1. Неприводимые представления трехмерной группы вращений, так же как и представления двумерной группы, можно получить с помощью дифференциального уравнения Лапласа
\[
\frac{\partial^{2} f(x, y, z)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f(x, y, z)}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f(x, y, z)}{\partial z^{2}}=0,
\]

если рассматривать однородные полиномы $l$-й степени, удовлетворяющие этому уравнению. Ортогональное преобразование $R$ такого полинома приводит к другому полиному $l$-й степени, который также
Фиг. 7. Полярные координаты $r, \theta$ и $\varphi$.

является решением уравнения (15.1) и который поэтому может быть выражен в виде линейной комбинации непреобразованных полиномов. Коэффициенты образуют представление, обозначаемое через $\mathfrak{D}^{(l)}(R)$. Поскольку неприводимые представления трехмерной группы вращений мы найдем иным способом, обсудим метод, связанный с уравнением Лапласа, лишь кратко.

Для решения уравнения (15.1) обычно вводят полярные координаты $r, \theta$ и $\varphi$ вместо $x$, у и $z$ (см. фиг. 7); тогда полиномы $l$-и степени имеют вид $r^{l} Y_{l m}(\theta, \varphi)$. Если подставить это выражение в уравнение (15.1) (записанное в полярных координатах), то $r$ выпадает и получается дифференциальное уравнение по переменным $\theta$ и $\varphi$ (включающее $l$ ). $2 l+1$ линейно независимых решений этого уравнения ${ }^{1}$ )
\[
Y_{l,-l}(\theta, \varphi), Y_{l,-l+1}(\theta, \varphi), \ldots, Y_{l, l-1}(\theta, \varphi), Y_{l, l}(\theta, \varphi)
\]

известны как сферические гармоники ${ }^{2}$ ) $l$-й степени. Они имеют вид
\[
Y_{l m}(\theta, \varphi)=\Phi_{m}(\varphi) \theta_{l m}(\theta),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\Phi_{m}(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{i m \varphi}, \\
\boldsymbol{\theta}_{l m}(\theta)=(-1)^{m}\left[\frac{2 l+1}{2} \frac{(l-m) !}{(l+m) !}\right]^{1 / 2} \sin ^{m} \theta \frac{d^{m}}{d(\cos \theta)^{m}} P_{l}(\cos \theta)(m \geqslant 0), \\
\boldsymbol{\theta}_{l,-m}(\theta)=\left[\frac{2 l+1}{2} \frac{(l-m) !}{(l+m) !}\right]^{1 / 2} \sin ^{m} \theta \frac{d^{m}}{d(\cos \theta)^{m}} P_{l}(\cos \theta) .
\end{array}
\]

Функции $P_{l}(\cos \theta)$ являются полиномами Лежандра, определяемыми, например, формулой Родрига
\[
P_{l}(\cos \theta)=\frac{1}{2^{l} l !} \frac{d^{l}}{d(\cos \theta)^{l}}\left(\cos ^{2} \theta-1\right)^{l} .
\]

При $\theta=0$ все $Y_{l m}$ обращаются в нуль, кроме $Y_{l 0}$. Это так и должно быть, потому что азимут $\varphi$ не определен при $\theta=0$; следовательно, в этой точке значение функции
\[
Y_{l m}(\theta, \varphi) \sim e^{i m \varphi} P_{l}^{m}(\cos \theta)
\]

не может зависеть от $\varphi^{3}$ ).
Весьма важна зависимость (15.3) от $\varphi$. Если применить оператор $\mathrm{P}_{R}$ к $r^{l} Y_{l m}(\theta, \varphi)$, где $R$ означает вращение на угол $\alpha$ вокруг оси $Z$, радиус и полярный угол $\theta$ не меняется, а $\varphi$ переходит
1) Cм., например, D. Hilbert, R. Courant, Methoden der Mathematischen Physik, Berlin, 1924, S. 420, 66, 265 (см. перевод: Д. Гильберт, Р. Курант, Методы математической физики, т. I, М. — Л., 1957).
2) Здесь и в дальнейшем фазы собственных функций выбраны так, чтобы они соответствовали условиям, принятым в книге: E. U. Condon, G. H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, London-New York, 1953 (см. перевод с 1-го издания: Е. Кондон, Г. Шортли, Теория атомных спектров, ИЛ, 1949).
3) Функции $\theta_{l m}(m \geqslant 0)$ без квадратной скобки в (15.3а) являются присоединенными полиномами Лежандра и часто обозначаются через $P_{l}^{m}(\cos \theta)$.
в $\varphi+\alpha$. Поэтому, если мы обозначим вращение с углами Эилера $\alpha, \beta, \gamma$ через $\{\alpha, \beta, \gamma\}$, то
\[
\mathrm{P}_{\{a 00\}} r^{l} Y_{l m}(\theta, \varphi)=r^{l} \frac{e^{i m(\varphi+\alpha)}}{\sqrt{2 \pi}} \Theta_{l m}(\theta)=e^{i m \alpha} r^{l} Y_{l m}(\theta, \varphi) .
\]

