1. До 1925 г. развитие квантовой ‘механики было направлено главным образом на определение энергий стационарных состояний, т. е. на вычисление энергетических уровней. Более старая „теория разделения\» Эпштейна — Шварцшильда давала рецепты для определения уровней энергии, или термов, лишь для систем, движение которых с точки зрения классической механики имело очень частные свойства, а именно было периодическим или по крайнен мере почти периодическим.

Гейзенберг, пытавшићся дать точную формулировку принципа соответствия Бора, высказал соображения относительно устранения этого недостатка. Решение было предложено независимо Борном и Йорданом, с одной стороны, и Дираком — с другой. Его сущность заключается в требовании, чтобы в вычислениях появлялись лишь те движения, которые позднее стали рассматриваться как разрешенные с квантовомеханической точки зрения. Проведение этой идеи привело авторов к введению матриц с бесконечным числом строк и столбцөв для формального представления координат и импульсов и к формальным вычислениям с $q$-числами\», удовлетворяющими сочетательному, но не перестановочному законам.
Так, например, выражение для энергии $\mathrm{H}$ линейного осциялятора
\[
\mathrm{H}=\frac{1}{2 m} \mathbf{p}^{2}+\frac{K}{2} \mathbf{q}^{2}
\]
(где $m$-масса осциллирующей частицы, $K$ — постоянный коэффициент, характеризующий силу, а $\mathbf{q}$ и p-координата и импульс частицы) получается формальной подстановкой матриц р и q вместо импульса $\boldsymbol{p}$ и координаты $\boldsymbol{q}$ в гамильтоновой формулировке классического выражения для энергии. Выдвигается требование, чтобы $\mathrm{H}$ была диагональной матрицей. Диагональные элементы $\mathrm{H}_{n n}$ дают тогда возможные значения энергии, стационарные уровни системы. С другой стороны, квадраты абсолютных значений элементов $q_{n k}$ матрицы $\mathbf{q}$ пропорциональны вероятности спонтанного перехода из состояния с энергией $\mathrm{H}_{n n}$ в состояние с энергией $\mathrm{H}_{k k}$.
Они дают, тем самым, интенсивность линии с частотой $\omega=\left(\mathrm{H}_{n n}-\mathrm{H}_{k k}\right) / \hbar$. Все это следует из тех же рассуждений, с помощью которых вводятся матрицы р и q.

Чтобы полностью уточнить задачу, следовало ввести „перестановочное соотношение“ между р и q. Предполагалось, что оно имеет вид
\[
\mathbf{p q}-\mathrm{qp}=\frac{\hbar}{i} \mathbf{1},
\]

где $\hbar$ — постоянная Планка, деленная на $2 \pi$.
Вычисления с этими величинами (зачастую весьма утомительные) быстро привели к прекрасным и важным результатам, имеющим глубокий смысл. Таким путем стало возможным вычислить в согласии с опытом „правила отбора“ для момента количества движения и ряд „правил сумм“, определяющих относительные интенсивности зеемановских компонент линии. Для получения этих результатов nтеории разделения “ было совершенно недостаточно.

Шредингер пришел к результатам, математически эквивалентным упомянутым выше, на пути, не зависимом от точки зрения Гейзенберга. Его метод имеет глубокое сходство с идеями де-Бройля. Все дальнейшее рассмотрение будет основано именно на шредингеровском подходе.

Рассмотрим многомерное пространство с числом измерений, равным числу координат, необходимых для описания положения системы. Всякое расположение частиц системы соответствует точке в этом многомерном „конфигурационном пространстве“. Эта точка будет двигаться с течением времени по кривой, которая может полностью описывать классически движение системы. Между классическим движением этой точки — изображающей точки в конфигурационном пространстве — и движением волнового пакета, также рассматриваемого в конфигурационном пространстве, имеется фундаментальное соответствие ${ }^{1}$ ), если только принять показатель преломления этих волн равным $[2 m(E-V)]^{1 / 2} / E$. Здесь $E$ — полная энергия системы, а $V$ — потенциальная энергия как функция пространственных координат (конфигурации).

