10. Всякое представление $\mathfrak{u}^{(J)}$ унитарной группы является одновременно представлением – однозначным или двузначным – группы вращений. Матрица $\mathfrak{u}^{(j)}(\boldsymbol{u})$ соответствует вращению $\{\alpha \beta \gamma\}$, если u является унитарным преобразованием, соответствующим в гомоморфизме вращению $\{\alpha \beta \gamma\}$. Коэффициенты $a$ и $b$ преобразования и даются выражением (15.15) в виде
\[
a=e^{-\frac{1}{2} i \alpha} \cos \frac{1}{2} \beta \cdot e^{-\frac{1}{2} i \gamma}, \quad b=-e^{-\frac{1}{2} l \alpha} \sin \frac{1}{2} \beta \cdot e^{\frac{1}{2} i \gamma} .
\]

Чтобы получить элементы матрицы представления, соответствующие вращению $\{\alpha \beta \gamma\}$, выражения (15.15a) следует подставить в (15.21). Для сохранения преемственности обозначений, использованных в (15.16), преобразуем представление, получающееся после этой подстановки, с помощью диагональной матрицы $M_{x \lambda}=\delta_{x \lambda}(l)^{-2 \mathrm{x}}$; иначе говоря, умножим $\mu^{\prime}-$ строку на $i^{-2 \mu^{\prime}}$, а $\mu$-и столбецна $i^{2 \mu}$, так что коэффициент с индексами $\mu \mu^{\prime}$ умножается на $(i)^{2\left(\mu-\mu^{\prime}\right)}=(-1)^{\mu-\mu^{\prime}}$.
Обозначим представление, получающееся эри этом из $\boldsymbol{u}^{(j)}$, через $\mathfrak{D}^{(j)}(\{\alpha \beta \gamma\})$; его коэффициентами являются
\[
\begin{array}{l}
\mathfrak{D}^{(j)}(\{\alpha \beta \gamma\})_{\mu^{\prime} \mu}=\sum_{x}(-1)^{x} \frac{\sqrt{(j+\mu) !(j-\mu) !\left(j+\mu^{\prime}\right) !\left(j-\mu^{\prime}\right) !}}{\left(j-\mu^{\prime}-x\right) !(j+\mu-x) ! x !\left(x+\mu^{\prime}-\mu\right) !} \times \\
X e^{i \mu^{\prime} \alpha} \cos ^{2 j+\mu^{-}-\mu^{\prime}-2 x} \frac{1}{2} \beta \cdot \sin ^{2 x+\mu^{\prime}-\mu} \frac{1}{2} \beta \cdot e^{i \mu \gamma} . \\
\end{array}
\]

Представление $\mathfrak{D}^{(j)}$ является $(2 j+1)$-мерным, где $j$ может быть либо целым, либо полуцелым. Строки и столбцы $\mathfrak{D}^{(j)}$ пронумерованы целыми или полуцелыми числами $-j,-j+1, \ldots, j-1, j$. Суммирование по $x$ в (15.27) может производиться по всем целым числам, так как бесконечности факториалов в знаменателе ограничивают область промежутком между наибольшим из чисел 0 и $\mu-\mu^{\prime}$ и наименьшим из чисел $j-\mu^{\prime}$ и $j+\mu$. Формулы для $\mu^{\prime}=j$ и $\mu^{\prime}=-j$ особенно просты; в первом случае остается лишь член с $x=0$, а во втором – только с $x=j+\mu$ :
$\mathfrak{D}^{(j)}(\{\alpha \beta \gamma\})_{j \mu}=\sqrt{(j-\mu)} e^{i j \alpha} \cdot \cos ^{j+\mu} \frac{1}{2} \beta \cdot \sin ^{j-\mu} \frac{1}{2} \beta \cdot e^{i \mu \gamma}$,
$\mathfrak{D}^{(j)}(\{\alpha \beta \gamma\})_{-j \mu}=(-1)^{j+\mu} \sqrt{\left(\begin{array}{c}2 j \\ j-\mu\end{array}\right)} e^{-l j \alpha} \cos ^{j-\mu} \frac{1}{2} \beta \cdot \sin ^{j+\mu} \frac{1}{2} \beta \cdot e^{i \mu \gamma}$.
Все коэффициенты представлений для вращений вокруг оси $Z$ также принимают особенно простой вид. Вращение на угол $\alpha$ вокруг оси $Z$ соответствует в гомоморфизме унитарному преобразованию $\mathbf{u}_{1}(\alpha)$; коэффициенты соответствующей матрицы представления даются выражением (15.25). Матрица в $\mathfrak{D}^{(j)}$, соответствующая вращению $\{\alpha, 0,0\}$, является поэтому диагональной матрицей с диагональными элементами $\exp (-i j \alpha), \exp (-i(j-1) \alpha), \ldots$, $\exp (+i(j-1) \alpha), \exp (i j \alpha)$. Тот же самый результат получается непосредственно из (15.27), если положить $\beta=\gamma=0$. Матрица $\mathfrak{D}^{(j)}(\{\alpha, 0,0\})$ уже была явно представлена формулой (15.6), которая применима теперь не только при целых $l$, но и при полуцелых $j$. Это также относится к (15.8).

