Выводы формул Хёнля – Кронига для интенсивностей и правила интервалов Ланде, изложенные в предыдущей главе, представляют частные случаи вычисления матричных элементов неприводимого тензорного оператора, с заданными трансформационными свойствами не только относительно вращений всех координат, но также относительно вращений спиновых и обычных координат в отдельности. Операторы $T^{(\sigma \rho)}$ этого рода были определены ${ }^{1}$ ) в соотношениях (23.13a) и (23.136). Операторы, неприводимые относительно одновременных вращений как спинов, так и пространственных координат, могут быть получены из них с помощью линейных комбинаций:
\[
T_{\omega}^{(\tau)}=\sum_{\rho} s_{\omega \rho \tau-\rho}^{(q p)} T_{q p}^{(\rho, \tau-\rho)} .
\]

Используя соотношения (23.13a), (23.136) и (17.16б), а также соотношения ортогональности (17.28) для $s$, легко показать, что
\[
\mathrm{O}_{R}^{-1} \mathrm{~T}_{\omega}^{(\tau)} \mathrm{O}_{R}=\mathrm{D}^{(\omega)}(R)_{\tau} \cdot \mathrm{T}_{\omega}^{\left(\tau^{\prime}\right)} .
\]

Фактически оператор этого рода уже рассматривался при выводе правила интервалов Ланде. Оператор спин-орбитального взаимодействия есть скаляр ( $\omega=0$ ), составленный из операторов, являющихся векторами как по отношению к вращению спинов $(q=1$ ), так и по отношению к вращениям координат ( $p=1$ ).

Аналогично, волновые функции $\Psi_{m}^{N S L J}$ и $\Psi_{m^{\prime}}^{N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime} J^{\prime}}$, которые входят в матричный элемент, имеют определенные трансформационные свойства (определяемые квантовым числом $J$ ) по отношению к вращениям всех координат. Эти волновые функции имеют
1) Читатель помнит, что $T^{(\alpha p)}$ есть ор-компонента тензора ранга $q$ по отношению к спиновым вращениям $Q_{R}$ и ранга $p$ по отношению к вращениям координат $P_{R}$ Оператор $T_{\omega}^{(\tau)}$ в (24.1) является компонентой $\tau$ гензора ранга $\omega$ по отношению к совместным вращениям координат и спинов $O_{R}=Q_{R} P_{R}$.
также определенные трансформационные свойства по отношению к вращениям спиновых и обычных координат в отдельности. Двумя соответствующими квантовыми числами являются $S$ и $L$. В результате матричные элементы вида
\[
\left(\Psi_{m^{\prime}}^{N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime} J^{\prime}}, \mathrm{T}_{\omega}^{(\tau)} \Psi_{m}^{N S L J}\right)
\]

для всех допустимых значений $J, J^{\prime}, \omega, m, m^{\prime}, \tau$ могут быть выражены через одну постоянную. Этими допустимыми значениями являются просто те значения, для которых существуют $\Psi$ и $T_{\omega}$. Значения $J$ ограничиваются вектор, ым сложением: $|S-L| \leqslant J \leqslant$ $\leqslant S+L$; ограничением для $m$ будет $-J \leqslant m \leqslant J$ и т. д. Трудность, с которой мы встретились при вычислениях, заключалась в том, что выражение, полученное при использовании характеристик волновых функций и операторов по отношению к вращениям всех координат $J, J^{\prime}, \omega$, не находится в естественной связи с выражением, получаемым при использовании трансформационных свойств по отношению к врацениям спиновых и обычных координат в отдельности. Выражение (23.18) является выражением первого рода, а выражение (23.15a) – выражением последнего рода. В вычислении, следующем за (23.18), выражение (23.15a) преобразуется к виду (23.18). Возможность такого преобразования показывает, что между коэффициентами векторного сложения $s$ имеются важные соотношения, которые до сих пор еще не рассматривались. Дальнейшее изложение в этой главе будет посвящено более подробному изучению свойств представлений $\mathfrak{D}^{(J)}$ (в частности, условий их вещественности), симметрии коэффициентов векторного сложения [уже упоминавшихся в связи с формулами (17.27)] и, наконец, общей форме соотношений, которые позволили нам, в частности, преобразовать выражение (23.15а) к виду (23.18).

Важность явных и общих формул для сравнения матричных элементов вида (24.Е.1) с различными $J, J^{\prime}, \omega, m, m^{\prime}, \tau$ была ясно показана в книге Кондона и Шортли ${ }^{1}$ ). Явный вид общих формул для такого сравнения впервые указал Рака́ ${ }^{2}$ ). За последнее время по этому вопросу был опубликован ряд монографий ${ }^{3}$ ), которые рассматривают его значительно подробнее, чем это сделано в настоящей главе.
1) См. цитированную на стр. 186 книгу В. Кондона и Г. Шортли.
2) См. цитированные на стр. 227 работы Рака́. См. также U. F a n o, G. R a c a h, Irreducible Tensorial Sets, New York, 1959.
${ }^{3}$ ) C. цитированную на стр. 215 монографию М. Роуза, а также A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1957. В последней монографии наши $s_{J \mu
u}^{(L S)}$ обозначены через $(L \mu S
u \mid L S J \mu+
u)$.