Главная > ТЕОРИЯ ГРУПП И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К КВАНТОМЕХАНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ АТОМНЫХ СПЕКТРОВ (Е.Вигнер)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Рассмотрим сначала случай, когда имеется полная вращательная симметрия. Представляется естественным выбрать в качестве $\mathbf{a}_{0}$ сам оператор обращения времени $\theta$. Bсе результаты, разумеется, не зависят от этого выбора. Из (26.17) и (26.32) следует, что в этом случае $\bar{\Delta}=\Delta^{*}$ или, если воспользоваться в этом случае стандартным обозначением для представлении,
\[
\overline{\mathfrak{D}}^{(J)}=\mathfrak{D}^{(J)^{*}} .
\]

Матрицей $\beta$, преобразующей $\mathfrak{D}^{(J)}$ к этому виду, является матрица $\mathbf{C}^{-1}=\mathbf{C}^{\dagger}$ из (24.3). Следовательно, $\beta \beta^{*}=\mathbf{C}^{-1} \mathbf{C}^{\dagger^{*}}=\mathbf{C}^{-1} \mathbf{C}^{T}$, и так как $\mathbf{C}^{T}=\mathbf{C}$ при целых $J$, то $\beta \beta^{*}=1$. Как мы видели, в этом случае $\theta^{2}=1$, что соответствует либо простой теории Шредингера, не учитывающей спина, либо четному числу электронов. Поэтому справедливо соотношение (26.35a), и все копредставления относятся
1) Это не противоречит „типам“ в теории элементарных частиц. Они различаются группами операторов симметрии, выражающих одну и ту же физическую симметрию. Так, для частиц типов 1 и $2 \theta^{2}=(-1)^{2 s}$, а для частиц типов 3 и $40^{2}=-(-1)^{2 s}$, где $s$ – спин частицы. Группа операторов имеет различные законы умножения для различных типов; каждый же набор законов умножения имеет лишь одно копредставление.
к первому типу. То же самое справедливо и для нечетного числа электронов. В этом случае $J$ нечетно и $\beta \beta^{*}=\mathbf{C}^{-1} \mathbf{C}^{T}=-\mathbf{C C}^{\dagger}=-1$, так как при этом $\mathbf{C}=-\mathrm{C}^{T}$. Поскольку $\boldsymbol{\theta}^{2}=-1$, если число электронов нечетно, то все копредставления снова принадлежат к первому типу. $B$ случае полной вращательной симметрии обращение времени не приводит к какому-либо дополнительному вырождению.

Однако соображения, связанные с обращением времени, приводят к существенным результатам относительно вещественности собственных функций. Так как в этом случае, согласно (26.39a) или (26.40a), $\mathrm{D}\left(\mathrm{a}_{0}\right)=\mathrm{D}(\boldsymbol{\theta})=\beta=\mathrm{C}$, в простой теории Шредингера можно написать
\[
\theta \psi_{\mu^{\prime}}^{l}=\psi_{\mu}^{l^{*}}=\sum_{\mu^{\prime}} C_{\mu^{\prime} \mu^{\prime}} \psi_{\mu^{\prime}}^{l}=(-1)^{l-\mu^{\mu}} \psi_{-\mu^{\prime}}^{l} .
\]

Здесь матрица С была подставлена в форме (24.6). Следует учесть, что из (26.43) вытекает определенный выбор фазового множителя; такой выбор был сделан, когда мы в (26.39a) положили D (a) равным $\beta$, а не $\omega \beta^{1}$ ). В данном случае $\psi_{\mu}^{l}$ и $\psi_{-\mu}^{l}$ являются комплексно-сопряженными друг другу, если $l$ – $\mu$ четно; при нечетном $l$ – $\mu$ комплексно-сопряженными будут – $\psi_{\mu}^{l}$ и $\psi_{-\mu}^{l}$. В частности. $\psi_{0}^{l}$ вещественны при четных $l$ и чисто мнимы при нечетных $l$. Тот же результат может быть получен для $G_{\mu}^{l}$ в волновых функциях (19.18) атома гелия. Тогда из (19.19) и (19.19a) следует, что все $G$ вещественны для четных состояний и чисто мнимы для нечетных. Разумеется, можно изменить все свойства вещественности, умножив все волновые функции, принадлежащие различным строкам некоторого представления, на общий множитель.

