1. Обобщим теперь результаты предыдущей главы. Первое обобщение совершенно формально; второе же имеет более существенную природу. Для обозначения компонент векторов и элементов матриц мы ставили индексы соответствующих координатных осей. До сих пор координатные оси обозначались номерами 1,2 , $3, \ldots, n$. В дальнейшем мы будем обозначать координатные оси по элементам произвольного множества. Если $G$ есть некоторое множество объектов $g, h, i, \ldots$, то вектор $\boldsymbol{v}$ в пространстве этого множества $G$ является набором чисел $v_{g}, v_{h}, v_{i}, \ldots$ Разумеется, можно приравнивать (складывать и т. д.) только векторы, определенные в одном и том же пространстве, так как только в этом случае компоненты соответствуют элементам одного и того же множества.

Аналогичная система обозначений будет использована для матриц. Чтобы матрица $\boldsymbol{\alpha}$ могла быть примененной к вектору $\boldsymbol{v}$ с компонентами $v_{g}, v_{h}, v_{i}, \ldots$, столбцы матрицы $\boldsymbol{\alpha}$ должны быть размечены (пронумерованы) элементами того же множества $G$, с помощью которого размечены компоненты вектора $\boldsymbol{v}$. В простейшем случае строки также именуются элементами $g, h, i, \ldots$ этого множества, и $\boldsymbol{a}$ преобразует вектор $\boldsymbol{v}$ в пространстве $G$ в вектор $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{v}$ том же пространстве. Таким образом,
\[
v_{j}^{\prime}=\sum_{l \in O} \alpha_{j l} v_{l},
\]

где $j$ — некоторый элемент множества $G$, и $l$ пробегает все элементы этого множества.

Например, координатные оси могут быть обозначены тремя буквами $x, y, z$. Тогда величина $v$ с компонентами $v_{x}=1, v_{y}=0, v_{z}=-2$ является вектором и
\[
\alpha=\left(\begin{array}{rrr}
x & y & z \\
1 & 2 & 3 \\
0 & 5 & -1 \\
-4 & -2 & 4
\end{array}\right) \begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array}
\]
есть матрица. (Справа и сверху указаны символы строк и столбцов.) В этом примере $\alpha_{x x}=1, \alpha_{x y}=2, \alpha_{x z}=3$. Соотношение (2.1) означает, что $x$-компонента вектора $\boldsymbol{v}^{\prime}=\alpha \boldsymbol{v}$ равна
\[
v_{x}^{\prime}=\alpha_{x x} v_{x}+\alpha_{x y} v_{y}+\alpha_{x z} v_{z}=1 \cdot 1+2 \cdot 0+3(-2)=-5 .
\]

Вышеприведенное простое обобщение является чисто формальным; оно вводит лишь другую систему обозначения координатных осей и компонент векторов и матриц. Две матрицы, денствующие на векторы того же пространства, могут быть перемножены, как и матрицы в предыдущей главе. Выражение
\[
\gamma=\beta \alpha
\]

эквивалентно выражению
\[
\gamma_{j k}=\sum_{l \in O} \beta_{j l} \alpha_{l k},
\]

где $j$ и $k$ являются двумя элементами множества $G$, а $l$ пробегает все элементы этого множества.
2. Дальненшее обобщение заключается в том, что строки и столбцы помечаются элементами различных множеств $F$ и $G$. Тогда из (2.1) находим
\[
w_{j}=\sum_{l \in O} \alpha_{j l} v_{l},
\]

где $j$ — элемент множества $F$, а $l$ пробегает все элементы множества $G$. Такая матрица, элементы которой помечены элементами различных множеств, называется прямоугольной матрицей, в отличие от квадратных матриц предыдущей главы; она преобразует вектор $\boldsymbol{v}$ в пространстве $G$ в вектор $\boldsymbol{w}$ в пространстве $F$. В общем случае множество $F$ не обязательно содержит то же число элементов, что и множество $G$. Если они содержат одно и то же число элементов, матрица имеет равное число строк и столбцов и называется „квадратной в более широком смысле слова\».

