Представление ${ }^{2}$ ) группы есть группа матриц ${ }^{2}$ ), которой гомоморфна представляемая группа. Таким образом, оно состоит в сопоставлении каждому элементу группы $A$ такой матрицы D $(A)$ или просто $\mathbf{A}$, что
\[
\mathbf{D}(A) \mathbf{D}(B)=\mathbf{D}(A B)
\]

имеет место для всех матриц D. Если все матрицы, сопоставленные различным элементам группы, различны, то группа матриц изоморфна группе, которую она представляет, и представление называется точным. С другой стороны, если более чем один элемент группы соответствует одной и той же матрице, то те элементы, которые соответствуют той же матрице, что и тождественный элемент, образуют инвариантную подгруппу (как было отмечено в предыдущей главе). Тогда рассматриваемое представление является точным представлением фактор-группы этой инвариантной подгруппы, но неточным представлением всей группы в целом.

Наоборот, неточное представление полной группы может быть построено из любого представления фактор-группы. Элементами фактор-группы являются смежные классы по инвариантной подгруппе. Приписывая всем элементам определенного смежного класса группы одну и ту же матрицу, представляющую этот смежный класс как элемент фактор-группы, получаем неточное представление полной группы.

Всякая группа матриц является, очевидно, своим собственным точным представлением. Ясно также, что каждому элементу группы
1) Точнее: „представление линейными преобразованиями\”.
2) Под \”группой матриц“ мы понимаем здесь группу квадратных матриц, т. е. матриц; строки и столбцы которых пронумерованы одинаковым образом; эта нумерация должна также быть одинаковой для всех матриц данного представления. Эти правила будут соблюдаться для всех матриц представлений.
можно сопоставить матрицу (1) и получить тривиальный гомоморфизм любой группы на групп, содержащую только тождественный элемент. В примере (7.E.1) мы имеем точное представление симметрической группы трех объектов. Еще одно, но неточное, представление той же самой группы получается при сопоставлении каждому элементу группы – матрицы, записанной под ним:
\[
\begin{array}{cccccc}
E & A & B & C & D & F
\end{array} .
\]

Фактически – это точное представление фактор-группы инвариантной подгруппы $E, D, F$. Эта фактор-группа состоит из двух элементов: инвариантной подгруппы $E, D, F$ и ее смежного класса $A, B, C$. Матрица (1) сопоставляется первому элементу факторгруппы, а матрица (-1)-второму.

Число строк и столбцов матрицы представления называется размерностью представления. Исходя из заданного представления, можно составить новые, применяя одно и то же преобразование подобия ко всем матрицам группы. Поскольку преобразования подобия не затрагивают свойств матриц относительно умножения, природа представления в целом при этом не меняется. Два представления, которые получаются одно из другого этим способом или, иначе говоря, которые могут быть преобразованы одно в другое, называются эквивалентными. Эквивалентные представления рассматриваются по существу как одинаковые.

Из двух представлений можно составить одно новое, притэм различными способами. Наиболее простым является, по-видимому, способ, при котором два представления просто сливаются в одно. Из представления $\mathbf{D}\left(A_{1}\right), \mathbf{D}\left(A_{2}\right), \ldots, \mathbf{D}\left(A_{h}\right)$ и другого представления $\mathbf{D}^{\prime}\left(A_{1}\right) \mathbf{D}^{\prime}\left(A_{2}\right), \ldots, \mathbf{D}^{\prime}\left(A_{h}\right)$ получаем этим способом новое представление, состоящее из суперматриц
\[
\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{D}\left(A_{1}\right) & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{D}^{\prime}\left(A_{1}\right)
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{D}\left(A_{2}\right) & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{D}^{\prime}\left(A_{2}\right)
\end{array}\right), \ldots,\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{D}\left(A_{h}\right) & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{D}^{\prime}\left(A_{h}\right)
\end{array}\right) .
\]

Преобразование подобия этого нового представления может замаскировать то обстоятельство, что оно было составлено первоначально из двух представлений. Представление, получающееся из представления вида (9.E.2) с помощью такого преобразования подобия, называется приводимым. Ясно, что приводимые представления могут быть всегда приведены к виду (9.Е.2) с помощь:о некоторого преобразования подобия; иначе говоря, приводимые представления эквивалентны представлениям вида (9.Е.2). Представления, для которых это невозможно, называются неприводимыма.
Представление, которое может быть приведено к виду (9.E.2) одновременным переобозначением строк и столбцов всех его матриц, является, разумеется, приводимым. Действительно, такая перенумерация может быть выполнена с помощью преобразования подобия. Чтобы превратить $\bar{j}$-ые строку и столбец в $j$-ые строку и столбец, выберем в качестве $\mathbf{S}$ матрицу $S_{k i}=\delta_{k \bar{i}}$; тогда $\left(\mathbf{S}^{-1}\right)_{j m}=\delta_{\bar{j} m}$ и
\[
\sum_{i} S_{k i}\left(\mathbf{S}^{-1}\right)_{i j}=\sum_{i} \delta_{k i} \delta_{i j}=\delta_{k j},
\]

а преобразование над $S$ действительно доститает желаемого изменения нумерации:
\[
\overline{\mathbf{A}}=\mathrm{S}^{-1} \mathrm{AS}, \quad \bar{A}_{j l}=\sum_{m k} \delta_{\bar{j} m} A_{m k} \delta_{k \bar{i}}=A_{\bar{j} \bar{i}} .
\]

Рассмотрим разделение строк и столбцов системы матриц на две группы, скажем ппомеченные\” (чертой наверху) и ${ }_{n}$ непомеченные\”. Любая система матриц, для которой это разделение можно произвести таким образом, чтобы на пересечениях „помеченных “срок с \”непомеченными\” столбцами и \”непомеченных\” строк с „помеченными“ столбцами были бы только нулевые элементы, является либо приводимои, либо уже находится в приведенном виде. Чтобы показать это, достаточно заметить, что ппомеченные“ строки и столбцы можно перенести в верхнюю левую часть матриц, приведя представление к виду (9.E.2).

В дальнейшем мы будем иметь дело с матрицами представлений, имеющими отличные от нуля определители. Тогда каждая матрица $\mathbf{D}(A)$ имеет обратную. Так как умножение любого элемента группы $A$ на тождественный элемент группы $E$ дает $A$, умножение всякой матрицы представления $\mathbf{D}(A)$ на матрицу $\mathbf{D}(E)$, сопоставленную тождественному элементу, дает $\mathbf{D}(A)$. Следовательно,
\[
\mathbf{D}(A) \mathbf{D}(E)=\mathbf{D}(A), \quad \mathbf{D}(E)=(1) .
\]

Единичная матрица сопоставляется тождественному элементу группы. Произведение матриц $\mathbf{D}(A)$ и $\mathbf{D}\left(A^{-1}\right)$, соответствующих обратным элементам группы, равно $\mathbf{D}(E)=1$. Поэтому
\[
\mathbf{D}(A) \mathbf{D}\left(A^{-1}\right)=\mathbf{D}(E)=\mathbf{1}, \quad \mathbf{D}\left(A^{-1}\right)=[\mathbf{D}(A)]^{-1},
\]

откуда следует, что
\[
\mathbf{D}\left(A^{-1}\right)=\mathbf{D}(A)^{+}
\]

для представления унитарными матрицами.
Теорема 1. Всякое представление матрицами $c$ отличными от нуля определителями может быть с помощью преобразования подобия преобразовано в представленіше унитарными матрицами.
Пусть матрицами представления группы порядка $h$ будут $\mathbf{A}_{1}$, $\mathbf{A}_{2}, \ldots, \mathbf{A}_{h}$. (Если представление не является точным, не все элементы $\mathbf{A}_{1}, \mathbf{A}_{2}, \ldots, \mathbf{A}_{h}$ различны.) Образуем эрмитову матрицу $\mathbf{H}$ путем суммирования по всем элементам группы
\[
\mathbf{H}=\sum_{x} \mathbf{A}_{x} \mathbf{A}_{x}^{+}
\]

Доказательство сводится к диагонализации матрицы $\mathbf{H}$ и нахождению обратной величины корня квадратного из нее. Будет показано, что последовательные преобразования подобия матриц $\mathbf{A}_{\mathbf{x}}$ с помощью матрицы $\mathbf{U}$, диагонализующей $\mathbf{H}$, и с помощью $\mathbf{d}^{1 / 2}$ (квадратного корня из диагональной формы матрицы Н) приводят к представлению $\overline{\overline{\mathbf{A}}} x$, являющемуся унитарным.

