Связь между орбитальным и спиновым моментами, приводящая к полному моменту количества движения и данная в соотношении (24.8), может быть выражена с помощью $3 j$-символов:
\[
\Psi_{m}^{J}=(-1)^{L+\mu+(m-\mu-S)} \sqrt{2 J+1} \sum_{\mu}\left(\begin{array}{llr}
L & S & J \\
\mu & m-\mu-m
\end{array}\right) \Xi_{m-\mu \mu}^{S L} .
\]

Показатель степени первого множителя записан в таком виде потому, что $L+\mu$ и $m-\mu-S$ являются целыми числами. Нет необходимости указывать пределы суммирования по $\mu$, если пользоваться условием, что все $3 j$-символы, у которых абсолютное значение индекса строки превосходит соответствующий индекс представления, равны нулю. Первый и последний столбцы $3 j$-символа можно переставить с помощью (24.10). Это не вызывает никакого\”изменения, если одновременно изменить знаки всех индексов строк. Кроме того, можно заменить $m-\mu$ на v и производить суммирование также и по v. $3 j$-Символы будут обращаться в нуль во всех случаях, кроме $\mu+
u-m=0$. Таким путем (24.13) можно привести к виду
\[
\Psi_{m}^{J}=\sum_{
u \mu}(-1)^{L+\mu+(
u-S)} \sqrt{2 J+1}\left(\begin{array}{rrr}
J & S & L \\
m & –
u & -\mu
\end{array}\right) \Xi_{
u \mu}^{S L} .
\]

Если, наконец, заменить $\Psi_{m}^{J}$ на $(-1)^{2 L} \Psi_{m}^{J}$, а показатели – их величиной с обратным знаком (что допустимо, поскольку они целые), то найдем
\[
\Psi_{m}^{J}=\sum_{
u \mu}(-1)^{L-\mu}(-1)^{S-
u} \sqrt{2 J+1}\left(\begin{array}{rrr}
J & S & L \\
m & –
u & -\mu
\end{array}\right) \Xi_{
u \mu}^{S L} .
\]
Дальнейшее усовершенствование обозначений может быть достигнуто введением понятий ковариантных и контравариантных компонент волновой функции и $3 j$-символов ${ }^{1}$ ). Ковариантным метрическим тензором, естественным образом приспособленным для этой цели, является $C_{m n}^{(j)}$; он определен в (24.3) и имеет явный вид (24.6). Такой тензор позволяет опускать индексы вектора, выражая ковариантные компоненты $f_{m}^{J}$ вектора через его контравариантные компоненты $f_{J}^{m^{\prime}}$ :
\[
f_{m}^{J}=\sum_{m^{\prime}} C_{m m^{\prime}}^{(J)} f_{J}^{m^{\prime}} .
\]

Следует заметить, что тензор $C_{m m^{\prime}}^{J}=(-1)^{J+m} \delta_{m^{\prime},-m}$ симметричен только при целых $J$, так что два индекса $m, m^{\prime}$ переставлять нельзя. Переход от ковариантных компонент к контравариантным производится аналогичным образом:
\[
f_{J}^{n}=\sum_{n^{\prime}} C_{J}^{n n^{\prime}} f_{n^{\prime}}^{J}
\]

где ${ }^{2}$ )
\[
C_{J}^{n n^{\prime}}=(-1)^{J-n} \delta_{n,-n^{\prime}}=(-1)^{J+n^{\prime}} \delta_{n,-n^{\prime}} .
\]

Мы будем пользоваться только ковариантными компонентами волновых функцић, но как ковариантными, так и контравариантными компонентами $3 j$-символов. Например, компонента $3 j$-символа, контравариантная по последнему индексу, есть
\[
\left(\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{2} & m \\
m_{1} & m_{2} & j
\end{array}\right)=\sum_{m^{\prime}} C_{j}^{m m^{\prime}}\left(\begin{array}{lll}
j_{1} & j_{2} & j \\
m_{1} & m_{2} & m^{\prime}
\end{array}\right)=(-1)^{j-m}\left(\begin{array}{rrr}
j_{1} & j_{2} & j \\
m_{1} & m_{2} & -m
\end{array}\right) .
\]

Выражение (24.136) с помощью таких обозначений может быть, очевидно, записано в виде
\[
\Psi_{m}^{J}=\sqrt{2 J+1}\left(\begin{array}{ccc}
J &
u & \mu \\
m & S & L
\end{array}\right) \Xi_{\psi \mu}^{S L}
\]

или, короче,
\[
\Psi_{m}^{J}=\sqrt{2 J+1}\left(J_{m} S^{
u} L^{\mu}\right) \Xi_{\mathrm{v} \mu}^{S L} .
\]