Соответствие заключается в том обстоятельстве, что чем меньше отношение длины волны этого волнового пакета к радиусу кривизны траектории в конфигурационном пространстве, тем точнее волновой пакет будет следовать этой траектории. С другой стороны, если волновой пакет содержит длины волн порядка классического радиуса кривизны траектории в конфигурационном пространстве, между двумя движениями возникают важные различия как следствие интерференции волн.
1) Данное изложение ближе следует идеям Шредингера, чем это принято в настоящее время. — Прим. перев. издания 19592.
Шредингер принимает, что движение изображающей точки в конфигурационном пространстве соответствует движению волн, а не классически вычисленному движению.

Если обозначить скалярную амплитуду волн через $\psi$, волновое уравнение записывается в виде
\[
\frac{E-V}{E^{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}=\frac{1}{2 m_{1}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{1}{2 m_{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x_{2}^{2}}+\ldots+\frac{1}{2 m_{f}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x_{f}^{2}},
\]

где $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{f}$ — координаты частиц рассматриваемой системы, $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{f}$ — соответствующие массы и $V\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{f}\right)$ потенциальная энергия как функция координат отдельных частиц $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{f}$.

Полная энергия системы в явном виде входит в (4.3). С другой стороны, частота или период волн пока еще не определены. Шредингер принимает, что частота волны, связанной с движением системы, имеющей полную энергию $E$, дается выражением $\hbar \omega=E$. Поэтому он подставляет в (4.3)
\[
\psi=\psi_{E} \exp \left(-l \frac{E}{\hbar} t\right),
\]

где $\psi_{E}$ не зависит от $t$. Таким образом он получает уравнение для определения собственных значений
\[
\frac{1}{\hbar^{2}}(V-E) \Psi_{E}=\frac{1}{2 m_{1}} \frac{\partial^{2} \psi_{E}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{1}{2 m_{2}} \frac{\partial^{2} \psi_{E}}{\partial x_{2}^{2}}+\ldots+\frac{1}{2 m_{f}} \frac{\partial^{2} \psi_{E}}{\partial x_{f}^{2}},
\]

где $\psi_{E}$ — функция пространственных координат $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{f}$. Необходимо потребовать, чтобы $\psi_{E}$ была квадратично интегрируемой, т. е. чтобы интеграл
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty} \mid \psi_{E}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots,\left.x_{f}\right|^{2} d x_{1} d x_{2} \ldots d x_{f}\right.
\]

по всему конфигурационному пространству был конечным. В частности, $\psi$ должна обращаться в нуль на бесконечности. Значения $E$, для которых возможно определение такой функции $\Psi_{E}$, называются собственными значениями уравнения (4.5); они дают возможные значения энергии системы. Соответствующее квадратично интегрируемое решение уравнения (4.5) называется собственной бункцией, принадлежащей собственному значению $E$.
Уравнение (4.5) также записывается в виде
\[
H \psi_{E}=E \psi_{E},
\]

где $\mathrm{H}$ есть линейный оператор (1амильтониан, или оператор энергии)
\[
\begin{aligned}
\mathrm{H}=-\hbar^{2}\left(\frac{1}{2 m_{1}} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{1}{2 m_{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+\right. & \left.\ldots+\frac{1}{2 m_{f}} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{f}^{2}}\right)+ \\
& +V\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{f}\right) .
\end{aligned}
\]

Последний член означает умножение на $V\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{f}\right)$.
Этот оператор преобразует одну функцию координат $x_{1}$, $x_{2}, \ldots, x_{f}$ в другую. Функция $\psi$ в (4.4) удовлетворяет соотношению
\[
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=\mathrm{H} \psi \text {. }
\]

Полная энергия системы не входит в явном виде в уравнение (4.6), так что это уравнение применимо в общем случае к любому движению, независимо от энергии системы; оно называется зависящим от времени уравнением Шредингера.

