Свойства $6 j$-символов представляют значительный принципиальный интерес. Практическая их польза зависит от числа конкретных задач, которые они упрощают, от значения этих задач и от простоты пользования этими символами. Таблицы $6 j$-символов, очевидно, более громоздки, чем большинство математических таблиц, поскольку они зависят от шести переменных. В этом отношении они более сложны, чем даже коэффициенты векторного сложения, которые зависят по существу только от пяти переменных. Задача настоящего раздела приводит к понятиям, которые часто называют $9 j$-символами и которые зависят от девяти переменных, причем предшествующие замечания относятся к ним в еще большей ст( пени ${ }^{1}$ ).

Рассмотрим теперь двусторонний тензорный оператор $\mathrm{T}_{q p}^{\rho \sigma}$ или, вернее, как уже указано в (24.1), неприводимый тензор ${ }^{2}$ )
\[
\mathrm{T}_{\omega}^{\tau}=\left(\omega^{\tau}, q_{\rho}, p_{\sigma}\right) \mathrm{T}_{q p}^{\rho \sigma},
\]

который преобразуется согласно (24.1а) при одновременных вращениях спиновых и обычных координат. Предположив связь Рессела-Саундерса, выразим $\Psi_{m}^{J}$ и $\Psi_{m^{\prime}}^{J^{\prime}}$ через соответствующие $\Xi$ с помощью (24.15б) и, пользуясь сокращенными обозначениями, получаем
\[
\begin{aligned}
\left(\Psi_{m}^{J}, \mathrm{~T}_{\omega}^{\tau} \Psi_{m^{\prime}}^{J^{\prime}}\right) & =\sqrt{2 J+1} \sqrt{2 J^{\prime}+1} \times \\
& \times\left(J_{m} S^{*} L^{*}\right)\left(\omega^{\tau} q_{. p .}\right)\left(J_{m}^{\prime} S^{\prime \prime} L^{\prime \cdot}\right)\left(\Xi_{. .}^{S L}, \mathrm{~T}_{q p}{ }^{*} \Xi_{. .}^{S^{\prime} L^{\prime}}\right) .
\end{aligned}
\]

Поскольку мы не определили контравариантных компонент волновых функций, все их индексы являются нижними. Последний матричный элемент может быть записан в виде
\[
\left(\Xi_{\gamma \mu}^{S L}, T_{q p}^{\rho \sigma} \Xi_{
u^{\prime} \mu^{\prime}}^{S^{\prime} L^{\prime}}\right)=\left(S^{
u}, q^{\rho}, S_{
u^{\prime}}^{\prime}\right)\left(L^{\mu}, p^{\sigma}, L_{\mu^{\prime}}^{\prime}\right) T_{S L, S^{\prime} L^{\prime}},
\]
1) См. K. Smith, J. W. Stevenson, Argonne National Laboratory Report 5776.
$\left.{ }^{2}\right)$ Заметим, что оператор (24.31) отличается от оператора (24.1) множителем $(-1)^{q-p-\omega} \sqrt{2 \omega+1}$, который входит в $(24.16)$.
что аналогично (24.27a) или (24.29). Напишем также
\[
\left(\Psi_{m}^{J}, \mathrm{~T}_{\omega}^{\tau} \Psi_{m^{\prime}}^{J^{\prime}}\right)=\left(J^{m}, \omega^{\tau}, J_{m^{\prime}}^{\prime}\right) T_{J J^{\prime}} .
\]