В (24.15a) и (24.15б) в отношении индексов строк (т. е. индексов $
u, \mu$ и т. д., указывающих строку представления) использован принятый в общей теории относительности прием обозначе-
1) Они первоначально были предложены К. Херрингом.
2) Можно предложить следующее мнемоническое правило для запоминания знака в (24.146): первый индекс ( $n$ ) контравариантного (contravariant) метрического тензора входит в показатель с отрицательным (negative) знаком.
ния суммирования: по повторяющимся индексам строк производится суммирование. Один из индексов в каждой суммируемой паре всегда ковариантный (нижний), а второй – контравариантный (верхний). Свободные индексы строк, т. е. индексы строк, по которым не производится суммирование, ковариантны в обеих частях этого равенства или контравариантны в обеих частях. Поскольку ковариантные индексы поднимаются в обеих частях с помощью одного и того же метрического тензора, свободные ковариантные индексы можно заменить в обеих частях любого равенства на свободные контравариантные индексы, и наоборот. В результате свободные индексы можно фактически опустить в обеих частях́. Соотношение вида (24.15a) или (24.15б), имеющее прелятивистски инвариантный вид\”, остается справедливым и в том случае, если представления не приведены к виду, указанному в гл. 15, а лишь эквивалентны этим представлениям. Следует заметить, что величины $s$ в гл. 17 являются по существу смешанными $3 j$-символами
\[
\begin{array}{c}
s_{L \mu
u}^{(\vec{l})}=\sqrt{2 L+1}(-1)^{l-\bar{l}+L}\left(\begin{array}{ccc}
l & \bar{l} & \mu+
u \\
\mu &
u & L
\end{array}\right)= \\
\quad=\sqrt{2 L+1}(-1)^{l-\bar{l}-L}\left(\begin{array}{ccc}
L & \mu &
u \\
\mu+
u & l & \bar{l}
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Несмотря на большое сходство принятых обозначений с обозначениями, используемыми в общей теории относительности, между ними имеется существенная разница. Индексы векторов и тензоров теории относительности пробегают всегда одни и те же значения $(0,1,2,3)$; они относятся к осям в одном и том же пространстве. Индексы $m, n, \mu$ и т. д. все связаны с некоторым представлением; они относятся к различным партнерам, принадлежащим некоторому неприводимому представлению. Каждый индекс может принимать столько значений, сколько строк и столбцов имеет представление, с которым он связан. Суммирование (\”свертка“) всегда производится по индексам, относящимся к одному и тому же представлению; свободные индексы в обеих частях соотношения – как, например, $m$ в (24.15б) – относятся к одному и тому же представлению (в данном случае к $\mathfrak{D}^{(J)}$ ). Естественным следствием этого является то, что не существует единого метрического тензора; каждое представление имеет свой метрический тензор. Разница между индексами, связанными с различными представлениями, находит свое отражение также в симметричности или антисимметричности тензоров; эти соотношения, записанные в (24.10) и (24.10a), не зависят от вида представления только в том случае, если переставляемые индексы относятся к одному и тому же представлению. Однако в этом же случае они действительно не зависят от вида представления, и соотношение
\[
\left(\begin{array}{ccc}
J & j & j \\
m &
u & \mu
\end{array}\right)=(-1)^{J+2 j}\left(\begin{array}{ccc}
J & j & j \\
m & \mu &
u
\end{array}\right)
\]

справедливо независимо от того, в каком виде взято используемое представление. Это обстоятельство и приводит к тому условию относительно знаков $3 j$-символов, которое было принято.

Соотношение (24.17) имеет интересное прямое следствие: если связываются две частицы, волновые функции которых являются партнерами одного и того же представления (\”эквивалентные орбиты\”), образуя состояние с полным моментом количества движения $J$,
\[
\Psi_{m}^{J}(1,2)=\left(J_{m}, j^{
u}, j^{\mu}\right) \psi_{
u}^{j}(1) \psi_{\mu}^{j}(2)
\]
(здесь цифрами 1 и 2 обозначены переменные двух рассматриваемых частиц), то получающееся при этом состояние будет симметричным относительно перестановки двух частиц, если $J+2 j$ четно, и антисимметричным, если $J+2 j$ нечетно. Так, два $2 p$-электрона дают симметричные $S$ – и $D$-состояния и антисимметричное $P$-состояние. Это соответствует случаю $j$ (в данном случае называемого $l$ ) равного 1 и $J$ (в данном случае называемого $L$ ) равного 0 или 2 в симметричном случае и равного 1 в антисимметричном случае. Аналогично в результате связи двух спинов электронов получаем симметричное состояние $S=1$ и антисимметричное состояние $S=0$.

