Чтобы доказать соотношение (17.26), будем исходить из тождества
\[
\sum_{x}\left(\begin{array}{l}
a \\
x
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
b \\
c-x
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a+b \\
c
\end{array}\right) .
\]

Здесь в левую часть входит коэффициент при $x^{\text {в }}(1+x)^{a}$, умноженный на коэффициент при $x^{c-x}$ в $(1+x)^{b}$ и просуммированный по всем $x$, т. е. коэффициент при $x^{c}$ в $(1+x)^{a}(1+x)^{b}=$ $=(1+x)^{a+b}$; это и есть выражение в правой части (17.29).
Пусть $a$-целое положительное число; $b$ может быть положительным или отрицательным. Заметим также, что при $u<0$
\[
\begin{array}{l}
\left(\begin{array}{l}
u \\
v
\end{array}\right)=\frac{u(u-1) \ldots(u-v+2)(u-v+1)}{1 \cdot 2 \ldots(v-1) \cdot v}= \\
=(-1)^{v} \frac{(v-u-1)(v-u-2) \ldots(1-u)(-u)}{1 \cdot 2 \ldots(v-1) \cdot v}=(-1)^{v}\left(\begin{array}{c}
v-u-1 \\
v
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Отождествляя $(L+l-\bar{l}-x)$ в (17.26) с $v$ и используя (17.30), получаем
\[
\begin{array}{c}
\sum_{\mathrm{x}}(-1)^{\mathrm{x}}\left(\begin{array}{c}
L-l+\bar{l} \\
\mathrm{x}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
L+\bar{l}+l-\mathrm{x} \\
L+l-\bar{l}-\mathrm{x}
\end{array}\right)(2 \bar{l}) != \\
=\sum_{\mathrm{x}}(-1)^{L+l-\bar{l}}(2 \bar{l}) !\left(\begin{array}{c}
L-l+\bar{l} \\
x
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
-2 \bar{l}-1 \\
L+l-\bar{l}-\mathrm{x}
\end{array}\right)= \\
=(-1)^{L+l-\bar{l}}(2 \bar{l}) !\left(\begin{array}{c}
L-l-\bar{l}-\overline{1} \\
L+l-\bar{l}
\end{array}\right)=(2 \bar{l}) !\left(\begin{array}{c}
2 l \\
L+l-\bar{l}
\end{array}\right),
\end{array}
\]

что и доказывает равенство (17.26). При выводе первого из выражений последней строки было использовано тождество (17.29), а при приведении к окончательному виду – равенство (17.30).

$\begin{array}{lllll}\Gamma & \text { а } & \text { в } & \text { а } & 18\end{array}$