Эрмитова матрица Н может быть приведена к диагональному виду d с помощью унитарной матрицы $\mathbf{U}$ :

Все диагональные элементы матрицы d вещественны и положительны, так как, например,
\[
d_{k k}=\sum_{x} \sum_{j}\left(\overline{\mathbf{A}}_{x}\right)_{k j}\left(\overline{\mathbf{A}}_{x}\right)_{k j}^{*}=\sum_{x} \sum_{j}\left|\left(\overline{\mathbf{A}}_{x}\right)_{k j}\right|^{2}
\]

может обратиться в нуль только в том случае, если для данного $k$ матричные элементы представления ( $\left.\overline{\mathbf{A}}_{x}\right)_{k j}$ равны нулю для всех $j$ (и х). Однако в таком случае целая строка матрицы $\overline{\mathbf{A}}_{\mathbf{x}}$ состояла бы из нулей. Следовательно, ее определитель, а тем самым и определитель матрицы $\mathbf{A}_{x}$, обратился бы в нуль в противоречии с исходным предположением. Поэтому $\mathbf{d}^{1 / 2}$ и $\mathbf{d}^{-1 / 2}$ могут быть однозначно построены из $\mathbf{d}$ путем взятия соответственно положительных значений квадратных корней или степеней – $1 / 2$ от диагональных элементов; $\mathbf{d}^{1 / 2}$ и $\mathbf{d}^{-1 / 2}$ являются вещественными диагональными матрицами: $\mathbf{d}^{1 / 2+}=\mathbf{d}^{1 / 2}, \mathbf{d}^{-1 / 2+}=\mathbf{d}^{-1 / 2}$.
Покажем теперь, что представление
\[
\overline{\bar{A}}_{\lambda}=\mathbf{d}^{-1 / 2} \overline{\mathbf{A}}_{\lambda} \mathbf{d}^{1 / 2}=\mathbf{d}^{-1 / 2} \mathbf{U}^{-1} \mathbf{A}_{\lambda} \mathbf{U} \mathbf{d}^{1 / 4}
\]

является унитарным. Из (9.5) получаем
\[
1=d^{-1 / 2} \sum_{x} \bar{A}_{x} \bar{A}_{x}^{\dagger} d^{-1 / 2}
\]
Используя это выражение для единичной матрицы, можно написать
\[
\begin{array}{l}
=\mathbf{d}^{-1 / 2} \sum_{x} \overline{\mathbf{A}}_{\lambda} \overline{\mathbf{A}}_{x} \overline{\mathbf{A}}_{x}^{+} \overline{\mathbf{A}}_{\lambda}^{\dagger} \mathbf{d}^{-1 / 2} . \\
\end{array}
\]

В силу групповых свонств матрицы $\overline{\mathbf{A}}_{\chi}$ произведения $\overline{\mathbf{A}}_{\lambda} \overline{\mathbf{A}}_{\mathbf{x}}$ для $x=1,2, \ldots, h$ являются как раз матрицами $\overline{\mathbf{A}}_{\mathbf{x}}$ в другом порядке ${ }^{1}$ ), так что
\[
\sum_{x} \overline{\mathbf{A}}_{\lambda} \overline{\mathbf{A}}_{x}\left(\overline{\mathbf{A}}_{\lambda} \overline{\mathbf{A}}_{x}\right)^{\dagger}=\sum_{x} \overline{\mathbf{A}}_{x} \overline{\mathbf{A}}_{x}^{+}
\]

и, следовательно,
\[
\overline{\vec{A}}_{\lambda} \overline{\bar{A}}_{\lambda}^{+}=d^{-1 / 2} \sum_{x} \overline{\mathbf{A}}_{x} \overline{\mathbf{A}}_{x}^{+} d^{-1 / 2}=1 .
\]

Этим доказывается, что представление $\overline{\mathbf{A}}_{x}$ унитарно, и, следовательно, теорема 1 доказана.

Теорема 2. Матрица, коммутирующая со всеми матрицами неприводимого представления, является постоянной матрицей (т. е. кратной единичной матрице).

Можно предположить, что представление имеет унитарную форму, так как преобразование подобия не меняет, разумеется, матриц, кратных единичной матрице. Пусть теперь матрица М коммутирует со всеми $\mathbf{A}_{1}, \mathbf{A}_{2}, \ldots, \mathbf{A}_{h}$. Иначе говоря,
\[
\mathbf{A}_{x} \mathbf{M}=\mathrm{MA}_{\boldsymbol{x}} \quad(x=1,2, \ldots, h) .
\]

В таком случае достаточно рассмотреть только эрмитовы матрицы $\mathbf{M}$, как мы сенчас покажем. Беря эрмитово-сопряженное соотношение (9.8), получаем
\[
\mathbf{M}^{\dagger} \mathbf{A}_{\mathrm{x}}^{\dagger}=\mathbf{A}_{\mathrm{x}}^{\dagger} \mathbf{M}^{\dagger} \text {. }
\]

Умножая справа и слева на $\mathbf{A}_{\mathbf{x}}$ и замечая, что $\mathbf{A}_{x} \mathbf{A}_{\mathrm{x}}^{+}=\mathbf{A}_{\mathrm{x}}^{\dagger} \mathbf{A}_{\mathrm{x}}=\mathbf{1}$, находим
\[
\mathbf{A}_{\mathbf{x}} \mathbf{M}^{\dagger}=\mathbf{M}^{\dagger} \mathbf{A}_{\mathbf{x}} \quad(x=1,2, \ldots, h) .
\]

Тогда не только $\boldsymbol{M}$, но и $\mathbf{M}^{+}$коммутирует со всеми А. Поэтому $\mathbf{M}+\mathbf{M}^{\dagger}=\mathbf{H}_{1}$ и $l\left(\mathbf{M}-\mathbf{M}^{\dagger}\right)=\mathbf{H}_{2}$, будучи эрмитовыми, коммутируют со всеми А. В силу этого достаточно показать, что всякая эрмитова матрица, коммутирующая со всеми $\mathbf{A}$, является постоянной матрицен, поскольку, если $\mathbf{H}_{1}$ и $\mathbf{H}_{2}$ должны быть кратными единичной матрице, тем же свойством должна обладать и $2 \mathrm{M}=$ $=\mathrm{H}_{1}-i \mathrm{H}_{2}$.
1) См. теорему 1, стр. 75.
Если матрица М в соотношении (9.8) эрмитова, она может быть приведена к диагональному виду d c помощью матрицы $V$, так что $\mathbf{d}=\mathbf{V}^{-1} \mathbf{M V}$. Запишем $\overline{\mathbf{A}}_{\mathbf{x}}=\mathbf{V}^{-1} \mathbf{A}_{\mathbf{x}} \mathbf{V}$ (матрицы $\overline{\mathbf{A}}_{\mathbf{x}}$ сохраняют унитарность матриц $\mathbf{A}_{\mathrm{x}}$ ); тогда из (9.8) следует
\[
\overline{\mathbf{A}}_{\mathbf{x}} \mathbf{d}=\mathbf{d} \overline{\mathbf{A}}_{\mathbf{x}} \quad(x=1,2, \ldots, h) .
\]

Если не все элементы диагональной матрицы $\mathbf{d}$ равны, то все $\overline{\mathbf{A}}_{x}$ должны иметь нули на пересечении строк и столбцов, диагональные элементы которых различны. Это значит, что из
\[
\left(\overline{\mathbf{A}}_{x}\right)_{k j} d_{j j}=d_{k k}\left(\overline{\mathbf{A}}_{x}\right)_{k j}
\]

следует, что матричные элементы представления ( $\left.\overline{\mathbf{A}}_{\mathbf{x}}\right)_{k j}$ равны нулю для $d_{j j}
eq d_{k k}$; тогда представление было бы приводимым, как это следует из обсуждения на стр. 91. Так как это не имеет места, то все $d_{k k}$ рагны. Это значит, что $\mathbf{d}$ и, следовательно, $\mathbf{V d V}^{-1}=\mathbf{M}$ являются постоянными матрицами, коммутирующими со всякой матрицей. Этим доказывается теорема 2 , известная как лемма Шура.

