Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
4. При описании электрона волновой функцией, зависящей от $s$, оси $Z$ отдается предпочтение перед всеми направлениями, даже перед двумя другими осями координат. Поэтому совершенно необходимо исследовать здесь вопрос о том, как изотропность пространства сохраняется при этом описании, т. е. какую волновую функцию $О_{R} \Phi$ припишет состоянию $\Phi$ второй наблюдатель, если он описывает физическую систему и все величины точно таким же образом, как и первый, за исключением того, что он пользуется системой координат, повернутой относительно системы координат первого наблюдателя. Пусть относительное расположение двух систем координат таково, что координаты точки $x, y, z$ во второй системе равны Если бы волновая функция зависела только от пространственных координат частиц, оператор $О_{R}$ был бы просто точечным преобразованием $\mathrm{P}_{R}$ (см. гл. 11): При включении спиновых координат, наряду с пространственными, преобразование $\mathrm{O}_{R}$ не может оставаться просто точечным преобразованием, так как $s$ нельзя подвергнуть точечному преобразованию. По этой причине $\mathrm{O}_{R}$ будет более общим оператором, чем $P_{R}$. Предположим, что существует система операторов $\mathrm{O}_{R}$ (каждому вращению $R$ принадлежит некоторый оператор $\mathrm{O}_{R}$ ). и попытаемся найти его, исходя из основных предположений теории Паули и требования равноправности наблюдателей, связанных с различными системами координат. Мы найдем, что существует только одна система операторов, удовлетворяющих этим условиям. Ее определение позволит сделать важные заключения о свойтвах электрона со спином. Здесь важно заметить, что, хотя состояние $\Phi$, которое представляется как состояние $\mathrm{O}_{R} \Phi$ для наблюдателя, связанного с повернутой системой координат, задано полностью указанием его волновой функции, волновая функция второго наблюдателя для этого состояния не определена однозначно. Она может быть умножена на произвольную постоянную $c$, имеющую абсолютное значение 1, так как волновые функции $\mathrm{O}_{R} \Phi$ и $c \mathrm{O}_{R} \Phi$ описывают одно и то же физическое состояние. Это означает, что оператор $\mathrm{O}_{R}$ не является однозначным — для всякой функции $\Phi$ в $O_{R}$ имеется свободный множитель. Будет показано (см. приложение в конце настоящей главы), что этим произволом в $\mathrm{O}_{R}$ можно воспользоваться так, чтобы для всех $\Psi$ и $\Phi$ имели место соотношения Наоборот, требование (20.8a), чтобы $\mathrm{O}_{R}$ был линейным унитарным оператором, определяет постоянную $c_{\Phi}$ однозначно для всех волновых функций, кроме одной. Если $c \mathrm{O}_{R} \Phi$ подставить вместо волновой функции $\mathrm{O}_{R} \Phi$, то для сохранения в силе соотношений (20.8a) все волновые функции должны быть одновременно умножены на $c$. Чтобы убедиться в этом, подставим $c \mathrm{O}_{R} \Phi$ вместо $\mathrm{O}_{R} \Phi$ в (20.8а), оставив неизменной, скажем, $\mathrm{O}_{R} \Psi$; тогда, если (20.8а) должно выполняться для этой новой системы, то откуда вместе с (20.8a) следует, что $c=1$. В дальнейем мы всегда будем выбирать функцию О $_{R} \Phi$ так, чтобы (20.8a) выполнялось; тогда для всех волновых функций $\mathrm{O}_{R} \Phi$ (где $R$ — заданное вращение) остается свободной лишь одна константа. Эта константа может, однако, зависеть от $R$. где $\mathbf{u}_{s,-1}$ и $\mathbf{u}_{s, 1}$ не зависят от $x, y, z$ и на данном этапе могут быть различными для разных $\psi$. Однако, если $\varphi$ является состоянием, отличным от $\psi$, для которого справедливо соотношение то из линейности оператора $\mathrm{O}_{R}$ следует, что В силу линейной независимости $\mathrm{P}_{R \varphi}$ и $\mathrm{P}_{R} \psi$ отсюда следует, что Таким образом, величины $\mathbf{u}_{s t}$ одинаковы для всех волновых функций, а матрица $\mathbf{u}=\mathbf{u}(R)$ может зависеть только от вращения $R$. Если $\Phi(x, y, z, s)$ является произвольной волновой функцией то из линейности оператора $\mathrm{O}_{R}$ и соотношений (20.9) снова следует, что Таким образом, оператор $\mathrm{O}_{R}$ может быть разбит на два множителя: Oператор $\mathrm{P}_{R}$ является обычным оператором преобразования, определенным равенством (20.7), и действует только на пространственные координаты волновой функции; оператор $\mathrm{Q}_{R}$ определяется равенством и действует только на спиновую координату $s$. Поскольку область изменения $s$ состоит только из двух точек +1 и -1, (20.12а) показывает, что оператор $\mathrm{Q}_{R}$ эквивалентен двухрядной матрице: Операторы $\mathrm{P}$ и $\mathrm{Q}$ коммутируют; поэтому для двух произвольных вращений $R$ и $S$ имеем и, в частности, Возможность разбить оператор $\mathrm{O}_{R}$ на два множителя $\mathrm{P}_{R}$ и $\mathrm{Q}_{R}$ опирается главным образом на предположение о том, что существуют \»бесспиновые\» опыты, которые могут быть описаны волноой функцией, зависящей только от $x, y$ и $z$. Это предположение отбрасывается в релятивистской теории Дирака, и в последней теории $\mathrm{O}_{R}$ не может быть разбит на два множителя, удовлетворяющих (20.14), если $R$ представляет переход к движущейся системе координат.
|
1 |
Оглавление
|