В этом Приложении дается сводка обозначений и определений координат, вращений и фаз, которые были приняты в американском издании настоящей книги. Они совпадают с обозначениями, принятыми Роузом ${ }^{2}$ ), и имеют то преимущество, что позволяют сохранить обозначения волновых функций Кондона и Шортли ${ }^{3}$ ), коэффициентов представлений Вигнера (принятых также в немецком издании настоящей книги) (и наиболее широко используемые ${ }^{3-5}$ )), определения коэффициентов векторного сложения, причем произведен переход от левой системы координат, первоначально использованной автором, к более широко используемой правой системе координат. Таким образом, сведена к минимуму возможность возникновения недоразумений, происходящих вследствие различия в обозначениях и определениях по сравнению с существующей литературой по физике, а также устранены недостатки левой системы координат.

Более полная сводка соотношений между фазами и обозначениями, используемыми различными авторами, для коэффициентов представлений, коэффициентов векторного сложения и $6 j$-символов дана Эдмондсом ${ }^{5}$ ).
1. Координаты
Прямоугольные координаты, используемые в настоящей книге, таковы, что при (положительном) вращении положительного направления оси $x$ в направлении (положительной) оси $y$ правый винт двигался бы вдоль положительного направления оси $z$. Сфе-
1) Это приложение было добавлено в издании $1959 \mathrm{r}$.
2) См. цитированную на стр. 215 монографию М. Роуза.
3) См. цитированную на стр. 186 монографию Е. Кондона и Г. Шортли.
4) См. цитированные на стр. 227 работы Рака́.
в) См. цитированную на стр. 338 монографию Эдмондса.
рические координаты ( $r, \theta, \varphi$ ) определяются соотношениями (см. фиг. 7 на стр. 185)
\[
\begin{array}{l}
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \\
\theta=\arccos \frac{z}{r}, \\
\varphi=\arcsin \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} .
\end{array}
\]
2. Вращения

Вращение $R$ определяется углами Эилера $\{\alpha, \beta, \gamma\}$. Каждому вращению сопоставляется оператор $P_{R}$, который а) вращает поле вокруг оси $Z$ на угол $\alpha$, б) вращает поле вокруг оси $Y$ на угол $\beta$ и в) вращает поле вокруг оси $Z$ на угол $\gamma$. Оси координат остаются фиксированными при этих вращениях поля. С каждым вращением связано также преобразование координат, представляемое матрицей $\mathbf{R}_{R}$, которая а) осуществляет вращение координат вокруг оси $Z$ на угол $\gamma$, б) вращение координат вокруг новой оси $Y$ на угол $\beta$ и в) вращение координат вокруг новой оси $Z$ на угол $\alpha$. Таким образом ${ }^{1}$ ),
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{R}_{R}=\mathbf{R}_{\{\alpha \beta \gamma\}}= \\
=\left(\begin{array}{ccc}
\cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\
-\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
\cos \beta & 0 & -\sin \beta \\
0 & 1 & 0 \\
\sin \beta & 0 & \cos \beta
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
\cos \gamma & \sin \gamma & 0 \\
-\sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Вращение системы координат посредством $\mathrm{R}_{\{\alpha \beta \gamma\}}$ физически полностью эквивалентно обратному вращению поля посредством $P_{\{\alpha \beta \gamma\}}{ }^{-1}=P_{\{\pi-\gamma, \beta,-\pi-\alpha\}}$; иначе говоря,
\[
f\left(\mathbf{R}_{R} \boldsymbol{r}\right)=\left(\mathrm{P}_{R^{-1}} f\right)(\boldsymbol{r}),
\]

где запись $\left(\mathrm{P}_{R^{-1}} f\right)$ подчеркивает то обстоятельство, что оператор $P$ дает новую функцию координат $\boldsymbol{r}$. Пусть
\[
\mathrm{P}_{R^{-1}} f(\boldsymbol{r})=g(\boldsymbol{r}) .
\]
1) См. соотношения от (15.14a) до (15.15) в основном тексте книги.
Приложение $A$
Тогда $f(\boldsymbol{r})=\mathrm{P}_{R} g(\boldsymbol{r})$, и (А. 3) принимает вид соотношения (11.19), которое было использовано для определения ${ }^{1}$ ) оператора $\mathrm{P}_{R}$ :
\[
\begin{aligned}
\mathbf{P}_{R} g\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right) & =g(\boldsymbol{r}), \\
\boldsymbol{r}^{\prime} & =\mathrm{R}_{R} \boldsymbol{r} .
\end{aligned}
\]

Заметим здесь для связи с дальнейшим, что, согласно (А.2), матрица $\mathrm{R}_{\{\alpha, \beta, \gamma\}}$ переводит точку $\left(0,0, z_{1}\right)$ с полярными координатами ( $r=z_{1}, \theta=0, \varphi=0$ ) в точку ( $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ ) с полярными координатами ( $r^{\prime}=z_{1}, \theta^{\prime}=\beta, \varphi^{\prime}=\pi-\alpha$ ).
3. Представления группы вращений и сферические гармоники

