Условия вещественности неприводимых представлений играют существенную роль в дальненшем анализе. Эти результаты были получены впервые двумя основателями теории представленийФробениусом и Шуром ${ }^{1}$ ), и мы воспользуемся ими также в гл. 26.

В предыдущих главах были описаны различные способы получения новых представлений из заданного представления или из пары представлений. К ним будет добавлен новый, хотя и вполне очевидный путь: переход к комплексному сопряжению. Если $\mathrm{D}(R)$ образуют представление группы, то и (D $(R))^{*}$ образует представление, т. е. представление образуют матрицы, элементы которых являются комплексно-сопряженными элементам $\mathrm{D}(R)$. Ясно, что из соотношения $\mathrm{D}(R) \mathrm{D}(S)=\mathrm{D}(R S)$ следует $\mathrm{D}(R)^{*} \mathrm{D}(S)^{*}=\mathrm{D}(R S)^{*}$. Далее, если представление $\mathbf{D}(R)$ неприводимо, то это же относится и к комплексно-сопряженному представлению $\mathbf{D}(R)^{*}$. Если преобразование с матрицей $\mathbf{S}$ преобразует все $\mathbf{D}(R)$ к приведенному виду, показанному на стр. 105 , то $\mathbf{S}^{*}$ будет приводить $\mathbf{D}(R)^{*}$ к аналогичному виду.

Комплексное сопряжение приводит к важному различию между неприводимыми представлениями: представление $\mathbf{D}(R)^{*}$ может быть либо эквивалентным, либо неэквивалентным представлению $\mathbf{D}(R)$. Так как характер представления $\mathbf{D}(R)^{*}$ является комплексно-сопряженным характеру $\chi(R)$ представления $\mathrm{D}(R)$ и так как два представления эквивалентны, если совпадают их характеры (см. стр. 106), то представление $\mathrm{D}(R)$ будет эквивалентным комплексно-сопряженному представлению $\mathrm{D}(R)^{*}$, если его характер веществен, т. е. если все числа $\chi(R)$ вещественны. В противном случае $\mathbf{D}(R)$ и $\mathbf{D}(R)^{*}$ будут неэквивалентными.

Формулы (15.26) и (15.28) показывают, что все неприводимые представления трехмерной группы вращений, а также двумерной унимодулярной унитарной группы, имеют вещественные характеры. То же самое относится ко всем группам, в которых каждый элемент находится в том же классе, что и обратный ему. В этом легче всего убедиться, если рассматривать представления в унитарном виде. Тогда из соотношения
\[
\mathbf{D}\left(R^{-1}\right)=\mathbf{D}(R)^{\dagger}
\]

следует, что характеры матриц для $R$ и $R^{-1}$ являются комплексно-сопряженными. Если $R$ и $R^{-1}$ принадлежат одному и тому же классу, характеры $R$ и $R^{-1}$ также равны. Следовательно, они вещественны. Такое положение имеет место в случае трехмерной группы вращений, двумерной унимодулярной унитарной группы, а также в случае группы всех двумерных вещественных ортогональных матриц. Оно не относится к группе двумерных чистых вращений, и эта последняя имеет представления как с вещественными, так и с комплексными характерами (см. гл. 14).
1) G. Frobenius, I. Schur, Berl. Ber., 1906, S. 186.
Если D $(R)$ унитарно и имеет вещественный характер, то существует такая унитарная матрица $\mathbf{C}$, которая преобразует $\mathbf{D}(R)^{*}$ в $\mathbf{D}(R)$. Тогда
\[
\mathrm{CD}(R)=\mathrm{D}(R)^{*} \mathrm{C} .
\]

Если представление $\mathbf{D}(R)$ неприводимо, то $\mathbf{C}$ в (24.3) определяется однозначно, с точностью до постоянного множителя. Кроме того, матрица С либо симметрична, либо антисимметрична. Чтобы доказать эту теорему, возьмем соотношение, комплексно-сопряженное соотношению (24.3), и умножим его на С слева. Тогда
\[
\mathrm{CC}^{*} \mathrm{D}(R)^{*}=\mathrm{CD}(R) \mathrm{C}^{*}=\mathrm{D}(R)^{*} \mathrm{CC}^{*} .
\]

Последнее выражение получается, если снова использовать (24.3). Если представление $\mathrm{D}(R)^{*}$ неприводимо, то матрица $\mathrm{CC}^{*}$, которая коммутирует с ним, должна быть кратной единичной матрице: $\mathbf{C C}^{*}=c \mathbf{1}$. Кроме того, поскольку $\mathbf{C}$ унитарна, $\mathbf{C}^{T} \mathbf{C}^{*}=1$; отсюда вытекает, что $\mathbf{C}=c \mathbf{C}^{T}$. Транспонирование этого соотношения дает $\mathbf{C}^{T}=c \mathbf{C}$, так что $\mathbf{C}=c^{2} \mathbf{C}, c= \pm 1$. Это дает
\[
\mathbf{C}= \pm \mathrm{C}^{T} \text {. }
\]

Далее, легко убедиться в том, что если C симметрична для представления $\mathrm{D}(R)$, то она будет симметрична и для эквивалентного представления $\mathbf{S}^{-1} \mathbf{D}(R) \mathbf{S}$. Аналогичное утверждение относится и к тому случаю, когда C антисимметрична, так что возможность, следующая из (24.3б), дает классификацию неприводимых представлений с вещественными характерами на представления, для которых $\mathbf{C}=\mathbf{C}^{T}$, и представления, для которых $\mathbf{C}=-\mathbf{C}^{T}$.