Это соотношение по-прежнему справедливо, так как оно опирается только на предположение, что $J$ и $J^{\prime}$ являются хорошими квантовыми числами. Мы хотим снова выразить $T_{J J^{\prime}}$ через $T_{S L, S^{\prime} L^{\prime} \text {, }}$, а также показать, что правые части (24.32) и (24.32б) одинаковым образом зависят от $m, m^{\prime}$ и $\tau$. Чтобы получить \”релятивистски инвариантный“ вид соотношения, отождествляющего (24.32) с (24.32б), следует изменить положение всех индексов первого $3 j$-символа в (24.32). Это всегда следует делать по отношению к символам, происходящим от первого множителя скалярного произведения; в данном случае это вводит множитель (-1)2J. Мы получаем
\[
\begin{aligned}
\left(J, \omega, J^{\prime}\right) T_{J J^{\prime}}= & (-1)^{2 J} \sqrt{2 J+1} \sqrt{2 J^{\prime}+1}(J S . L .)(\omega q . p .) \times \\
& \times\left(J^{\prime} S^{\prime} L^{\prime \cdot}\right)\left(S^{*} q^{\cdot} S_{.}^{\prime}\right)\left(L^{\prime} p^{\cdot} L_{*}^{\prime}\right) T_{S L, S^{\prime} L^{\prime} \cdot}
\end{aligned}
\]

Отношение суммы произведений пяти $3 j$-символов в правой части к $3 j$-символу в левой части есть в сущности $9 j$-символ:
\[
\left\{\begin{array}{ccc}
J & S & L \\
\omega & q & p \\
J^{\prime} & S^{\prime} & L^{\prime}
\end{array}\right\}
\]
$9 j$-символ не обращается в нуль только в том случае, когда векторы каждой строки и каждого столбца образуют векторные треугольники. Мы не будем подробно обсуждать определение и свойства $9 j$-символов. Покажем лишь, как выражение в правой части (24.33) может быть сведено с помощью $6 j$-символов к одному $3 j$-символу. Тот же прием может применяться ко всем выражениям, которые могут приводить к инвариантным соотношениям с отдельными $3 j$-символами.

Произведение первого и последнего $3 j$-символов в правой части (24.33) имеет вид произведения, входящего в (24.24a), за исключением циклической перестановки $j$, которая может быть компенсирована с помощью (24.10a). Поэтому
\[
\left(p L^{\prime} L^{*}\right)(J S L .)=(-1)^{2 J} \sum_{j}(2 j+1)\left\{\begin{array}{lll}
p & S & j \\
J & L^{\prime} & L
\end{array}\right\}\left(p S j^{*}\right)\left(J L^{\prime} j .\right) \text {. }
\]

Мы замечаем, что второй $3 j$-символ в правой части (24.33) содержит $p$, четвертый содержит $S$ и оба они содержат $q$. Следовательно, $p$ и $S$ могут быть переведены в один $3 j$-символ с помощью коэффициента Рака́:
\[
\left(S^{\prime} S q^{*}\right)\left(p \omega q_{.}\right)=(-1)^{2 p} \sum_{j}(2 j+1)\left\{\begin{array}{lll}
S^{\prime} & \omega & j \\
p & S & q
\end{array}\right\}\left(S^{\prime} \omega j^{*}\right)(p S j) .
\]

Произведение двух последних соотношений, просуммированное должным образом по индексам, соответствующим $p$ и $\mathcal{S}$, может быть упрощено с помощью соотношений ортогональности (24.25):
\[
\begin{array}{c}
\left(p^{*} L^{\prime} L^{*}\right)\left(J S L^{*}\right)\left(S^{\prime} S . q^{*}\right)(p . \omega q .)= \\
=(-1)^{2 J+2 p} \sum_{j}(2 j+1)\left\{\begin{array}{ccc}
p & S & j \\
J & L^{\prime} & L
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{lll}
S^{\prime} & \omega & j \\
p & S & q
\end{array}\right\}\left(J L^{\prime} j .\right)\left(S^{\prime} \omega j^{*}\right) .
\end{array}
\]

