Векторы $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}$ называются линейно независимыми, если не существует соотношений вида
\[
a_{1} \boldsymbol{v}_{1}+a_{2} \boldsymbol{v}_{2}+\ldots+a_{k} \boldsymbol{v}_{k}=0,
\]

кроме случая, когда все $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}$ равны нулю. Таким образом, ни один из векторов линейно независимой системы не может быть выражен в виде линейной комбинации других векторов системы. В том случае, когда один из векторов, например $\boldsymbol{v}_{1}$, является нулевым вектором, система не является более линейно независимой, поскольку соотношение
\[
1 \cdot \boldsymbol{v}_{1}+0 \cdot \boldsymbol{v}_{2}+\ldots+0 \cdot \boldsymbol{v}_{k}=0
\]

наверняка удовлетворяется вопреки условию линейной независимости.

В качестве примера линейной зависимости рассмотрим четырехмерные векторы $\boldsymbol{v}_{1}=(1,2,-1,3), \boldsymbol{v}_{2}=(0,-2,1,-1)$ и $\boldsymbol{v}_{3}=(2,2,-1,5)$. Они линейно зависимы, так как
\[
2 \boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{3}=0 .
\]

С другой стороны, $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ линейно независимы.
Если $k$ векторов $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}$ линейно зависимы, то среди них могут быть $k^{\prime}$ векторов ( $k^{\prime}<k$ ), которые линейно независимы. Более того, все $k$ векторов могут быть выражены в виде линейных комбинаций этих $k^{\prime}$ векторов.

Отыскивая $k^{\prime}$ линейно независимых векторов, мы исключаем все нулевые векторы, поскольку, как мы уже видели, нулевой
1) M. Born, P. Jordan, Zs. f. Phys., 34, 858 (1925).
2) Например, ассоциативный закон умножения (теорема 3) используется неявно три раза при выводе коммутативности обратных матриц (теорема 6). Читателю предлагается повторить этот вывод с выписыванием всех скобок.
вектор никогда не может входить в систему линейно независимых векторов. Затем мы перебираем поочередно остальные векторы, отбрасывая все те, которые могут быть выражены в виде линеиных комбинаций уже отобранных векторов. Следовательно, выбранные таким путем $k^{\prime}$ векторов будут линейно независимыми, так как если ни один из них не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных, между ними не может существовать соотношение типа (1.30). Кроме того, каждый из отброшенных векторов (и таким образом все $k$ первоначальных векторов) может быть выражен через них, поскольку это и было условием отбрасывания.

Линейная зависимость или независимость $k$ векторов $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}$, $\ldots, \boldsymbol{v}_{k}$ является также свойством векторов $\alpha \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{v}_{k}$, образуемых из них путем собственного преобразования $\boldsymbol{\alpha}$. Это значит, что из

следует, что
\[
\begin{array}{c}
a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+\ldots+a_{k} v_{k}=0 \\
a_{1} \alpha v_{1}+a_{2} \alpha v_{2}+\ldots+a_{k} \alpha v_{k}=0
\end{array}
\]

Равенство (1.31a) получается применением преобразования $\boldsymbol{\alpha}$ к обеим частям (1.31) и использованием его линейности. Наоборот, из (1.31a) следует (1.31). Очевидно также, что всякое линеиное соотношение между $\boldsymbol{\eta}_{i}$ имеет место и для $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{i}}$, и наоборот.

Никакие более чем $n n$-мерных векторов не могут быть линейно независимыми. Чтобы показать это, заметим, что соотношение
\[
a_{1} v_{1}+\ldots+a_{n+1} \boldsymbol{v}_{n+1}=0,
\]

из которого следует линейная зависимость, эквивалентно $n$ линейным однородным уравнениям для компонент этих векторов:
\[
\begin{array}{l}
a_{1}\left(\boldsymbol{v}_{1}\right)_{1}+\ldots+a_{n}\left(\boldsymbol{v}_{n}\right)_{1}+a_{n+1}\left(\boldsymbol{v}_{n+1}\right)_{1}=0 . \\
\dot{a}_{1}\left(\dot{v}_{1}\right)_{n}+\cdots+\dot{a}_{n}\left(\dot{v}_{n}\right)_{n}+\dot{a}_{n+1}\left(\dot{v}_{n+1}\right)_{n}=\dot{0} . \\
\end{array}
\]

Если коэффициенты $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, a_{n+1}$ в этих уравнениях рассматриваются как неизвестные, то из того обстоятельства, что $n$ линейных однородных уравнений с $n+1$ неизвестными всегда имеют нетривиальное решение, сразу следует, что соотношение (1.32) всегда выполняется. Таким образом, $n+1 n$-мерных векторов всегда линеино зависимы.

Непосредственным следствием вышеприведенной теоремы является утверждение, что любые $n$ линейно независимых $n$-мерных векторов образуют полную систему векторов; иначе говоря, произвольный $n$-мерный вектор $\boldsymbol{w}$ может быть выражен в виде их линейной комбинации. В самом деле, теорема утверждает, что между $n$ векторами и произвольным вектором имеет место некоторое соотношение
\[
a_{1} v_{1}+\ldots+a_{n} \boldsymbol{v}_{n}+b w=0 .
\]

Кроме того, если $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n}$ линейно независимы, коэффициент $b$ не может быть равен нулю. Таким образом, всякий вектор $w$ может быть записан в виде линеиной комбинации векторов, и, следовательно, последние образуют полную систему векторов.

Строка или столбец $n$-мерной матрицы могут рассматриваться как вектор. Например, компонентами вектора $\boldsymbol{\alpha}_{\cdot}$, образующего $k$-и столбец, являются $\alpha_{1 k}, \alpha_{2 k}, \ldots, \alpha_{n k}$, а компонентами вектора, образующего $i$-ю строку, будут $\alpha_{i 1}, \alpha_{i 2}, \ldots, \alpha_{i n}$. Нетривиальное линейное соотношение между векторами $\boldsymbol{\alpha}_{\cdot 1}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{\cdot n}$, образующими столбцы,
\[
a_{1} \boldsymbol{\alpha}_{\cdot 1}+\ldots+a_{n} \boldsymbol{\alpha}_{\cdot n}=0
\]

дается просто ненулевым решением системы линейных однородных уравнений для $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ :
\[
\begin{array}{l}
a_{1} \alpha_{11}+\ldots+a_{n} \alpha_{1 n}=0 \\
\cdot a_{1} \alpha_{n 1}+\cdots \cdot \cdot+a_{n} \alpha_{n n}=0 .
\end{array}
\]

Обращение в нуль определителя $\left|\alpha_{i k}\right|$ является необходимым и достаточным условием существования такого решения. Поэтому, если этот определитель не обращается в нуль $\left(\left|\alpha_{i k}\right|
eq 0\right)$, векторы $\boldsymbol{\alpha}_{.1}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{. n}$ линейно независимы и образуют полную систему векторов. Наоборот, если векторы $\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n}$ линеино независимы, матрица, образуемая при использовании их в качестве столбцов, имеет отличный от нуля определитель. Разумеется, это рассуждение применимо в равной степени к векторам, образующим строки матрицы.