Пусть множество $G$ содержит символы *, $\triangle, \square$, а множество $F-$ числа 1 и 2. Тогда
\[
\alpha=\left(\begin{array}{rrr}
* & \Delta & \square \\
5 & 7 & 3 \\
0 & -1 & -2
\end{array}\right) \begin{array}{l}
1 \\
2
\end{array}
\]

есть прямоугольная матрица. (Здесь снова сверху и справа указаны обозначения столбцов и строк.) Она преобразует вектор с компонентами $v_{*}=1, v_{\triangle}=0, v_{\square}=-2$ в вектор
\[
w=\alpha \boldsymbol{v} \text {. }
\]

Компонентами $w_{1}$ и $w_{2}$ вектора $w$ тогда будут
\[
\begin{array}{l}
w_{1}=\alpha_{1 *} v_{*}+\alpha_{1 \Delta} v_{\Delta}+\alpha_{1 \square} v_{\square}=5 \cdot 1+7 \cdot 0+3(-2)=-1, \\
w_{2}=\alpha_{2 *} v_{*}+\alpha_{2} v_{\Delta}+\alpha_{2} v_{\square}=0 \cdot 1+(-1)(0)+(-2)(-2)=4 .
\end{array}
\]
Две прямоугольные матрицы $\beta$ и $\alpha$ могут быть перемножены только в том случае, если столбцы первого сомножителя и строки второго размечены элементами одного и того же множества $F$, т. е. только в том случае, если строки второго сомножителя \»нодходят\» к столбцам первого. С другой стороны, строки первого сомножителя и столбцы второго могут соответствовать совершенно различным множествам $E$ и $G$. Тогда
\[
\gamma=\beta \alpha
\]

эквивалентно соотношению
\[
\gamma_{j k}=\sum_{l \in F} \beta_{j l} \alpha_{l k},
\]

где $j$ — элемент множества $E, k$ — элемент множества $G$, а $l$ пробегает все элементы множества $F$. Прямоугольная матрица $\boldsymbol{\alpha}$ преобразует вектор в пространстве $G$ в вектор в пространстве $F$; матрица $\beta$ тогда преобразует этот вектор в вектор пространства $E$. Поэтому матрица $\gamma$ преобразует вектор пространства $G$ в вектор пространства $E$.

Пусть опять множество $G$ есть совокупность символов *, $\triangle$, $\square$, множество $F$ содержит буквы $x$ и $y$, а множество $E$ — числа 1 и 2. Тогда, если
\[
\beta=\left(\begin{array}{cc}
x & y \\
7 & 8 \\
9 & 3
\end{array}\right)_{2}^{1} \quad \text { и } \quad \alpha=\left(\begin{array}{ccc}
* & \Delta & \square \\
2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7
\end{array}\right)_{y}^{x},
\]

мы имеем, например,
\[
\begin{aligned}
\gamma_{1 *} & =\beta_{1 x} \alpha_{x *}+\beta_{1 y} \alpha_{y *}=7 \cdot 2+8 \cdot 5=54, \\
\gamma_{2 \Delta} & =\beta_{2 x^{\alpha} x \Delta}+\beta_{2 y^{\alpha} \alpha_{\Delta}}=9 \cdot 3+3 \cdot 6=45
\end{aligned}
\]

и
\[
\gamma=\left(\begin{array}{ccc}
* & \Delta & \square \\
54 & 69 & 84 \\
33 & 45 & 57
\end{array}\right) \begin{array}{l}
1 \\
2
\end{array} .
\]
3. Исследуем теперь вопрос о’том, как десять теорем матричного исчисления, выведенные в гл. 1, должны быть видоизменены для прямоугольных матриц. Сразу видно, что они остаются справедливыми для обобщенной квадратной матрицы, обсуждавшейся в начале настоящей главы, поскольку специфическая числовая природа индексов не была нигде использована в гл. 1.

Сложение двух прямоугольных матриц, так же как и двух векторов, предполагает, что они определены в одной и той же координатной системе, т. е. разметка строк обеих матрии $и$ разметка столбцов обеих матрии также совпадают. В соотношении
\[
\alpha+\beta=\gamma
\]
разметка строк трех матриц $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ должна быть одинаковой, как и разметка их столбцов. С другой стороны, для умножения матриц разметка столбцов первого сомножителя должна совпадать с разметкой строк второго; тогда (и только тогда) может быть составлено произведение матриц. Получающееся при этом произведение имеет разметку строк первого сомножителя и разметку столбцов второго.