В теории, учитывающей спин, соотношение (26.43) заменяется следующим:
\[
\begin{array}{l}
\theta \Psi_{M}^{J}\left(\ldots, x_{k}, y_{k}, z_{k}, s_{k}, \ldots\right)= \\
\quad=i^{-s_{1}-s_{2}-\ldots-s_{n} \Psi_{M}^{J}}\left(\ldots, x_{k}, y_{k}, z_{k},-\varepsilon_{k}, \ldots\right)^{*}= \\
\quad=\sum_{M^{\prime}} C_{M^{\prime} M^{\prime} \Psi_{M^{\prime}}^{J}}\left(\ldots, x_{k}, y_{k}, z_{k}, s_{k}, \ldots\right)= \\
\quad=(-1)^{J-M} \Psi_{-M}^{J}\left(\ldots, x_{k}, y_{k}, z_{k}, s_{k}, \ldots\right) .
\end{array}
\]

В этом случае $\Psi_{M}^{J}$ и $\Psi_{-M}^{J}$ связаны с противоположными направлениями спина. Так, в частности, если $M=0$, волновая функ-
1) Этот выбор фазы отличается от выбора, сделанного в явном выражении волновых функций в гл. 15, множителем $i^{l}$. Иногда сферические гармоники удобно определять так, чтобы они включали этот множитель. См., в частности, цитированную на стр. 352 работу Биденхарна, Блатта и Роуза.
ция вещественна, если полный момент $J$ и $Z$-компонента спинового момента оба четны или оба нечетны; волновая функция $\Psi_{0}^{J}$ – чисто мнима, если $J$ четно, а $Z$-компонента спинового момента нечетна, или наоборот.

Предшествующие рассуждения соответствуют рассуждениям гл. 19 в той мере, в какой они дают информацию относительно волновых функций. Отсюда можно сделать ряд заключений относительно величины матричных элементов. С другой стороны, матричные элементы могут рассматриваться непосредственно. Это было сделано в гл. 21, где введено понятие о неприводимых тензорных операторах. Рассуждения, сходные с изложением в гл. 21, можно провести также с помощью антиунитарных операторов. Рассмотрим, в частности, симметричный (т. е. скалярный) оператор p, содержащий нечетную степень времени, т. е. такой, для которого справедливо (26.12). Таким оператором, например, является скалярное произведение координатного вектора и спинового (или орбитального) момента количества движения
\[
x \mathrm{~S}_{x}+y \mathrm{~S}_{y}+z \mathrm{~S}_{z} \text { или } x \mathrm{~L}_{x}+y \mathrm{~L}_{y}+z \mathrm{~L}_{z}
\]

для любой частицы, или скалярное произведение координаты и скорости и т. д. Среднее значение такого оператора равно нулю для любого стационарного состояния, кроме случая, когда отсутствует случайное вырождение. Действительно, в матричном элементе
\[
\left(\sum a_{\mu} \Psi_{\mu}^{J}, \mathrm{p} \Sigma a_{
u} \Psi_{
u}^{J}\right)
\]

смешанные члены с $\mu
eq
u$ обращаются в нуль, так как $\Psi_{\mu}^{J}$ и $\mathrm{p} \Psi_{
u}^{J}$ принадлежат различным строкам некоторого представления. Кроме того, обращается в нуль и член с $\mu=
u$. В этом можно убедиться из (26.8) и (26.43a) следующим образом:
\[
\begin{aligned}
\left(\Psi_{\mu}^{J}, \mathrm{p} \Psi_{\mu}^{J}\right) & =\left(\theta \rho \Psi_{\mu-}^{J}, \theta \Psi_{\mu}^{J}\right)=-\left(p \Psi_{\mu}^{J}, \theta \Psi_{\mu}^{J}\right)= \\
& =-(-1)^{2 J-2 \mu}\left(p \Psi_{-\mu}^{J}, \Psi_{-\mu}^{J}\right)=-\left(\Psi_{-\mu}^{J}, p \Psi_{-\mu}^{J}\right) .
\end{aligned}
\]