Уравнения (4.5) [или (4.5а), (4.5б)] и (4.6) являются основными уравнениями квантовой механики. Последнее из них определяет изменение волновой функции в конфигурационном пространстве со временем. Этому процессу, как мы увидим ниже, приписывается глубокий физический смысл; уравнение (4.5) [или (4.5а), (4.5б)] представляет собой уравнение для определения частоты $\omega=E / \hbar$, энергии $E$ и периодической зависимости волновой функции $\psi$ от времени. В самом деле, (4.5а) следует из (4.6) и предположения, что
\[
\psi=\psi_{E} \exp \left(-i \frac{E}{\hbar} t\right) .
\]
2. Кратко изложим теперь наиболее важные свойства собственных значений и собственных функций оператора (4.5б). Для этой цели мы прежде всего определим скалярное произведение двух функций $\varphi$ и $g$ равенством
\[
(\varphi, g)=\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int \varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right)^{*} g\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right) d x_{1} \ldots d x_{f}=\int \varphi^{*} g .
\]

Все простые правила вычислений, изложенные в гл. 3 , применимы к этому скалярному произведению. Так, если $a_{1}$ и $a_{2}$ являются числовыми константами,
\[
\left(\varphi, a_{1} g_{1}+a_{2} g_{2}\right)=a_{1}\left(\varphi, g_{1}\right)+a_{2}\left(\varphi, g_{2}\right)
\]

и
\[
(\varphi, g)=(g, \varphi)^{*} \text {. }
\]
Скалярное произведение $(\varphi, \varphi$ ) вещественно и положительно; оно обращается в нуль только при $\varphi=0$. Если $(\varphi, \varphi)=1$, то $\varphi$ называется нормированной. Если интеграл
\[
(\varphi, \varphi)=\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int\left|\varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right)\right|^{2} d x_{1} \ldots d x_{f}=c^{2}
\]

конечен, то $\varphi$ всегда может быть нормирована путем умножения на некоторую постоянную $[1 / c$ в вышеуказанном случае, так как $(\varphi / c, \varphi / c)=1]$. Две бункции ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение, определяемое формулой (4.7), составлено исходя из соображений, что функции $\varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right), g\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right)$ от координат $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{f}$ рассматриваются как векторы, компоненты которых пронумерованы (размечены) непрерывными индексами. Функциональный вектор $\varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right)$ определен в $f$-кратно бесконечномерном пространстве. Каждый набор значений переменных $x_{1}, \ldots, x_{f}$, т. е. каждая конфигурация соответствует одному измерению. Тогда скалярное произведение $\varphi$ и $g$ на векторном языке равно
\[
(\varphi, g)=\sum_{x_{1}, \ldots, x_{f}} \varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right)^{*} g\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right),
\]

что заменяется интегралом (4.7).
Определение линейной зависимости или независимости функций также соответствует понятиям, выведенным из обсуждения векторов. Јинейное соотношение
\[
a_{1} \varphi_{1}+a_{2} \varphi_{2}+\ldots+a_{k} \varphi_{k}=0
\]

между функциями $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{k}$ имеет место, если это уравнение справедливо для всех компонент векторов, т. е. для всех наборов значений $x_{1}, \ldots, x_{f}$, при заданных постоянных $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}$. Далее, оператор $H$ называется линейным, если соотношение
\[
\mathrm{H}(a \varphi+b g)=a \mathrm{H} \varphi+b \mathrm{H} g
\]

справедливо для всех функций $\varphi$ и $g$. Вообще мы будем иметь дело лишь с линейными операторами. Линейные операторы для функций-векторов соответствуют матрицам для обычных векторов. И те и другие преобразуют векторы, к которым они применяются, в другие векторы. Условие линейности (4.8) справедливо для всех матриц. Мы видели, что всякий оператор, который можно применить к конечномерному вектору, эквивалентен матрице ${ }^{1}$ ). Бесконечномерные операторы также имеют матричную форму, но она часто сильно сингулярна.

Например, элементы матрицы $q_{i}$, соответствующей оператору „умножения на $x_{1}{ }^{a}$, равны
1) См. гл. 1, стр. 11 ,
Она преобразует вектор $\psi$ в вектор $\mathrm{q}_{1} \psi$ с компонентами

Этим вектором является как раз функция $x_{1} \psi$, в которую $\psi$ превращается операцией \»умножения на $x_{1}{ }^{\»}$.