Теорема 1. Мы можем говорить об определителе прямоугольной матрицы, если она имеет одинаковое число строк и столбцов, хотя они могут быть пронумерованы различным образом. Для матриц, „квадратных в более широком смысле\», правило, по которому определитель произведения равен произведению определителей, по-прежнему справедливо.

Теоремы 2 и 3. Ассоциативный закон также имеет место для умножения прямоугольных матриц:
\[
(\alpha \beta) \gamma=\alpha(\beta \gamma) .
\]

Ясно, что все умножения в правой части этого равенства могут действительно быть выполнены, если только это может быть сделано в левой части, и наоборот.

Теоремы 4, 5 и 6 . Под матрицей 1 всегда будем понимать квадратную матрицу со строками и столбцами, размеченными с помощью элементов одного и того же множества. Умножение на нее всегда может быть опущено.

Матрицы, являющиеся квадратными в более широком смысле имеют обратные только в том случае, если их определитель не обращается в нуль. Для прямоугольных матриц с различным числом строк и столбцов обратная матрица не определена вовсе. Если $\boldsymbol{\alpha}$ есть матрица, являющаяся квадратной лишь в широком смысле, то из равенства
\[
\beta \alpha=1
\]

следует, что разметка столбцов $\beta$ совпадает с разметкой строк матрицы $\boldsymbol{\alpha}$. Кроме того, разметка строк матрицы 1 должна совпадать с разметкой строк $\beta$, а ее столбцов — с разметкой столбцов $\boldsymbol{\alpha}$. Поскольку 1 является квадратной в собственном смысле слова, разметка столбцов $\alpha$ должна совпадать также с разметкой строк $\beta$.

Строки матрицы $\beta$, обратной матрице $\alpha$, размечаются элементами того же множества, что и столбиы $\alpha$; ее столбиы — теми же элементами, что и строки а. Для всякой матрицы $\boldsymbol{\alpha}$, являющейся квадратной в широком смысле и имеющей отличный от нуля определитель, существует такая обратная матрица $\beta$, что
\[
\beta a=1 .
\]
Кроме того,
\[
a \beta=1 .
\]

Следует, однако, заметить, что строки и столбцы матрицы 1 в (2.4) размечены иначе, чем матрицы 1 в (2.4а).

Теорема 7. Что касается сложения и нулевой матрицы, для прямоугольных и квадратных матриц справедливы одни и те же па зила. Однако степени прямоугольных матриц не могут быть построены, так как умножение $\boldsymbol{\alpha}$ на $\boldsymbol{\alpha}$ предполагает, что разметка столбцов $\boldsymbol{\alpha}$ совпадает с разметкой строк $\boldsymbol{\alpha}$, т. е. что матрица $\boldsymbol{\alpha}$ является квадратной матрицей в узком смысле.

Теоремы 8, 9 и 10. Для прямоугольных матриц понятия диагональной матрицы и следа не имеют смысла; преобразование подобия также не определено. Рассмотрим соотношение
\[
\sigma \alpha \sigma^{-1}=\beta \text {. }
\]

Из него следует, что матрицы $\beta$ и $\sigma$ имеют одну и ту же разметку строк, которая совпадает с разметкой столбцов матрицы $\sigma^{-1}$ и поэтому также и столбцов матрицы $\beta$. Следовательно, матрица $\beta$ является квадратной в узком смысле; аналогично, матрица $\boldsymbol{\alpha}$, разметка строк которой должна соответствовать разметке столбцов матрицы $\sigma$ и разметка столбцов — разметке строк $\sigma^{-1}$, должна быть квадратной в узком смысле.

С другой стороны, сама матрица о может быть квадратной в широком смысле: разметка строк и столбцов матрицы $\boldsymbol{\alpha}$ отлична тогда от разметки строк и столбцов матрицы $\beta$. Преобразования подобия, которые меняют нумерацию строк и столбцов, особенно важны. Теория преобразований в квантовой механике является примером таких преобразований.

