Неприводимые представления $\boldsymbol{\Delta}$ и $\overline{\boldsymbol{\Delta}}$ унитарной подгруппы могут быть либо неэквивалентными, либо эквивалентными. Первый из этих двух возможных случаев проще; поэтому сначала мы рассмотрим этот случай.
1. Если $\boldsymbol{\Delta}(\mathrm{u})$ и $\boldsymbol{\Delta}\left(\mathrm{a}_{0}^{-1} \mathrm{ua}_{0}\right)^{*}$ неэквивалентны, волновые функции $\psi_{x}$ и $\psi_{x}^{\prime}=a_{0} \psi_{x}$ ортогональны, так как они принадлежат различным представлениям унитарной подгруппы. Следовательно, первыми $2 l$ членами ортогонального набора, определенного в предыдущем разделе, будут сами функции $\psi_{x}$ и $\psi_{x}^{\prime}$, а матрицы D (u) и D (a) даются соотношениями (26.24), (26.27), (26.29a) и (26.29б):
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{D}(\mathrm{u})=\left(\begin{array}{cc}
\Delta(\mathrm{u}) & 0 \\
0 & \Delta\left(\mathrm{a}_{0}^{-1} \mathrm{ua}_{0}\right)^{*}
\end{array}\right), \\
\mathrm{D}(\mathrm{a})=\left(\begin{array}{cc}
0 & \Delta\left(\mathrm{aa}_{0}\right) \\
\Delta\left(\mathrm{a}_{0}^{-1} \mathrm{a}\right)^{*} & 0
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Разумеется, эти матрицы могут быть подвергнуты преобразованию подобия. В частности, если нужно заменить $\mathbf{a}_{0}$ другим элементом группы $\mathbf{a}_{1}$, следует преобразовать с D с помощью
\[
\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & \Delta\left(a_{0}^{-1} a_{1}\right)^{*}
\end{array}\right) .
\]

Система матриц (26.31) и (26.31a) является, очевидно, неприводимой, если $\Delta(\mathrm{u})$ и $\bar{\Delta}(\mathrm{u})=\Delta\left(\mathrm{a}_{0}^{-1} \mathrm{ua}_{0}\right)^{*}$ суть неэквивалентные неприводимые представления. Читатель может легко убедиться в том, что справедливость этого утверждения не зависит от выбора антиунитарного оператора $a_{0}$. Заметим, что $D(a)$ должно преобразовываться согласно (26.236).
2. В другом возможном случае представления $\Delta(u)$ и
\[
\bar{\Delta}(\mathrm{u})=\Delta\left(\mathrm{a}_{0}^{-1} \mathrm{ua}_{0}\right)^{*}=\beta^{-1} \Delta(\mathrm{u}) \beta .
\]

эквивалентны. При этом следует различать два случая: представление D может иметь столько же строк и столбцов, сколько и $\boldsymbol{\Delta}$, или оно может иметь вдвое больше строк и столбцов. В первом случае матрицы D (u) уже определены как
\[
\mathrm{D}(\mathrm{u})=\Delta(\mathrm{u}) \text {. }
\]

В последнем случае можно принять, что D (u) имеет вид
\[
\mathrm{D}(\mathrm{u})=\left(\begin{array}{cc}
\Delta(\mathrm{u}) & 0 \\
0 & \Delta(\mathrm{u})
\end{array}\right) .
\]

Матрицы, соответствующие унитарным операторам, определяются в обоих случаях. Чтобы определить D (a), мы должны более подробно рассмотреть представление $\Delta$.