Матрица, соответствующая оператору \»дифференцирования по $x_{1}$ \». обозначается через $(i / \hbar) \mathbf{p}_{1}$, поскольку ( $\left.\hbar / i\right)\left(\partial / \partial x_{1}\right)$ соответствует $p_{1}$ :
\[
\left(\frac{i}{\hbar} \mathbf{p}_{1}\right)_{x_{1} \ldots x_{f} ; x_{1}^{\prime} \ldots x_{f}^{\prime}}=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta}\left(\delta_{x_{1}+\frac{1}{2} \Delta, x_{1}^{\prime}}{ }^{\delta} x_{1}-\frac{1}{2} \Delta, x_{1}^{\prime}\right)_{x_{2} x_{2}^{\prime}} \ldots \delta_{x_{f} x_{f}^{\prime \prime}}
\]

Она преобразует вектор $\psi$ в
\[
\begin{array}{l}
=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta}\left[\psi\left(x_{1}+\frac{1}{2} \Delta, x_{2}, \ldots, x_{f}\right)-\psi\left(x_{1}-\frac{1}{2} \Delta, x_{2}, \ldots, x_{f}\right)\right] \text {, } \\
\end{array}
\]

а это и есть производная $\psi$ по $x_{1}$.
Говорят, что оператор $\mathrm{H}$ эрмитов, если $\mathrm{H}=\mathrm{H}^{+}$, т. е. если
\[
(v, \mathrm{H} w)=\left(\mathrm{H}^{+} \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\right)=(\mathrm{H} v, w)
\]

для произвольных векторов $\boldsymbol{v}$ и $w$. Другими словами, оператор $\mathrm{H}$ эрмитов, если он может быть перенесен с одного сомножителя скалярного произведения на другой. Эрмитова природа операторов определяется этим требованием.

Оператор $\mathrm{H}$ эрмитов, если для всех функций $\varphi, g$, удовлетворяющих определенным условиям (например, квадратичной интегрируемости, из которой следует, что функция обращается в нуль на бесконечности), имеет место равенство
\[
(\varphi, H g)=(H \varphi, g) .
\]

Суммы эрмитовых операторов и произведения последних на вещественные величины снова линейны и эрмитовы. То же справедливо для их степеней, обратных операторов и т. д.

Оператор Гамильтона (4.5б) эрмитов. Чтобы показать это, заметим прежде всего, что умножение на вещественную функцию
$V\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{f}\right)$ приводит к эрмитовому выражению
\[
\begin{array}{c}
(\varphi, V g)=\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int \varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right)^{*} V\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right) \times \\
\times g\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right) d x_{1} \ldots d x_{f}=\int \underset{-\infty}{\infty} \ldots \int\left(V\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right) \times\right. \\
\left.\times \varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right)\right)^{*} g\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right) d x_{1} \ldots d x_{f}=(V \varphi, g) . \quad
\end{array}
\]

Оператор $(\hbar / i)\left(\partial / \partial x_{k}\right)$ также эрмитов. Путем интегрирования по частям получаем
\[
\begin{array}{c}
\left(\varphi, \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{k}} g\right)=\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int \varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right)^{*} \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{k}} g\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right) d x_{1}, \ldots d x_{f}= \\
=\int \underset{-\infty}{\infty} \ldots-\frac{\hbar}{i}\left(\frac{\partial}{\partial x_{h}} \varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right)\right)^{*} g\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right) d x_{1} \ldots d x_{f}= \\
=\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{k}} \varphi, g\right),
\end{array}
\]

поскольку $\psi$ обращается в нуль при $x_{k}= \pm \infty$ и $l^{*}=-i$. Поэтому его квадгат — $\hbar^{2} \partial^{2} / \partial x_{k}^{2}$ тоже эрмитов, что может быть показано двукратным интегрированием по частям. Тогда все слагаемые оператора $\mathrm{H}$ эрмитовы, так что сам $\mathrm{H}$ эрмитов.
Известно, что уравнение для $\psi$
\[
\mathrm{H} \psi=E \psi
\]

имеет неисчезающие квадратично интегрируемые решения только при определенных значениях $E$. Значения, для которых такие решения существуют, называются собственными значениями; совокупность всех этих собственных значений называется спектром оператора $\mathrm{H}$.

