4. При описании электрона волновой функцией, зависящей от $s$, оси $Z$ отдается предпочтение перед всеми направлениями, даже перед двумя другими осями координат. Поэтому совершенно необходимо исследовать здесь вопрос о том, как изотропность пространства сохраняется при этом описании, т. е. какую волновую функцию $О_{R} \Phi$ припишет состоянию $\Phi$ второй наблюдатель, если он описывает физическую систему и все величины точно таким же образом, как и первый, за исключением того, что он пользуется системой координат, повернутой относительно системы координат первого наблюдателя. Пусть относительное расположение двух систем координат таково, что координаты точки $x, y, z$ во второй системе равны
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{R}_{x x} x+\mathbf{R}_{x y} y+\mathbf{R}_{x z} z=x^{\prime}, \\
\mathbf{R}_{y x} x+\mathbf{R}_{y y} y+\mathbf{R}_{y z} z=y^{\prime}, \\
\mathbf{R}_{z x} x+\mathbf{R}_{z y} y+\mathbf{R}_{z z} z=z^{\prime} .
\end{array}
\]
( $\mathbf{R}$ является вещественной ортогональной трехмерной матрицей с определителем 1.) Функция $\mathrm{O}_{R} \Phi$ может быть определена как волновая функция, приписываемая состоянию $\Phi$ вторым наблюдателем, или как волновая функция первоначального состояния $\Phi$, повернутого с помощью преобразования $R$, и обнаруживаемая первым наблюдателем.

Если бы волновая функция зависела только от пространственных координат частиц, оператор $О_{R}$ был бы просто точечным преобразованием $\mathrm{P}_{R}$ (см. гл. 11):
\[
\boldsymbol{P}_{R \varphi}\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)=\varphi\left(x, y, z^{\prime} .\right.
\]
Равенство (20.7) утверждает просто, что волновая функция $\mathrm{P}_{R} \varphi$ для второго наблюдателя в точке $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ принимает то же самое значение, что и волновая функция для первого наблюдателя в точке $x, y, z$. Это должно быть верно, так как точку $x, y, z$ второй наблюдатель называет $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$.

При включении спиновых координат, наряду с пространственными, преобразование $\mathrm{O}_{R}$ не может оставаться просто точечным преобразованием, так как $s$ нельзя подвергнуть точечному преобразованию. По этой причине $\mathrm{O}_{R}$ будет более общим оператором, чем $P_{R}$. Предположим, что существует система операторов $\mathrm{O}_{R}$ (каждому вращению $R$ принадлежит некоторый оператор $\mathrm{O}_{R}$ ). и попытаемся найти его, исходя из основных предположений теории Паули и требования равноправности наблюдателей, связанных с различными системами координат. Мы найдем, что существует только одна система операторов, удовлетворяющих этим условиям. Ее определение позволит сделать важные заключения о свойтвах электрона со спином.
5. Описание второго наблюдателя, который приписывает состоянию $\Phi$ волновую функцию $\mathrm{O}_{R} \Phi$, должно быть вполне эквивалентным первоначальному описанию. В частности, оно должно давать те же самые вероятности переходов между двумя произвольными состояниями $\Psi$ и $\Phi$, какие даются первым:
\[
|(\Psi, \Phi)|^{2}=\left|\left(\mathrm{O}_{R} \Psi, \mathrm{O}_{R} \Phi\right)\right|^{2} .
\]