Чтобы отождествить это выражение с правой частью (24.33), следует изменить положение индексов, соответствуюших $S$. Это вводит лишь множитель $(-1)^{2 S}$. После этого умножение на $\left(J^{\prime} S^{\prime} L^{\prime}\right)=$ $=\left(S^{\prime} L^{\prime} J^{\prime}\right)$ и соответствующая свертка по индексам величин $S^{\prime}$ и $L^{\prime}$ дает для произведения пяти $3 j$-символов в (24.33) выражение
\[
(-1)^{2 J+2 p+2 S} \sum_{j}(2 j+1)\left\{\begin{array}{lll}
p & S & j \\
J & L^{\prime} & L
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{lll}
S^{\prime} & \omega & j \\
p & S & q
\end{array}\right\}\left(J L_{.}^{\prime} j .\right)\left(S_{.}^{\prime} \omega j^{\prime}\right)\left(S^{\prime} \cdot L^{\prime} \cdot J^{\prime}\right) .
\]

Оно имеет теперь вид (24.246) и равно
\[
(-1)^{2 J+2 \omega} \sum_{j}(-1)^{2 j}(2 j+1)\left\{\begin{array}{lll}
p & S & j \\
J & L^{\prime} & L
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{lll}
S^{\prime} & \omega & j \\
p & S & q
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{lll}
J & \omega & J^{\prime} \\
S^{\prime} & L^{\prime} & j
\end{array}\right\}\left(J \omega J^{\prime}\right) .
\]

Положение индексов величин $j$ и $S^{\prime}$ следует сместить, а это вводит множитель $(-1)^{2 j+2 S^{\prime}}$. Однако показатель может быть упрощен с помощью различных условий для квантовых чисел, образующих векторные треугольники. Окончательно получаем
\[
\begin{array}{c}
T_{J J^{\prime}}=(-1)^{2 \omega} \sqrt{2 J+1} \sqrt{2 J^{\prime}+1} \times \\
\times \sum_{j}(-1)^{2 j}(2 j+1)\left\{\begin{array}{ccc}
p & S & j \\
J & L^{\prime} & L
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{lll}
S^{\prime} & \omega & j \\
p & S & q
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{lll}
J & \omega & J^{\prime} \\
S^{\prime} & L^{\prime} & j
\end{array}\right\} T_{S L, S^{\prime} L^{\prime}} .
\end{array}
\]

Следует заметить, что имеются три существенно различных способа группировки множителей в правой части (24.33) и соответственно имеются три различных способа представить $9 j$-символ
$\begin{array}{lll}\text { Глав } & 24\end{array}$
в виде суммы произведений трех $6 j$-символов. Данный способ группировки был выбран здесь, чтобы упростить дальнейшие расчеты.

Интересный частный случай имеет место при $\omega=0$, т. е. если оператор $T$ является инвариантом относительно одновременного вращения спиновых и обычных координат. Это имеет место, в частности, для энергии взаимодействия спина с орбитальным движением. Если $\omega=0$, то должно быть $p=q$ и $J=J^{\prime}$. Кроме того, поскольку второй $6 j$-символ не обращается в нуль только в том случае, если $S^{\prime}$, $\omega$ и $j$ образуют векторный треугольник, вклад в сумму дает только член с $j=S^{\prime}$. Пользуясь выражением (24.26) для второго и третьего $6 j$-символов, после преобразования $6 j$-символа получаем
\[
T_{J J^{\prime}}=(-1)^{J+L^{\prime}+S+p} \frac{\sqrt{2 J+1}}{\sqrt{2 p+1}}\left\{\begin{array}{lll}
L & J & S \\
S^{\prime} & p & L^{\prime}
\end{array}\right\} T_{S L, S^{\prime} L^{\prime}},
\]

что в сущности снова представляет собой $6 j$-символ. При $p=1$ это дает правило интервалов Ланде, а случай $p=2$ соответствует спин-спиновому взаимодействию. $6 j$-символы появляются также в других разделах спектроскопии, таких, как определение волновых функций в сложных атомах. Они играют важную роль также в теории структуры ядра, $\beta$-распада, угловой корреляции между частицами или квантами, испущенными последовательно, в теории ядерных реакций и, последнее по счету, но не по важности, в определении ядерных волновых функций. Более подробные обзоры по данному вопросу упоминались ранее в настоящей главе.