Все собственные значения эрмитова оператора вещественны. Если $H \psi_{E}=E \psi_{E}$, то скалярное произведение с $\psi_{E}$ равно
\[
\left(\psi_{E}, H \psi_{E}\right)=\left(\psi_{E}, E \psi_{E}\right)=E\left(\psi_{E}, \psi_{E}\right) .
\]

Но в (4.11) $\left(\psi_{E}, H \psi_{E}\right)=\left(Н \psi_{E}, \psi_{E}\right)=\left(\psi_{E}, Н \psi_{E}\right)^{*}$. Тогда, поскольку $\left(\psi_{E}, \psi_{E}\right)$ вещественно, $E$ также должно быть вещественным.

Эрмитов оператор может иметь как дискретный, так и непрерывный спектры. Собственные значения дискретного спектра являются дискретными числами (число их может быть конечным или бесконечным счетным); соответствующие собственные функции могут быть нормированы [в нашем случае это означает, тто интеграл от квадрата $\psi_{E}$, т. е. $\left(\psi_{E}, \psi_{E}\right)$, конечен], и в дальнейшем будем предполагать, что они уже нормированы. Собственные функции различаются друг от друга индексами: $\psi_{E}, \psi_{F}, \ldots$ Обычно дискретные собственные значения охватывают наиболее интересную часть спектра. Там, где мы до сих пор говорили просто о „собственных значениях“, мы имели в виду дискретные собственные значения.

Решение уравнения для собственных значений, принадлежащее непрерывному спектру $\psi\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{f}, E\right)$, не обладает конечным интегралом от квадрата $\psi$. Поэтому можно думать, что оно вовсе не принадлежит спектру. Однако, если мы составим так называемый \»собственный дифференциал“
\[
\int_{E}^{E+\Delta} \psi\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{f} ; E\right) d E=\psi\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{f} ; E, E+\Delta\right),
\]

это решение становится квадратично интегрируемым, так что может быть нормировано. Это не имело бы места, если $E$ в действительности не принадлежало бы к спектру. Собственный дифференциал (4.Е.3) принадлежит интервалу между $E$ и $E+\Delta$. Это показывает, что непрерывный спектр состоит не из точек, а из непрерывных областей. Решения $\psi\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{f}, E\right)$ уравнения для собственных значений называются собственными функциями непрерывного спектра, хотя они и не могут быть нормированы. Они зависят от собственного значения $E$ непрерывным образом; мы обычно вводим $E$ как переменную, а не как индекс для различения разных собственных функций непрерывного спектра. Если непрерывный спектр разделить на определенные малые области длины $\Delta$, то для каждой из них можно определить собственный дифференциал, который (после нормировки) предполагает свойства, все более и более сходные со свойствами собственных функций дискретного спектра, коль скоро $\Delta$ становится все меньше и меньше.

Собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям дискретного спектра, ортогональны друг другу. Для доказательства заметим, что из $\mathrm{H} \psi_{E}=E \psi_{E}$ следует, что
\[
\left(\psi_{F}, H \psi_{E}\right)=\left(\psi_{F}, E \psi_{E}\right), \quad\left(H \psi_{F}, \psi_{E}\right)=E\left(\psi_{F}, \psi_{E}\right) .
\]

Аналогично, из $H \psi_{F}=F \psi_{F}$ с учетом вещественности собственных значений имеем
\[
\left(H \psi_{F}, \psi_{E}\right)=\left(F \psi_{F}, \psi_{E}\right)=F^{*}\left(\psi_{F}, \psi_{E}\right)=F\left(\psi_{F}, \psi_{E}\right) .
\]
‘Вычитая, мы видим, что ( $\psi_{E}, \psi_{F}$ ) должно равняться нулю при $E
eq F$. Дискретные собственные функции ортогональны также всем собственным дифференциалам, и собственные дифференциалы ортогинальны друг другу, если только области, которым они принадлежат, не перекрываются.

