Наиболее прямое физическое истолкование $3 j$-символов, или коэффициетов векторного сложения, следует из соотношения (24.20) или многочисленных эквивалентных ему соотношений. Согласно
$\begin{array}{lll}\text { Гава } & 27\end{array}$
(24.20), выражение
\[
(2 j+1)\left(\begin{array}{lll}
j & x & \lambda \\
m & j_{1} & j_{2}
\end{array}\right)=(2 j+1)\left(\begin{array}{ccc}
j & j_{1} & j_{2} \\
-m & x & \lambda
\end{array}\right)^{2}
\]

есть вероятность того, что $Z$-компоненты векторов $j_{1}$ и $j_{2}$ равны $\boldsymbol{x}$ и $\lambda$, если эти векторы складываются в $\boldsymbol{j}$, причем направление $\boldsymbol{j}$ таково, что его $Z$-компонента равна $m$. Связь между $j, j_{1}$ и $j_{2}$
Фиг. 14. Геометрическая интерпретация $3 j$-символа.
Моменты количества движения $\boldsymbol{j}_{1} \mathbf{\text { и }} \boldsymbol{J}_{3}$, складываясь, дают полный момент количества движения $j$ с $Z$-компонентой $m$. Вероятность того, что $Z$-компоненты векторов $j_{1}$ и $j_{2}$ равны соответственно х и $\lambda=m-x$, дается при этих нием (27.Е.2). Асимптотическое выраженением этой вероятности пропорционально полной длине дуги окружности, лежащей между плоскостями $z=x$ и $z-x+1$.

становится более симметричной, если $\boldsymbol{j}$ заменить на – $\boldsymbol{j}$, так что три вектора $j_{1}, j_{2}, \boldsymbol{j}$, складываясь, дают нуль. Сложение в классической теории показано на фиг. 14. Вектор $j_{1}$ может быть направлен к любой точке окружности, а вектор $j_{2}$ начинается из этой точки. Ясно, что если длины $j_{1}, j_{2}, j$ векторов $\boldsymbol{j}_{1}, \boldsymbol{j}_{2}, \boldsymbol{j}$ и проекции $x, \lambda$ и $m$ (где $x+\lambda+m=0$ ) этих векторов на ось $Z$ заданы, то вся конфигурация векторов $j_{1}, j_{2}, j$ определена с точностью до поворотов всей фигуры вокруг оси $Z$. Числа $j_{1}, j_{2}, j, x, \lambda, m$ могут поэтому быть характеризованы геометрическими свойствами этой фигуры, инвариантными относительно вращений вокруг оси $Z$.

Дуги окружности как конечные точки вектора $j_{1}$ (см. фиг. 14), имеющие равную длину, равновероятны. Следовательно, если двигаться с постоянной скоростью по окружности, обходя ее всю за единицу времени, то время, которое будет затрачено на прохождение между плоскостями $z=x$ и $z=x+1$, даст вероятность значения $x$ для проекции $j_{1}$ на ось $Z$. В точке $P$ на плоскости $z=x$ касательная к окружности направлена по $\left[j_{1} j_{2}\right]$, а единичныи вектор в этом направлении равен $\left[j_{1} j_{2}\right] /\left|\left[j_{1} j_{2}\right]\right|$. Проекцией этого вектора на направление оси $Z$ будет $\left[j_{1} j_{2}\right] \cdot \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{z}} /\left|\left[\boldsymbol{j}_{1} \boldsymbol{j}_{2}\right]\right|$, где $\boldsymbol{e}_{z}$ – единичный вектор в направлении оси $Z$. Следовательно, если двигаться по окружности со скоростью $v$, то перемещение в направлении оси $Z$ происходит со скоростью
\[
v \frac{\left[j_{1} j_{2}\right] \cdot e_{z}}{\left|\left[j_{1} j_{2}\right]\right|}
\]

а время, которое конец вектора проводит между плоскостями $z=x$ и $z=x+1$, является обратным этой величине, точнее, пропорциональным удвоенной обратной величине этого отношения, так как интервал $(x, x+1)$ по $z$ проходится дважды при движении по окружности. Поскольку длина окружности равна $2 \pi\left|\left[j_{1} j_{2}\right]\right| / j$, то и скорость $v$ равна этой величине. Отсюда следует, что вероятность того, что $Z$-компонента $j_{1}$ лежит между $x$ и $x+1$, равна
\[
\frac{2\left|\left[j_{1} j_{2}\right]\right|}{\left|\left[J_{1} j_{2}\right] \cdot e_{z}\right| v}=\frac{2\left|\left[j_{1} j_{2}\right]\right|}{\left|\left[j_{1} j_{2}\right] \cdot e_{z}\right|} \frac{j}{2 \pi\left|\left[j_{1} j_{2}\right]\right|} .
\]

