Рассмотрим сначала случай, когда имеется полная вращательная симметрия. Представляется естественным выбрать в качестве $\mathbf{a}_{0}$ сам оператор обращения времени $\theta$. Bсе результаты, разумеется, не зависят от этого выбора. Из (26.17) и (26.32) следует, что в этом случае $\bar{\Delta}=\Delta^{*}$ или, если воспользоваться в этом случае стандартным обозначением для представлении,
\[
\overline{\mathfrak{D}}^{(J)}=\mathfrak{D}^{(J)^{*}} .
\]

Матрицей $\beta$, преобразующей $\mathfrak{D}^{(J)}$ к этому виду, является матрица $\mathbf{C}^{-1}=\mathbf{C}^{\dagger}$ из (24.3). Следовательно, $\beta \beta^{*}=\mathbf{C}^{-1} \mathbf{C}^{\dagger^{*}}=\mathbf{C}^{-1} \mathbf{C}^{T}$, и так как $\mathbf{C}^{T}=\mathbf{C}$ при целых $J$, то $\beta \beta^{*}=1$. Как мы видели, в этом случае $\theta^{2}=1$, что соответствует либо простой теории Шредингера, не учитывающей спина, либо четному числу электронов. Поэтому справедливо соотношение (26.35a), и все копредставления относятся
1) Это не противоречит „типам“ в теории элементарных частиц. Они различаются группами операторов симметрии, выражающих одну и ту же физическую симметрию. Так, для частиц типов 1 и $2 \theta^{2}=(-1)^{2 s}$, а для частиц типов 3 и $40^{2}=-(-1)^{2 s}$, где $s$ – спин частицы. Группа операторов имеет различные законы умножения для различных типов; каждый же набор законов умножения имеет лишь одно копредставление.
к первому типу. То же самое справедливо и для нечетного числа электронов. В этом случае $J$ нечетно и $\beta \beta^{*}=\mathbf{C}^{-1} \mathbf{C}^{T}=-\mathbf{C C}^{\dagger}=-1$, так как при этом $\mathbf{C}=-\mathrm{C}^{T}$. Поскольку $\boldsymbol{\theta}^{2}=-1$, если число электронов нечетно, то все копредставления снова принадлежат к первому типу. $B$ случае полной вращательной симметрии обращение времени не приводит к какому-либо дополнительному вырождению.

Однако соображения, связанные с обращением времени, приводят к существенным результатам относительно вещественности собственных функций. Так как в этом случае, согласно (26.39a) или (26.40a), $\mathrm{D}\left(\mathrm{a}_{0}\right)=\mathrm{D}(\boldsymbol{\theta})=\beta=\mathrm{C}$, в простой теории Шредингера можно написать
\[
\theta \psi_{\mu^{\prime}}^{l}=\psi_{\mu}^{l^{*}}=\sum_{\mu^{\prime}} C_{\mu^{\prime} \mu^{\prime}} \psi_{\mu^{\prime}}^{l}=(-1)^{l-\mu^{\mu}} \psi_{-\mu^{\prime}}^{l} .
\]

Здесь матрица С была подставлена в форме (24.6). Следует учесть, что из (26.43) вытекает определенный выбор фазового множителя; такой выбор был сделан, когда мы в (26.39a) положили D (a) равным $\beta$, а не $\omega \beta^{1}$ ). В данном случае $\psi_{\mu}^{l}$ и $\psi_{-\mu}^{l}$ являются комплексно-сопряженными друг другу, если $l$ – $\mu$ четно; при нечетном $l$ – $\mu$ комплексно-сопряженными будут – $\psi_{\mu}^{l}$ и $\psi_{-\mu}^{l}$. В частности. $\psi_{0}^{l}$ вещественны при четных $l$ и чисто мнимы при нечетных $l$. Тот же результат может быть получен для $G_{\mu}^{l}$ в волновых функциях (19.18) атома гелия. Тогда из (19.19) и (19.19a) следует, что все $G$ вещественны для четных состояний и чисто мнимы для нечетных. Разумеется, можно изменить все свойства вещественности, умножив все волновые функции, принадлежащие различным строкам некоторого представления, на общий множитель.

