Формулу (21.19) для матричных элементов тензорного оператора можно было бы переписать с помощью $3 j$-символов; однако проще вывести ее заново. Так как рассматриваемый оператор является скаляром по отношению к вращениям спиновых координат, его ранг $\omega$ по отношению к вращениям всех координат равен его рангу $p$ по отношению к вращениям обычных координат. Мы опустим все квантовые числа $N, N^{\prime}$ и т. д., которые не существенны в настоящий момент, и напишем
\[
\left(\Psi_{m}^{J}, \mathrm{~T}^{\sigma} \Psi_{m^{\prime}}^{J^{\prime}}\right)=\left(\mathrm{O}_{R} \Psi_{m}^{J}, \mathrm{O}_{R} \mathrm{~T}^{\sigma} \mathrm{O}_{R}^{-1} \mathrm{O}_{R} \Psi_{m^{\prime}}^{J^{\prime}}\right) .
\]

Обе части этого соотношения равны, так как оператор $\mathrm{O}_{R}$ является унитарным. Поскольку $\Psi_{M}^{J^{\prime}}$ и $\Psi_{M}^{J}$ принадлежат представлениям $\mathfrak{D}^{\left(J^{\prime}\right)}$ и $\mathfrak{D}^{(J)}$, а $\mathrm{T}^{\sigma}$ является тензорным оператором порядка $p$ [см. (21.16б)],
\[
\left(\Psi_{m}^{J}, T^{\sigma} \Psi_{m^{\prime}}^{J^{\prime}}\right)=\sum_{\tau} \sum_{\mu, \mu^{\prime}} \mathfrak{D}^{(J)}(R)_{\mu m}^{*} \mathfrak{D}^{(p)}\left(R^{-1}\right)_{\sigma \tau} \mathfrak{D}^{\left(J^{\prime}\right)}(R)_{\mu^{\prime} m^{\prime}}\left(\Psi_{\mu}^{J}, T^{\tau} \Psi_{\mu^{\prime}}^{J^{\prime}}\right) .
\]

В силу унитарности представления $\mathfrak{D}^{(p)}\left(R^{-1}\right)_{\sigma \tau}=\mathfrak{D}^{(p)}(R)_{\tau \sigma}^{*}$. Интеграл по всей группе слева дает множитель $\int d R=h$. Справа получаются дважды контравариантный и ковариантный, а также контравариантный и дважды ковариантный $3 j$-символы. Поэтому

где
\[
\left(\Psi_{m}^{J}, \mathrm{~T}^{\sigma} \Psi_{m^{\prime}}^{J^{\prime}}\right)=\left(J^{m}, p^{\sigma}, J_{m^{\prime}}^{\prime}\right) T_{J J^{\prime}},
\]
\[
T_{J J^{\prime}}=\sum_{\tau} \sum_{\mu \mu^{\prime}}(-1)^{2 J+2 p}\left(J_{\mu}, p_{\tau}, J^{\mu^{\prime}}\right)\left(\Psi_{\mu}^{J}, T^{\tau} \Psi_{\mu^{\prime}}^{J^{\prime}}\right)
\]

не зависит от $m, m^{\prime}$ и $\sigma$. Эта формула требует только, чтобы $J$ и $J^{\prime}$ были хорошими квантовыми числами и чтобы $T$ был неприводимым тензорным оператором ранга $\omega=p$ по отношению к вращениям всех координат. Величина $T_{J J^{\prime}}$ в (24.27a) представляет произведение $(-1)^{J-p-J^{\prime}} \sqrt{2 J^{\prime}+1}$ на соответствующую величину из (21.19); в остальном эти два соотношения полностью эквивалентны. Заметим, что ковариантная компонента первого сомножителя скалярного произведения играет роль контравариантной компоненты. Причина этого заключается в том, что при вычислении скалярного произведения нужно взять величину, комплексносопряженную первому множителю.

Предположим теперь, что имеет место связь Рессела-Саундерса и что $\Psi_{m}^{J}$ и $\Psi_{m^{\prime}}^{J^{\prime}}$ могут быть выражены с помощью (24.15б) через функции $\mathbb{E}_{\gamma \mu}^{S L}$ и $\mathbb{G}_{\gamma^{\prime} \mu^{\prime}}^{S^{\prime} L^{\prime}}$, имеющие соответствующие квантовые числа для спина и орбитального момента. Так как $T^{\sigma}$ является бесспиновым оператором или по крайней мере скаляром относительно вращений спиновых координат, матричный элемент (24.27) не обращается в нуль только при $S=\mathcal{S}^{\prime}$. Поэтому положим $S=S^{\prime}$ и, в силу (24.15б), получим
\[
\begin{aligned}
\left(\Psi_{m}^{J}, T^{\sigma} \Psi_{m^{\prime}}^{J^{\prime}}\right) & =\sqrt{2 J+1} \sqrt{2 J^{\prime}+1} \times \\
& \times\left(J_{m}, S^{
u}, L^{\mu}\right)\left(J_{m^{\prime}}^{\prime}, S^{
u^{\prime}}, L^{\prime \mu^{\prime}}\right)\left(\Xi_{\gamma \mu}^{S L}, T^{\sigma} \Xi_{
u^{\prime} \mu^{\prime}}^{S L^{\prime}}\right) .
\end{aligned}
\]

