Теория возмущений
\[
\begin{array}{c}
V_{l k}=\left(\psi_{l}, V \psi_{k}\right), \\
F_{k}=E_{k}+\lambda V_{k k}+\lambda^{2} \sum_{l
eq k} \frac{\left|V_{l k}\right|^{2}}{E_{k}-E_{l}}, \\
\varphi_{k}=\psi_{k}+\lambda \sum_{l
eq k} \frac{V_{l k}}{E_{k}-E_{l}} \psi_{l} .
\end{array}
\]

Теория групп
Символ $\sum_{R}$ означает суммирование по всем элементам группы для конечных групп; для непрерывных групп он означает интеграл Гурвица
\[
\sum_{R} J_{R}=\sum_{R} J_{S R}
\]

Соотношения ортогональности для унитарных неприводимых представлений группы порядка $h$ имеют вид

где $l_{j}$ – размерность представления $\mathrm{D}^{(j)}$. Для характеров $\chi^{(j)}(R)=$ $=\sum_{\mu} D^{(j)}(R)_{\mu \mu}$ имеем
\[
\sum_{R} \chi^{\left(j^{\prime}\right)}(R)^{*} \chi^{(j)}(R)=h \delta_{j^{\prime} j}
\]

Для непрерывных групп $h=\sum_{R} 1$ заменяется на $\int d R$ [соотношения (10.12), (10.13)].
Представления и собственные функции
Из
\[
\mathrm{P}_{R} f\left(x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime}\right)=f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right),
\]

где $x_{j}$ и $x_{j}^{\prime}$ связаны вещественным ортогональным преобразованием $\mathbf{R}$
\[
x_{j}^{\prime}=\sum_{i} R_{j i} x_{i} \text { или } x_{i}=\sum_{j} R_{j i} x_{j}^{\prime},
\]

следует, что
\[
\mathrm{P}_{S R}=\mathrm{P}_{S} \mathrm{P}_{R} .
\]

Также из
\[
\mathbf{P}_{R} \psi_{
u}=\sum_{x} D(R)_{x
u} \psi_{x}
\]

и $\mathrm{P}_{S} \mathrm{P}_{R}^{*}=\mathrm{P}_{S R}$ следует
\[
\mathrm{D}(S R)=\mathbf{D}(S) \mathbf{D}(R) .
\]

Наконец, из
\[
\mathrm{P}_{R} f_{\mathrm{x}}^{(j)}=\sum_{\lambda} D^{(j)}(R)_{\lambda x} f_{\lambda^{\prime}}^{(j)} \quad \text { и } \quad \mathrm{P}_{R} g_{x^{\prime}}^{\left(j^{\prime}\right)}=\sum_{\lambda^{\prime}} D^{\left(j^{\prime}\right)}(R)_{\lambda^{\prime} x^{\prime}} g_{\lambda^{\prime}}^{\left(j^{\prime}\right)}
\]

следует
\[
\left(f_{x}^{(j)}, g_{x^{\prime}}^{\left(j^{\prime}\right)}\right)=\frac{h}{l_{j}} \delta_{j j^{\prime}} \delta_{x x^{\prime}} \sum_{\lambda}\left(f_{\lambda}^{(j)}, g_{\lambda}^{\left(j^{\prime}\right)}\right) .
\]

Неприводимые представления трехмерной группы вращений
\[
\begin{array}{l}
\mathfrak{D}^{(j)}(\{\alpha \beta \gamma\})_{m^{\prime} m}=e^{i m^{\prime} \alpha} d^{(j)}(\beta)_{m^{\prime} m} e^{i m \gamma}, \\
\mathfrak{D}^{(1 / 2)}\left(\{\alpha \beta \gamma)=\left(\begin{array}{cc}
e^{-\frac{1}{2} i \alpha} \cos \frac{1}{2} \beta e^{-\frac{1}{2} i \gamma} & -e^{-\frac{1}{2} l \alpha} \sin \frac{1}{2} \beta e^{\frac{1}{2} i \gamma} \\
e^{\frac{1}{2} l \alpha} \sin \frac{1}{2} \beta e^{-\frac{1}{2} i \gamma} & e^{\frac{1}{2} i \alpha} \cos \frac{1}{2} \beta e^{\frac{1}{2} l \gamma}
\end{array}\right),\right. \\
\mathfrak{D}^{(j)}(\{\alpha \beta \gamma\})_{j \mu}=\sqrt{(j-\mu)} e^{i j \alpha} \cos ^{j+\mu} \frac{1}{2} \beta \sin ^{j-\mu} \frac{1}{2} \beta e^{i \mu \gamma}, \\
\chi^{(j)}(\varphi)=\sum_{\mu=-j}^{j} e^{l \mu \varphi} \\
\end{array}
\]