В теории, учитывающей спин, соотношение (26.43) заменяется следующим:
\[
\begin{array}{l}
\theta \Psi_{M}^{J}\left(\ldots, x_{k}, y_{k}, z_{k}, s_{k}, \ldots\right)= \\
\quad=i^{-s_{1}-s_{2}-\ldots-s_{n} \Psi_{M}^{J}}\left(\ldots, x_{k}, y_{k}, z_{k},-\varepsilon_{k}, \ldots\right)^{*}= \\
\quad=\sum_{M^{\prime}} C_{M^{\prime} M^{\prime} \Psi_{M^{\prime}}^{J}}\left(\ldots, x_{k}, y_{k}, z_{k}, s_{k}, \ldots\right)= \\
\quad=(-1)^{J-M} \Psi_{-M}^{J}\left(\ldots, x_{k}, y_{k}, z_{k}, s_{k}, \ldots\right) .
\end{array}
\]

В этом случае $\Psi_{M}^{J}$ и $\Psi_{-M}^{J}$ связаны с противоположными направлениями спина. Так, в частности, если $M=0$, волновая функ-
1) Этот выбор фазы отличается от выбора, сделанного в явном выражении волновых функций в гл. 15, множителем $i^{l}$. Иногда сферические гармоники удобно определять так, чтобы они включали этот множитель. См., в частности, цитированную на стр. 352 работу Биденхарна, Блатта и Роуза.
ция вещественна, если полный момент $J$ и $Z$-компонента спинового момента оба четны или оба нечетны; волновая функция $\Psi_{0}^{J}$ – чисто мнима, если $J$ четно, а $Z$-компонента спинового момента нечетна, или наоборот.

Предшествующие рассуждения соответствуют рассуждениям гл. 19 в той мере, в какой они дают информацию относительно волновых функций. Отсюда можно сделать ряд заключений относительно величины матричных элементов. С другой стороны, матричные элементы могут рассматриваться непосредственно. Это было сделано в гл. 21, где введено понятие о неприводимых тензорных операторах. Рассуждения, сходные с изложением в гл. 21, можно провести также с помощью антиунитарных операторов. Рассмотрим, в частности, симметричный (т. е. скалярный) оператор p, содержащий нечетную степень времени, т. е. такой, для которого справедливо (26.12). Таким оператором, например, является скалярное произведение координатного вектора и спинового (или орбитального) момента количества движения
\[
x \mathrm{~S}_{x}+y \mathrm{~S}_{y}+z \mathrm{~S}_{z} \text { или } x \mathrm{~L}_{x}+y \mathrm{~L}_{y}+z \mathrm{~L}_{z}
\]

для любой частицы, или скалярное произведение координаты и скорости и т. д. Среднее значение такого оператора равно нулю для любого стационарного состояния, кроме случая, когда отсутствует случайное вырождение. Действительно, в матричном элементе
\[
\left(\sum a_{\mu} \Psi_{\mu}^{J}, \mathrm{p} \Sigma a_{
u} \Psi_{
u}^{J}\right)
\]

смешанные члены с $\mu
eq
u$ обращаются в нуль, так как $\Psi_{\mu}^{J}$ и $\mathrm{p} \Psi_{
u}^{J}$ принадлежат различным строкам некоторого представления. Кроме того, обращается в нуль и член с $\mu=
u$. В этом можно убедиться из (26.8) и (26.43a) следующим образом:
\[
\begin{aligned}
\left(\Psi_{\mu}^{J}, \mathrm{p} \Psi_{\mu}^{J}\right) & =\left(\theta \rho \Psi_{\mu-}^{J}, \theta \Psi_{\mu}^{J}\right)=-\left(p \Psi_{\mu}^{J}, \theta \Psi_{\mu}^{J}\right)= \\
& =-(-1)^{2 J-2 \mu}\left(p \Psi_{-\mu}^{J}, \Psi_{-\mu}^{J}\right)=-\left(\Psi_{-\mu}^{J}, p \Psi_{-\mu}^{J}\right) .
\end{aligned}
\]

