Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Рассмотрим сначала случай, когда имеется полная вращательная симметрия. Представляется естественным выбрать в качестве $\mathbf{a}_{0}$ сам оператор обращения времени $\theta$. Bсе результаты, разумеется, не зависят от этого выбора. Из (26.17) и (26.32) следует, что в этом случае $\bar{\Delta}=\Delta^{*}$ или, если воспользоваться в этом случае стандартным обозначением для представлении, Матрицей $\beta$, преобразующей $\mathfrak{D}^{(J)}$ к этому виду, является матрица $\mathbf{C}^{-1}=\mathbf{C}^{\dagger}$ из (24.3). Следовательно, $\beta \beta^{*}=\mathbf{C}^{-1} \mathbf{C}^{\dagger^{*}}=\mathbf{C}^{-1} \mathbf{C}^{T}$, и так как $\mathbf{C}^{T}=\mathbf{C}$ при целых $J$, то $\beta \beta^{*}=1$. Как мы видели, в этом случае $\theta^{2}=1$, что соответствует либо простой теории Шредингера, не учитывающей спина, либо четному числу электронов. Поэтому справедливо соотношение (26.35a), и все копредставления относятся Однако соображения, связанные с обращением времени, приводят к существенным результатам относительно вещественности собственных функций. Так как в этом случае, согласно (26.39a) или (26.40a), $\mathrm{D}\left(\mathrm{a}_{0}\right)=\mathrm{D}(\boldsymbol{\theta})=\beta=\mathrm{C}$, в простой теории Шредингера можно написать Здесь матрица С была подставлена в форме (24.6). Следует учесть, что из (26.43) вытекает определенный выбор фазового множителя; такой выбор был сделан, когда мы в (26.39a) положили D (a) равным $\beta$, а не $\omega \beta^{1}$ ). В данном случае $\psi_{\mu}^{l}$ и $\psi_{-\mu}^{l}$ являются комплексно-сопряженными друг другу, если $l$ — $\mu$ четно; при нечетном $l$ — $\mu$ комплексно-сопряженными будут — $\psi_{\mu}^{l}$ и $\psi_{-\mu}^{l}$. В частности. $\psi_{0}^{l}$ вещественны при четных $l$ и чисто мнимы при нечетных $l$. Тот же результат может быть получен для $G_{\mu}^{l}$ в волновых функциях (19.18) атома гелия. Тогда из (19.19) и (19.19a) следует, что все $G$ вещественны для четных состояний и чисто мнимы для нечетных. Разумеется, можно изменить все свойства вещественности, умножив все волновые функции, принадлежащие различным строкам некоторого представления, на общий множитель. В теории, учитывающей спин, соотношение (26.43) заменяется следующим: В этом случае $\Psi_{M}^{J}$ и $\Psi_{-M}^{J}$ связаны с противоположными направлениями спина. Так, в частности, если $M=0$, волновая функ- Предшествующие рассуждения соответствуют рассуждениям гл. 19 в той мере, в какой они дают информацию относительно волновых функций. Отсюда можно сделать ряд заключений относительно величины матричных элементов. С другой стороны, матричные элементы могут рассматриваться непосредственно. Это было сделано в гл. 21, где введено понятие о неприводимых тензорных операторах. Рассуждения, сходные с изложением в гл. 21, можно провести также с помощью антиунитарных операторов. Рассмотрим, в частности, симметричный (т. е. скалярный) оператор p, содержащий нечетную степень времени, т. е. такой, для которого справедливо (26.12). Таким оператором, например, является скалярное произведение координатного вектора и спинового (или орбитального) момента количества движения для любой частицы, или скалярное произведение координаты и скорости и т. д. Среднее значение такого оператора равно нулю для любого стационарного состояния, кроме случая, когда отсутствует случайное вырождение. Действительно, в матричном элементе смешанные члены с $\mu Последнее равенство следует из того, что $2 J-2 \mu$ всегда есть четное число и что $\mathrm{p}$ как оператор физической величины является эрмитовым. Согласно (26.44), ( $\left.\Psi_{\mu}, p \Psi_{\mu}\right)$ имеют противоположные знаки для $\mu$ и — $\mu$. Поскольку $\Psi_{\mu}{ }^{\mu}$ и $\Psi_{-\mu}$ являются партнерами, а $\mathrm{p}$ — симметричный оператор, эти два выражения должны быть равны. Поэтому они обращаются в нуль, так же как и выражение (26.