Строки истолбцы $(2 l+1)$-мерного представления, принадлежащего сферическим гармоникам степени $l$, нумеруются вторыми индексами соответствующих сферических гармоник от — $l$ до $l$. Тогда
\[
\mathrm{P}_{\{\alpha \beta \gamma\}} r^{l} Y_{l m}(\theta, \varphi)=\sum_{m^{\prime}=-l}^{l} \mathfrak{D}^{(l)}(\{\alpha, \beta, \gamma\})_{m^{\prime} m} r^{l} Y_{l m^{\prime}}(\theta, \varphi) .
\]

Приравнивая коэффициенты, как обычно, получаем
\[
\mathfrak{D}^{(l)}(\{\alpha, 0,0\})_{m^{\prime} m}=e^{i m \alpha} \delta_{m m^{\prime}} .
\]

Таким образом, в представлении $\mathfrak{D}^{(l)}$ матрицы, соответствующие вращениям вокруг оси $Z$, диагональны. Для вращения на угол $\alpha$ мы имеем матрицу представления
\[
\mathfrak{D}^{(l)}(\{\alpha, 0,0\})=\left(\begin{array}{ccccc}
e^{-i l \alpha} & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & e^{-i(l-1) \alpha} & \ldots & 0 & 0 \\
0 & . & \ldots & . & . \\
. & . & \ldots & . & . \\
. & . & \ldots & . & . \\
0 & 0 & \ldots & e^{i(l-1) \alpha} & 0 \\
0 & 0 & \ldots & 0 & e^{i l \alpha}
\end{array}\right) .
\]

Покажем теперь, что представления $\mathfrak{D}^{(l)}$ неприводимы, доказав, что всякая матрица, коммутирующая с матрицами $\mathfrak{D}^{(l)}(\{\alpha, \beta, \gamma\})$ при всех значениях $\alpha, \beta$ и $\gamma$, с необходимостью является постоянной матрицей. Прежде всего только диагональная матрица коммутирует со всеми матрицами (15.6). Поэтому матрица, коммутирующая с $\mathfrak{D}^{(l)}(\{\alpha, \beta, \gamma\})$, непременно является диагонаяьной матрицей. Более того, ниже мы увидим, что в общем случае (т. е. за исключением определенных дискретных значений $\beta$ ) в нулевой строке матрицы $\mathfrak{D}^{(l)}(\{0, \beta, 0\})$ нет нулей. Тогда только диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны (т. е. постоянная матрица), коммутирует с этими матрицами. Чтобы убедиться в этом, предположим, что диагональная матрица с элементами $d_{k}$ коммутирует с $\mathfrak{D}^{(l)}(\{0, \beta, 0\})$; элементами нулевой строки произведения являются
\[
d_{0} \mathfrak{D}^{(l)}(\{0, \beta, 0\})_{0 k}=\mathfrak{D}^{(l)}(\{0, \beta, 0\})_{0 k} d_{k},
\]

откуда следует, что $d_{0}=d_{k}$.
В том, что $\mathfrak{D}^{(l)}(\{0, \beta, 0\})$ в общем случае не содержит нулей в нулевой строке, можно убедиться следующим образом. Если $R$ есть вращение на угол $\beta$ вокруг оси $Y$, то $\mathrm{P}_{R}$ переводит точку $(r, \theta, 0)$ в точку $(r, \theta+\beta, 0)$. Поэтому функции $r^{l} Y_{l m}(\theta+\beta, 0)$ являются линейными комбинациями функций $r^{l} Y_{l m^{\prime}}(\theta, 0)$, причем коэффициентами будут $\mathfrak{D}^{(l)}(\{0, \beta, 0\})_{m^{\prime} m}$. Если мы рассмотрим точку $\theta=0$, то в общем случае $Y_{l m}(\beta, 0)$ не равно нулю, тогда как $Y_{l m^{\prime}}(0,0)$ все равны нулю, кроме $Y_{l, 0}(0,0)$. Если бы теперь обращался в нуль коэффициент этого члена $\mathfrak{D}^{(l)}(\{0, \beta, 0\})_{0 m}$, все члены в правой части равенства были бы равны нулю, тогда как левая часть была бы отлична от нуля; поэтому $\mathfrak{D}^{(l)}(\{0, \beta, 0\})_{0 m}$ не может обращаться в нуль.
2. Представления $\mathfrak{D}^{(l)}(\{\alpha, \beta, \gamma\})$ являются, таким образом, неприводимыми при всех $l=0,1,2, \ldots$ Чтобы определить их характеры, вспомним, что следы матриц, принадлежащих одному классу, равны. Так как в этом случае класс характеризуется углом вращения $\varphi$, характер $\chi^{(l)}(\varphi)$ является функцией лишь угла вращения и может быть вычислен, если найти след любой матрицы, соответствующей элементу с вращением на угол $\varphi$. Примером такой матрицы служит матрица (15.6), если $\alpha=\varphi$. Таким образом, мы получаем
\[
\chi^{(l)}(\varphi)=\sum_{m=-l}^{+l} e^{i m_{\varphi}}=1+2 \cos \varphi+2 \cos 2 \varphi+\ldots+2 \cos l \varphi \text {. }
\]

