В гл. 1 мы установили одно очень важное свойство преобразований подобия. Эти преобразования не меняют след матрицы ${ }^{1}$ ): матрица $\boldsymbol{\alpha}$ имеет тот же след, что и $\sigma^{-1} \boldsymbol{\sigma} \sigma$. Но является ли след матрицы единственным инвариантом преобразования подобия? Очевидно, нет, так как, например, определитель $\left|\sigma^{-1} \alpha \sigma\right|$ также равен определителю $|\boldsymbol{\alpha}|$. Для получения других инвариантов рассмотрим уравнение $n$-го порядка относительно $\lambda$, записанное в виде определителя
\[
\left|\begin{array}{cccc}
\alpha_{11}-\lambda & \alpha_{12} & \ldots & \alpha_{1 n} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22}-\lambda & \ldots & \alpha_{2 n} \\
\cdot & \cdot & & \cdot \\
\cdot & \cdot & & \cdot \\
\alpha_{n 1} & \alpha_{n 2} & \ldots & \alpha_{n n}-\lambda
\end{array}\right|=0
\]

или, короче,
\[
|\boldsymbol{\alpha}-\lambda \mathbf{1}|=0 .
\]

Мы назовем это уравнение секулярным уравнением матрицы $\boldsymbol{\alpha}$. Секулярное уравнение матрицы $\beta=\sigma^{-1} \alpha \sigma$ имеет вид
\[
|\beta-\lambda \mathbf{1}|=\left|\sigma^{-1} \alpha \sigma-\lambda \mathbf{1}\right|=0 .
\]

Очевидно, что определитель $\left|\sigma^{-1}(\boldsymbol{\alpha}-\lambda \boldsymbol{1}) \sigma\right|$ также равен нулю; это можно записать следующим образом:
\[
\left|\sigma^{-1}\right| \cdot|\alpha-\lambda 1| \cdot|\sigma|=0 .
\]

Уравнение (3.4) показывает, что $n$ корней секулярного уравнения $|\beta-\lambda 1|=0$ совпадают ${ }^{2}$ ) с $n$ корнями секулярного уравнения
1) Матрица, над которой производится преобразование подобия, должна быть всегда квадратной. По этой причине мы снова нумеруем строки и столбцы числами $1,2, \ldots, n$.
2) Величины $\left|\sigma^{-1}\right|$ и $|\sigma|$ являются числами!

$|\boldsymbol{\alpha}-\lambda \mathbf{1}|=0$. Корни секулярного уравнения, так называемые собственные значения матрицы, являются инвариантами преобразований подобия. Позже мы увидим, что в общем случае матрица не имеет других инвариантов. К тому же след является суммой, а определитель — произведением этих собственных значений, так что их инвариантность включается в сформулированную выше теорему.

Рассмотрим теперь одно собственное значение $\lambda_{1}$. Определитель матрицы $\left(\boldsymbol{\alpha}-\lambda_{1} 1\right)$ равен нулю, так что линейные однородные уравнения
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{11} r_{1}+\alpha_{12} r_{2}+\ldots+\alpha_{1 n} r_{n}=\lambda_{1} r_{1}, \\
\alpha_{21} r_{1}+\alpha_{22} r_{2}+\ldots+\alpha_{2 n} r_{n}=\lambda_{1} r_{2}, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \alpha_{n n} r_{n}=\lambda_{1} r_{n}
\end{array}
\]

имеют решение. Линейная однородная система уравнений вида (3.5) может быть написана для каждого из $n$ собственных значений $\lambda_{k}$. Мы обозначим решения этой системы, определенные с точнсстью до общего постоянного множителя, через $r_{1 k}, r_{2 k}, \ldots, r_{n k}$; тогда получим
\[
\sum_{j} \alpha_{i j} r_{j k}=\lambda_{k} r_{i k} .
\]

Эта совокупность $n$ чисел $r_{1 k}, r_{2 k}, \ldots, r_{n k}$ называется собственным вектором $\boldsymbol{r}_{\cdot k}$ матрицы $\boldsymbol{\alpha}$; собственный вектор $\boldsymbol{r}_{k}$ принадлежит собственному значению $\lambda_{k}$. Уравнение (3.5а) может быть записано в виде
\[
\boldsymbol{a} r_{\cdot k}=\lambda_{k} r_{\cdot k} .
\]

Матрица преобразует собственный вектор в вектор, отличающийся от этого собственного вектора постоянным множителем; этот множитель и есть собственное значение.

Соб́ственные векторы $\boldsymbol{r}_{.1}, \boldsymbol{r}_{.2}, \ldots, \boldsymbol{r}_{. n}$ можно объединить в матрицу $\rho$ таким образом, что $\boldsymbol{r}_{\cdot k}$ будет являться $k$-м столбцом этой матрицы:
\[
p_{i k}=\left(r_{\cdot k}\right)_{i}=r_{i k} .
\]

Следовательно, левая часть (3.5а) состоит из элементов с индексами ( $i k$ ) матрицы ар. Правая часть может быть также истолкована как элемент с индексами ( $i k$ ) некоторой матрицы, а именно матрицы $\boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{\Lambda}$, где $\boldsymbol{\Lambda}$ — диагональная матрица с диагональными элементами $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ :
\[
\Lambda_{j k}=\delta_{j k} \lambda_{k} .
\]

Тогда (3.5a) запишется в виде
\[
(\alpha \rho)_{i k}=\sum_{j} p_{i j}{ }_{j k} \lambda_{k}=(\rho \boldsymbol{\Lambda})_{i k} .
\]
Далее, $n^{2}$ уравнений (3.5а) можно кратко записать в форме
\[
\alpha p=p \Lambda \text {, }
\]

или
\[
p^{-1} \alpha \rho=\Lambda,
\]

если матрица р имеет обратную матрицу.
Преобразование подобия с помощью некоторой матрицы, столбцы которой являются $n$ собственными векторами, приводит исходную матрицу к диагональному виду; диагональные элементы являются собственными значениями этой матрицы. Две матрицы, имеющие одни и те же собственные значения, всегда могут быть преобразованы друг в друга, поскольку каждая из них может быть преобразована в одну и ту же матрицу. Соб̈ственные значения являются единственными инвариантами преобразования подобия.