Вывод теоремы 2 показывает не только то, что представление должно быть приводимым, если непостоянная матрица коммутирует со всеми матрицами представления, но также и то, как это представление может быть приведено или преобразовано к виду (9.Е.2). Это достигается тем же самым преобразованием подобия, которое приводит „коммутирующую матрицу“ к диагональному виду.

Обратно, если представление приводимо, наверняка существуют непостоянные матрицы, коммутирующие со всеми матрицами этого представления. В этом случае такое представление может быть приведено к виду (9.Е.2) с помощью преобразования подобия с соответствующим образом выбранной матрицей S. Но все матрицы М вида
\[
\mathbf{M}=\left(\begin{array}{cc}
a \mathbf{1} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & a^{\prime} \mathbf{1}
\end{array}\right)
\]

с произвольными $a$ и $a^{\prime}$ коммутируют с матрицами вида (9.E.2). Если $\mathbf{M}$ преобразуется с помощью $\mathbf{S}^{-1}$, она коммутирует с матрицами того представления, которое получено преобразованием представления вида (9.E.2) с помощью матрицы $\mathbf{S}^{-1}$.

Если существует непостоянная матрица, коммутирующая со всеми матрицами представления, то представление приводимо; если таких матрии не существует, оно неприводимо. Теорема 3. Рассмотрим два неприводимых представления одной и той же группы $\mathbf{D}^{(1)}\left(A_{1}\right), \quad \mathbf{D}^{(1)}\left(A_{2}\right), \ldots, \mathbf{D}^{(1)}\left(A_{h}\right) \quad$ и $\mathbf{D}^{(2)}\left(A_{1}\right), \mathbf{D}^{(2)}\left(A_{2}\right), \ldots, \mathbf{D}^{(2)}\left(A_{h}\right)$ с размерностями $l_{1} \quad \boldsymbol{u} l_{2}$. Если существует такая матрица $\boldsymbol{M}$ с $l_{2}$ строками и $l_{1}$ столбцами, что
\[
\operatorname{MD}^{(1)}\left(A_{\mathrm{x}}\right)=\mathrm{D}^{(2)}\left(A_{\mathrm{x}}\right) \mathbf{M} \quad(x=1,2, \ldots, h),
\]

то при $l_{1}
eq l_{2}$ матрица м является нулевой матрицей; при $l_{1}=l_{2}$ матрица М является либо нулевой матрицей, либо матрицей с не обращающимся в нуль определителем. В последнем случае М имеет обратную, и два рассматриваемых неприводимых представления эквивалентны.

С самого начала можно предположить, что представления уже приведены к унитарному виду. Если бы это было не так, можно было бы сделать их унитарными путем преобразования их с помощью матриц $\mathbf{S}$ и R. Тогда (9.11) примет вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
\mathbf{R}^{-1} \mathbf{M S} \cdot \mathbf{S}^{-1} \mathbf{D}^{(1)}\left(A_{\mathrm{x}}\right) \mathbf{S} & =\mathbf{R}^{-1} \mathbf{D}^{(2)}\left(A_{\mathrm{x}}\right) \mathbf{R} \cdot \mathbf{R}^{-1} \mathbf{M S}, \\
\mathbf{R}^{-1} \mathbf{M S} \cdot \overline{\mathbf{D}}^{(1)}\left(A_{\mathrm{x}}\right) & =\overline{\mathbf{D}}^{(2)}\left(A_{\mathrm{x}}\right) \cdot \mathbf{R}^{-1} \mathbf{M S},
\end{array}\right\}
\]

и $\mathbf{R}^{-1} \mathbf{M S}$ можно было бы просто заменить символом $\mathbf{M}$.
Примем далее, что $l_{1} \leqslant l_{2}$. Если $l_{1}>l_{2}$, мы просто-транспонируем соотношение (9.11), после чего дальнейшие рассуждения применимы без изменений Замечая, что в силу унитарности матриц $\mathbf{D}^{(1)}\left(A_{\mathrm{x}}\right)^{\dagger}=\mathbf{D}^{(1)}\left(A_{\mathrm{x}}\right)^{-1}=\mathbf{D}^{(1)}\left(A_{\mathrm{x}}^{-1}\right)$ и $\mathbf{D}^{(2)}\left(A_{\mathrm{x}}\right)^{\dagger}=\mathrm{D}^{(2)}\left(A_{\mathrm{x}}^{-1}\right)$, и беря от (9.11) сопряженное, получаем
\[
\mathbf{D}^{(1)}\left(A_{\mathrm{x}}^{-1}\right) \mathbf{M}^{\dagger}=\mathbf{M}^{\dagger} \mathbf{D}^{(2)}\left(A_{\mathrm{x}}^{-1}\right) .
\]

Поскольку соотношения (9.11) имеют место для всех элементов группы и, в том числе, для $A_{x}^{-1}$, умножение (9.13) слева на М дает
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{M D}^{(1)}\left(A_{\mathrm{x}}^{-1}\right) \mathbf{M}^{\dagger}=\mathbf{M} \mathbf{M}^{\dagger} \mathbf{D}^{(2)}\left(A_{\mathrm{x}}^{-1}\right), \\
\mathbf{D}^{(2)}\left(A_{\mathrm{x}}^{-1}\right) \mathbf{M} \mathbf{M}^{\dagger}=\mathbf{M} \mathbf{M}^{\dagger} \mathbf{D}^{(2)}\left(A_{\mathrm{x}}^{-1}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом, эрмитова матрица $\boldsymbol{M}^{\dagger}$ коммутирует со всеми матрицами $\mathbf{D}^{(2)}\left(A_{1}\right), \mathbf{D}^{(2)}\left(A_{2}\right), \ldots, \mathbf{D}^{(2)}\left(A_{h}\right)$ второго неприводимого представления. Следовательно, согласно теореме 2, она является кратной единичной матрице:
\[
\mathrm{MM}^{+}=c \mathbf{1} .
\]

Если размерности двух представлений $D^{(1)}$ и $D^{(2)}$ одинаковы, то имеются две возможности. Либо $c
eq 0$ и тогда определитель $|c \mathbf{1}| \equiv c^{l}$ не равен нулю, откуда следует, что определитель матрицы $\boldsymbol{M}$ не равен нулю и что $\boldsymbol{M}$ имеет обратную; либо $c=0$ и тогда $\mathbf{M}^{\dagger}=0$, так что $M$ является нулевой матрицей. Чтобы проверить это, выпишєч
\[
\left(M M^{+}\right)_{i j}=\sum_{k} M_{i k} M_{j k}^{*}=0
\]
и положим $i=j$; тогда получим
\[
\sum_{k}\left|M_{i k}\right|^{2}=0
\]

откуда следует, что $M_{i k}=0$, так как ни одна из величин $\left|M_{i k}\right|^{2}$ не может быть отрицательной, а соотнощение (9.18) запрещает какому-либо из них быть положительным. Тем самым доказывается теорема в случае $l_{1}=l_{2}$.

С другой стороны, если размерности двух представлений различны, матрица $\boldsymbol{M}$ является не квадратной, а прямоугольной Однако ее можно сделать квадратной путем дополнения нулями:
\[
\mathbf{N}=\left(\begin{array}{ccccccc}
M_{11} & M_{12} & \ldots & M_{1 a} & 0 & \ldots & 0 \\
M_{21} & M_{22} & \ldots & M_{2 a} & 0 & \ldots & 0 \\
: & . & & \vdots & \cdot & & \cdot \\
\dot{\dot{M}_{b 1}} & \dot{M}_{b 2} & \ldots & \dot{M}_{b a} & 0 & \ldots & 0
\end{array}\right) .
\]

При этом соотношение $\mathbf{M M}^{+}=\mathbf{N N}^{+}$сохраняется. Определитель матрицы $\mathrm{N}$, а также и матрицы $\mathbf{N N}^{+}=\mathbf{M} \mathbf{M}^{+}$, разумеется, равен нулю. Тогда $c$ в (9.16) обращается в нуль, так что (9.17) и (9.18) снова остаются справедливыми. Этим теорема 3 полностью доказана.