Применяя (26.32) к унитарному преобразованию $\mathbf{a}_{0}^{-1} \mathbf{u a}_{0}$, получаем
\[
\Delta\left(\mathrm{a}_{0}^{-2} \mathrm{ua}_{0}^{2}\right)^{*}=\beta^{-1} \Delta\left(\mathrm{a}_{0}^{-1} \mathrm{ua}_{0}\right) \boldsymbol{\beta} .
\]

Комплексное сопряжение же этого равенства вместе с (26.32) дает
\[
\Delta\left(a_{0}^{-2}\right) \Delta(\mathrm{u}) \Delta\left(\mathrm{a}_{0}^{2}\right)=\Delta\left(\mathrm{a}_{0}^{-2} \mathrm{ua}_{0}^{2}\right)=\beta^{*-1} \beta^{-1} \Delta(\mathrm{u}) \beta \beta^{*},
\]

поскольку $a_{0}^{-2}$ и $a_{0}^{2}$ входят в унитарную подгруппу. Отсюда следует, что матрица $\beta \beta^{*} \Delta\left(a_{0}^{-2}\right)$ коммутирует со всеми матрицами $\Delta(\mathrm{u})$ неприводимого представления и является, следовательно, постоянной матрицей $\omega 1$; таким образом,
\[
\beta \beta^{*}=\omega \Delta\left(\mathbf{a}_{0}^{2}\right) .
\]

В силу унитарности всех матриц в (26.84), имеем $|\omega|=1$. Покажем, далее, что $\omega \pm 1$. С этой целью подставим $\mathrm{u}=\mathrm{a}_{0}^{2}$ в (26.33), что дает
\[
\Delta\left(a_{0}^{2}\right)^{*}=\beta^{-1} \Delta\left(a_{0}^{2}\right) \beta,
\]

и выразим $\boldsymbol{\Delta} \mathbf{a}_{0}^{2}$ с помощью (26.34):
\[
\omega \beta^{*} \beta=\beta^{-1}\left(\omega^{-1} \beta \beta^{*}\right) \beta=\omega^{-1} \beta^{*} \beta .
\]

Таким образом, $\omega^{2}=1, \omega= \pm \overline{1}$. Поэтому либо

либо
\[
\beta \beta^{*}=\Delta\left(a_{0}^{2}\right), \quad \beta=\Delta\left(a_{0}^{2}\right) \beta^{T},
\]
\[
\beta \beta^{*}=-\Delta\left(a_{0}^{2}\right), \quad \beta=-\Delta\left(a_{0}^{2}\right) \beta^{T} .
\]

Предшествующее рассмотрение имеет большое сходство с рассмотрением во втором разделе гл. 24. Оно указывает на различие между представлениями $\boldsymbol{\Delta}$, эквивалентными производному представлению $\overline{\boldsymbol{\Delta}}$ из (26.27a), весьма похожее на различие между потенциально-вещественными и псевдовещественными представлениями для тех представлений, которые эквивалентны комплексно-сопряженным к ним. Легко убедиться в том, что при заданном $\boldsymbol{\Delta}$ те же самые возможности (26.35a) и (26.35б) относятся независимо к выбору антиунитарного преобразования $\mathrm{a}_{0}$.

Вернемся теперь к задаче определения неприводимых копредставлений. Эту задачу можно упростить, если заметить, что всякое а может быть записано в виде произведения $\mathrm{ua}_{0}$ с фиксированным $\mathbf{a}_{0}$, но с переменным $u$. Согласно второму уравнению (26.21),
\[
D\left(\mathrm{ua}_{0}\right)=\mathrm{D}(\mathrm{u}) \mathrm{D}\left(\mathrm{a}_{0}\right) .
\]

Подставляя $\mathrm{ua}_{0}$ вместо а в два другие уравнения (26.21) и заменяя все а произведением унитарного оператора на $\mathbf{a}_{0}$, приводим эти ‘уравнения к виду
\[
\begin{array}{c}
D\left(u a_{0}\right) D\left(u_{1}\right)^{*}=D\left(u a_{0} u_{1}\right)=D\left(u a_{0} u_{1} a_{0}^{-1} a_{0}\right), \\
D\left(u_{1} a_{0}\right) D\left(u_{2} a_{0}\right)^{*}=D\left(u_{1} a_{0} u_{2} a_{0}\right)=D\left(u_{1} a_{0} u_{2} a_{0}^{-1} a_{0}^{2}\right) .
\end{array}
\]