Соотношение (11.23) и (11.26) определяет матрицу представления посредством оператора $P_{R}$ и функций-партнеров $\psi_{\lambda}\left(x_{1}, y_{1}\right.$, $\left.z_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}\right)$ :
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{P}_{R} \psi_{
u}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}\right)= \\
=\sum_{\mathrm{x}} D(R)_{\mathrm{x}
u} \psi_{\mathrm{x}}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}\right)
\end{array}
\]

или, что равносильно,
\[
\begin{aligned}
\psi_{
u}\left(x_{1}^{\prime}, y_{1}^{\prime},\right. & \left.z_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime}, y_{n}^{\prime}, z_{n}^{\prime}\right)= \\
& =\sum_{x} D(R)_{v x}^{*} \psi_{x}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}\right),
\end{aligned}
\]

где
\[
r_{i}^{\prime}=\mathrm{R}_{R} r_{i} .
\]

Для случая группы вращений функциями-партнерами являются сферические гармоники $Y_{l, m}(\theta, \varphi)$, где $-l \leqslant m \leqslant+l$, а матрица представления есть $\mathfrak{D}^{(l)}(R)_{k m}$. Тогда, согласно (А.6),
\[
Y_{l, m}\left(\theta^{\prime}, \varphi^{\prime}\right)=\sum_{k} \mathfrak{D}^{(l)}(R)_{m k}^{*} Y_{l, k}(\theta, \varphi) .
\]

Это соотношение определяет сферические гармоники для всех $\theta^{\prime}$ и $\varphi^{\prime}$ через их значения при $\theta=0, \varphi=0$ и через $\mathfrak{D}_{k m}^{(l)}$ :
\[
Y_{l, m}(\theta, \varphi)=\sum_{k} \mathfrak{D}^{(l)}(R)_{m k}^{*} Y_{l k}(\theta=0, \varphi=0) .
\]

Здесь $R$ должно быть вращением, матрица которого $\mathbf{R}_{R}$ переводит точку на оси $Z$ на расстоянии $r$ от начала в точку с полярными коор-
${ }^{1}$ ) При вычислении произведений вида $\mathrm{P}_{S} \mathbf{P}_{R} f(x)$ следует рассматривать операторы в порядке слева направо, как указано в гл. 11. Только этим путем можно обеспечить равенство $\mathrm{P}_{S} \mathrm{P}_{R}=\mathrm{P}_{S R}$ (см. гл. 11, стр. 128).
динатами $r, \theta, \varphi$. Как мы заметили в предыдущем разделе настоящего Приложения, этим вращением является $R=\{\pi-\varphi,+\theta,+\gamma\}$. В гл. 15 было показано, что только $Y_{l, 0}$ не равно нулю в точке $\theta=\varphi=0$. Поэтому равенство (А.9) есть просто
\[
Y_{l, m}(\theta, \varphi)=\mathfrak{D}^{(l)}(\{\pi-\varphi,+\theta,+\gamma\})_{m 0}^{*} Y_{l 0}(\theta=0, \varphi=0) .
\]

В соответствии с определением в книге Кондона и Шортли примем, что $Y_{l 0}(0,0)$ вещественно и положительно; тогда
\[
Y_{l, m}(\theta, \varphi)=(\text { const }) \cdot(-1)^{m} e^{i m \varphi} d^{(l)}(\theta)_{m 0} .
\]

Это соотношение между сферическими гармониками и коэффициентами представлений было установлено в соотношении (19.8б). Данное здесь определение сферических гармоник совпадает с определением Кондона и Шортли.
4. Коэффициенты векторного сложения
Как упоминалось в гл. 17, матрица $S_{L m ; \mu
u}^{(l, \bar{l})}=s_{L, \mu,
u}^{(l, \bar{l})} \delta_{m, \mu+
u}$ не определяется полностью требованием, чтобы она приводила к тем линенным комбинациям произведений $\Psi_{\mu}^{(l)} \Psi_{
u}^{(\bar{l})}$, которые принадлежат $(\mu+
u)$-и строке представления $\mathfrak{D}^{(L)}$. Равенство (17.21) указывает выбор, при котором коэффициенты векторного сложения являются однозначными:
\[
s_{L, l,-\bar{l}}^{(l, \bar{l})}=\left|s_{L, l,-\bar{l}}^{(l, \bar{l})}\right|>0 .
\]

В этом выборе Кондон и Шортли, а также Рака̀, Роуз и Эдмондс (см. цитированные выше работы и монографии этих авторов) следуют Вигнеру.
$3 j$-символы, использованные в гл. 24 , выражаются через коэффициенты векторного сложения следующим образом:
\[
\left(\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
m_{1} & m_{2} & m_{3}
\end{array}\right)=\frac{(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt{2 j_{3}+1}} s_{j_{3} m_{1} m_{2}}^{\left(j_{1} f_{2}\right)} \delta_{m_{1}+m_{2}+m_{2}, 0^{*}} .
\]
5. Коэффициенты Рака́ и $6 \boldsymbol{j}$-символы

Коэффициенты повторной связи, или $6 j$-символы, используемые в тексте, связаны с коэффициентами $W$ Ракаे следующим образом:
\[
W\left(j_{1} j_{2} l_{1} l_{2} ; j_{3} l_{3}\right)=(-1)^{j_{1}+j_{2}+l_{1}+l_{2}}\left\{\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
l_{1} & l_{2} & l_{3}
\end{array}\right\} .
\]