Резюмируем полученные выше результаты. Ecли D $(R)$ ecть унитарное неприводимое представление, то таким же будет представление $\mathrm{D}(R)^{*}$. Представления $\mathrm{D}(R)$ и $\mathrm{D}(R)^{*}$ неэквивалентны, если $\chi(R)$ комплексны для любых $R$. Неприводимое представление этого рода будет называться комплексным. Ecлu $\chi(R)$ вещественны, то $\mathrm{D}(R)$ и $\mathrm{D}(R)^{*}$ эквивалентны. Унитарная матрица $\mathrm{C}$, которая преобразует одно из них в другое, либо симметрична, либо антисимметрична. В первом случае представление будет называться потенциально-вещественным, а во втором случае – псевдовещественным.

Основание для такой терминологии заключается в том, что D $(R)$ фактически можно придать вещественный вид, если матрица C в соотношении (24.3) симметрична. Это следует из следующей леммы ${ }^{1}$ ). Если матрица $\mathbf{C}$ одновременно симметриина
1) Эта лемма играет важную роль в теории матрицы рассеяния.
и унитарна, то можно считать ее собственные векторы вещественными. Из
\[
\mathrm{C} v=\omega \boldsymbol{v}
\]

при умножении слева на $\mathbf{C}^{-1}=\mathbf{C}^{\dagger}=\mathbf{C}^{*}$ следует, что $\boldsymbol{v}=\omega \mathbf{C}^{*} \boldsymbol{v}$. Поскольку модуль собственного значения унитарной матрицы равен 1 , комплексное сопряжение последнего соотношения дает
\[
\mathbf{C v}^{*}=\omega \boldsymbol{v}^{*} .
\]

Если $\boldsymbol{v}$ и $\boldsymbol{v}^{*}$ различны, то они могут быть заменены их вещественной $\boldsymbol{u}$ мнимой частями. Если $\boldsymbol{v}$ и $\boldsymbol{v}^{*}$ различаются лишь постоянным множителем, они могут быть заменены их вещественной или мнимой частями. Отсюда вытекает, что симметричная унитарная матрица $\mathbf{C}$ может быть записана в виде
\[
\mathbf{C}=\mathbf{r}^{-1} \omega \mathbf{r},
\]

где $\mathbf{r}$ – вещественная ортогональная матрица, $\mathbf{r}^{\prime} \mathbf{r}=1$, а $\omega$ – диагональная матрица. Запишем $\omega$ в виде квадрата другой диагональной матрицы $\omega_{1}$; модуль диагональных элементов матрицы $\omega_{1}$ равен 1, причем $\omega_{1}^{-1}=\omega_{1}^{*}$. Следовательно, (24.3) принимает вид
\[
\mathbf{r}^{-1} \omega_{1}^{2} \mathrm{rD}(R)=\mathrm{D}(R)^{*} \mathbf{r}^{-1} \omega_{1}^{2} \mathbf{r}
\]

или, если умножить это равенство на $\omega_{1}^{-1} \mathbf{r}=\omega_{1}^{*} \mathbf{r}$ слева и на $\mathbf{r}^{-1} \omega_{1}^{-1}=\mathbf{r}^{-1} \omega_{1}^{*}$ справа,
\[
\omega_{1} \mathrm{rD}(R) \mathrm{r}^{-1} \omega_{1}^{*}=\omega_{1}^{*} \mathrm{rD}(R)^{*} \mathbf{r}^{-1} \omega_{1} .
\]

Левая и правая части последнего равенства являются комплексносопряженными друг другу; следовательно, обе части равенства вещественны. Отсюда следует, что $\mathrm{D}(R)$ становится вещественным, если его подвергнуть преобразованию $\mathbf{r}^{-1} \omega_{1}^{*}=\left(\omega_{1} \mathbf{r}\right)^{-1}$. Обратно, если $\mathrm{D}(R)$ может быть преобразовано к вещественному представлению, матрица C должна быть симметричной. Ясно, что C симметрична (а именно, является постоянной матрицей), если $\mathbf{D}(R)$ уже вещественно. Поэтому она симметрична для всякой другой формы этого представления. Далее, отсюда следует, что если С в (24.3) антисимметрична, то $\mathrm{D}(R)$ не может быть сделано вещественным с помощью преобразования подобия.