Последнее равенство следует из того, что $2 J-2 \mu$ всегда есть четное число и что $\mathrm{p}$ как оператор физической величины является эрмитовым. Согласно (26.44), ( $\left.\Psi_{\mu}, p \Psi_{\mu}\right)$ имеют противоположные знаки для $\mu$ и – $\mu$. Поскольку $\Psi_{\mu}{ }^{\mu}$ и $\Psi_{-\mu}$ являются партнерами, а $\mathrm{p}$ – симметричный оператор, эти два выражения должны быть равны. Поэтому они обращаются в нуль, так же как и выражение (26.Е.5). Имеется много подобных примеров, некоторые из которых приводят к определенным заключениям относительно вещественности или чистой мнимости матричных элементов. Так, например, если р удовлетворяет перечисленным выше условиям, но две волновые функции в матричном элементе
\[
\left(\Psi_{\mu}^{J}, p \Phi_{\mu}^{J}\right)
\]
не совпадают, то это скалярное произведение является чисто мнимым. При этом предполагается, что фазы функций $\Psi_{\mu}^{J}$ и $\Phi_{\mu}^{J}$ определены так, что копредставление имеет одинаковый вид для обеих из них и, в частности, что для обеих выполняется соотношение (26.43a). Если р есть $Z$-компонента векторного оператора, имеющего подобные свойства относительно обращения времени, выражение (26.Е.6) вещественно. Эти результаты могут быть получены на основе аргументов, вытекающих из (26.44), и могут быть обобщены соответствующим образом на неприводимые тензорные операторы произвольного ранга.

Рассмотрим теперь противоположный случай полного отсутствия пространственной симметрии. В этом случае унитарная подгруппа сводится к единичному элементу и $\boldsymbol{\Delta}=(1)$. Поэтому $\boldsymbol{\Delta}$ и $\bar{\Delta}$ совпадают, а $\beta$ есть произвольное число с модулем 1. Таким образом, $\beta \beta^{*}=(1)$. С другой стороны, $\boldsymbol{\theta}^{2}=1$, если число электронов четно, но $\theta^{2}=-1$, если оно нечетно. В результате копредставление (имеется только одно) относится к первому типу в первом случае, но ко второму типу, если число электронов нечетно и учитывается спин. В этом последнем случае все собственные значения двукратно вырождены: если выбрать $\beta=(1)$, то две волновые функции $\psi_{1}, \psi_{2}$ преобразуются при обращении времени согласно (26.40б),
\[
\theta \psi_{1}=-\psi_{2}, \quad \theta \psi_{2}=\psi_{1} .
\]

Это – теорема Крамерса о вырождении в ее первоначальном виде. Факт наличия вырождения следует уже из того, что если $\theta$ есть такой антиунитарный оператор, что $\theta^{2}=-1$, mо $\psi$ и $\dot{\psi}$ всегда ортогональны. Это следует из (26.8):
\[
(\psi, \theta \psi)=(\theta \theta \psi, \theta \psi)=(-\psi, \theta \psi) .
\]

В случае четного числа электронов или, с другой стороны, для простой теории Шредингера вырождения нет, и соотношение
\[
\theta \psi=\psi
\]

справедливо для любого стационарного состояния, если фазовыћ множитель выбран надлежащим образом. Случай отсутствия пространственной симметрии, но при наличии инвариантности относительно обращения времени, важен для атомов в асимметричном электрическом поле, которое преобладает, в частности, в кристаллах низкой симметрии.