Так как эта вероятность также дается выражением (27.Е.2), причем $-m$ заменено на $m$, классическим аналогом квадрата $3 j$ символа является
\[
\left(\begin{array}{ccc}
j & j_{1} & j_{2} \\
m & x & \lambda
\end{array}\right) \approx \frac{\delta_{m+x+\lambda, 0}}{2 \pi\left\lfloor\left[j_{1} j_{2}\right] \cdot e_{z} \mid\right.} .
\]

Коэффициент $j /(2 j+1)$ мы заменили на $1 / 2$. Как уже упоминалось выше, числа $j, j_{1}, j_{2}, m, x, \lambda$ определяют векторы $j_{1}, j_{2}, j$ (где $j_{1}+j_{2}+j=0$ ) с точностью до вращения всей фигуры, образованной из этих векторов, вокруг оси $Z$. Однако правая часть равенства (27.6), очевидно, инвариантна относительно такого вращения. Она равна обратной величине произведения $4 \pi$ на площадь проекции треугольника, образованного векторами $\boldsymbol{j}_{1}, \boldsymbol{j}_{2}, \boldsymbol{j}$, на плоскость $X Y$. Последний способ описания показывает также, что соотношение (27.6) инвариантно относительно перестановки векторов $\boldsymbol{j}_{1}, \boldsymbol{j}_{2}, \boldsymbol{j}$. Поскольку $\boldsymbol{j}_{1}+\boldsymbol{j}_{2}+\boldsymbol{j}=0$, это можно видеть также из (27.6).

Явное выражение для классического предела $3 j$-символа через входящие в него индексы имеет вид
\[
4 \pi\left(\begin{array}{lll}
j & j_{1} & j_{2} \\
m & m_{1} & m_{2}
\end{array}\right)^{2} \approx \frac{\delta m_{1}+m_{2}+m, 0}{\left[A^{2}+\frac{1}{4}\left(j^{2} m_{1} m_{2}+j_{1}^{2} m_{2} m+j_{2}^{2} m m_{1}\right)\right]^{1 / 2}}
\]
$\begin{array}{lll}\text { Глава } & 27\end{array}$
где $A^{2}$-квадрат площади треугольника со сторонами $j, j_{1}, j_{2}$ :
\[
16 A^{2}=-j^{4}-j_{1}^{4}-j_{2}^{4}+2 j^{2} j_{1}^{2}+2 j^{2} j_{2}^{2}+2 j_{1}^{2} j_{2}^{2} .
\]

Как и ранее, можно указать классический аналог только квадpaта квантовомеханической величины $3 j$-символа. Это естественно, потому что $3 j$-символы являются амплитудами, которые, подобно $\psi$, не имеют непосредственного классического аналога. По этой причине следует ожидать, что (27.6) справедливо только при усреднении по одному из индексов по некоторой разумной области. Можно, однако, воспользоваться классическими понятиями для интерпретации как $\mathfrak{D}$, так и коэффициентов векторного сложения; получаемые при этом выражения ${ }^{1}$ ) воспроизводят также и знак этих величин. Эти полуклассические выражения применимы только при условии, что все квантовые числа велики, но они показывают, что коэффициенты $\mathfrak{D}$ и $3 j$-символы имеют осциллирующий характер в той области, в которой наши формулы законны в среднем. Из данной нами интерпретации $3 j$-символов можно было бы заключить, что эти величины обращаются в нуль, если $m_{1}$ принимает значение, лежащее либо ниже наинизшей точки окружности на фиг. 14 , либо выше наивысшей точки этой окружности. Знаменатель выражения (27.6a) в этих случаях становится мнимым. Однако полуклассические выражения показывают, что $3 j$-символы не обращаются в нуль при таких $m_{1}$; они лишь экспоненциально убывают выше и ниже значений $m_{1}$, соответствующих наинизшей и наивысшей точкам окружности на фиг. 14.

Если $m=-j$, вектор $j$ на фиг. 14 становится антипараллельным оси $Z$, а х и $\lambda$ должны определяться при этом однозначно из классической теории. Обозначим их значения через $x_{0}$ и $\lambda_{0}$. Тогда
\[
x_{0}+\lambda_{0}=j,
\]

а квадрат высоты треугольника, перпендикулярной стороне $j$, равен
\[
j_{1}^{2}-x_{0}^{2}=j_{2}^{2}-\lambda_{0}^{2} .
\]

Эти два уравнения определяют $x_{0}$ и $\lambda_{0}$. В квантовой теории вероятность того, что проекции векторов $\boldsymbol{j}_{1}$ и $\boldsymbol{j}_{2}$ принимают значения $x$ и $\lambda$, дается выражением (27.Е.2). Эта вероятность будет обозначена через $P(x, \lambda)$. Входящий в (27.Е.2) $3 j$-символ при $m=-j$
1) Cм. A. R. Edm onds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton, 1957, Sect. 2.7, App. 2; P. Brussard, J. H. Tolhoek, Physica, 23, 955 (1957).