Скалярное произведение в правой части не зависит от $J$ и $J^{\prime}$, так что это выражение позволит нам сравнивать не только матричные элементы между состояниями с определенными $J$ и $J^{\prime}$, но также и матричные элементы между всеми состояниями двух мультиплетов. Рассматриваемые состояния отличаются не только магнитными квантовыми числами $m$ и $m^{\prime}$, но также и значениями полного момента количества движения; $J$ может принимать все значения от $|S-L|$ до $S+L$, а $J^{\prime}-$ все значения от $\left|S-L^{\prime}\right|$ до $S+L^{\prime}$.

Первый $3 j$-символ в (24.28) происходит от первого множителя скалярного произведения. Чтобы придать этому соотношению „релятивистски инвариантный вид“, превратим ковариантные индексы в контравариантные, и наоборот. Вычисление, сходное с вычислением, приводящим к (24.18a), показывает, что
\[
\left(J_{m}, S^{
u}, L^{\mu}\right)=(-1)^{2 J}\left(J^{m}, S_{v}, L_{\mu}\right) .
\]
[Вместо (-1) ${ }^{2 J}$ можно было бы написать (-1) ${ }^{2 S+2 L}$, причем в показатель входят либо ковариантные, либо контравариантные векторы.] Поскольку $\mathrm{T}^{\sigma}$ также является неприводимым тензором ранга $p$ относительно вращений обычных координат, к нему применимо и соотношение (24.27a). Запишем его в виде
\[
\left(\Xi_{\gamma \mu}^{S L}, T^{\sigma} \Xi_{\gamma^{\prime} \mu^{\prime}}^{S L^{\prime}}\right)=\delta_{\mathrm{yv}^{\prime}}\left(L^{\mu}, p^{\sigma}, L_{\mu^{\prime}}^{\prime}\right) T_{S L, S L^{\prime}} .
\]
$T_{S L, S L}$ не только не зависит от $\mu, \sigma, \mu^{\prime}$, как и раньше, но также не зависит от $
u$, поскольку $T^{\sigma}$ является скаляром по отношению к спиновым переменным. Комбинируя (24.27a) и (24.29) с (24.28), получаем
\[
\begin{array}{l}
\left(J^{m}, p^{\sigma}, J_{m^{\prime}}^{\prime}\right) T_{J J^{\prime}}= \\
=(-1)^{2 J} \sqrt{2 J+1} \sqrt{2 J^{\prime}+1}\left(J^{m}, S_{v}, L_{\mu^{\prime}}\right)\left(J_{m^{\prime}}^{\prime}, S^{
u}, L^{\prime \mu^{\prime}}\right) \times \\
\quad \times\left(L^{\mu}, p^{\sigma}, L_{\mu^{\prime}}^{\prime}\right) T_{S L, S L^{\prime} .}
\end{array}
\]

Это равенство должно быть тождеством по $m, m^{\prime}$, б. В самом деле, ясно, что участвующим здесь тождеством является (24.24б), и после приведения знаков находим
\[
T_{J J^{\prime}}=(-1)^{2 J-L+S+J^{\prime}+p}\left\{\begin{array}{ccc}
J & p & J^{\prime} \\
L^{\prime} & S & L
\end{array}\right\} \sqrt{2 J+1} \sqrt{2 J^{\prime}+1} T_{S L, S L^{\prime}} .
\]

Эта общая формула применима в случае связи Рессела — Саундерса и дает отношения матричных элементов между всеми состояниями двух мультиплетов для оператора, который является неприводимым тензором ранга $p$ относительно обычных координат, но инвариантен при вращениях спинов. При $p=1$ она содержит формулы Хёнля — Кронига. Аналогичное соотношение с заменой ролей $L$ и $S$ применимо к оператору, который инвариантен относительно вращений обычных координат, но преобразуется как неприводимый тензор ранга $q$ при вращениях спиновых координат.
Взаимодействие между спином и внешним магнитным полем является таким оператором (с $q=1$ ), а множитель в формуле Ланде (23.24) является, в сущности, коэффициентом Рака́, или $6 j$-символом. Мы не будем дальше рассматривать этот вопрос, так как наиболее важные результаты уже были получены в предыдущей главе путем прямых вычислений.