Последнее равенство следует из того, что $2 J-2 \mu$ всегда есть четное число и что $\mathrm{p}$ как оператор физической величины является эрмитовым. Согласно (26.44), ( $\left.\Psi_{\mu}, p \Psi_{\mu}\right)$ имеют противоположные знаки для $\mu$ и – $\mu$. Поскольку $\Psi_{\mu}{ }^{\mu}$ и $\Psi_{-\mu}$ являются партнерами, а $\mathrm{p}$ – симметричный оператор, эти два выражения должны быть равны. Поэтому они обращаются в нуль, так же как и выражение (26.Е.5). Имеется много подобных примеров, некоторые из которых приводят к определенным заключениям относительно вещественности или чистой мнимости матричных элементов. Так, например, если р удовлетворяет перечисленным выше условиям, но две волновые функции в матричном элементе
\[
\left(\Psi_{\mu}^{J}, p \Phi_{\mu}^{J}\right)
\]
не совпадают, то это скалярное произведение является чисто мнимым. При этом предполагается, что фазы функций $\Psi_{\mu}^{J}$ и $\Phi_{\mu}^{J}$ определены так, что копредставление имеет одинаковый вид для обеих из них и, в частности, что для обеих выполняется соотношение (26.43a). Если р есть $Z$-компонента векторного оператора, имеющего подобные свойства относительно обращения времени, выражение (26.Е.6) вещественно. Эти результаты могут быть получены на основе аргументов, вытекающих из (26.44), и могут быть обобщены соответствующим образом на неприводимые тензорные операторы произвольного ранга.

Рассмотрим теперь противоположный случай полного отсутствия пространственной симметрии. В этом случае унитарная подгруппа сводится к единичному элементу и $\boldsymbol{\Delta}=(1)$. Поэтому $\boldsymbol{\Delta}$ и $\bar{\Delta}$ совпадают, а $\beta$ есть произвольное число с модулем 1. Таким образом, $\beta \beta^{*}=(1)$. С другой стороны, $\boldsymbol{\theta}^{2}=1$, если число электронов четно, но $\theta^{2}=-1$, если оно нечетно. В результате копредставление (имеется только одно) относится к первому типу в первом случае, но ко второму типу, если число электронов нечетно и учитывается спин. В этом последнем случае все собственные значения двукратно вырождены: если выбрать $\beta=(1)$, то две волновые функции $\psi_{1}, \psi_{2}$ преобразуются при обращении времени согласно (26.40б),
\[
\theta \psi_{1}=-\psi_{2}, \quad \theta \psi_{2}=\psi_{1} .
\]

Это – теорема Крамерса о вырождении в ее первоначальном виде. Факт наличия вырождения следует уже из того, что если $\theta$ есть такой антиунитарный оператор, что $\theta^{2}=-1$, mо $\psi$ и $\dot{\psi}$ всегда ортогональны. Это следует из (26.8):
\[
(\psi, \theta \psi)=(\theta \theta \psi, \theta \psi)=(-\psi, \theta \psi) .
\]

В случае четного числа электронов или, с другой стороны, для простой теории Шредингера вырождения нет, и соотношение
\[
\theta \psi=\psi
\]

справедливо для любого стационарного состояния, если фазовыћ множитель выбран надлежащим образом. Случай отсутствия пространственной симметрии, но при наличии инвариантности относительно обращения времени, важен для атомов в асимметричном электрическом поле, которое преобладает, в частности, в кристаллах низкой симметрии.