В качестве последнего примера рассмотрим случай однородного магнитного поля в направлении оси $Z$. Соответствующая унитарная подгруппа была определена в гл. 18; она состоит из всех вращений $\mathrm{O}_{\{\alpha, 0,-0\}}$ вокруг оси $Z$ и произведений этих вращений на инверсию пространства $\mathrm{O}_{I}$. Интересным моментом является здесь то, что обращение времени, как таковое, при этом не является элементом симметрии; таким элементом является лишь произведение обращения времени на операцию, которая обращает направление магнитного поля. Это достигается вращением вокруг любой оси в плоскости $X Y$ на угол $\pi$, а также отражением в любой плоскости, проходящей через ось $Z$. Произведение $\theta_{\{0, \pi, 0\}}$ обращения времени и вращения на угол $\pi$ вокруг $Y$ может быть выбрано в качестве $\mathrm{a}_{0}$. Поэтому, поскольку $\theta$ и $\mathrm{O}_{R}$ коммутируют,
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{a}_{0}^{-1} \mathrm{O}_{\{\alpha, 0,0\}} \mathbf{a}_{0}=\mathbf{O}_{\{0, \pi, 0\}}^{-1} \boldsymbol{\theta}^{-1} \mathrm{O}_{\{\alpha, 0,0\}} \boldsymbol{\theta} \mathrm{O}_{\{0, \pi, 0\}}= \\
=\mathrm{O}_{\{0, \pi, 0\}}^{-1} \mathrm{O}_{\{\alpha, 0,0\}} \mathrm{O}_{\{0, \pi, 0\}}=\mathrm{O}_{\{\alpha, 0,0\}} .
\end{array}
\]

Уравнение (26.32), определяющее $\beta$, принимает вид
\[
\Delta(\{-\alpha, 0,0\})^{*}=\beta^{-1} \Delta\{(\alpha, 0,0)\} \beta,
\]

причем уравнение, в которое входит пространственная инверсия, выполняется автоматически. Так как $\boldsymbol{\Delta}(\{\alpha, 0,0\})=\left(e^{i m \alpha}\right)$, уравнение (26.47) снова дает $\beta=(\omega)$, и все копредставления относятся к первому типу. Как и следовало ожидать, все собственные значения являются простыми при наличии магнитного поля. Однако, если взять в качестве $\beta$ единичную матрицу, равенство (26.39a) показывает, что
\[
\theta \mathrm{O}_{\{0, \pi, 0\}} \psi_{\mu}=\psi_{\mu}
\]

или, подставляя произведение ( $-i)^{n} \mathrm{Q}_{\{0, \pi, 0\}} \mathrm{K}$ из (26.15в) вместо $\boldsymbol{\theta}$ и $\mathrm{P}_{\{0, \pi, 0\}} \mathrm{Q}_{\{0, \pi, 0\}}$ вместо $\mathrm{O}_{\{0, \pi, 0\}}$,
\[
(-i)^{n} \mathrm{Q}_{\{0, \pi, 0\}} \mathrm{KP}_{\{0, \pi, 0\}} \mathrm{Q}_{\{0, \pi, 0\}} \psi_{\mu}=\psi_{\mu} .
\]

Так как $\mathrm{P}$ и $\mathrm{Q}_{\{0, \pi, 0\}}$ вещественны и так как квадрат последнего оператора равен ( -1$)^{n}$, получаем соотношение
\[
i^{n} \mathrm{P}_{\{0, \pi, 0\}} \psi_{\mu}^{*}=\psi_{\mu}
\]

или
\[
\begin{array}{l}
i^{n} \psi_{\mu}\left(-x_{1}, y_{1},-z_{1}, s_{1}, \ldots,-x_{n}, y_{n},-z_{n}, s_{n}\right)^{*}= \\
=\psi_{\mu}\left(x_{1}, y_{1} z_{1}, s_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}, s_{n}\right),
\end{array}
\]

которое выполняется при наличии произвольно сильного однородного магнитного поля вдоль оси $Z$. Выбор фазового множителя,
который следует из $\beta=(1)$, совпадает с выбором, который определяется выбором фазового множителя для $\Psi_{M}^{J}$ при $M=\mu$ в (26.43a), так что соотношения (26.47) выполняются для $\Psi_{M}^{J}$ также и без изменения фазового множителя. Они могут быть получены из (26.43a) путем применения к нему оператора $\mathrm{O}_{\{0, \pi, 0\}}$ и использования трансформационных свойств функций $\Psi_{M}^{J}$, наряду с явным выражением для $\mathfrak{D}_{(\{0, \pi, 0\})}^{(j)}$

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru