С точки зрения обращения времени существуют два важных класса физических величин. Координаты, полная энергия и кинетическая энергия принадлежат к первому классу. Вероятность определенного значения $\lambda$ любой из этих величин одинакова для $\varphi$ и для $\theta \varphi$, независимо от того, каково $\varphi$. Эти величины либо не связаны со временем, либо содержат четную степень временно́й переменной. В результате обращение направления движения не оказывает никакого влияния на эти величины. Скорость, импульс,
1) Инволюцией мы называем такую операцию, квадрат которой яюляется тождественной операцией.

момент количества движения, а также проекции спина на заданное направление принадлежат ко второму классу операторов. Если какая-либо из этих величин имеет значение $\lambda$ в состоянии $\varphi$, то она имеет значение $-\lambda$ в состоянии $\theta \varphi$. Эти величины содержат нечетную степень временно́й переменной. Разумеется, существуют физические величины, как, например, координата плюс скорость, которые не принадлежат ни к одному из этих классов. Нам, однако, не придется иметь дело с величинами подобного рода.

Операторы, соответствующие величинам первого класса, коммутируют с $\boldsymbol{\theta}$. Действительно, если q является таким оператором, а $\varphi_{x}$ – состояние, в котором $q$ имеет значение $\lambda_{x}$, то $q \psi_{x}=\lambda_{x} \psi_{x}$. Так как q имеет значение $\lambda_{x}$ также и для $\theta \psi_{x}$, имеем также $q \theta \psi_{x}=\lambda_{x} \theta \psi_{x}$. Следовательно, если $\varphi$ – произвольная волновая функ.ция $\varphi=\sum a_{\mathrm{x}} \psi_{\mathrm{x}}$, то в силу линеинности $\mathrm{q}$ имеем
\[
\theta \mathrm{q} \varphi=\theta \mathrm{q} \Sigma a_{\mathrm{x}} \psi_{\mathrm{x}}=\theta \boldsymbol{\Sigma} a_{\mathrm{x}} \lambda_{\mathrm{x}} \psi_{\mathrm{x}}=\Sigma a_{\mathrm{x}}^{*} \lambda_{\mathrm{x}} \theta \psi_{\mathrm{x}},
\]

поскольку величины $\lambda_{x}$ вещественны. С другой стороны,
\[
\mathrm{q}^{\theta} \varphi_{\rho}=\mathrm{q}^{\boldsymbol{\theta}} \boldsymbol{\Sigma} a_{\mathrm{x}} \psi_{\mathrm{x}}=\mathrm{q} \boldsymbol{\Sigma} a_{\mathrm{x}}^{*} \theta \psi_{\mathrm{x}}=\Sigma a_{\mathrm{x}}^{*} \mathrm{q} \theta \psi_{\mathrm{x}}=\Sigma a_{\mathrm{x}}^{*} \lambda_{\mathrm{x}} \theta \psi_{\mathrm{x}} .
\]

Отсюда следует, что если $q$-оператор первого класса, то
\[
\boldsymbol{\theta} q=q^{\boldsymbol{\theta}} \text {. }
\]

С другой стороны, если оператор p принадлежит ко второму классу, те же аргументы приводят к тому, что
\[
\theta p=-p \theta
\]

и $\theta$ антикоммутирует с этими операторами. Предыдущее рассуждение является строгим только в том случае, если q и p имеют точечные спектры; однако можно показать, что соотношения (26.11) и (26.12) справедливы для всех операторов соответственно первого и второго классов.

Рассмотрим сначала простую теорию Шредингера, которая не учитывает спина. Если мы напишем $\theta=\mathrm{UK}$, то из $\theta x=x \theta$, где $x$ – любая из координат, получим
\[
\mathrm{UK} x \varphi=\mathrm{U} x \varphi^{*}=x \mathrm{UK} \varphi=x \mathrm{U} \varphi^{*},
\]

так что $U$ коммутирует с операцией умножения на любую из координат. Так как операторы импульса $\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}$ принадлежат ко второму классу операторов, из (26.12) имеем
\[
\text { UK } \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \varphi}{\partial x}=-\frac{\hbar}{i} \mathrm{U} \frac{\partial \varphi^{*}}{\partial x}=-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \mathrm{UK} \varphi=-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial\left(\mathrm{U} \varphi^{*}\right)}{\partial x} \text {. }
\]