Здесь важно заметить, что, хотя состояние $\Phi$, которое представляется как состояние $\mathrm{O}_{R} \Phi$ для наблюдателя, связанного с повернутой системой координат, задано полностью указанием его волновой функции, волновая функция второго наблюдателя для этого состояния не определена однозначно. Она может быть умножена на произвольную постоянную $c$, имеющую абсолютное значение 1, так как волновые функции $\mathrm{O}_{R} \Phi$ и $c \mathrm{O}_{R} \Phi$ описывают одно и то же физическое состояние. Это означает, что оператор $\mathrm{O}_{R}$ не является однозначным – для всякой функции $\Phi$ в $O_{R}$ имеется свободный множитель. Будет показано (см. приложение в конце настоящей главы), что этим произволом в $\mathrm{O}_{R}$ можно воспользоваться так, чтобы для всех $\Psi$ и $\Phi$ имели место соотношения
\[
\left.\begin{array}{c}
(\Psi, \Phi)=\left(\mathrm{O}_{R} \Psi, \mathrm{O}_{R} \Phi\right) \\
\mathrm{O}_{R}(a \Psi+b \Psi)=a \mathrm{O}_{R} \Psi+b \mathrm{O}_{R} \Psi
\end{array}\right\}
\]
( $a$ и $b$-постоянные); иначе говоря, так, чтобы $\mathrm{O}_{R}$ стал линейным оператором. Тогда два способа описания – один для наблюдателя в первоначальной системе и другой для наблюдателя в повернутой системе координат – отличаются только каноническим преобразованием, что обеспечивает их полную физическую эквивалентность. Второй наблюдатель воспринимает состояние с волновой функцией $\Phi$ как $O_{R} \Phi$; величине, которая соответствует оператору $\mathrm{H}$ для первого наблюдателя, соответствует оператор $\mathrm{O}_{R} \mathrm{HO}_{R}^{-1}$ с точки зрения второго наблюдателя.

Наоборот, требование (20.8a), чтобы $\mathrm{O}_{R}$ был линейным унитарным оператором, определяет постоянную $c_{\Phi}$ однозначно для всех волновых функций, кроме одной. Если $c \mathrm{O}_{R} \Phi$ подставить вместо волновой функции $\mathrm{O}_{R} \Phi$, то для сохранения в силе соотношений (20.8a) все волновые функции должны быть одновременно умножены на $c$. Чтобы убедиться в этом, подставим $c \mathrm{O}_{R} \Phi$ вместо $\mathrm{O}_{R} \Phi$ в (20.8а), оставив неизменной, скажем, $\mathrm{O}_{R} \Psi$; тогда, если (20.8а) должно выполняться для этой новой системы, то
\[
(\Psi, \Phi)=\left(\mathrm{O}_{R} \Psi, c \mathrm{O}_{R} \Phi\right)=c\left(\mathrm{O}_{R} \Psi, \mathrm{O}_{R} \Phi\right),
\]

откуда вместе с (20.8a) следует, что $c=1$. В дальнейем мы всегда будем выбирать функцию О $_{R} \Phi$ так, чтобы (20.8a) выполнялось; тогда для всех волновых функций $\mathrm{O}_{R} \Phi$ (где $R$ – заданное вращение) остается свободной лишь одна константа. Эта константа может, однако, зависеть от $R$.
6. Рассмотрим теперь два состояния $\Psi_{-}=\psi(x, y, z) \delta_{s,-1}$ и $\Psi_{+}=\psi(x, y, z) \delta_{s,+1}$. Для \”бесспиновых “ опытов оба эти состояния ведут себя так, как если бы их волновые функции были равны $\psi(x, y, z)$. Поэтому пока рассматриваются „бесспиновые“ опыты, для наблюдателя в повернутой системе координат они представляются как состояние с волновой функцией $\mathrm{P}_{R} \psi(x, y, z)$. Поэтому, согласно (20.5), волновые функции $\mathrm{O}_{R} \Psi_{-}$и $\mathrm{O}_{?} \Psi_{+}$ должны иметь вид
\[
\begin{aligned}
\mathrm{O}_{R}^{\delta_{s},-1} \psi(x, y, z) & =\mathbf{u}_{s,-1} \mathbf{P}_{R} \psi(x, y, z), \\
\mathrm{O}_{R} \delta_{s, 1} \psi(x, y, z) & =\mathbf{u}_{s, 1} \mathrm{P}_{R} \psi(x, y, z),
\end{aligned}
\]

где $\mathbf{u}_{s,-1}$ и $\mathbf{u}_{s, 1}$ не зависят от $x, y, z$ и на данном этапе могут быть различными для разных $\psi$. Однако, если $\varphi$ является состоянием, отличным от $\psi$, для которого справедливо соотношение
\[
\mathrm{O}_{R} \delta_{s,-1} \varphi(x, y, z)=\overline{\mathbf{u}}_{s,-1} \mathrm{P}_{R \varphi}(x, y, z),
\]