Те орема 1А. Если два произвольных представления одной и той же группы $\mathbf{A}_{1}, \mathbf{A}_{2}, \ldots, \mathbf{A}_{h}$ и $\mathbf{B}_{1}, \mathbf{B}_{2}, \ldots, \mathbf{B}_{h}$ унитарны и эквивалентны, т. е. существуют такие матрицы любого вида $M$, что
\[
\mathbf{M A}_{\mathbf{x}} \mathbf{M}^{-1}=\mathbf{B}_{\mathbf{x}} \quad(x=1,2, \ldots, h),
\]

то эти два представления могут быть преобразованы одно в другое с помощью унитарного преобразования. Иначе говоря, существует такая унитарная матрица $\mathrm{U}$, что
\[
\mathbf{U A}_{\mathbf{x}} \mathrm{U}^{-1}=\mathbf{B}_{\mathbf{x}} \quad(x=1,2, \ldots, h) .
\]

Чтобы доказать эту теорему, найдем тақую матрицу $\mathbf{K}$, коммутирующую со всеми $\mathbf{B}_{\mathrm{x}}$, чтобы произведение $\mathbf{U}=\mathbf{K M}$ также было унитарной матрицей. Если такая матрица найдена, то, согласно (9.20),
\[
\mathbf{B}_{\mathrm{x}}=\mathrm{KB}_{\mathrm{x}} \mathrm{K}^{-1}=\mathrm{KMA}_{\mathrm{x}} \mathrm{M}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}=(\mathrm{KM}) \mathbf{A}_{\mathrm{x}}(\mathrm{KM})^{-1}=\mathrm{UA}_{\mathrm{x}} \mathrm{U}^{-1}
\]

и теорема будет доказана.
Согласно (9.20),
\[
\mathbf{M A}_{\mathbf{x}}=\mathbf{B}_{\mathbf{x}} \mathbf{M} \quad(x=1,2, \ldots, h),
\]

откуда, как и ранее, следует, что $\mathrm{MM}^{+}$коммутирует со всеми матрицами второго представления:
\[
\mathbf{B}_{\mathbf{x}} \mathbf{M} \mathbf{M}^{+}=\mathbf{M} \mathbf{M}^{+} \mathbf{B}_{\mathbf{x}} \quad(x=1,2, \ldots, h) .
\]

Следовательно, преобразование подобия с матрицей $\mathrm{MM}^{+}$не меняет второго представления. Отсюда видно, что магрица $\mathrm{MM}^{+}$или некоторая
родственная матрица могут удовлетворить требованиям, налагаемым на K. Требование унитарности матрицы $К М$ имеет вид
\[
M^{\dagger} K^{\dagger} K M=1 \text {, т. e. } K^{\dagger} K=\left(M^{\dagger}\right)^{-1}(M)^{-1}=\left(M M^{\dagger}\right)^{-1} .
\]

Поэтому не сама матрица $\mathbf{M M}^{\dagger}$, а ее степень – $1 / 2$ должна быть равна K.
При построении матрицы ( $\left.\mathrm{MM}^{\dagger}\right)^{-1 / 2}$ мы воспользуемся методом, использованным при доказательстве теоремы 1. Прежде всего п́риведем $\mathrm{MM}^{+}$к диагональному виду с помощью унитарной матрицы $\mathrm{V}$ :
\[
\mathbf{V}^{-1} \mathbf{M M}^{+} \mathbf{V}=\mathbf{d}, \quad \mathbf{M M}^{+}=\mathbf{V d \mathbf { V } ^ { – 1 } .}
\]

Это приведение всегда может быть выполнено, так как матрица $\mathrm{MM}^{\dagger}$ эрмитова; более того, все диагональные элементы матрицы d вещественны и положительны ${ }^{1}$ ). Теперь можно построить матрицу $\mathbf{d}^{-1 / 3}$, которая также диагональна и имеет положительные вещественные элементы. Наконец, выполнив преобразование с помощью $\mathrm{V}^{-1}$, получим $\mathrm{K}$ :
\[
\mathbf{K}=\mathbf{V} \mathbf{d}^{-1 / 2} \mathbf{V}^{-1} \text {. }
\]

Покажем теперь, что $\mathbf{K}$ коммутирует со всеми $\mathbf{B}_{\mathbf{x}}$ и что $К М$ унитарно. В силу (9.22а) и (9.24)
\[
B_{x} V d V^{-1}=V_{d V}-1 B_{x}, \quad V^{-1} B_{x} V d=d V^{-1} B_{x} V,
\]
т. е. диагональная матрица $d$ коммутирует со всеми $\mathbf{V}^{-1} B_{x} V$. Поэтому во всех $\mathbf{V}^{-1} B_{x} V$ лишь нули могут появляться на пересечениях тех строк и столбцов, для которых диагональные элементы в d различны. Төгда эти матрицы также коммутируют с $\mathrm{d}^{-1 / 2}$, так как в $\mathrm{d}^{-1 / 2}$ различны только те диагональные члены, которые были различны в d. Поэтому
\[
\mathbf{V}^{-1} \mathbf{B}_{\mathbf{x}} \mathbf{V} d^{-1 / 2}=\mathbf{d}^{-1 / 2} \mathbf{V}^{-1} \mathbf{B}_{\mathbf{x}} \mathbf{V}, \quad \mathbf{B}_{\mathbf{x}} K=\mathbf{K B}_{\mathbf{x}}
\]

и $К$ действительно коммутирует со всеми матрицами представленйя В., $\mathbf{B}_{2}, \ldots, \mathbf{B}_{h}$.
рассмотрим далее

В силу (9.24) и так как $\mathrm{V}$ унитарно, $\mathbf{d}^{-2 / 2}$ эрмитово (вещественная диагональная матрица), имеем
\[
\mathbf{U U}^{\dagger}=\mathbf{V d}^{-1 / 2} \mathbf{d d}^{-1 / 2} \mathbf{V}^{\dagger}=\mathrm{VV}^{+} \Rightarrow \mathbf{1},
\]

так что U унитарна. Таким образом, теорема 1а доказана.
Значение этой теоремы заключается в том, что можно ограничиться унитарными преобразованиями подобия, если представления унитарны. Заметим, что если все представления в (9.20) унитарны и неприводимы, М с необходимостью унитарна, если отвлечься от численного множителя. Это следует из теоремы 2 , если применить ее к (9.22a).
1) См. доказательство теоремы 1, стр. 92.
Теорема 4. Четвертая, наиболее важная для практики теорема касается соотношения ортогональности для коэффициентов неприводимого представления. Если
u
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{D}^{(1)}(E), \mathbf{D}^{(1)}\left(A_{2}\right), \ldots, \mathbf{D}^{(1)}\left(A_{h}\right) \\
\mathbf{D}^{(2)}(E), \quad \mathbf{D}^{(2)}\left(A_{2}\right), \ldots, \mathbf{D}^{(2)}\left(A_{h}\right)
\end{array}
\]
-два неэквивалентные неприводимые унатарные представления одной и той же группы, то соотношение
\[
\sum_{R} D^{(1)}(R)_{\mu
u}^{*} D^{(2)}(R)_{\alpha \beta}=0
\]

имеет место для всех элементов с индексами $\mu
u и \alpha \beta$, где, как это указано в формуле, суммирование распространяется на все элементы группы $\left.E, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{h}{ }^{1}\right)$. Для элементов одного унитарного неприводимого представления мы имеем
\[
\sum_{R} D^{(1)}(R)_{\mu
u}^{*} D^{(1)}(R)_{\mu^{\prime}
u^{\prime}}=\frac{h}{l_{1}} \delta_{\mu \mu \mu^{\prime}} \delta_{
u
u^{\prime}},
\]

где $h$ – порядок группы, а $l_{1}$ – размерность представления.
Теорема 4 справедлива потому, что групповые свойства представления позволяют легко построить много матриц $\mathbf{M}$, удовлетворяющих соотношениям (9.11) или (9.8). Тогда равенства (9.30) и (9.31) показывают, что матрица, удовлетворяющая соотношению (9.11), должна быть нулевой матрицей, а матрица, удовлетворяющая соотношению (9.8), – кратной единичной матрице.
В силу групповых свойств все матрицы вида
\[
\mathbf{M}=\sum_{R} \mathrm{D}^{(2)}(R) \mathbf{X D}^{(1)}\left(R^{-1}\right)
\]

