Если $\mathrm{T}^{\alpha \rho}=\mathrm{V}^{(\rho)}$ является скаляром относительно $\mathrm{Q}_{R}$ и вектором относительно $P_{R}$ [как, например, оператор умножения на
\[
\frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k}\left(x_{k}+i y_{k}\right), \quad \sum_{k} z_{k}, \quad-\frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k}\left(x_{k}-i y_{k}\right),
\]

определяющий вероятности дипольных переходов], то $p=1, q=0$ и, согласно (23.15), мы можем написать
$\mathrm{V}_{N S L J m}^{(\rho)} N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime} J^{\prime} m^{\prime}=\delta_{S S^{\prime}} \delta_{m+p}, m^{\prime} \times$
\[
\times \sum_{\mu} s_{J, \mu, m-\mu}^{(L S)} s_{J^{\prime}, \mu+\rho, m-\mu}^{\left(L^{\prime} S\right.} s_{L^{\prime}, \mu, \rho}^{(L 1)} v_{N S L, N^{\prime} S L^{\prime *}}
\]

Матричные элементы (23.15a) будут обращаться в нуль, кроме случаев, когда $S^{\prime}=S$ и $L^{\prime}=L$ или $L^{\prime}=L \pm 1$ (и $J^{\prime}=J$ или
$J^{\prime}=J \pm 1$ ). Так как мы уже знаем отношение матричных элементов при различных $m, m^{\prime}$ и $\rho$ [соотношение (23.9)],
\[
V_{N S L J m}^{(\rho)} N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime} J^{\prime} m^{\prime}=s_{J^{\prime} m \rho}^{(J 1)} \delta_{m+\rho}, m^{\prime} V_{N S L J ; N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime} J^{\prime}},
\]

можно подставить их конкретные значения и вычислить для этих значений их отношения для различных $J$ и $J^{\prime}$. Формулы для $s$ примут наиболее простой вид, если подставить $m=J, m^{\prime}=J^{\prime}$ и $\rho=m^{\prime}-m=J^{\prime}-J$. Тогда, например, выражение (17.27б) и табл. 4 на стр. 231 при $L^{\prime}=L-1 J^{\prime}=J+1$ приводят к следующему соотношению:
\[
\begin{array}{l}
s_{J, \mu, J-\mu}^{(L S)} \cdot s_{L-1, \mu, 1}^{(L 1)}= \\
=\frac{(-1)^{L-\mu} \sqrt{(L+S-J) !(2 J+1) !}}{\sqrt{(J+L+S+1) !(J+S-L) !(J-S+L) !}} \times \\
\times \sqrt{\frac{(L+\mu) !(S+J-\mu) !}{(L-\mu) !(S-J+\mu) !}} \frac{\sqrt{(L-\mu-1)(L-\mu)}}{\sqrt{2 L(2 L+1)}}= \\
=\frac{\left.(-1)^{L-1-(\mu+1)} \sqrt{(L-1+S-J}-1\right) !(2 J+3) !}{\sqrt{(J+1+L-1+S+1) !(J+1+S-L+1) !(J+1-S+L-1)}} \times \\
\times \sqrt{\frac{(L+\mu) !(S+J-\mu) !}{(L-\mu-2) !(S-J+\mu) !}} \times \\
\times \sqrt{\frac{(L+S-J-1)(L+S-J)(J+S-L+1)(J+S-L+2)}{(2 J+2)(2 J+3) 2 L(2 L+1)}}= \\
=S_{J+1, p+1, J-\mu}^{(L-1, S)} \times \\
\times \sqrt{\frac{(L+S-J-1)(L+S-J)(J+S-L+1)(J+S-L+2)}{(2 J+2)(2 J+3) 2 L(2 L+1)}} . \\
\end{array}
\]