В качестве последнего примера рассмотрим случай однородного магнитного поля в направлении оси $Z$. Соответствующая унитарная подгруппа была определена в гл. 18; она состоит из всех вращений $\mathrm{O}_{\{\alpha, 0,-0\}}$ вокруг оси $Z$ и произведений этих вращений на инверсию пространства $\mathrm{O}_{I}$. Интересным моментом является здесь то, что обращение времени, как таковое, при этом не является элементом симметрии; таким элементом является лишь произведение обращения времени на операцию, которая обращает направление магнитного поля. Это достигается вращением вокруг любой оси в плоскости $X Y$ на угол $\pi$, а также отражением в любой плоскости, проходящей через ось $Z$. Произведение $\theta_{\{0, \pi, 0\}}$ обращения времени и вращения на угол $\pi$ вокруг $Y$ может быть выбрано в качестве $\mathrm{a}_{0}$. Поэтому, поскольку $\theta$ и $\mathrm{O}_{R}$ коммутируют,
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{a}_{0}^{-1} \mathrm{O}_{\{\alpha, 0,0\}} \mathbf{a}_{0}=\mathbf{O}_{\{0, \pi, 0\}}^{-1} \boldsymbol{\theta}^{-1} \mathrm{O}_{\{\alpha, 0,0\}} \boldsymbol{\theta} \mathrm{O}_{\{0, \pi, 0\}}= \\
=\mathrm{O}_{\{0, \pi, 0\}}^{-1} \mathrm{O}_{\{\alpha, 0,0\}} \mathrm{O}_{\{0, \pi, 0\}}=\mathrm{O}_{\{\alpha, 0,0\}} .
\end{array}
\]

Уравнение (26.32), определяющее $\beta$, принимает вид
\[
\Delta(\{-\alpha, 0,0\})^{*}=\beta^{-1} \Delta\{(\alpha, 0,0)\} \beta,
\]

причем уравнение, в которое входит пространственная инверсия, выполняется автоматически. Так как $\boldsymbol{\Delta}(\{\alpha, 0,0\})=\left(e^{i m \alpha}\right)$, уравнение (26.47) снова дает $\beta=(\omega)$, и все копредставления относятся к первому типу. Как и следовало ожидать, все собственные значения являются простыми при наличии магнитного поля. Однако, если взять в качестве $\beta$ единичную матрицу, равенство (26.39a) показывает, что
\[
\theta \mathrm{O}_{\{0, \pi, 0\}} \psi_{\mu}=\psi_{\mu}
\]

или, подставляя произведение ( $-i)^{n} \mathrm{Q}_{\{0, \pi, 0\}} \mathrm{K}$ из (26.15в) вместо $\boldsymbol{\theta}$ и $\mathrm{P}_{\{0, \pi, 0\}} \mathrm{Q}_{\{0, \pi, 0\}}$ вместо $\mathrm{O}_{\{0, \pi, 0\}}$,
\[
(-i)^{n} \mathrm{Q}_{\{0, \pi, 0\}} \mathrm{KP}_{\{0, \pi, 0\}} \mathrm{Q}_{\{0, \pi, 0\}} \psi_{\mu}=\psi_{\mu} .
\]

Так как $\mathrm{P}$ и $\mathrm{Q}_{\{0, \pi, 0\}}$ вещественны и так как квадрат последнего оператора равен ( -1$)^{n}$, получаем соотношение
\[
i^{n} \mathrm{P}_{\{0, \pi, 0\}} \psi_{\mu}^{*}=\psi_{\mu}
\]

или
\[
\begin{array}{l}
i^{n} \psi_{\mu}\left(-x_{1}, y_{1},-z_{1}, s_{1}, \ldots,-x_{n}, y_{n},-z_{n}, s_{n}\right)^{*}= \\
=\psi_{\mu}\left(x_{1}, y_{1} z_{1}, s_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}, s_{n}\right),
\end{array}
\]

которое выполняется при наличии произвольно сильного однородного магнитного поля вдоль оси $Z$. Выбор фазового множителя,
который следует из $\beta=(1)$, совпадает с выбором, который определяется выбором фазового множителя для $\Psi_{M}^{J}$ при $M=\mu$ в (26.43a), так что соотношения (26.47) выполняются для $\Psi_{M}^{J}$ также и без изменения фазового множителя. Они могут быть получены из (26.43a) путем применения к нему оператора $\mathrm{O}_{\{0, \pi, 0\}}$ и использования трансформационных свойств функций $\Psi_{M}^{J}$, наряду с явным выражением для $\mathfrak{D}_{(\{0, \pi, 0\})}^{(j)}$