Введение прямоугольных матриц весьма выгодно, несмотря на кажущиеся усложнения, к которым оно приводит, поскольку с их помощью можно достигнуть существенных упрощений, Вышеизложенное не следует рассматривать как жесткую схему; скорее оно приведено для того, чтобы приучить читателя мыслить в терминах этих величин. Использование подобных более сложных матриц будет всегда поясняться специально, за исключением случаев, когда разметка строк и столбцов очевидна из формы и определения элементов матриц, так что дальнейшие пояснения становятся излишними.
4. Довольно часто оказывается, что строки обозначаются не одним числом, а двумя или более числами, например:
\[
\gamma=\left(\begin{array}{llll}
a_{1} b_{1} c_{1} d_{1} & a_{1} b_{1} c_{1} d_{2} & a_{1} b_{1} c_{2} d_{1} & a_{1} b_{1} c_{2} d_{2} \\
a_{1} b_{2} c_{1} d_{1} & a_{1} b_{2} c_{1} d_{2} & a_{1} b_{2} c_{2} d_{1} & a_{1} b_{2} c_{2} d_{2} \\
a_{2} b_{1} c_{1} d_{1} & a_{2} b_{1} c_{1} d_{2} & a_{2} b_{1} c_{2} d_{1} & a_{2} b_{1} c_{2} d_{2} \\
a_{2} b_{2} c_{1} d_{1} & a_{2} b_{2} c_{1} d_{2} & a_{2} b_{2} c_{2} d_{1} & a_{2} b_{2} c_{2} d_{2}
\end{array}\right) .
\]
Первый столбец называется „столбец 1,1 “, второй — „столбец 1,2 “, значаются аналогичным образом. Элементами матрицы (2.E.1) являются
\[
\gamma_{i j ; k l}=a_{i} b_{j} c_{k} d_{l} .
\]

Для ясности записи точка с запятой отделяет индексы строк от индексов столбцов.

Среди таких матриц особенно важное значение имеет прямое произведение $\gamma$ двух матриц $\left(\alpha_{i k}\right.$ ) и $\left(\beta_{j l}\right)$ :
\[
\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{\beta} .
\]

Равенство (2.5) равносильно равенству ${ }^{1}$ )
\[
\gamma_{i j ; k l}=\alpha_{i k} \beta_{j l} \text {. }
\]

Если $\boldsymbol{\alpha}$ имеет $n_{1}$ строк и $n_{2}$ столбцов, а матрица $\beta$-соответственно $n_{1}^{\prime}$ строк и $n_{2}^{\prime}$ столбцов, то матрица $\gamma$ имеет точно $n_{1} n_{1}^{\prime}$ строк и $n_{2} n_{2}^{\prime}$ столбцов. В частности, если $\boldsymbol{\alpha}$ и $\beta$ обе являются квадратными матрицами, то прямое произведение $\alpha \times \beta$ есть квадратная матрица.

Теорема 1. Если $\boldsymbol{\alpha} \overline{\boldsymbol{\alpha}}=\overline{\boldsymbol{\alpha}}$ и $\beta \bar{\beta}=\bar{\beta}$ и если $\boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{\beta}=\gamma$ и $\bar{\alpha} \times \bar{\beta}=\bar{\gamma}$, то $\gamma \bar{\gamma}=\overline{\boldsymbol{\alpha}} \times \overline{\bar{\beta}}$ или
\[
(\boldsymbol{\alpha} \times \beta)(\overline{\boldsymbol{\alpha}} \times \bar{\beta})=\boldsymbol{\alpha} \overline{\boldsymbol{\alpha}} \times \beta \bar{\beta} .
\]

Иначе говоря, матричное произведение двух прямых произведений есть прямое произведение этих двух матричных произведений. Чтобы показать это, рассмотрим
\[
(\alpha \times \beta)_{i k ; i^{\prime} k^{\prime}}=\alpha_{l i^{\prime}} \beta_{k k^{\prime}}, \quad(\bar{\alpha} \times \bar{\beta})_{i^{\prime} k^{\prime} ; l^{\prime \prime} k^{n}}=\bar{\alpha}_{i^{\prime} i^{n}} \vec{\beta}_{k^{\prime} k^{n}}
\]