Если сюда подставить (26.36) и предположить, что D (u) образует представление унитарной подгруппы, то эти уравнения запишутся в виде
\[
\begin{array}{c}
D(u) D\left(a_{0}\right) D\left(u_{1}\right)^{*}=D\left(u a_{0} u_{1} a_{0}^{-1}\right) D\left(a_{0}\right)=D(u) D\left(a_{0} u_{1} a_{0}^{-1}\right) D\left(a_{0}\right), \\
D\left(u_{1}\right) D\left(a_{0}\right) D\left(u_{2}\right)^{*} D\left(a_{0}\right)^{*}=D\left(u_{1}\right) D\left(a_{0} u_{2} a_{0}^{-1}\right) D\left(a_{0}^{2}\right) .
\end{array}
\]

Первое из этих уравнений удовлетворяется, если соотношение
\[
D\left(u_{1}\right)^{*}=D\left(a_{0}\right)^{-1} D\left(a_{0} u_{1} a_{0}^{-1}\right) D\left(a_{0}\right)
\]
$\lceil л a в a \quad 26$
имеет место для всякого $\mathrm{u}_{1}$. В этом выражении $\mathrm{u}_{1}$ можно заменить на $\mathrm{a}_{0}^{-1} \mathrm{ua}_{0}$, после чего получим
\[
D\left(a_{0}^{-1} u a_{0}\right)^{*}=D\left(a_{0}\right)^{-1} D(u) D\left(a_{0}\right) .
\]

Если это уравнение удовлетворяется для всех $\mathrm{u}$ и если D(a) определено согласно (26.36), то третье уравнение (26.21) будет удовлетворяться. Предполагая теперь, что (26.38) выполняется, и вводя $\mathrm{a}_{0}^{-1} \mathrm{ua}_{0}$ вместо $\mathrm{u}_{2}$ в (26.37a), это последнее уравнение можно заменить следующим:
\[
\mathrm{D}\left(\mathrm{a}_{0}\right) \mathrm{D}\left(\mathrm{a}_{0}\right)^{*}=\mathrm{D}\left(\mathrm{a}_{0}^{2}\right) .
\]

Это уравнение представляет собой частный случай последнего уравнения (26.21). Однако предыдущий анализ показывает, что если $\mathbf{D}\left(\mathrm{a}_{0}\right)$ удовлетворяет уравнениям (26.38) и (26.38a) и если другие D (a) определены согласно (26.36), они будут удовлетворять всем уравнениям (26.21). Это позволяет значительно проще определить матрицы D(a), которые вместе с D (u), указанными в (26.32a) или (26.32б), образуют решение системы (26.21). Задача сводится к решению уравнений (26.38) или (26.38a), в которые входит только $\mathrm{D}\left(\mathrm{a}_{0}\right)$.

Рассмотрим прежде всего случай (26.32a), в котором D содержит $\Delta$ лишь один раз. Сравнение (26.32) с (26.38) показывает, что с точностью до несущественного множителя [см. замечание после (26.23) на стр. 339]
\[
D\left(\mathrm{a}_{0}\right)=\beta .
\]

Следовательно, уравнение (26.38a) будет удовлетворяться в том. и только том случае, если к $\boldsymbol{\Delta}$ относится возможность (26.35a), так что соотношение (26.32a) может быть справедливо только в том случае, если для $\boldsymbol{\Delta}$ имеют место соотношения (26.35a). Наоборот, те $\boldsymbol{\Delta}$, к которым применимо (26.35а), могут быть дополнены до копредставления полной группы с помощью (26.36):
\[
D(a)=\Delta\left(a a_{0}^{-1}\right) \beta .
\]

Если D содержит $\Delta$ дважды, D (u) дается выражением (26.32б). Оно может быть также записано как прямое произведение $1 \times \boldsymbol{\Delta}(\mathrm{u})$, т. е. как прямое произведение двумерной единичной матрицы и $\boldsymbol{\Delta}(\mathrm{u})$. В этом случае частным решением уравнения (26.38) будет
\[
D\left(a_{0}\right)=\left(\begin{array}{ll}
\beta & 0 \\
0 & \beta
\end{array}\right)=1 \times \beta .
\]

Тогда наиболее общим решением уравнения (26.38) будет решение (26.Е.3), умноженное слева на матрицу
\[
\left(\begin{array}{ll}
c_{11} 1 & c_{12} 1 \\
c_{21} 1 & c_{22} 1
\end{array}\right)=\mathrm{c} \times 1,
\]