удовлетворяют соотношению (9.11) для произвольных матриц $\mathbf{X}$ с $l_{2}$ строками и $l_{1}$ столбцами. Из групповых свойств вытекает, что
\[
\sum_{R} \mathrm{D}^{(2)}(S R) \mathbf{X D}^{(1)}(S R)^{-1}=\sum_{R} \mathrm{D}^{(2)}(R) \mathbf{X D}^{(1)}(R)^{-1}=\mathbf{M},
\]

так как одни и те же матрицы появляются в левой и правой частях, но в различном порядке. Следовательно,
\[
\begin{aligned}
\mathbf{D}^{(2)}(S) \mathrm{M} & =\sum_{R} \mathrm{D}^{(2)}(S) \mathbf{D}^{(2)}(R) \mathbf{X D}^{(1)}(R)^{-1}= \\
& =\sum_{R} \mathbf{D}^{(2)}(S R) \mathbf{X D}^{(1)}(S R)^{-1} \mathbf{D}^{(1)}(S)
\end{aligned}
\]

или, короче,
\[
\mathbf{D}^{(2)}(S) \mathrm{M}=\operatorname{MD}^{(1)}(S) .
\]
1) В дальнейшем $R$ и $S$ всегда будут обозначать элементы группы $E$, $A_{2}, \ldots, A_{h}$.
Тогда теорема 3 утверждает, что $\mathbf{M}$ должна быть нулевой матрицей, т. е. для произвольных $X_{\mathrm{x} \lambda}$
\[
M_{a \mu}=\sum_{x \lambda} \sum_{R} D^{(2)}(R)_{\alpha x} X_{x \lambda} D^{(1)}\left(R^{-1}\right)_{\lambda \mu}=0 .
\]

Полагая все матричные элементы $X_{\text {х入 }}$, кроме $X_{\beta v}=1$, равными нулю, получаем ${ }^{\top}$ обобщенную форму соотношения (9.30):
\[
\sum_{R} D^{(2)}(R)_{\alpha \beta} D^{(1)}\left(R^{-1}\right)_{
u \mu}=0,
\]

где $\mathrm{D}^{(2)}(R)$ и $\mathrm{D}^{(1)}(R)$ должны быть неприводимыми, но не обязательно унитарными. Если матрицы $\mathbf{D}^{(2)}(R)$ и $\mathbf{D}^{(1)}(R)$ унитарны,
\[
\mathrm{D}^{(1)}\left(R^{-1}\right)=\left[\mathrm{D}^{(1)}(R)\right]^{-1}=\mathrm{D}^{(1)}(R)^{\dagger} .
\]

и (9.30а) сводится к (9.30).
Чтобы доказать (9.31), воспользуемся выражением
\[
\mathrm{M}=\sum_{R} \mathrm{D}^{(1)}(R) \mathbf{X D}^{(1)}\left(R^{-1}\right),
\]

где $\mathbf{X}$ – произвольная матрица. Матрица $\mathbf{M}$ коммутирует со всеми $\mathrm{D}^{(1)}(S)$ :
\[
\begin{aligned}
\mathrm{D}^{(1)}(S) \mathbf{M} & =\sum_{R} \mathrm{D}^{(1)}(S) \mathrm{D}^{(1)}(R) \mathbf{X D}^{(1)}\left(R^{-1}\right)= \\
& =\sum_{R} \mathrm{D}^{(1)}(S R) \mathrm{XD}^{(1)}\left[(S R)^{-1}\right] \mathrm{D}^{(1)}(S)=\mathrm{MD}^{(1)}(S) .
\end{aligned}
\]

Таким образом, теорема 3 требует, чтобы матрица М была кратной единичной матрице, т. е.
\[
\sum_{\mathrm{x} \lambda} \sum_{R} D^{(1)}(R)_{\mu \mathrm{x}} X_{\mathrm{x} \lambda} D^{(1)}\left(R^{-1}\right)_{\lambda \mu^{\prime}}=c \delta_{\mu \mu^{\prime}},
\]

где $c$ не зависит от $\mu$ и $\mu^{\prime}$, но может по-прежнему зависеть от $X_{\mathrm{x} \lambda}$. Если снова выбрать одно определенное $X_{v y}=1$ и положить остальные $X_{\text {хх }}$ равными нулю, то получим
\[
\sum_{R} D^{(1)}(R)_{\mu
u} D^{(1)}\left(R^{-1}\right)_{
u^{\prime} \mu^{\prime}}=c_{
u
u^{\prime}} \delta_{\mu \mu^{\prime}},
\]

где $c_{
u v^{\prime}}$ – постоянная для этой частной системы $X_{x \lambda}$.
Чтобы определить постоянную $c_{
u v}$, положим $\mu=\mu^{\prime}$ и просуммируем по $\mu$ от 1 до $l_{1}$. Тогда получаемое выражение становится равным сумме произведений $\mathbf{D}^{(1)}(R) \mathbf{D}^{(1)}\left(R^{-1}\right)=\mathbf{D}^{(1)}(E)=\left(\delta_{y v^{\prime}}\right)$ :
\[
\sum_{\mu} \sum_{R} D^{(1)}\left(R^{-1}\right)_{
u^{\prime} \mu} D^{(1)}(R)_{\mu
u}=\sum_{R} D^{(1)}(E)_{
u^{\prime}
u}=h \delta_{\gamma
u^{\prime}}=\sum_{\mu} c_{
u
u^{\prime}} \delta_{\mu \mu}=c_{
u
u^{\prime}} l_{v^{\prime}} .
\]
Таким образом, $c_{v v^{\prime}}=\delta_{v^{\prime}}\left(h / l_{1}\right)$. Іоэтому мы получаем несколько обобщенную форму соотношения (9.31):
\[
\sum_{R} D^{(1)}(R)_{\mu
u} D^{(1)}\left(R^{-1}\right)_{
u^{\prime} \mu^{\prime}}=\frac{h}{l_{1}} \delta_{\mu \mu \mu^{\prime}} \delta_{
u
u^{\prime}},
\]

которая для унитарных представлений сводится к (9.31).
Числа
\[
D^{(1)}\left(A_{1}\right)_{\mu
u}=v_{A_{1}}^{(\mu
u)}, \quad D^{(1)}\left(A_{2}\right)_{\mu
u}=v_{A_{2}}^{(\mu
u)}, \ldots, D^{(1)}\left(A_{h}\right)_{\mu
u}=v_{A_{h}}^{(\mu,
u)}
\]

могут рассматриваться как компоненты $h$-мерного вектора $\boldsymbol{v}^{(ц
u)}$, пронумерованные элементами группы. Тогда (9.31) означает, что эрмитова длина этого вектора равна $\sqrt{h / l_{1}}$ и что каждая пара 9тих $l_{1}^{2}$ векторов ортогональна. Кроме того, согласно (9.30), векторы $\boldsymbol{v}$ ортогональны векторам $\boldsymbol{w}$, получаемым аналогичным образом е помощью некоторого неэквивалентного неприводимого представления:
\[
w_{A_{1}}^{(\alpha \beta)}=D^{(2)}\left(A_{1}\right)_{\alpha \beta}, \ldots, w_{A_{h}}^{(\alpha \beta)}=D^{(2)}\left(A_{h}\right)_{\alpha \beta} .
\]

Представление симметрической группы трех объектов, которое уже рассматривалось здесь несколько раз,
\[
\mathbf{D}(E)=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right), \quad \mathbf{D}(A)=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right), \quad \mathbf{D}(B)=\left(\begin{array}{cc}
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \sqrt{3} \\
\frac{1}{2} \sqrt{3} & \frac{1}{2}
\end{array}\right),
\]
$\mathbf{D}(C)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \sqrt{3} \\ -\frac{1}{2} \sqrt{3} & \frac{1}{2}\end{array}\right), \quad \mathbf{D}(D)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \sqrt{3} \\ -\frac{1}{2} \sqrt{3} & -\frac{1}{2}\end{array}\right)$,
$\mathbf{D}(F)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \sqrt{3} \\ \frac{1}{2} \sqrt{3} & -\frac{1}{2}\end{array}\right)$
неприводимо. Если бы оно было приводимым, все его матрицы могли бы быть приведены к диагональному виду одним и тем же преобразованием подобия, и поэтому все матрицы должны были бы коммутировать, так как они коммутировали бы в диагональном виде. Это, однако, не имеет места, как можно видеть, например, из соотношений
\[
\mathbf{D}(A) \mathbf{D}(B)=\mathbf{D}(D), \quad \mathbf{D}(B) \mathbf{D}(A)=\mathbf{D}(F)
eq \mathbf{D}(D) .
\]