Мнимая единица $i$ в выражении для оператора импульса компенсирует знак минус в (26.12) и U коммутирует с операцией $\partial u g$ –
ференцирования по любой из координат. Отсюда можно заключить, что $U$ должно быть просто умножением на постоянную с модулем 1. Поскольку эта постоянная может быть выбрана произвольно, положим ее равной 1; тогда для теории, не учитывающей спина, получим
\[
\boldsymbol{\theta}=\mathrm{K}, \quad \boldsymbol{\theta} \varphi=\varphi^{*} .
\]

Это показывает, что волновые функции стационарных состояний могут быть выбраны вещественными, что в данном случае совершенно очевидно, поскольку гамильтониан является вещественным. Однако следует заметить, что соотношения (26.14) справедливы только в том случае, если операторы координат и импульсов берутся в виде $x$ и $\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}$ (см. гл. 4). Если использовать „импульсные координаты\” и подставить $i \hbar \frac{\partial}{\partial p}$ вместо обычных координат, а умножение волновой функции на „импульсную“ переменную $p$ для импульсных координат, то $\theta$ становится равным UK, где U не является единичным оператором, а производит подстановку – $p$ вместо $p$ :
\[
\mathrm{U} \varphi\left(-p_{1},-p_{2}, \ldots,-p_{f}\right)=\varphi\left(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{f}\right) .
\]

Рассмотрим теперь теорию, учитывающую спин. Оператор $U$ должен удовлетворять соотношениям (26.13) и (26.13a) также и в этом случае, но этих условић недостаточно для полного определения $U$; они показывают лишь, что $U$ не действует на декартовы координаты, но тем не менее может действовать на спиновые координаты. В этом отношении он имеет свойства, противоположные свойствам бесспиновых операторов в гл. 20. Чтобы полностью определить $\boldsymbol{\theta}=\mathrm{UK}$, необхөдимо рассмотреть поведение спиновых переменных $\mathbf{s}_{1 x}, \mathbf{s}_{1 y}, \mathbf{s}_{1 z}, \ldots, \mathbf{s}_{n x}, \mathbf{s}_{n y}, \mathbf{s}_{n z}$ при обращении времени. Спиновые переменные как моменты количества движения принадлежат ко второму классу операторов, так что они антикоммутируют с $\boldsymbol{\theta}$. Поскольку все $\boldsymbol{s}_{i x}$ вещественны, для всех $i=1,2, \ldots, n$ имеем
\[
\theta \mathrm{s}_{i x}=\mathrm{UK}_{i x}=\mathrm{Us}_{i x} \mathrm{~K} .
\]

Это выражение должно быть равно $-\mathbf{s}_{i x} \boldsymbol{\theta}=-\mathrm{s}_{i x} \mathrm{UK}$, так что $\mathbf{s}_{i x}$ антикоммутирует с U. Tо же самое имеет место для $\mathbf{s}_{i z}$, которые тоже все вещественны. С другой стороны, мнимый оператор $\mathrm{s}_{i y}$ коммутирует с U. Следовательно,
\[
\mathrm{Us}_{i x}=-\mathrm{s}_{i x} \mathrm{U}, \quad \mathrm{Us}_{i y}=\mathrm{s}_{i y} \mathrm{U}, \quad \mathrm{Us}_{i z}=-\mathrm{s}_{i z} \mathrm{U} .
\]

Оператором, удовлетворяющим этим требованиям, является произведение всех мнимых спиновых операторов:
\[
\mathrm{U}=\mathrm{s}_{1 y} \mathrm{~s}_{2 y} \ldots \mathrm{s}_{n y} .
\]
Действительно, с точностью до множителей, U-единственный оператор, который удовлетворяет соотношениям (26.13б). Предположим, что существует второе решение $U_{1} U$ этих уравнений. Тогда мы находим, что $U_{1}$ должен коммутировать со всеми $s_{l x}$, $\mathbf{s}_{i y}, \mathbf{s}_{i z}$ и, следовательно, с
\[
c_{1} \mathrm{~s}_{1 z}+c_{2} \mathrm{~s}_{2 z}+\ldots+c_{n} \mathrm{~s}_{n z}
\]

при всех значениях $c$. Однако матрица, коммутирующая со всеми этими матрицами, является диагональной матрицей, так как при ‘надлежащем выборе величин $c$ никакие два диагональные элемента матрицы (26.E.1) не равны. С другой стороны, ни один матричный элемент матрицы
\[
\left(\mathrm{s}_{1 y}+\mathrm{s}_{1 z}\right)\left(\mathrm{s}_{2 y}+\mathrm{s}_{2 z}\right) \ldots\left(\mathrm{s}_{n y}+\mathrm{s}_{n z}\right)
\]