Одному и тому же собственному значению, например, дискретного спектра может принадлежать более чем одна линейно независимая собственная функция. Если это имеет место, собственное значение называется „вырожденным“. Любая возможная линейная комбинация собственных функций в случае вырождения также является собственной функцией, принадлежащей тому же самому собственному значению. Из линейного набора собственных функций можно выбрать линеино независимый набор; тогда все собственные функции рассматриваемого собственного значения можно выразить в виде линейных комбинаций собственных функций этого линейно независимого набора. Этот набор можно ортогонализовать, например, с помощью метода Шмидта. Разумеется, процесс выбора остается произвольным; ясно, что метод Шмидта может дать много различных ортогональных систем в зависимости от порядка, в котором берутся собственные функции. Однако в настоящий момент это для нас не существенно.

В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что из вырожденных собственных функций каким-либо образом выбран некоторый ортогональный набор. Тогда все собственные функции и собственные дифференциалы образуют ортогональную систему. Если $\psi$ и $\psi^{\prime}$ являются двумя различными произвольными функциями этой системы, то
\[
\left(\psi, \psi^{\prime}\right)=0
\]

и
\[
(\psi, \psi)=1
\]

Эта ортогональная система является также полной, если только непрерывный спектр разделен на достаточно тонкие участки (т. е. $\Delta$ достаточно мало). Другими словами, каждую функци: $\varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right)$, для которой сходится интеграл $(\varphi, \varphi)$, можно разложить в ряд
\[
\varphi=\sum_{\mathrm{x}} g_{\mathrm{x}} \psi_{\mathrm{x}}+\sum_{E} g(E, \Delta) \psi(E, E+\Delta)
\]

где индекс $\boldsymbol{x}$ пробегает все дискретные собственные значения, и $E$ пробегает значение от нижней границы по всем собственным дифференциалам. Это разложение в ряд справедливо, в действительности, только для бесконечно малых $\Delta$; поэтому вторая сумма должна быть заменена интегралом
\[
\varphi=\sum_{x} g_{x} \psi_{x}+\int g(E) \psi(E) d E,
\]
где интегрирование производится по всей области непрерывного спектра. Если собственному значению непрерывного спектра принадлежат несколько линейно независимых собственных функций, то в (4.13a) будет несколько интегралов или даже — если число этих собственных функцић бесконечно — один или более двойных или многократных интегралов. С другой стороны, если в рассматриваемой задаче нет непрерывного спектра, второй член в (4.13) и интеграл в (4.13a) опускаются. Составляя скалярное произведение функции $\psi_{x}$ с (4.13), находим, что коэффициент $g_{x}$ дается выражением
\[
\left(\psi_{x}, \varphi\right)=g_{x} .
\]

Аналогичным образом,
\[
(\psi(E, E+\Delta), \varphi)=g(E, \Delta) .
\]

В формальных расчетах непрерывный спектр часто опускается, и вычисления производятся так, как если бы существовал только дискретный спектр. Ясно, к какому изменению приводит существование непрерывного спектра: к суммам добавляются члены с интегралами.

Изложение в этой главе — особенно для случая непрерывного спэктра — не является строгим. Строгая теория собственных значений для произвольных эрмитовых операторов была создана ${ }^{1}$ ) незало: го до написания первого (немецкого) издания настоящей книги. Мы резюмировали здесь лишь некоторую часть ее результатов. Строгая теория весьма сложна. Однако она может быть использована почти без изменений в изложенной здесь форме ${ }^{2}$ ).
1) J. V. N e u m a n n, Math. Ann., 102, 49 (1924).
2) Теория спектрального разложения эрмитовых (точнее, „самосопряженных\») операторов дана в книге: M. H. St on e, Linear Transformations in Hilbert Space, New York, 1932. Несколько более краткое изложение содержится в книге: F. Riesz, B. Sz-Nagy, Functional Analysis, New York, 1955.