. Затем положим
(u1,u2)=0=a21(u1,u1)+(u1,v2)=a21+(uv2)

и определим отсюда a21. Далее, напишем u.3 вместо v.3 с u.3= =a31u.1+a32u.2+v.3 и определим a31 и a32 так, чтобы
0=(u1,u3)=a31(uu1,u1)+(u1,v.3),0=(u2,u3)=a32(u2,u2)+(u2,v.3).

Следуя этим путем, мы, наконец, напишем un вместо vn, причем un=an1u1+an2u2++an,n1un1+vn, и определим an1, an2,an3,,an,n1 так, чтобы
0=(u1,un)=an1(u1,u1)+(u1,vn),0=(u2,un)=an2(u.2,u.2)+(u.2,vn),0=(un1,un)=an,n1(un1,un1)+(un1,vn).

Таким способом с помощью 12n(n1) чисел a мы последовательно подставляем векторы u вместо векторов v. Векторы u ортогональны и не являются нулевыми в силу линейной независимости векторов v. Допустим, например, что un=0. Отсюда следует, что
an1u.1+an2u2++an,n1un1+vn=0,

и так как векторы u.1,u.2,,un являются линейными комбинациями векторов u1,v2,,vn1, можно выразить vn через n1 9тих векторов, в противоречии с их линейной независимостью.

Наконец, нормируем векторы u2,u.3,,un, строя тем самым унитарную матрицу, первым столбцом которой является u.1.
Этот метод ортогонализации Шмидта показывает, как построить, исходя из любой совокупности линеино независимых векторов, ортогональную нормированную систему, в которой k-и единичный вектор является линейной комбинацией точно k исходных векторов. Если исходить из nn-мерных векторов, образующих полную систему векторов, получается полная ортогональная система.

Если унитарная матрица V или эрмитова матрица H приведены таким способом к диагональному виду, получающиеся при этом матрицы Λv или Λh также унитарны или эрмитовы. Следовательно,
ΛvΛv=1 или Λh=Λh.

Абсолютная величина каждого согственного значения унитарной матрицы 1 ) равна 1 ; собственные значения эрмитовой матрицы вещественны. Это следует непосредственно из (3.19), устанавливающего, что для собственных значений λv унитарной матрицы λvλv=1; а для эрмитовой матрицы λh=λh. Собственные векторы матриц V и H, являющиеся столбцами унитарной матрицы U, могут рассматриваться как ортогональные.

1
Оглавление
email@scask.ru