Согласно теореме 2 , только матрица, кратная единичной, может коммутировать со всеми матрицами (7.E.1). Из этого простого примера сразу видно, что только диагональная матрица может коммутировать с D (A), в то время как диагональная матрица может коммутировать с $\mathbf{D}(B)$ только в том случае, если два ее диагональных элемента равны. Таким образом, уже коммутативность с $\mathbf{D}(A)$ и $\mathbf{D}(B)$ ограничивает нас матри цами, кратными единичной. Согласно (9.31), четыре вектора $\boldsymbol{v}^{(11)}, \boldsymbol{v}^{(12)}$ $\boldsymbol{v}^{(21)}$ и $\boldsymbol{v}^{(22)}$ с компонентами:
\[
\begin{array}{l}
v_{E}^{(11)}=1, \quad v_{A}^{(11)}=1, \quad v_{B}^{(11)}=-\frac{1}{2}, \quad v_{C}^{(11)}=-\frac{1}{2}, \\
v_{D}^{(11)}=-\frac{1}{2}, \quad v_{F}^{(11)}=-\frac{1}{2} ; \\
v_{E}^{(12)}=0, \quad v_{A}^{(12)}=0, \quad v_{B}^{(12)}=\frac{1}{2} \sqrt{3}, \quad v_{C}^{(12)}=-\frac{1}{2} \sqrt{3}, \\
v_{D}^{(12)}=\frac{1}{2} \sqrt{3}, \quad v_{F}^{(12)}=-\frac{1}{2} \sqrt{3} ; \\
v_{E}^{(21)}=0, \quad v_{A}^{(21)}=0, \quad v_{B}^{(21)}=\frac{1}{2} \sqrt{3}, \quad v_{C}^{(21)}=-\frac{1}{2} \sqrt{3} . \\
v_{D}^{(21)}=-\frac{1}{2} \sqrt{3}, \quad v_{F}^{(21)}=\frac{1}{2} \sqrt{3} ; \\
v_{E}^{(22)}=1, \quad v_{A}^{(22)}=-1, \quad v_{B}^{(22)}=\frac{1}{2}, \quad v_{C}^{(22)}=\frac{1}{2}, \\
v_{D}^{(22)}=-\frac{1}{2}, \quad v_{P}^{(22)}=-\frac{1}{2}, \\
\end{array}
\]

должны быть взаимно ортогональны. Так, например,
\[
\begin{array}{l}
\left(\boldsymbol{v}^{(11)}, \boldsymbol{v}^{(12)}\right)=1 \cdot 0+1 \cdot 0+\left.-\frac{1}{2}\right) \cdot\left(\frac{1}{2} \sqrt{3}\right)+\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot\left(-\frac{1}{2} \sqrt{3}\right)+ \\
+\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3}+\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot\left(-\frac{1}{2} \sqrt{3}\right)=0 .
\end{array}
\]

К тому же длины этих векторов должны быть равны $\sqrt{h}=\sqrt{6 / 2}=\sqrt{3}$ так, например, для вег:тора $\boldsymbol{v}^{(21)}$ :
\[
\left(\boldsymbol{v}^{(21)}, \boldsymbol{v}^{(21)}\right)=0^{2}+0^{2}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=3 .
\]

В качестве примера соотношения (9.30) рассмотрим очевидно неприводимое представление (9.E.1) той же группы, данное на стр. 90 .
\[
\begin{array}{lll}
\breve{\mathbf{D}}(E)=(1), & \widetilde{\mathbf{D}}(A)=(-1), & \widetilde{\mathbf{D}}(B)=(-1), \\
\overline{\mathbf{D}}(C)=(-1), & \overline{\mathbf{D}}(D)=(1), & \overline{\mathbf{D}}(F)=(1),
\end{array}
\]

и тривиальное представление одной лишь единичной матрицей-
\[
\begin{array}{lll}
\overline{\mathbf{D}}(E)=(1), & \overline{\overline{\mathbf{D}}}(A)=(1), & \overline{\overline{\mathbf{D}}}(B)=(1), \\
\overline{\mathbf{D}}(C)=(1), & \overline{\overline{\mathbf{D}}}(D)=(1), & \overline{\overline{\mathbf{D}}}(F)=(1) .
\end{array}
\]

Все четыре вектора $\mathfrak{v}$ должны быть ортогональны вектору $w_{R}=\overline{\mathbf{D}}(R)_{11}$, а также вектору $z_{R}=\overline{\overline{\mathrm{D}}}(R)_{11}=1$. Например,
\[
\begin{aligned}
\left(v^{(22)}, w\right)=1 \cdot 1+(-1) \cdot(-1)+\frac{1}{2} & (-1)+\frac{1}{2} \times \\
& \times(-1)+\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 1+\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 1=0
\end{aligned}
\]
Рассмотрим теперь все неэквивалентные неприводимые представления некоторой группы. Матрица $\mathrm{D}^{(1)}(R)$ имеет размерность $l_{1}$, матрица $\mathrm{D}^{(2)}(R)$ – размерность $l_{2}, \ldots$ матрица $\mathbf{D}^{(c)}(R)$ – размерность $l_{c}$; все представления предполагаются унитарными. Тогда (9.30) и (9.31) могут быть записаны в виде одной формулы:
\[
\begin{array}{c}
\sum_{R} D^{(j)}(R)_{\mu
u} \sqrt{\frac{l_{j}}{h}} D^{\left(j^{\prime}\right)}(R)_{\mu^{\prime}
u^{\prime}}^{*} \sqrt{\frac{l_{j^{\prime}}}{h}}=\delta_{j j^{\prime}} \delta_{\mu \mu^{\prime}} \delta_{
u
u^{\prime}} \\
\left(\mu,
u=1,2, \ldots, l_{j} ; \quad \mu^{\prime},
u^{\prime}=1,2, \ldots, l_{j^{\prime}} ; \quad j, j^{\prime}=1,2, \ldots, c\right) .
\end{array}
\]

Все $h$-мерные векторы (их число равно $l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+\ldots+l_{c}^{2}$ )в пространстве элементов группы взаимно ортогональны:
\[
v_{R}^{(j,
u,
u)}=D^{(/)}(R)_{\mu
u} .
\]

Поскольку в пространстве $h$ измерений может существовать самое большее $h$ ортогональных векторов, то, следовательно, сумма квадратов размерностей всех неэквивалентных неприводимых представлений $l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+\ldots+l_{c}^{2}$ равна самое большее порядку представляемой группы. Действительно, можно показать, что сумма квадратов $l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+\ldots+l_{c}^{2}=h$ в точности равна порядку этой группы. Однако мы опустим здесь доказательство этой теоремы (см. стр. 140).

Преобразуем теперь соотношение (9.32). Обозначим сумму диагональных элементов, или след, матрицы $\mathbf{D}^{(j)}(R)$ через $\chi^{(j)}(R)$, так что
\[
\chi^{(j)}(R)=\sum_{\mu=1}^{l_{j}} D^{(j)}(R)_{\mu \mu} .
\]

Совокупность чисел, включающая $h$ величин $\chi^{(j)}(E), \chi^{(j)}\left(A_{2}\right), \ldots$ $\ldots \chi^{(j)}\left(A_{h}\right)$, называется характером представления $\mathbf{D}^{(j)}(R)$. Задание некоторого представления с помощью характера имеет то преимущество, что он инвариантен относительно преобразований подобия. Согласно (9.32),
\[
\sum_{R} D^{\left(f^{\prime}\right.}(R)_{\mu \mu^{\prime}} D^{\left(\prime^{\prime \prime}\right.}(R)_{\mu^{\prime} \mu^{\prime}}^{*}=\frac{h}{l_{j}} \delta_{j j^{\prime}} \delta_{\mu \mu^{\prime}} .
\]

Суммируя по $\mu$ от 1 до $l_{j}$ и по $\mu^{\prime}$ от 1 до $l_{j^{\prime}}$, получаем
\[
\sum_{R} \chi^{(j)}(R) \chi^{\left(j^{\prime}\right)}(R)^{*}=\frac{h}{l_{j}} \delta_{j j^{\prime}} \sum_{\mu=1}^{l_{j}} \sum_{\mu^{\prime}=1}^{l_{j^{\prime}}} \delta_{\mu \mu^{\prime}}=\frac{h}{l_{j}} \delta_{j j^{\prime}} \sum_{\mu=1}^{l_{j}} 1=h \delta_{j j^{\prime}}
\]
Характеры $\chi^{(j)}(R)$ неприводимых представлений образуют ортогональную систему векторов в пространстве элементов группы. Отсюда следует, что два неэквивалентных неприводимых представления не могут обладать одним и тем же характером и что неприводимые представления с равными характерами эквивалентны.