Характер $\chi^{(j)}(\varphi)$ матрицы $\mathfrak{D}^{(j)}$ является следом вращения на угол $\varphi$ :
\[
\begin{aligned}
\chi^{(j)}(\varphi) & =\sum_{\mu=-j}^{j} e^{i \mu \varphi}= \\
& =\left\{\begin{array}{l}
1+2 \cos \varphi+\ldots+2 \cos j \varphi \quad(j \text { целое) } \\
2 \cos \frac{1}{2} \varphi+2 \cos \frac{3}{2} \varphi+\ldots+2 \cos j \varphi
\end{array}\right.
\end{aligned}
\]
( $j$ полуцелое).
Регулярные представления включают только те $j$, для которых $\mathbf{u}^{(j)}(-1)=\mathfrak{u}^{(j)}\left(\mathfrak{u}_{1}(2 \pi)\right)$ есть положительная единичная матрица. Из (15.25) видно, что это имеет место, когда $\mu$ целое, т. е. когда $j$ целое. Тогда $\mathfrak{D}^{(j)}$ совпадает с $\mathfrak{D}^{(l)}$, определенным в п. 1 настоящей главы; это также проявляется в равенстве характеров.

При полуцелых $j$ представление $\mathfrak{D}^{(j)}$ двузначно; вращение $\{\alpha \beta \gamma\}$ соответствует матрицам $\pm \mathfrak{D}^{(j)}(\{\alpha \beta \gamma\})$. Это не означает, что знаки элементов матриц $\mathfrak{D}^{(j)}$ можно менять по отдельности; может изменяться лишь знак всей матрицы, или знаки всех элементов одновременно. Вращение $\mathbf{R}_{\mathbf{u}}$ соответствует двум унитарным матрицам $\mathbf{u}$ и -u, причем каждой из них соответствует одна матрица $\mathfrak{u}^{(J)}(\mathbf{u})$ и $\mathfrak{u}^{(j)}(-\mathfrak{u})$; при полуцелых $j$ вторая из них равна $-\mathfrak{u}^{(j)}(\mathfrak{u})$. Только эти две матрицы, и никакие другие, соответствуют в $\mathfrak{D}^{(j)}$ вращению $\mathbf{R}_{\mathbf{u}}$. В действительности, двузначные представления вообще не являются представлениями. Однако они понадобятся для изложения теории спина Паули.

Теория представлений группы вращений была развита Шуром. Двузначные представления впервые получил Г. Вейль.
11. Дадим теперь несколько первых представлений в явном виде. $\mathfrak{D}^{(0)}(R)=(1)$, а $\mathfrak{D}^{(1 / 2)}(R)$ дается выражением (15.16). Следующее представление $\mathfrak{D}^{(1)}(R)$ имеет вид
\[
\mathfrak{D}^{(1)}\left(\{\alpha \beta \gamma)=\left(\begin{array}{ccc}
e^{-i \alpha} \frac{1+\cos \beta}{2} e^{-i_{\gamma}} & -e^{-i \alpha} \frac{\sin \beta}{\sqrt{2}} & e^{-i \alpha} \frac{1-\cos \beta}{2} e^{i_{\gamma}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \beta e^{-i_{\gamma}} & \cos \beta & -\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \beta e^{i_{\gamma}} \\
e^{i \alpha} \frac{1-\cos \beta}{2} e^{-i_{\gamma}} & e^{i \alpha} \frac{\sin \beta}{\sqrt{2}} & e^{i \alpha} \frac{1+\cos \beta}{2} e^{i_{\gamma}}
\end{array}\right) .\right.
\]

В этом соотношении тригонометрические функции половинных углов выражены через функции целых углов.