и
\[
(\alpha \times \beta)(\bar{\alpha} \times \bar{\beta})_{i k ; i^{\prime \prime} k^{\prime \prime}}=\sum_{i^{\prime} k^{\prime}} \alpha_{i i^{\prime}} \beta_{k k^{\prime}} \bar{\alpha}_{i^{\prime} i^{\prime \prime}} \bar{\beta}_{k^{\prime} k^{\prime \prime}}
\]

Ho
\[
(\boldsymbol{\alpha} \overline{\boldsymbol{\alpha}})_{i i^{\prime \prime}}=\sum_{i^{\prime}} \alpha_{i i^{\prime}} \bar{\alpha}_{\iota^{\prime} i^{\prime \prime}}, \quad(\beta \bar{\beta})_{k k^{\prime \prime}}=\sum_{k^{\prime}} \beta_{k k^{\prime}} \bar{\beta}_{k^{\prime} k^{n}}
\]

и
\[
(\boldsymbol{\alpha} \bar{\alpha} \times \beta \bar{\beta})_{i k ; i^{n} k^{\prime \prime}}=\sum_{i^{\prime}} \alpha_{i i^{\prime}}, \bar{\alpha}_{i^{\prime} i^{\prime \prime}} \sum_{k^{\prime}} \beta_{k k^{\prime}} \bar{\beta}_{k^{\prime} k^{n}}
\]

Поэтому, из (2.8) и (2.9) следует теорема 1, а именно равенство (2.7).
1) Множители $\alpha$ и $\vec{\alpha}$ обычного произведения матриц пишутся рядом: $\alpha \vec{\alpha}$. Матрица же (2.E.1) есть прямое произведение двух матриц:
\[
\left(\begin{array}{ll}
a_{1} c_{1} & a_{1} c_{2} \\
a_{2} c_{1} & a_{2} c_{2}
\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{ll}
b_{1} d_{1} & b_{1} d_{2} \\
b_{2} d_{1} & b_{2} d_{2}
\end{array}\right)=\gamma .
\]
Теорема 2. Прямое произведение двух диагональных матриц есть снова диагональная матрица; прямое произведение двух единичных матриц есть единичная матрица. Это легко видеть непосредственно из определения прямых произведений.

В формальных расчетах с матрицами необходимо проверять, действительно ли возможно обозначенное умножение. В гл. 1, где мы всюду имеем дело с квадратными матрицами с $n$ строками и $n$ столбцами, это, разумеется, всегда имело место. Однако в общем случае следует проверить, что разметка строк первого сомножителя в матричном произведении совпадает с разметкой столбцов второго, т. е. что они имеют одинаковые наименования индексов. Прямое произведение двух матриц всегда может быть построено с помощью (2.6).

Матрицы обобщенного типа с несколькими индексами М. Борн и Йордан назвали „суперматрицей“. Они рассматривают матрицу $\left(\alpha_{i j ; k l}\right)$ как матрицу $\left(A_{i k}\right)$, элементы которой $A_{i k}$ сами являются матрицами. При этом $A_{l k}$ есть та матрица, в которой число $\alpha_{i j ; k l}$ встречается в $j$-й строке и $l$-м столбце:
\[
\left(\alpha_{i j ; k l}\right)=\alpha=\left(A_{i k}\right) \text {, где }\left(A_{i k}\right)_{j l}=\alpha_{l j ; k l} .
\]

Теорема 3. Ecли $\alpha=\left(A_{i i^{\prime}}\right) u \beta=\left(B_{i^{\prime} i^{n}}\right)$, то $\alpha \beta=\gamma=\left(C_{i i^{n}}\right)$, где
\[
C_{i i^{n}}=\sum_{i^{\prime}} A_{i i^{\prime}} B_{i^{\prime} l^{n}}
\]

Правая часть (2.11) состоит из суммы произведении матричных умножений. Мы имеем
\[
(\alpha \beta)_{i k ; i^{\prime \prime} k^{\prime}}=\sum_{i^{\prime}, k^{\prime}} \alpha_{i k ; l^{\prime} k^{\prime}} \beta_{i^{\prime} k^{\prime} ; l^{\prime \prime} k^{* *}}
\]