Е.5). Имеется много подобных примеров, некоторые из которых приводят к определенным заключениям относительно вещественности или чистой мнимости матричных элементов. Так, например, если р удовлетворяет перечисленным выше условиям, но две волновые функции в матричном элементе Рассмотрим теперь противоположный случай полного отсутствия пространственной симметрии. В этом случае унитарная подгруппа сводится к единичному элементу и $\boldsymbol{\Delta}=(1)$. Поэтому $\boldsymbol{\Delta}$ и $\bar{\Delta}$ совпадают, а $\beta$ есть произвольное число с модулем 1. Таким образом, $\beta \beta^{*}=(1)$. С другой стороны, $\boldsymbol{\theta}^{2}=1$, если число электронов четно, но $\theta^{2}=-1$, если оно нечетно. В результате копредставление (имеется только одно) относится к первому типу в первом случае, но ко второму типу, если число электронов нечетно и учитывается спин. В этом последнем случае все собственные значения двукратно вырождены: если выбрать $\beta=(1)$, то две волновые функции $\psi_{1}, \psi_{2}$ преобразуются при обращении времени согласно (26.40б), Это — теорема Крамерса о вырождении в ее первоначальном виде. Факт наличия вырождения следует уже из того, что если $\theta$ есть такой антиунитарный оператор, что $\theta^{2}=-1$, mо $\psi$ и $\dot{\psi}$ всегда ортогональны. Это следует из (26.8): В случае четного числа электронов или, с другой стороны, для простой теории Шредингера вырождения нет, и соотношение справедливо для любого стационарного состояния, если фазовыћ множитель выбран надлежащим образом. Случай отсутствия пространственной симметрии, но при наличии инвариантности относительно обращения времени, важен для атомов в асимметричном электрическом поле, которое преобладает, в частности, в кристаллах низкой симметрии. В качестве последнего примера рассмотрим случай однородного магнитного поля в направлении оси $Z$. Соответствующая унитарная подгруппа была определена в гл. 18; она состоит из всех вращений $\mathrm{O}_{\{\alpha, 0,-0\}}$ вокруг оси $Z$ и произведений этих вращений на инверсию пространства $\mathrm{O}_{I}$. Интересным моментом является здесь то, что обращение времени, как таковое, при этом не является элементом симметрии; таким элементом является лишь произведение обращения времени на операцию, которая обращает направление магнитного поля. Это достигается вращением вокруг любой оси в плоскости $X Y$ на угол $\pi$, а также отражением в любой плоскости, проходящей через ось $Z$. Произведение $\theta_{\{0, \pi, 0\}}$ обращения времени и вращения на угол $\pi$ вокруг $Y$ может быть выбрано в качестве $\mathrm{a}_{0}$. Поэтому, поскольку $\theta$ и $\mathrm{O}_{R}$ коммутируют, Уравнение (26.32), определяющее $\beta$, принимает вид причем уравнение, в которое входит пространственная инверсия, выполняется автоматически. Так как $\boldsymbol{\Delta}(\{\alpha, 0,0\})=\left(e^{i m \alpha}\right)$, уравнение (26.47) снова дает $\beta=(\omega)$, и все копредставления относятся к первому типу. Как и следовало ожидать, все собственные значения являются простыми при наличии магнитного поля. Однако, если взять в качестве $\beta$ единичную матрицу, равенство (26.39a) показывает, что или, подставляя произведение ( $-i)^{n} \mathrm{Q}_{\{0, \pi, 0\}} \mathrm{K}$ из (26.15в) вместо $\boldsymbol{\theta}$ и $\mathrm{P}_{\{0, \pi, 0\}} \mathrm{Q}_{\{0, \pi, 0\}}$ вместо $\mathrm{O}_{\{0, \pi, 0\}}$, Так как $\mathrm{P}$ и $\mathrm{Q}_{\{0, \pi, 0\}}$ вещественны и так как квадрат последнего оператора равен ( -1$)^{n}$, получаем соотношение или которое выполняется при наличии произвольно сильного однородного магнитного поля вдоль оси $Z$. Выбор фазового множителя,
|
1 |
Оглавление
|