Соотношения ортогональности [если использовать весовую функцию, определенную выражением (14.27)] принимают вид
\[
8 \pi g(E) \int_{0}^{\pi} \chi^{\left(l^{\prime}\right)}(\varphi)^{*} \chi^{(l)}(\varphi)(1-\cos \varphi) d \varphi=8 \pi^{2} g(E) \delta_{l^{\prime} l} .
\]

Это можно показать путем простого интегрирования. Легко видеть также, что, кроме $\mathfrak{D}^{(l)}$, не существует других неприводимых представлений. Действительно, характеры любого такого представления, умноженные на $(1-\cos \theta)$, должны быть ортогональными всем $\chi^{(l)}$ и, следовательно, $\chi^{(l+1)}-\chi^{(l)}$, т. е. функциям $1,2 \cos \varphi, 2 \cos 2 \varphi$. $2 \cos 3 \varphi, \ldots$ в области от $\varphi=0$ до $\varphi=\pi$; поэтому, согласно теореме Фурье, они должны обращаться в нуль.

Из сказанного следует, что последовательность $\mathfrak{D}^{(0)}, \mathfrak{D}^{(1)}, \mathfrak{D}^{(2)}, \ldots$ включает все неэквивалентные неприводимые представления трехмерной группы чистых вращений. Их число бесконечно, как и должно быть, поскольку группа вращений имеет бесконечное число классов
Тождественным представлением является $\mathfrak{D}^{(0)}$. Трехмерные ортогональные матрицы, как представление своей собственной группы, эквивалентны представлению $\mathfrak{D}^{(1)}$, как это можно видеть непосредственно либо из их размерности, либо из равенства характеров.

Всякое представление трехмерной группы вращений является комбинациен представлений $\mathfrak{D}^{(0)}, \mathfrak{D}^{(1)}, \mathfrak{D}^{(2)}, \ldots$ и. определяется с точностью до преобразования подобия числом, сколько раз каждое отдельное $\mathfrak{D}^{(0)}, \mathfrak{D}^{(1)}, \ldots$ встречается в нем. Но эти числа $A_{0}$, $A_{1}, A_{2}, \ldots$ можно определить непосредственно, исходя из матриц, соответствующих подгруппе, являющейся двумерной группой вращений, т. е. вращений вокруг оси $Z$. Если представление $\exp (\operatorname{lm} \varphi)$ двумерной группы вращений встречается $a_{m}$ раз, то (при $m \geqslant 0$ ) $a_{m}=A_{m}+A_{m+1}+\ldots$ и $\mathfrak{D}^{(l)}$ содержится во всем представлении $A_{l}=a_{l}-a_{l+1}$ раз. Следует заметить, что к этому заключению можно прийти только в том случае, если заранее известно, что мы имеем дело с представлением; этот способ не может применяться к произвольной системе матриц.

Соотношение (15.6) определяет матрицы $\mathfrak{D}^{(l)}(\{\alpha, 0,0\})=$ $=\mathfrak{D}^{(l)}(\{0,0, \gamma\}) ;$ мы знали бы все матрицы $\mathfrak{D}^{(l)}(\{\alpha, \beta, \gamma\})$, если бы знали также матрицы, соответствующие вращениям вокруг оси $Y$. Обозначим $\mathfrak{D}^{(l)}(\{0, \beta, 0\})_{x \lambda}$ через $d^{(l)}(\beta)_{x \lambda}$. Вращение $\{\alpha, \beta, \gamma\}$ является произведением трех вращений $\{\alpha, 0,0\},\{0, \beta, 0\}$ и $\{0,0, \gamma\}$. Поэтому соответствующая матрица имеет вид
\[
\mathfrak{D}^{(l)}(\{\alpha, \beta, \gamma\})=\mathfrak{D}^{(l)}(\{\alpha, 0,0\}) \mathfrak{D}^{(l)}(\{0, \beta, 0\}) \mathfrak{D}^{(l)}(\{0,0, \gamma\}) .
\]

Следовательно, общая матрица вращения может быть записана с помощью матрицы вращения вокруг оси $Y$ в следующем виде:
\[
\mathfrak{D}^{(l)}(\{\alpha, \beta, \gamma\})_{m^{\prime} m}=e^{l m^{\prime} \alpha} d^{(l)}(\beta)_{m^{\prime} m} e^{l m \gamma} .
\]