С другой стороны,
\[
\gamma_{l k ; i^{n} k^{n}}=\left(C_{i i^{n}}\right)_{k k^{n}}=\sum_{i^{\prime}}\left(A_{i l^{\prime}}, B_{i^{\prime} i^{n}}\right)_{k k^{\prime \prime}}
\]
n
\[
\left(A_{l l^{\prime}} B_{i^{\prime} i^{\prime \prime}}\right)_{k k^{\prime \prime}}=\sum_{k^{\prime}}\left(A_{u l^{\prime}}\right)_{k k^{\prime}}\left(B_{l^{\prime} l^{\prime \prime}}\right)_{k^{\prime} k^{n}}=\sum_{k^{\prime}} \alpha_{i k ; l^{\prime} k^{\prime}} \beta_{l^{\prime} k^{\prime} ; l^{\prime \prime} k^{* *}}
\]

Поэтому
\[
(\alpha \beta)_{l k ; l^{\prime \prime} k^{n}}=\gamma_{l k ; i^{n} k^{n}}
\]

и теорема 3 доказана. Конечно, в правой части (2.11) следует соблюдать аккуратность в смысле порядка сомножителей, тогда как в соответствующем соотношении для умножения простых матриц в этом не было необходимости. С этим единственным ограничением суперматрицы можно умножать по правилам умножения простых матриц.
В простейшем случае рассмотрим две квадратные матрицы:
\[
\left[\begin{array}{ll:lll}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} & \alpha_{14} & \alpha_{15} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} & \alpha_{24} & \alpha_{25} \\
\hdashline \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} & \alpha_{34} & \alpha_{35} \\
\alpha_{41} & \alpha_{42} & \alpha_{43} & \alpha_{44} & \alpha_{45} \\
\alpha_{51} & \alpha_{52} & \alpha_{53} & \alpha_{54} & \alpha_{55}
\end{array}\right] \text { и }\left[\begin{array}{lll:ll}
\beta_{11} & \beta_{12} & \beta_{13} & \beta_{14} & \beta_{15} \\
\beta_{21} & \beta_{22} & \beta_{23} & \beta_{24} & \beta_{25} \\
\hdashline \beta_{31} & \beta_{32} & \beta_{33} & \beta_{34} & \beta_{35} \\
\beta_{41} & \beta_{42} & \beta_{43} & \beta_{44} & \beta_{45} \\
\beta_{51} & \beta_{52} & \beta_{53} & \beta_{54} & \beta_{55}
\end{array}\right] \text {. }
\]

Их можно разбить на субматрицы, как показано пунктирными линиями, позаботясь о том, чтобы числа столбцов в субматрицах при разбиении первой матрицы (на 2 и 3) совпадали с числами строк в субматрицах при разбиении второй. Тогда обе матрицы (2.12) сокращенно можно записать в виде
\[
\left(\begin{array}{ll}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{array}\right) \text { и } \quad\left(\begin{array}{ll}
B_{11} & B_{12} \\
B_{21} & B_{22}
\end{array}\right) \text {. }
\]

Произведение двух матрии (2.12) можно записать как
\[
\left(\begin{array}{ll}
A_{11} B_{11}+B_{12} B_{21} & A_{11} B_{12}+A_{12} B_{22} \\
A_{21} B_{11}+A_{22} B_{21} & A_{21} B_{12}+A_{22} B_{22}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
C_{11} & C_{12} \\
C_{21} & C_{22}
\end{array}\right) .
\]

С другой стороны, выражение
\[
\left(\begin{array}{ll}
B_{11} & B_{12} \\
B_{21} & B_{22}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
B_{11} A_{11}+B_{12} A_{21} & B_{11} A_{12}+B_{12} A_{22} \\
B_{21} A_{11}+B_{22} A_{21} & B_{21} A_{12}+B_{22} A_{22}
\end{array}\right)
\]

не имеет смысла, поскольку число столбцов матрицы $B_{11}$, например, отлично от числа строк $A_{11}$.