Представления групп вращения, по крайней мере однозначные, привычны для физиков, так как они дают формулы преобразований для векторов, тензоров и т. д. После преобразования к новой системе координат новые компоненты вектора или тензора являются линейными комбинациями компонент в старой системе координат. Если обозначить компоненты в старой системе через $T_{\sigma}$ ( $\sigma$ может означать совокупность нескольких индексов), то компоненты $T_{\sigma}^{\prime}$ в новой системе координат равны
\[
T_{\rho}^{\prime}=\sum_{\sigma} D(R)_{\rho \sigma} T_{\sigma},
\]

где явно указана зависимость коэффициентов преобразования от ориентации $R$ новой системы координат относительно старой. Если мы еще раз переходим к новой системе координат, например, с помощью вращения $S$, то
\[
T_{\tau}^{\prime \prime}=\sum_{\rho} D(S)_{\tau \rho} T_{\rho}^{\prime}=\sum_{\rho \sigma} D(S)_{\tau \rho} D(R)_{\rho \sigma} T_{\sigma}
\]

Теперь $T^{\prime \prime}$ являются компонентами тензора в системе координат, полученной путем вращения $S R$, так что мы имеем
\[
T_{\tau}^{\prime \prime}=\sum_{\sigma} D(S R)_{\tau \sigma} T_{\sigma}
\]

Поскольку (15.31) и (15.32) выполняется для произвольных значений компонент тензора $T_{\sigma}$,
\[
D(S R)_{\tau \sigma}=\sum_{\rho} D(S)_{\tau \rho} D(R)_{\rho \sigma}, \quad \mathbf{D}(S R)=\mathbf{D}(S) \mathbf{D}(R) .
\]

Таким образом, матрицы преобразования компонент векторов и тензоров образуют представление группы вращений.

Так, в частности, матрицами преобразования векторов являются сами матрицы R, образующие представление своей группы. Это представление эквивалентно представлению $\mathfrak{D}^{(1)}$. „Матрицей преобразования \” для скаляров является $\mathfrak{D}^{(0)}$.

Однако представления, принадлежащие тензорам, которые встречаются наиболее часто, не являются неприводимыми, так как можно образовать такие линейные комбинации этих тензорных компонент, которые преобразуются лишь между собой. Эти приводимые представления преобразуются к приведенному виду с помощью матриц, образующих эти линейные комбинации из первоначальных компонент.

Рассмотрим, например, тензор второго ранга с компонентами $T_{x x}, T_{x y}$, $T_{x z}, T_{y x}, T_{y y}, T_{y z}, T_{z x}, T_{z y}, T_{z z}$. Этот тензор можно записать в в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Шестью. компонентами первого являются $T_{x x}, T_{y y}, T_{z z}, T_{x y}+T_{y x}, T_{z x}+T_{x z}, T_{y z}+T_{z y}$; тремя компонентами последнего будут $T_{x y}-T_{y x}, T_{y z}-T_{z y}, T_{z x}-T_{x z}$. Представление для антисимметричного тензора эквивалентно представлению $\mathfrak{D}^{(1)}$ и неприводимо, чего нельзя сказать о представлении для симметричного тензора. Существует одна линейная комбинация компонент $T=T_{x x}+T_{y y}+T_{z z}$, которая остается инвариантной. Остающиеся пять линейных комбинаций $T_{x x}-\frac{1}{3} T, T_{y y}-\frac{1}{3} T, T_{x y}+T_{y x}, \quad T_{y z}+T_{z y}$, $T_{z x}+T_{x z}$ являются взаимно независимыми компонентами симметричного тензора с нулевым следом. Они принадлежат неприводимому представлению, эквивалентному $\mathfrak{D}^{(2)}$.

Последнее замечание показывает также, почему нецелесообразно нумеровать строки и столбцы неприводимых представлений с помощью обычных символов тензорных компонент, к которым они относятся. Этим предоставляется слишком много свободы. Так, компонента $T_{x x}-\frac{1}{3} T$ симметричного тензора с нулевым следом, приведенного выше, может быть опущена, а вместо нее может быть использована компонента $T_{z z}-\frac{1}{3} T$.
Три строки в $\mathfrak{D}^{(1)}$ не относятся к компонентам $x, y$ и $z$ вектора, так как в том случае, если бы это было так, матрица $\mathfrak{D}^{(1)}$ была бы вещественной.

Представление $\mathfrak{D}^{(1)}$ определяет преобразование вектора $T_{l}$, компонентами которого являются

C помощью матрицы, входящей в (15.34), $\mathfrak{D}^{(1)}$ можно преобразовать в представление, применимое к компонентам $x, y$ и $z$ вектора, т. е. в матрицу для самого вращения R. Это легко видеть, если взять $\mathfrak{D}^{(1)}(\{\alpha 00\})$ и $\mathfrak{D}^{(1)}(\{0 \beta 0\})$ из (15.29) и умножить их на преобразование из (15.34) справа и на сопряженное ему – слева. В первом случае полу-

$\begin{array}{lllll}\text { Г } & \text { а } & \text { в } & \text { а } & 16\end{array}$