Пользуясь соотношением (23.16) и вышеприведенным равенством, получаем
\[
\begin{array}{l}
V_{N S L J J, N^{\prime} S L-1 J+1 J+1}^{(1)} \sum_{\mu} s_{J, \mu, J-\mu}^{(L S)} s_{L-1, \mu, 1}^{(L 1)} s_{J+1, \mu+1, J-\mu}^{(L-1, S)} v_{N^{\prime} S L ; N S L-1}= \\
=\sqrt{\frac{(L+S-J-1)(L+S-J)(J+S-L+1)(J+S-L+2)}{(2 J+2)(2 J+3) 2 L(2 L+1)}} v_{N S L ; N^{\prime} S L-1}
\end{array}
\]

для суммы матричных элементов (23.15a). Поэтому подстановка $s_{J+1, J, 1}^{(J 1)}=1$ в (23.18) для $V_{N S L J_{i}} N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime} J^{\prime}$ дает
$V_{N S L J ; N^{\prime} S L-1 J+1}=$
\[
=\sqrt{\frac{(L+S-J-1)(L+S-J)(J+S-L+1)(J+S-L+2)}{(2 J+2)(2 J+3) 2 L(2 L+1)}} v_{N S L ; N^{\prime} S L-1} .
\]
$\begin{array}{lll}\text { Гав а } & 23\end{array}$
Аналогичные формулы
$V_{N S L J ;} N^{\prime} S L-1 J=$
\[
=\sqrt{\frac{(L+S-J)(J+S-L+1)(J-S+L)(J+L+S+1)}{2 J(2 J+2)(L)(2 L+1)}} v_{N S L ; N^{\prime} S L-1} \text {, }
\]
$V_{N S L J ; N^{\prime} S L-1}^{J-1}=$
\[
=\sqrt{\frac{(J-S+L-1)(J-S+L)(J+S+L)(J+L+S+1)}{2 J(2 J-1)(2 L)(2 L+1)}} v_{N S L ; N^{\prime} S L-1}
\]

могут быть выведены таким же путем. Эти равенства вместе с (23.18) дают выражения для всех матричных элементов операторов дипольных переходов между волновыми функциями двух мультиплетов через одну и ту же величину $v_{N S L ; N^{\prime} S L-1}$. Орбитальные квантовые числа этих двух мультиплетов равны $L$ и $L^{\prime}=L-1$. Аналогичное вычисление при $L^{\prime}=L$ дает:
$V_{N S L J ; N^{\prime} S L J+1}=$
\[
=\sqrt{\frac{(L+S-J)(J-S+L+1)(J+S-L+1)(J+L+S+2)}{(2 J+2)(2 J+3)(2 L)(L+1)}} v_{N S L ; N^{\prime} S L^{\prime}}
\]
$V_{N S L J ; N^{\prime} S L J-1}=$
\[
=-\sqrt{\frac{(L+S-J+1)(J-S+L)(J+S-L)(J+L+S+1)}{2 J(2 J-1)(2 L)(L+1)}} v_{N S L ; N^{\prime} S L}
\]

В этом случае $s_{L, \mu, J^{\prime}-J}^{(L 1)}$ были частично скомбинированы с первым и частично со вторым множителем в (23.15a). Лишь вывод соответствующей формулы для $L^{\prime}=L$ и $J^{\prime}=J$ требует специального рассмотрения; коэффициенты $s_{L \mu 0}^{(L 1)}$ должны быть разбиты на сумму двух слагаемых
\[
s_{L \mu 0}^{(L 1)}=\frac{\mu}{\sqrt{L(L+1)}}=\frac{L}{\sqrt{L(L+1)}}-\frac{\sqrt{L-\mu} \sqrt{L-\mu}}{\sqrt{\bar{L}(+1)}} .
\]