которая коммутирует со всеми D(u) вида (26.326). Это следует из леммы Шура гл. 9, теорема 2. Матрица с в правой части (26.Е.4) представляет собой произвольную матрицу с двумя строками и двумя столбцами, а (26.Е.4) – прямое произведение такой матрицы на единичную матрицу той же размерности, что и $\boldsymbol{\Delta}$. Поэтому общим решением уравнения (26.38) в этом случае будет
\[
\mathrm{D}\left(\mathrm{a}_{0}\right)=\left(\begin{array}{ll}
c_{11} \beta & c_{12} \beta \\
c_{21} \beta & c_{22} \beta
\end{array}\right)=\mathrm{c} \times \beta .
\]

Поскольку D $\left(\mathrm{a}_{0}\right)$ должно быть унитарным, матрица $\mathbf{c}$ также должна быть унитарной Второе условие (26.38a) для $\mathbf{D}\left(\mathrm{a}_{0}\right)$ дает
\[
(c \times \beta)\left(c^{*} \times \beta^{*}\right)=c c^{*} \times \beta \beta^{*}=D\left(a_{0}^{2}\right)=1 \times \Delta\left(a_{0}^{2}\right) .
\]

В этом равенстве 1 представляет собой двумерную единичную матрицу. Из $\beta \beta^{*}= \pm \Delta\left(a_{0}^{2}\right)$ следует, что сс* $= \pm 1$. Предположим, что в этом случае применим нижний знак; ниже будет показано, что представление становится приводимым, если взять верхний знак [и, следовательно, (26.35a)]. Тогда из условия унитарности $\mathbf{c c}^{\dagger}=1$ следует, что $\mathbf{c}^{*}=-\mathbf{c}^{+}=-\mathbf{c}^{* T}$, т. е. что с антисимметрична. Поскольку общий множитель во всех D (a) остается произвольным, можно положить
\[
\mathbf{c}=\left(\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right) .
\]

а это дает в случае, когда для представления $\boldsymbol{\Delta}$ осуществляется возможность ( 26356 ),
\[
D(a)=\left(\begin{array}{cc}
0 & \Delta\left(\mathrm{aa}_{0}^{-1}\right) \beta \\
-\Delta\left(\mathrm{aa}_{0}^{-1}\right) \beta & 0
\end{array}\right) .
\]

Остается еще рассмотреть лишь случай $\mathbf{c c}^{*}=1$. В этом случае с является симметричной унитарной матрицей. Согласно (24.4б), она может быть записана в виде $\mathbf{r}^{-1} \omega \mathbf{r}$, где $\mathbf{r}$ – вещественная ортогональная матрица, a $\boldsymbol{w}$-диагональная матрица. Поэтому,
если D преобразуется с помощью
\[
\boldsymbol{\alpha}=\mathrm{r}^{-1} \times \mathbf{1} \text {. }
\]
( $\mathbf{r}$ двумерна, а $1 l$-мерна), $\mathbf{D}(\mathrm{u})=1 \times \boldsymbol{\Delta}$ не меняется, а $\mathbf{D}\left(\mathrm{a}_{0}\right)=$ $=\mathbf{c} \times \beta$ переходит в $(r \times 1)\left(r^{-1} \omega r \times \beta\right)\left(r^{-1} \times 1\right)=\omega \times \beta$. Таким образом, это представление распадается на два $l$-мерных представления типа (26.40a).

Резюмируя, мы можем сказать, что имеются три типа неприводимых копредставлений, т. е. неприводимых решений системы (26.21). Тип неприводимых копредставлений, который рассматривался раньше других, но который мы будем называть третьим типом, содержит два неэквивалентных неприводимых представления унитарной подгруппы, $\Delta$ и
\[
\bar{\Delta}(\mathrm{u})=\Delta\left(\mathrm{a}^{-1} \mathrm{ua}\right)^{*},
\]

