Наконец, рассмотрим следствия требований, чтобы V или $\mathbf{H}$ были комплексно ортогональными (или симметричными) и одновременно унитарными (или эрмитовыми) матрицами. В этом случае как $\mathbf{V}$, так и $\mathbf{H}$ вещественны.

Из $\mathbf{U}^{+} \mathbf{V U}=\mathbf{\Lambda}_{v}$ мы получаем комплексно-сопряженное выражение $\mathbf{U}^{*} \mathbf{V}^{*} \mathbf{U}^{*}=\left(\mathbf{U}^{*}\right)^{+} \mathbf{V U}^{*}=\mathbf{A}_{v}^{*}$. Так как собственные значения как корни секулярного уравнения не зависят от способа. с помощью которого матрица приведена к диагональному виду (т. е. посредством $\mathrm{U}$ или $\mathrm{U}^{*}$ ), диагональная форма $\boldsymbol{\Lambda}_{v}$ может всегда быть записана как $\boldsymbol{\Lambda}_{v}^{*}$. Таким образом, числа $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ совпадают с числами $\lambda_{1}^{*}, \lambda_{2}^{*}, \ldots, \lambda_{n}^{*}$. Отсюда следует, что комплексные собственные значения вещественной ортогональной матрицы V встречаются комплексно-сопряженными парами. Кроме того, так как $\mathbf{V V}^{T}=1$, они все по абсолютной величине равны 1 ; вещественные собственные значения поэтому равны $\pm 1$. В матрицах нечетной размерности по крайней мере одно собственное значение должно быть вещественным.

Если $\boldsymbol{v}$ есть собственный вектор, принадлежащий собственному значению $\lambda$, то $v^{*}$ есть собственный вектор, принадлежащий комплексно-сопряженному собственному значению $\lambda^{*}$. Чтобы показать
1) Как уже показывает соотношение (3.Е.2).
это, запишем $\mathrm{V} \boldsymbol{v}=\lambda \boldsymbol{v}$; тогда $\mathrm{V}^{*} \boldsymbol{v}^{*}=\lambda^{*} \boldsymbol{v}^{*}=\mathrm{V} \boldsymbol{v}^{*}$. Кроме того, если $\lambda^{*}$ отлично от $\lambda$, то $\left(\boldsymbol{v}^{*}, \boldsymbol{v}\right)=0=((\boldsymbol{v}, \boldsymbol{v}))$; простое скалярное произведение собственного вектора на самого себя обращается в нуль, если соответствующее собственное значение не является вещественным (не $\pm 1$ ). Наоборот, вещественные собственные векторы (для которых простое скалярное произведение не обращается в нуль) соответствуют собственным значениям $\pm 1$. Кроме того, пусть $\boldsymbol{v}$ есть собственный вектор для $\lambda_{1}, \boldsymbol{v}^{*}$ — для $\lambda_{1}^{*}$ и $z$ — для $\lambda_{2}$. Тогда, если $\lambda_{1}
eq \lambda_{2}$, получаем
\[
0=\left(v^{*}, z\right)=((\boldsymbol{v}, z)) .
\]

Простое скалярное произведение двух собственных векторов вещественной ортогональной матрицы всегда равно нулю, кроме случая, когда соответствующие собственные значения являются комплексно-сопряженными; когда собственные значения комплексно-сопряженны, соответствующие собственные векторы сами являются комплексно-сопряженными.

Определитель ортогональной матрицы равен $\pm 1$. Чтобы показать это, рассмотрим $\mathrm{VV}^{T}=1$; отсюда следует, что определитель матрицы V, умноженный на определитель $\mathbf{V}^{T}$, должен дать 1 . Однако определитель матрицы $\mathbf{V}$ равен определителю $\mathbf{V}^{T}$, так что каждый из них должен быть равен +1 или — 1 .

Если матрица Н вещественна, система (3.5) вещественна, так как все $\lambda_{h}$ вещественны. Собственные векторы вещественной эрмитовой матрицы можно считать вещественными. (Поскольку они определяются только с точностью до постоянного множителя, они могут быть также умножены на комплексный множитель.) Таким образом, унитарная матрица $\mathbf{U}$ в произведении $\mathbf{U}^{-1} \mathbf{H U}=\boldsymbol{\Lambda}_{h}$ может считаться вещественной,