не обращается в нуль, так что только постоянная матрица коммутирует как с (26.Е.1), так и с (26.Е.2). Поскольку постоянная в $\theta$ остается еще свободной, можно написать
\[
\theta=\mathrm{s}_{1 y} \mathrm{~s}_{2 y} \ldots \mathrm{s}_{n y} \mathrm{~K}
\]

или
\[
\begin{array}{l}
\theta \Phi\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, s_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}, s_{n}\right)= \\
=l^{-s_{1},-s_{2}, \ldots-s_{n} \Phi\left(x_{1}, y_{1}, z_{1},-s_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n},-z_{n}\right)^{*} .}
\end{array}
\]

Легко проверить, что $\theta^{2}=1$, если $n$ четно, и $\theta^{2}=-1$, если $n$ нечетно. Существует другая форма оператора $\theta$, которая получается, если замттить, что $\mathfrak{D}^{(1 / 2)}(\{0, \pi, 0\})=i \mathbf{s}_{y}$. Так как $\mathrm{Q}_{\{0, \pi, 0\}}$ заключается в применении $\mathfrak{D}^{(1 / 2)}(\{0, \pi, 0\})$ к каждой спиновой переменной, сравнение с (26 15a) показывает, что
\[
\theta=(-i)^{n} \mathrm{Q}_{\{0, \pi, 0\}} \mathrm{K} .
\]

Выведем, наконец, соотношения между оператором обращения времени $\theta$ и унитарными операторами $\mathrm{O}_{R}$ или $\mathrm{O}_{\mathrm{u}}$, которые соответствуют вращениям систем координат. Поскольку вращения и обращение времени коммутируют как физические операции, $\mathrm{O}_{R} \theta$ и $\theta \mathrm{O}_{R}$ могут отличаться только постоянным множителем $c_{R}$, который, однако, может зависеть от $R$. Следовательно,
\[
\boldsymbol{\theta}^{-1} \mathrm{O}_{R} \boldsymbol{\theta}=c_{R} \mathrm{O}_{R} \text { или } \boldsymbol{\theta}^{-1} \mathrm{O}_{\mathbf{u}} \boldsymbol{\theta}=c_{\mathbf{u}} \mathrm{O}_{\mathbf{u}} .
\]

Произведение двух таких соотношений, в силу $\mathrm{O}_{R} \mathrm{O}_{S}=\mathrm{O}_{R}$, дает
\[
c_{R} c_{S} \mathrm{O}_{R S}=\theta^{-1} \mathrm{O}_{R} \theta \theta^{-1} \mathrm{O}_{s} \theta=\theta^{-1} \mathrm{O}_{R S} \theta=c_{R S} \mathrm{O}_{R S} .
\]
Поэтому числа $c_{R}$ образуют представление группы вращений (или двумерной унимодулярной унитарной группы преобразований $\mathbf{u}$ ). Так как единственное одномерное представление группы чистых вращений или унитарной группы есть тождественное представление $c_{R}=1$, то
\[
\mathrm{O}_{R} \theta=\theta \mathrm{O}_{R} \quad \text { или } \mathrm{O}_{\mathrm{u}} \theta=\theta \mathrm{O}_{\mathrm{u}}
\]

для всех собственных вращений. Это соотношение может быть проверено также прямым вычислением; оно эквивалентно соотношению
\[
\mathfrak{D}^{(1 / 2)}(R) \mathrm{s}_{y}=\mathrm{s}_{y} \mathfrak{D}^{(1 / 2)}(R)^{*} .
\]

Предыдущие рассуждения не исключают возможности того, что обе части соотношения (26.17) равны по абсолютной величине, но имеют противоположные знаки, если $R$ является несобственным вращением. В соответствующем представлении $\left(c_{R}\right.$ ) полной группы вращении (1) соответствует собственным вращениям, a (-1) – вращениям с определителем -1. Однако легко проверить, что соотношение (26.17) справедливо и для оператора $\mathrm{O}_{I}$ пространственной инверсии. Поэтому оно справедливо для всех рассмотренных ранее операций симметрии.

Естественно, что рассуждения этого раздела не доказывают, что уравнения квантовой механики инвариантны относительно обращения времени. Они показывают, однако, что если эта инвариантность действительно имеет место, то оператор обращения времени $\theta=$ UK должен задаваться, с точностью до постоянного множителя, выражениями (26.14) или (26.15a) соответственно для простой теории или для теории, изложенной в гл. 20.