Соотношение (9.33) можно записать в несколько более развернутом виде, если сравнить характеры $\chi^{(j)}(R)$ и $\chi^{(j)}(S)$, принадлежащие двум элементам $R$ и $S$ одного и того же класса. Тогда существует такой элемент группы $T$, который преобразует $R$ в $S$. Но если $T^{-1} R T=S$, то $\mathbf{D}^{(j)}\left(T^{-1}\right) \mathbf{D}^{(j)}(R) \mathrm{D}^{(j)}(T)=\mathrm{D}^{(j)}(S)$, так что $\mathrm{D}^{(j)}(R)$ может быть преобразовано в $\mathrm{D}^{(j)}(S)$. Следовательно, след $\chi^{(j)}(R)$ матрицы $\mathrm{D}^{(j)}(R)$ равен следу $\chi^{(j)}(S)$ матрицы $\mathrm{D}^{(j)}(S)$. В заданном представлении элементы одного и того же класса имеют равные характеры.

Таким образом, при задании совокупности характеров достаточно указать характер одного элемента из каждого класса группы. Это число может рассматриваться как характер класса. Если вся группа, представление которой рассматривается, состоит из $k$ классов, скажем $C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{k}$ и если эти классы имеют $g_{1}, g_{2}$, $\ldots, g_{k}$ элементов соответственно $\left(g_{1}+g_{2}+\ldots+g_{k}=h\right)$, то характер представления полностью определяется $k$ числами $\chi^{(n)}\left(C_{1}\right)$, $\chi^{(j)}\left(C_{2}\right), \ldots, \chi^{(j)}\left(C_{k}\right)$. Можно ввести эти числа в (9.33) вместо $\chi^{(f)}(R)$. Когда это сделано, мы можем выполнить суммирование по элементам группы, суммируя сначала по $g_{p}$ элементам одного и того же класса (соответствующие $g_{\rho}$ членов все равны), а затем – по всем $k$ классам:
\[
\sum_{\rho=1}^{k} \chi^{(j)}\left(C_{\rho}\right) \chi^{\left(j^{\prime}\right)}\left(C_{\rho}\right)^{*} g_{\rho}=h \delta_{j j^{\prime}}
\]

или

Нормированные характеры $\chi^{(j)}\left(C_{\rho}\right) \sqrt{g_{\rho} / h}$ образуют ортогональную систему векторов в $k$-мерном пространстве классов. Соотношения (9.30), (9.31), (9.33) и (9.34) являются наиболее важными равенствами теории представлений, и к ним мы будем обращаться неоднократно
Характеры представлений (7 Е.1), (9.Е.1) и (9.Е.3) равны
\[
\begin{array}{l}
\chi^{(E)}=2, \quad \chi^{(A)}=0, \quad \chi^{(B)}=0, \quad \chi^{(C)}=0, \quad \chi^{(D)}=-1, \quad \chi^{(F)}=-1, \\
\bar{\chi}^{(E)}=1, \quad \bar{\chi}^{(A)}=-1, \quad \bar{\chi}^{(B)}=-1, \quad \bar{\chi}^{(C)}=-1, \quad \bar{\chi}^{(D)}=1, \quad \bar{\chi}^{(F)}=1, \\
\overline{\bar{\chi}}^{(E)}=1, \quad \overline{\bar{\chi}}^{(A)}-1, \quad \overline{\bar{\chi}}(B)=1, \quad \overline{\bar{\chi}}^{(C)}=1, \quad \overline{\bar{\chi}}^{(D)}=1, \quad \overline{\bar{\chi}}(F)=1 . \\
\end{array}
\]
Так как $D, F$ и $A, B, C$ относятся к одинаковым классам, их характеры совпадают. Поэтому характеры можно записать кратко следующим образом:

Нормированные характеры $\sqrt{g_{p} / h} \cdot \chi^{(l)}\left(C_{p}\right)$ взаимно ортогональны. Например, для $\chi$ и $\bar{\chi}$
\[
\sqrt{\frac{1}{6}} 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{6}} 1+\sqrt{\frac{\overline{3}}{6}} 0 \cdot \sqrt{\frac{\overline{3}}{6}} \cdot(-1)+\sqrt{\frac{\overline{2}}{6}} \cdot(-1) \sqrt{\frac{\overline{2}}{6}} 1=0 .
\]

Так как существует самое большее $k$ ортогональных $k$-мерних векторов, то число $c$ неэквивалентных неприводимых представлений равно самое большее числу $k$ классов представляемой группы. Действительно, можно показать, что число неэквивалентных неприводимых представлений группы в точности равно числу классов этой группы; иначе говоря, $c=k$.

Мы уже приводили пример этого в трех представлениях симметрической группы трех объектов, данных на стр. 100-101. Эта группа состоит из трех классов $E ; A, B, C$ и $D, F$ и не может иметь иных неприводимых представлений, кроме упомянутых выше. Размерности этих представлений равны $2,1,1$; при этом $2^{2}+1^{2}+$ $+1^{2}=6$ действительно равно порядку группы.

Приведение представления. В предыдущем изложении мы имели дело частично с приводимыми, частично-с неприводимыми представлениями. Теоремы 1 и 1а относятся к произвольным представлениям; теоремы 2-4 [и соотношения (9.30), (9.31), (9.33) и (9.34)] – к неприводимым представлениям.

Важность неприводимых представлений объясняется тем обстоятельством, что всякое представление может быть разложено на неприводимые единственным образомі. Это значит, что всякое приводимое представление может быть приведено к виду
\[
\left(\begin{array}{cccc}
\mathbf{D}^{(1)}(R) & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{D}^{(2)}(R) & \cdots & \mathbf{0} \\
\cdot & \cdot & & \cdot \\
\cdot & \cdot & & \cdot \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{D}^{(s)}(R)
\end{array}\right)
\]

путем преобразования подобия с соответствующим образом выбранной „приводящей“ матрицей, где $\mathrm{D}^{(j)}(R)$ являются теперь неприводимыми представлениями, неприводимыми компонентами исходного представления. Таким образом, если представление не является уже неприводимым, оно может быть преобразовано к виду
\[
\overline{\mathbf{D}}\left(A_{\mathrm{x}}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{D}^{\prime}\left(A_{\mathrm{x}}\right) & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{D}^{\prime \prime}\left(A_{\mathrm{x}}\right)
\end{array}\right) ;
\]

это значит, что все его матрицы могут быть преобразованы к этому виду. Тогда либо обе части $\mathbf{D}^{\prime}\left(A_{\mathrm{x}}\right)$ и $\mathbf{D}^{\prime \prime}\left(A_{\mathrm{x}}\right)$ неприводимы, либо, скажем, $\mathbf{D}^{\prime \prime}$ приводимо. В последнем случае $\overline{\mathbf{D}}\left(A_{\mathrm{x}}\right)$ можно подвергнуть дальнейшему преобразованию с помощью матрицы

которое дает
\[
\left(\begin{array}{ll}
\mathbf{S} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{T}
\end{array}\right),
\]
\[
\overline{\overline{\mathbf{D}}}\left(A_{\mathrm{\chi}}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{S}^{-1} \mathbf{D}^{\prime}\left(A_{\mathrm{x}}\right) \mathbf{S} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{T}^{-1} \mathbf{D}^{\prime \prime}\left(A_{\mathrm{x}}\right) \mathbf{T}
\end{array}\right) .
\]

Если $\mathbf{D}^{\prime \prime}$ приводимо, то $\mathbf{T}$ можно выбрать так, чтобы $\mathbf{T}^{-1} \mathbf{D}^{\prime \prime}\left(A_{\mathbf{x}}\right) \mathbf{T}$ имело вид (9.E.2). Тогда $\overline{\overline{\mathbf{D}}}\left(A_{\mathrm{x}}\right)$ приобретает вид
\[
\left(\begin{array}{ccc}
\mathbf{D}^{\prime}\left(A_{\mathrm{x}}\right) & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{D}^{\prime \prime \prime}\left(A_{\mathrm{x}}\right) & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{D}^{\prime \prime \prime \prime}\left(A_{\mathrm{x}}\right)
\end{array}\right) .
\]

Это выражение может быть подвергнуто дальнейшему приведению, если хотя бы одно из трех представлений $\mathbf{D}^{\prime}, \mathbf{D}^{\prime \prime \prime}, \mathbf{D}^{\prime \prime \prime \prime}$ по-прежнему приводимо.