Определим, наконец, матрицу $\mathbf{C}^{(j)}$, которая преобразует неприводимое представление $\mathfrak{D}^{(j)}$ трехмерной группы вращений в комплексно-сопряженное представление $\mathfrak{D}^{(j)^{*}}$. Матрицы $\mathbf{C}^{(j)}$ играют также важную роль в квантовой теории поля. Так как соотношение (24.3) должно выполняться для всякого вращения, применим его прежде всего к вращению на угол $\alpha$ вокруг оси $Z$. В этом
$\begin{array}{lll}\text { Глав } & 24\end{array}$
случае $\mathfrak{D}^{(j)}$ является диагональной матрицей и $n m$-элементы левои и правой частей (24.3) равны
\[
C_{n m}^{(j)} e^{i m \alpha}=e^{-i n \alpha} C_{n m}^{(l)} .
\]

Так как это равенство должно выполняться для любого $\alpha$, матричный элемент $C_{n m}^{(j)}$ обращается в нуль во всех случаях, кроме случая $n+m=0$,
\[
C_{n m}^{(j)}=c_{m}^{(j)} \delta_{n,-m} .
\]

Применим затем (24.3) к произвольному элементу группы, но выпишем только ( $-j, \mu)$-элемент (24.3). Соответствующие $\mathfrak{D}^{(j)}$ особенно просты. Имеем
\[
c\}^{(j)} \mathfrak{D}^{(j)}(\{\alpha \beta \gamma\})_{j \mu}=\mathfrak{D}^{(j)}(\{\alpha \beta \gamma\})_{-j-\mu}^{*} c_{\mu}^{(j)},
\]

или, в силу (15.27a) и (15.27б),
$c{ }^{(j)} \sqrt{(j-\mu)} e^{i j \alpha} \cos ^{j+\mu} \frac{1}{2} \beta \sin ^{j-\mu} \frac{1}{2} \beta e^{i \mu \gamma}=$
\[
=(-1)^{j-\mu} \sqrt{\left(\begin{array}{c}
2 j \\
j+\mu
\end{array}\right)} e^{i j \alpha} \cos ^{j+\mu} \frac{1}{2} \beta \sin ^{j-\mu} \frac{1}{2} \beta e^{i \mu \psi} c_{\mu}^{(j)},
\]

откуда
\[
c_{\mu}^{(j)}=c_{j}^{(j)}(-1)^{j-\mu},
\]

так как $j-\mu$ всегда является целым числом ${ }^{1}$ ). Поскольку $\mathbf{C}$ определяется из соотношения (24.3) только с точностью до множителя, выберем $c^{(j)}=1$; тогда из (24.5а) получим
\[
C_{n m}^{(j)}=(-1)^{j-m} \delta_{n,-m}=(-1)^{j+n} \delta_{n,-m} .
\]

Все элементы матрицы $\mathbf{C}^{(j)}$ равны нулю, кроме тех, которые лежат на косой диагонали. Эти элементы равны поочередно +1 и -1 , начиная с +1 в верхнем правом углу и кончая в нижнем левом углу числом +1 , если $j$-целое число, и – 1 , если $j$ – полуцелое:
\[
\mathbf{C}^{(j)}=\left(\begin{array}{rrrrr}
0 & \ldots & 0 & 0 & 1 \\
0 & \ldots & 0 & -1 & 0 \\
0 & \ldots & 1 & 0 & 0 \\
. & \ldots & . & . & . \\
. & \ldots & . & . & . \\
. & \ldots & . & . & .
\end{array}\right) .
\]

Поэтому С симметрична для целых $j$ и антисимметрична для полуцелых $j$; первые из этих представлений потенциально-веще-
1) В настоящей книге все показатели основания (-1) являются целыми числами.
ственны, а последние – псевдовещественны. Мы замечаем также, что прямое произведение двух потенциально-вещественных представлений или двух псевдовещественных представлений содержит только потенциально-вещественные неприводимые компоненты. Неприводимые части прямого произведения потенциально-вещественного представления и псевдовещественного представления все псевдовещественны ${ }^{1}$ ). То обстоятельство, что представления $\mathfrak{D}^{(j)}$ с целыми $j$ могут быть приведены к вещественному виду, можно было бы усмотреть из того факта, что мы могли бы использовать в (15.5) вещественные линейные комбинации $Y_{m}^{l}+Y_{-m}^{l}$ и $i\left(Y_{m}^{l}-Y_{-m}^{l}\right)$ сферических функций. Соответствующие $\mathfrak{D}^{l}$ имели бы вещественный вид. Если в соотношение (24.3) подставить явное выражение матрицы $\mathbf{C}$, оно принимает вид
\[
\mathfrak{D}^{(j)}(R)_{m^{\prime} m}^{*}=(-1)^{m-m^{\prime}} \mathfrak{D}^{(j)}(R)_{-m^{\prime},-m} ;
\]

это может быть показано также непосредственно. Естественно, что вид $\mathbf{C}^{(j)}$ зависит от того, в какой форме взяты $\mathfrak{D}^{(j)}$, но симметричность или антисимметричность их не могут измениться.