то из линейности оператора $\mathrm{O}_{R}$ следует, что
\[
\begin{aligned}
\mathrm{O}_{R} \delta_{s,-1}(\varphi+\psi)= & \stackrel{\rightharpoonup}{\mathbf{u}}_{s,-1} P_{R}(\varphi+\psi)=\overline{\mathbf{u}}_{s,-1} P_{R} \varphi+\overline{\mathbf{u}}_{s,-1} P_{R} \psi= \\
& =\mathrm{O}_{R} \delta_{s,-1} \varphi+\mathrm{O}_{R} \delta_{s,-1} \psi=\overline{\mathbf{u}}_{s,-1} P_{R} \varphi+\mathbf{u}_{s,-1} P_{R} \psi .
\end{aligned}
\]

В силу линейной независимости $\mathrm{P}_{R \varphi}$ и $\mathrm{P}_{R} \psi$ отсюда следует, что
\[
\overline{\mathbf{u}}_{s,-1}=\overline{\mathbf{u}}_{s,-1}=\mathbf{u}_{s,-1} .
\]
Аналогичным образом,
\[
\overline{\mathbf{u}}_{s, 1}=\mathbf{u}_{s, 1} .
\]

Таким образом, величины $\mathbf{u}_{s t}$ одинаковы для всех волновых функций, а матрица $\mathbf{u}=\mathbf{u}(R)$ может зависеть только от вращения $R$. Если $\Phi(x, y, z, s)$ является произвольной волновой функцией
\[
\Phi(x, y, z, s)=\delta_{s,-1} \Phi(x, y, z,-1)+\delta_{s, 1} \Phi(x, y, z, 1),
\]

то из линейности оператора $\mathrm{O}_{R}$ и соотношений (20.9) снова следует, что
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{O}_{R} \Phi(x, y, z, s)=\mathrm{O}_{R} \delta_{s,-1} \Phi(x, y, z,-1)+\mathrm{O}_{R} \delta_{s, 1} \Phi(x, y, z, 1)= \\
=\mathbf{u}_{s,-1} \mathrm{P}_{R} \Phi(x, y . z,-1)+\mathbf{u}_{s, 1} \mathrm{P}_{R} \Phi(x, y, z, 1), \\
\mathrm{O}_{R} \Phi(x, y, z, s)=\sum_{t= \pm 1} \mathbf{u}_{s t} \mathrm{P}_{R} \Phi(x, y, z, t) .
\end{array}
\]

Таким образом, оператор $\mathrm{O}_{R}$ может быть разбит на два множителя:
\[
\mathrm{O}_{R}=\mathrm{Q}_{R} \mathbf{P}_{R} .
\]

Oператор $\mathrm{P}_{R}$ является обычным оператором преобразования, определенным равенством (20.7), и действует только на пространственные координаты волновой функции; оператор $\mathrm{Q}_{R}$ определяется равенством
\[
\mathrm{Q}_{R} \Phi(x, y, z, s)=\sum_{t= \pm 1} \mathbf{u}(R)_{s t} \Phi(x, y, z, t)
\]

и действует только на спиновую координату $s$. Поскольку область изменения $s$ состоит только из двух точек +1 и -1, (20.12а) показывает, что оператор $\mathrm{Q}_{R}$ эквивалентен двухрядной матрице:
\[
\mathbf{u}(R)=\left(\begin{array}{ll}
\mathbf{u}(R)_{-1,-1} & \mathbf{u}(R)_{-1,1} \\
\mathbf{u}(R)_{1,-1} & \mathbf{u}(R)_{1,1}
\end{array}\right) .
\]

Операторы $\mathrm{P}$ и $\mathrm{Q}$ коммутируют; поэтому для двух произвольных вращений $R$ и $S$ имеем
\[
\mathrm{P}_{s} \mathrm{Q}_{R}=\mathrm{Q}_{R} \mathrm{P}_{s}
\]

и, в частности,
\[
\mathbf{P}_{R} \mathbf{Q}_{R}=\mathbf{Q}_{R} \mathbf{P}_{R} \text {. }
\]

Возможность разбить оператор $\mathrm{O}_{R}$ на два множителя $\mathrm{P}_{R}$ и $\mathrm{Q}_{R}$ опирается главным образом на предположение о том, что существуют \”бесспиновые\” опыты, которые могут быть описаны волноой функцией, зависящей только от $x, y$ и $z$. Это предположение отбрасывается в релятивистской теории Дирака, и в последней теории $\mathrm{O}_{R}$ не может быть разбит на два множителя, удовлетворяющих (20.14), если $R$ представляет переход к движущейся системе координат.