определяется выражениями (17.27б) и (24.9a):
\[
\begin{array}{l}
\left(\begin{array}{rrr}
j & j_{1} & j_{2} \\
-j & x & \lambda
\end{array}\right)= \\
=\frac{(-1)^{2 j_{1}+j_{2}-\lambda_{0}} \delta_{\mathrm{x}+\lambda, j}\left[(2 j) !\left(j_{1}+j_{2}-j\right) !\left(j_{1}+x\right) !\left(j_{2}+\lambda\right) !\right]^{1 / 2}}{\left[\left(j+j_{1}+j_{2}+1\right) !\left(j-j_{2}+j_{2}\right) !\left(j+j_{1}-j_{2}\right) !\left(j_{1}-x\right) !\left(j_{2}-\lambda\right) !\right]^{1 / 2}} . \\
\end{array}
\]

Поэтому
\[
P(x, \lambda)=\mathrm{const} \frac{\left(j_{1}+x\right) !\left(j_{2}+\lambda\right) !}{\left(j_{1}-x\right) !\left(j_{2}-\lambda\right) !},
\]

где постоянная не зависит от $x$ и $\lambda$.
Дальнейшие вычисления упрощаются, если предположить, что классические значения величин $x$ и $\lambda$, т. е. $x_{0}$ и $\lambda_{0}$, являются целыми числами. Поскольку искомое выражение $P(x, \lambda)$ будет интересовать нас только при больших значениях $j$, а также $x$ и $\lambda$, это предположение не является существенным. Если $x=x_{0}+n, \lambda=\lambda_{0}-n$ с положительным $n$, то мы имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{P(x, \lambda)}{P\left(x_{0}, \lambda_{0}\right)}=\frac{\left(j_{1}+x_{0}+1\right)\left(j_{1}+x_{0}+2\right) \ldots\left(j_{1}+x_{0}+n\right)}{\left(j_{2}-\lambda_{0}+1\right)\left(j_{2}-\lambda_{0}+2\right) \ldots\left(j_{2}-\lambda_{0}+n\right)} \times \\
\quad \times \frac{\left(j_{1}-x_{0}\right)\left(j_{1}-x_{0}-1\right) \ldots\left(j_{1}-x_{0}-n+1\right)}{\left(j_{2}+\lambda_{0}\right)\left(j_{2}+\lambda_{0}-1\right) \ldots\left(j_{2}+\lambda_{0}-n+1\right)} .
\end{array}
\]

В силу (27.7a)
\[
\left(j_{1}+x_{0}\right)\left(j_{1}-x_{0}\right)=\left(j_{2}-\lambda_{0}\right)\left(j_{2}+\lambda_{0}\right) .
\]

Если разделить числитель и знаменатель выражения (27.9a) на $n$-ю степень последнего выражения и принять, что $n$ мало по сравнению с $j_{1} \pm x$ и $j_{2} \pm \lambda$, то все множители в (27.9a) будут лишь незначительно отличаться от 1. Поэтому (27.9a) может быть преобразовано с помощью формулы
\[
\left(1+h_{1}\right)\left(1+h_{2}\right) \ldots\left(1+h_{n}\right)=e^{h_{1}+h_{2}+\cdots+h_{n}},
\]

что дает, в силу (27.7) и (27.7a),
\[
\frac{P(x, \lambda)}{P\left(x_{0}, \lambda_{0}\right)} \approx \frac{\exp \left[-x_{0} n^{2} /\left(j_{1}^{2}-x_{0}^{2}\right)\right]}{\exp \left[\lambda_{0} n^{2} /\left(j_{2}^{2}-\lambda_{0}^{2}\right)\right]}=\exp \left(-\frac{j n^{2}}{j_{1}^{2}-x_{0}^{2}}\right) \text {. }
\]

Та же формула применима и при отрицательных $n$.
Последнее выражение для вероятности отклонения $x$ от его классического значения $x_{0}$ на величину $n$ имеет большое сходство с (27.4), т. е. с вероятностью отклонения $\mu$ от его классического значения $\mu_{0}$. Эта вероятность снова имеет наибольшее значение при $x=x_{0}$ и является при больщих квантовых числах $j, j_{1}, j_{2}$, $x, \lambda$ гауссовым распределением около $x_{0}$. Действительно, при
$\begin{array}{lll}\text { Глава } & 27\end{array}$
больших квантовых числах имеется большое сходство между – $3 j$-символами и коэффициентами представления ${ }^{1}$ ). Это очевидно уже из фиг. 14, которая становится схемой, лежащей в основе интерпретации коэффициентов представлений, если устранить из нее вектор $\boldsymbol{j}_{2}$ и ту часть вектора $\boldsymbol{j}$, которая лежит выше плоскости окружности.