Это, разумеется, верно лишь в том случае, если $\rho$ имеет обратную, т. е. если $n$ векторов $\boldsymbol{r}_{.1}, \boldsymbol{r}_{.2}, \ldots, \boldsymbol{r}_{\cdot n}$ линейно независимы. Это, вообще говоря, имеет место, и всегда справедливо, если все собственные значения различны. Тем не менее имеются исключения, как видно, например, при рассмотрении матриц
\[
\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right) \text { или }\left(\begin{array}{rr}
1 & i \\
i & -1
\end{array}\right) \text {. }
\]

Эти матрицы нельзя привести к диагональному виду каким-либо преобразованием типа преобразования подобия. С такими матрицами имеют дело в теории элементарных делителей; однако нет необходимости их рассматривать, поскольку мы всегда будем иметь дело с матрицами, которые могут быть приведены к диагональному виду (3.6a), например с унитарными и (или) эрмитовыми матрицами.

Условия коммутативности двух матриц весьма удобно рассмотреть снова с точки зрения изложенной здесь теории. Если две матрицы могут быть приведены к диагональному виду с помощью одного и того же преобразования, т. е. если они имеют одинаковые собственные векторы, они коммутируют ${ }^{1}$ ). Поскольку рассматриваемые матрицы являются диагональными, они, несомненно, коммутируют после того, как они подвергнуты преобразованию подобия; поэтому они должны коммутировать также и в своей первоначальной форме.
1) Заметим, что собственные значения могут отличаться произвольным образом.
В гл. 1 мы определили рациональную функцию магрицы
\[
\begin{aligned}
f(\boldsymbol{x})=\ldots a_{-3} \boldsymbol{\alpha}^{-3}+a_{-2} \boldsymbol{\alpha}^{-2}+a_{-1} \boldsymbol{\alpha}^{-1}+a_{0} \mathbf{1} & +a_{1} \boldsymbol{\alpha}+ \\
& +a_{2} \boldsymbol{\alpha}^{2}+a_{3} \boldsymbol{\alpha}^{3}+\ldots .
\end{aligned}
\]

Чтобы привести $f(\boldsymbol{\alpha})$ к диагональному виду, достаточно преобразовать $\boldsymbol{\alpha}$ к диагональному виду $\boldsymbol{\Lambda}=\sigma^{-1} \alpha \sigma$. Тогда, согласно теореме 10 (гл. 1),
\[
\begin{array}{l}
\sigma^{-1} f(\alpha) \sigma=\sigma^{-1}\left(\ldots a_{-2} \boldsymbol{\alpha}^{-2}+a_{-1} \boldsymbol{\alpha}^{-1}+a_{0} 1+a_{1} \boldsymbol{\alpha}+\right. \\
\left.+a_{2} \alpha^{2}+\ldots\right) \sigma=\ldots a_{-2} \mathbf{\Lambda}^{-2}+a_{-1} \mathbf{\Lambda}^{-1}+ \\
+a_{0} \mathbf{1}+a_{1} \mathbf{\Lambda}+a_{2} \mathbf{\Lambda}^{2}+\ldots=f(\mathbf{\Lambda}) \text {. } \\
\end{array}
\]

причем последняя матрица диагональна. Если $\lambda_{k}-k$-й диагональный элемент матрицы $\boldsymbol{\Lambda}=\left(\boldsymbol{\Lambda}_{l k}\right)=\left(\delta_{i k} \lambda_{k}\right)$, то $\left(\lambda_{k}\right)^{\rho}$ есть $k$ — диагональный элемент матрицы (А) $)^{p}$ и
\[
\ldots a_{-2} \lambda_{k}^{-2}+a_{-1} \lambda_{k}^{-1}+a_{0}+a_{1} \lambda_{k}+a_{2} \lambda_{k}^{2}+\ldots=f\left(\lambda_{k}\right)
\]

есть $k$-и диагональный эләмент $f(\boldsymbol{\Lambda})$.
Рациональную функцию $f(\boldsymbol{\alpha})$ матрицы $\boldsymbol{\alpha}$ можно привести к диагональному виду с помощью того же преобразования, которое приводит $\boldsymbol{\alpha}$ к диагональному виду. Диагональными элементами [сс бственными значениями матрицы $f(\boldsymbol{\alpha})$ ] являются соответствующие функции $f\left(\lambda_{1}\right), f\left(\lambda_{2}\right), \ldots, f\left(\lambda_{n}\right)$ диагональных элементов $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ матрицы $\boldsymbol{\alpha}$. Мы примем, что это правило имеет место не только для рациональных функций, но и для произвольных функций $F(\boldsymbol{\alpha})$ от матрицы $\boldsymbol{\alpha}$, и будем рассматривать его в качестве определения общей функции матриц.