Суммирование в (23.15a) с первым членом может быть выполнено непосредственно, если воспользоваться соотношениями ортогональности (23.16); тогда сумма по $\mu$ дает
\[
v_{N S L ; N^{\prime} S L} \frac{L}{\sqrt{L(L+1)}} .
\]
Суммирование со вторым членом может быть выполнено, если учесть, что
\[
\begin{aligned}
s_{J, \mu, J-\mu}^{(L S)} \sqrt{L-\mu} & =\frac{(-1)^{L-\mu} \sqrt{(L+S-J) !(2 J+1) !}}{\sqrt{(J+S+L+1) !(J+S-L) !(J-S+L) !}} \times \\
& \times \sqrt{\frac{(L+\mu) !(J+S-\mu) !}{(L-\mu-1) !(S-J+\mu) !}}= \\
& =-s_{J+\frac{1}{2}, \mu+\frac{1}{2}, J-\mu}^{\left(L-\frac{1}{2}, S\right)} \sqrt{\frac{(L+S-J)(J+S-L+1)}{2 J+2}},
\end{aligned}
\]

и соотношения ортогональности (23.16). При этом для (23.15a) получаем
\[
\begin{aligned}
\sum_{\mu}\left(s_{J, \mu, J-\mu}^{(L S)}\right)^{2} s_{L \mu 0}^{(L)} & =\frac{L}{\sqrt{L(L+1)}}-\frac{(L+S-J)(J+S-L+1)}{(2 J+2) \sqrt{L(L+1)}}= \\
& =\frac{J(J+1)+L(L+1)-S(S+1)}{2(J+1) \sqrt{L(L+1)}},
\end{aligned}
\]

откуда окончательно имеем
\[
V_{N S L J ; N^{\prime} S L J}=\frac{J(J+1)+L(L+1)-S(S+1)}{2 \sqrt{J(J+1)} \sqrt{L(L+1)}} v_{N S L ; N^{\prime} S L} .
\]

Отношения матричных элементов для $L^{\prime}=L+1$ могли бы быть получены прямыми вычислениями того же рода; с другой стороны, заметим, что из эрмитовости оператора $V^{(0)}$ следует, что
\[
V_{N^{\prime} S L-1 J^{\prime} m^{\prime} ; N S L J m}^{(0)}=V_{N S L J m ; N^{\prime} S L-1 J^{\prime} m^{\prime}}^{(0)}
\]

Следовательно, рассматриваемые отношения могут быть вычислены с помощью формул (23.19a) – (23.19в).

Формулы (23.19a) – (23.19e) представляют собой формулы для интенсивностей Хёнля – Кронига, дающие отношения интенсивностей компонент тонкой структуры линии. Чтобы получить полную интенсивность компоненты тонкой структуры $N S L J \rightarrow N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime} J^{\prime}$, следует просуммировать интенсивности $\left|V_{N S L J m ; N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime} J^{\prime} m^{\prime}}^{(\rho)}\right|^{2}$ отдельных зеемановских компонент по всем значениям $m, m^{\prime}$ и $p$ :
\[
\begin{aligned}
\sum_{m^{\prime} m} \sum_{\rho}\left|V_{N S L J m ; N^{\prime} S L^{\prime} J^{\prime} m^{\prime}}^{(\rho)}\right|^{2}=\sum_{m m^{\prime}}\left|V_{N S L J ; N^{\prime} S L^{\prime} J^{\prime}} S_{J^{\prime} m, m^{\prime}-m}^{(J 1)}\right|^{2}= \\
=\left|V_{N S L J ; N^{\prime} S L^{\prime} J^{\prime}}\right|^{2} \sum_{m^{\prime}} 1=\left(2 J^{\prime}+1\right)\left|V_{N S L J ; N} S L^{\prime} J^{\prime}\right|^{2}
\end{aligned}
\]

Поэтому полная интенсивность линии $J \rightarrow J^{\prime}$ определяется прежде всего матричным элементом $V_{N S L J ; N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime} J^{\prime}}$.
$\begin{array}{lll}\text { Глава } & 23\end{array}$