Так как это представление имеет конечную размерность, должно быть возможным привести в конце концов его этим способом к виду (9.E.4), в котором все представления $\mathbf{D}^{(1)}, \mathbf{D}^{(2)}, \ldots, \mathbf{D}^{(s)}$ неприводимы. Поскольку несколько последовательных преобразований подобия могут всегда быть заменены одним, рассматриваемое представление можно привести непосредственно к виду (9.E.4) с помощью одного-единственного преобразования подобия. Этот процесс называется приведением, а (9.Е.4) называют приведенной бормой.

Можно предполагать, что по окончании процесса приведения неприводимые части $\mathrm{D}^{(1)}(R), \mathbf{D}^{(2)}(R), \ldots, \mathbf{D}^{(s)}(R)$ не определяются однозначно (с точностью до преобразования подобия), а что $\mathbf{D}(R)$ может быть приведено различными способами. Мы можем показать, что это не так. Точно так же, как целое число может быть единственным способом разложено на произведение простых чисел, неприводимые компоненты приводимого представления определяются однозначно, разумеется, с точностью до порядка.
Если в результате приведения произвольное приводимое представление разлагается на $a_{1}$ неприводимых представлений $\mathrm{D}^{(1)}(R)$ $\left[\mathrm{c}\right.$ характером $\left.\chi^{(1)}(R)\right], a_{2}$ представлений $\mathbf{D}^{(2)}(R)$ [с характером $\chi^{(2)}(R)$ ] и т. д., то ясно, что
\[
\chi(R)=\sum_{j=1}^{c} a_{j} \chi^{(j)}(R) \quad\left(R=E, A_{2}, A_{3}, \ldots, A_{h}\right)
\]

дает характер рассматриваемого приводимого представления. Но $h$ соотношений (9.35) полностью определяют числа $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{c}$. Если вычислить скалярное произведение (9.35) на $\chi^{\left(j^{\prime}\right)}(R)$ (т. е. умножить его на $\chi^{\left(J^{\prime}\right)}(R)^{*}$ и просуммировать по всем элементам группы), то, используя (9.33), получаем
\[
\sum_{R} \chi(R) \chi^{\left(J^{\prime}\right)}(R)^{*}=\sum_{R} \sum_{j} a_{j} \chi^{(j)}(R) \chi^{\left(J^{\prime}\right)}(R)^{*}=h a_{j^{\prime}},
\]

так что целое число $a_{j}$ дается однозначно выражением
\[
a_{j^{\prime}}=\frac{1}{h} \sum_{R} \chi(R) \chi^{\left(j^{\prime}\right)}(R)^{*} .
\]

Согласно (9.37), характер представления определяет, сколько раз неприводимое представление появляется в приведенной форме представления. Так, в частности, неприводимые компоненты не зависят от способа, использованного при приведении.

Кроме того, мы видим, что два представления эквивалентны, если они имеют один и тот же характер. Это значит, что они оба будут иметь одну и ту же форму после приведения и, тем самым, будут совпадать, с точностью до порядка, в котором будут появляться матрицы $\mathrm{D}^{(j)}(R)$. Следовательно, два представления с равньми характерами могут быть преобразованы к эквивалентным приведенным формам, а поэтому они сами эквивалентны.

С другой стороны, равенство характеров необходимо для эквивалентности двух представлении. Таким образом, оно является необходимым $и$ достаточным условием их эквивалентности (т. е. они могут быть преобразованы одно в другое с помощью преобразования подобия).

Две отдельно взятые матрицы могут быть преобразованы одна в другую только в том случае, если равны их собственные значения. Равенство следов, т. е. равенство сумм их собственных значений недостаточно. Для двух представлений, однако, из предшествующего рассмотрения следует, что если сумма собственных значений одинакова для всех $h$ пар соответствующих матриц, соответствующие собственные значения будут также попарно равны. Достаточно даже несколько меньшего. Так как характеры всех элементов группы одного и того же класса равны во всякомпредставлении, равенство $k$ пар чисел $\chi\left(C_{1}\right)=\chi^{\prime}\left(C_{1}\right), \chi\left(C_{2}\right)=\chi^{\prime}\left(C_{2}\right), \ldots$. $\ldots \chi\left(C_{k}\right)=\chi^{\prime}\left(C_{k}\right)$ достаточно для эквивалентности двух представлений с характерами $\chi$ и $\chi^{\prime}$.

Выведем еще одну формулу, относящуюся к числам неприводимых компонент, содержащихся в представлении. Если умножить (9.35) скалярно само на себя, то получим
\[
\begin{aligned}
\sum_{R}|\chi(R)|^{2} & =\sum_{R} \sum_{j} a_{j} \chi^{(j)}(R) \sum_{j^{\prime}} a_{j^{\prime}} \chi^{\left(j^{\prime}\right)}(R)^{*}= \\
& =\sum_{j} \sum_{j^{\prime}} h \delta_{j j^{\prime}} a_{j} a_{j^{\prime}}=h \sum_{j} a_{j^{2}} .
\end{aligned}
\]

Квадрат абсолютной величины характера представления равен порядку группы $h$, умноженному на сумму квадратов чисел $a_{j}$, показывающих, сколько раз отдельные неприводимые представления встречаются в этом представлении. Для некоторого неприводимого представления сумма
\[
\sum_{R}|\chi(R)|^{2}=h
\]

имеет наименьшее значение $h$; наоборот, если соотношение (9.38a) справедливо, то представление со следами $\chi(R)$ неприводимо, поскольку, согласно (9.38), оно содержит после приведения лишь одну компоненту.

В некоторых случаях вышеприведенные общие теоремы достаточны для нахождения неприводимых представлений. Особенно полезны для 9той цели теоремы, частично доказанные на стр. 102 и 103 и дающие число неэквивалентных представлений (равное числу классов) и сумму квадратов их размерностей (равную порядку группы). Разумеется, в большинстве случаев необходимо еще и более подробное, специальное исследование.

В качестве частного случая заметим, что каждый элемент абелевой группы образует класс сам по себе, так что группа имеет столько классов, сколько в ней элементов. Так как сумма квадратов размерностей всех представлений группы равна ее порядку, размерность каждого неприводимого представления равна единице.

Кроме того, следует заметить, что каждое представление факторгруппы также является представлением полной группы, как было подчеркнуто в начале данной главы. Например, рассмотрим еще раз симметрическую группу трех объектов. Эта группа имеет одну инвариантную подгруппу $E, D, F$; ее фактор-группа имеет порядок 2 . Поэтому факторгруппа является абелевой и имеет два представления единичной размерности. Так как полная группа имеет только три класса, то она может иметь лишь еще одно неприводимое представление, которое должно быть двумерным, чтобы имело место равенство $1^{2}+1^{2}+2^{2}=6=h$.

Различные неприводимые представления играют важную роль в квантовой механике, поскольку они служат для характеристики наборов состояний, имеющих одни и те же правила отбора, поведение во внешиих полях и т. п. С точки зрения чистой математики изложенная выше теория, основы которой были заложены в работах Фробениуса, Бернсайда и Шура, является одним из наиболее изящных разделов алгебры. Характеры представлений имеют также отношение к некоторым интересным проблемам теории чисел, которые в настоящей монографии не обсуждаются.