где $\mathbf{a}$ – антиунитарный оператор. Заметим, что $\overline{\bar{\Delta}}$ и $\boldsymbol{\Delta}$ эквивалентны; соотношение между представлениями $\boldsymbol{\Delta} \boldsymbol{u} \overline{\boldsymbol{\Delta}}$ взаимно. Копредставления первого типа содержат лишв одно неприводимое представление $\Delta$ унитарной подгруппы. $B$ этом случае – который является наиболее частым – $\boldsymbol{\Delta}$ и $\bar{\Delta}$ эквивалентны; матрица $\beta$, преобразующая $\Delta$ в $\bar{\Delta}$, удовлетворяет соотношению $\beta \beta^{*}=\boldsymbol{\Delta}\left(\mathrm{a}_{0}^{2}\right)$. Последний тип копредставлений, который будет называться вторым типом, содержит одно и то же неприводимое представление $\boldsymbol{\Delta}$ унитарной подгруппы дважды. Это $\boldsymbol{\Delta}$ также эквивалентно $\bar{\Delta}$, но в этом случае для матриџы $\beta$, которая преобразует $\boldsymbol{\Delta}$ в $\bar{\Delta}$, выполняется соотношение $\beta \beta^{*}=$ $=-\Delta\left(\mathrm{a}_{0}^{2}\right)$. В третьем типе копредставлений $\boldsymbol{\Delta}$ и $\overline{\boldsymbol{\Delta}}$ неэквивалентны. Эти три типа копредставлений даются парами соотношений (26.32a) и (26.40a), (26.32б) и (26.40б) и, наконец, (26.31) и (26.31a). Из этого перечня следует, что каждое неприводимое представление унитарной подгруппы содержится лишь в одном неприводимом копредставлении. Если $\boldsymbol{\Delta}$ и $\overline{\boldsymbol{\Delta}}$ эквивалентны, то $\boldsymbol{\Delta}$ содержится в копредставлении лишь один раз, если оня удовлетворяет (26.35a), и два раза, если для него выполняется (26.35б). Отсюда также следует, что неприводимые части копредставления полностью определяются неприводимыми частями матриц, соответствующих унитарной подгруппе, и, следовательно, характером унитарной подгруппы. Копредставление, как и представление, не может быть разбито на неприводимые части двумя существенно различными способами. Отсюда, далее, следует, что антиунитарные операторы никогда не приводят к дополнительной классификации типов собственных значений, (не приводят к новым квантовым числам) сверх той классификации, которая дается унитарной подгруппой ${ }^{1}$ ). Они могут быть ответственны за совпадение собственных значений. Так, если $\boldsymbol{\Delta}$ и $\bar{\Delta}$ неэквивалентны, собственное значение с представлением $\boldsymbol{\Delta}$ всегда совпадает с собственным значением с представлением $\bar{\Delta}$. Антиунитарные операторы симметрии могут быть также ответственны за обращение матричных элементов в нуль.

Читателю рекомендуется проверить, что независимо от того, какой антиунитарный оператор играет роль $\mathbf{a}_{0}$ в предшествующем вычислении, получается тот же самый тип расширения унитарного представления на копредставление. Для этого нужно лишь показать, что если в (26.32) заменить $\mathbf{a}_{0}$ на другой антиунитарный оператор $\mathrm{u}_{0} \mathrm{a}_{0}^{*}$, соответствующее $\bar{\Delta}$ эквивалентно $\boldsymbol{\Delta}$, если последнему эквивалентно $\bar{\Delta}$, даваемое выражением (26.32). Оказывается, что если $\mathbf{a}_{0}$ заменить на $\mathbf{u}_{0} \mathbf{a}_{0}$, то $\beta$ из соотношения (26.32) заменяется на $\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\Delta}\left(\mathrm{u}_{0}\right) \beta$. Далее, в зависимости от того, какому из соотношений (26.35a) или (26.35б) удовлетворяет $\beta, \gamma$ будет удовлетворять тому же самому соотношению с заменой $\mathbf{a}_{0}$ на $\dot{u}_{0} \mathbf{a}_{0}$. Все это следует из вышеизложенной теории, так как тип копредставления, содержащего определенное $\Delta$, не может зависеть от произвола в выборе оператора $\mathbf{a}_{0}$.