Запишем, наконец, полностью контравариантную форму $3 j$-символа:
\[
\begin{aligned}
\left(J^{m}, S^{
u}, L^{\mu}\right)= & C_{J}^{m m^{\prime}} C_{S}^{v v^{\prime}} C_{L}^{\mu \mu^{\prime}} \cdot\left(J_{m^{\prime}}, S_{y^{\prime}}, L_{\mu^{\prime}}\right)= \\
& =(-1)^{J-m+S-
u+L-\mu}\left(J_{-m}, S_{-
u}, L_{-\mu}\right) .
\end{aligned}
\]
не обращаются в нуль только при $m+
u+\mu=0$. Поэтому (24.10б) дает
\[
\left(J^{m}, S^{
u}, L^{\mu}\right)=\left(J_{m}, S_{v}, L_{\mu}\right) ;
\]

полностью ковариантные $и$ полностью контравариантные 3j-символы равны. Эта теорема зависит от вида представлений, принятого в гл. 15. Однако она позволяет нам записать (24.11) в ковариантном виде. С этой целью прежде всего заметим, что хотя индексы коэффициентов представления записаны как нижние индексы, в действительности первый индекс является контравариантным индексом. Это очевидно уже из основной формулы
\[
\mathrm{O}_{R} \psi_{m}^{j}=\sum_{m^{\prime}} \mathfrak{D}^{(j)}(R)_{m^{\prime} m^{\prime}} \psi_{m^{\prime}}^{j}
\]
Суммирование по $m^{\prime}$ показывает, что этот индекс следовало бы писать как верхний. Поэтому представляется естественным вместо (24.11) писать
\[
\begin{aligned}
\int \mathfrak{D}^{\left(j_{1}\right)}(R)_{n_{1} m_{1}} \mathfrak{D}^{\left(j_{3}\right)}(R)_{n_{2} m_{2}} \mathfrak{D}^{\left(j_{3}\right)}(R)_{n_{3} m_{3}} d R= \\
=h\left(\begin{array}{ccc}
n_{1} & n_{2} & n_{3} \\
j_{1} & j_{2} & j_{3}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
m_{1} & m_{2} & m_{3}
\end{array}\right) .
\end{aligned}
\]

Вычислим ковариантно-контравариантные компоненты представления $\mathfrak{D}^{(j)}(R)_{n m}$ :
\[
C_{n n^{\prime}}^{j} C_{j}^{m m^{\prime}} \mathfrak{D}^{(j)}(R)_{n^{\prime} m^{\prime}}=\left(\mathrm{CD}^{(j)} \mathrm{C}^{T^{-1}}\right)_{n}^{m},
\]

так как контравариантный метрическии тензор является обратным по отношению к ковариантному метрическому тензору. Так как $\mathbf{C}^{T}=(-1)^{2 j} \mathbf{C}$ и так как $\mathbf{C}^{-1}$ преобразует $\mathfrak{D}$ в $\mathfrak{D}^{*}$, находим, что ковариантно-контравариантная пт-компонента представления $\mathfrak{D}^{(j)}(R)$ отличается множителем $(-1)^{2 j}$ от комплексно-сопряженной контравариантно-ковариантной компоненты $\mathfrak{D}^{(j)}(R)$ [т. е. обычной $\left.\mathfrak{D}^{(J)}(R)_{n m}\right]$. Для первоначального вида интеграла от трех коэффициентөв представлений это дает
\[
\begin{array}{l}
\int \mathfrak{D}^{\left(j_{1}\right)}(R)_{n_{1} m_{1}} \mathfrak{D}^{\left(j_{2}\right)}(R)_{n_{2} m_{2}} \mathfrak{D}^{(j)}(R)_{n m}^{*} d R= \\
=(-1)^{2 j} h\left(\begin{array}{lll}
n_{1} & n_{2} & j \\
j_{1} & j_{2} & n
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{2} & m \\
m_{1} & m_{2} & j
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Разумеется, (24.18г) могло бы быть получено и непосредственно. Теорема о равенстве полностью ковариантных и полностью контравариантных компонент $3 j$-символа позволяет записать соотношения ортогональности ( 17.28 ) в инвариантном виде:
\[
\left(\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{2} & j \\
m_{1} & m_{2} & m
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
m_{1} & m_{2} & m^{\prime} \\
j_{1} & j_{2} & j^{\prime}
\end{array}\right)=\frac{{ }^{8} j j^{\prime} \delta_{m m^{\prime}}}{2 j+1} .
\]

При $m=m^{\prime}$ это соотношение эквивалентно первому из соотношений (17.28); при $m
eq m^{\prime}$ каждый член суммы обращается в нуль, так как $m_{1}+m_{2}$ не может быть равным как $-m$, так и – $m^{\prime}$. Другое соогношение ортогональности приобретает вид, не зависящий от вида представления:
\[
\sum_{j}\left(\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{2} & j \\
m_{1} & m_{2} & m
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
m_{1}^{\prime} & m_{2}^{\prime} & m \\
j_{1} & j_{2} & j
\end{array}\right)=\frac{{ }^{8} m_{1} m_{1}^{\prime 8} m_{2} m_{2}^{\prime}}{2 j+1} .
\]

Здесь подразумевается суммирование по $m$ в силу сокращенного обозначения суммирования. Ковариантные обозначения используются
$\begin{array}{ll}\text { Гива } & 24\end{array}$
не только и, может быть, не столько потому, что они приводят к соотношениям, которые не меняются, когда представления подвергаются преобразованиям подобия. Их главная задача состоит в том, чтобы облегчить запоминание этих соотношений. Из них следуют также весьма сжатые обозначения, которые будут введены в следующем разделе.