Представление $\mathfrak{D}^{(l)} \times \mathfrak{D}^{(\bar{l})}$ содержит один и только один раз каждое из представлений $\mathfrak{D}^{(L)}$, где
\[
\begin{array}{c}
L=|l-\bar{l}|, \quad|l-\bar{l}|+1, \ldots, l+\bar{l}-1, \quad l+\bar{l}, \\
\mathfrak{D}^{(l)}(R)_{\mu^{\prime} \mu^{\prime}} \mathfrak{D}^{(\bar{l})}(R)_{
u^{\prime}
u}=\sum_{L=1 l-\bar{l} \mid}^{l+\bar{l}} s_{L \mu^{\prime}
u^{\prime}}^{(l \bar{l})} \mathfrak{D}^{(L)}(R)_{\mu^{\prime}+
u^{\prime} ; \mu+
u} s_{L \mu
u^{\prime}}^{(l \bar{l})} \\
s_{L \mu L-\mu}^{(\bar{l})}=\frac{(-1)^{l-\mu} \sqrt{(2 L+1) !(l+\bar{l}-L) !}}{\sqrt{(L+l+\bar{l}+1) !(L+l-\bar{l}) !(L-l+\bar{l}) !}} \times \\
\times \sqrt{\frac{(l+\mu) !(\bar{l}+L-\mu) !}{(l-\mu) !(\bar{l}-L+\mu) !}} \\
\sum_{\mu} s_{L, \mu, m-\mu}^{(\bar{l})} s_{L^{\prime}, \mu, m-\mu}^{(\bar{l})}=\delta_{L L^{\prime}} \\
\sum_{L} s_{L, \mu, m-\mu}^{(\bar{l})} s_{L, \mu^{\prime}, m-\mu^{\prime}}^{(\bar{l})}=\delta_{\mu \mu \mu^{\prime}}
\end{array}
\]

Теория спина Паули
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{Q}_{R} \Phi\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, s_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}, s_{n}\right)= \\
=\sum_{t_{1}= \pm 1} \ldots \sum_{t_{n}= \pm 1} \mathfrak{D}^{(1 / 2)}(R)_{\frac{1}{2} s_{1}, \frac{1}{2} t_{1}} \ldots \\
\ldots \mathfrak{D}^{(1 / 2)}(R)_{\frac{1}{2} s_{n}, \frac{1}{2} t_{n}} \Phi\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, t_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}, t_{n}\right)(21 \\
\mathrm{O}_{R}=\mathrm{P}_{R} \mathrm{Q}_{R}=\mathrm{Q}_{R} \mathrm{P}_{R} .
\end{array}
\]

Непри́водимые тензоры
\[
\begin{array}{l}
T_{N j \mu ; N^{\prime} j^{\prime} \mu^{\prime}}^{(\rho)}=s_{j^{\prime} \mu \rho}^{(j)} \delta_{\mu+\rho, \mu^{\prime}} T_{N j ; N^{\prime} j^{\prime}} . \\
\end{array}
\]

Здесь $s^{(j \omega)}$ равны нулю, если
\[
|j-\omega|>j^{\prime} \text { или } j^{\prime}>j+\omega .
\]
Бесконечно малые вращения
Оператор бесконечно малых вращений декартовых координат имеет вид
\[
\frac{1}{\hbar} L_{z} \Psi=-\left.i \frac{\partial}{\partial \alpha} P_{\{\alpha 00\}} \Psi\right|_{\alpha=0} ;
\]

для спиновых координат
\[
\frac{1}{2}\left(s_{1}+s_{2}+\ldots+s_{n}\right) \Psi=\frac{1}{\hbar} \mathrm{S}_{.} \Psi=-\left.i \frac{\partial}{\partial \alpha} \mathrm{Q}_{\{\alpha 00\}} \Psi\right|_{\alpha=0} ;
\]

а для всех координат одновременно
\[
\frac{1}{\hbar}\left(\mathrm{L}_{z}+\mathrm{S}_{z}\right)=-\left.i \frac{\partial}{\partial \alpha} \mathrm{O}_{\{a, 0\}\}}\right|_{\alpha=0} .
\]
3j-символы
1. Соотношение между $3 j$-символами и коэффициентами векторного сложения:
\[
\left(\begin{array}{lll}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
m_{1} & m_{2} & m_{3}
\end{array}\right)=\frac{(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt{2 j_{3}+1}} s j_{3}^{\left(j_{1} m_{2} m_{2}\right)} \delta_{m_{1}+m_{2}+m_{3}, 0 .} .
\]
2. Симметрия $3 j$-символов:
\[
\begin{array}{c}
(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\left(\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
m_{1} & m_{2} & m_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{3} & j_{2} \\
m_{1} & m_{3} & m_{2}
\end{array}\right)= \\
=\left(\begin{array}{ccc}
j_{3} & j_{2} & j_{1} \\
m_{3} & m_{2} & m_{1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
j_{2} & j_{1} & j_{3} \\
m_{2} & m_{1} & m_{3}
\end{array}\right) \\
\left(\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
m_{1} & m_{2} & m_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
j_{2} & j_{3} & j_{1} \\
m_{2} & m_{3} & m_{1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
j_{3} & j_{1} & j_{2} \\
m_{3} & m_{1} & m_{2}
\end{array}\right) \\
\left(\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
-m_{1} & -m_{2} & -m_{3}
\end{array}\right)=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\left(\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
m_{1} & m_{2} & m_{3}
\end{array}\right) .
\end{array}
\]
$6 j$-символы
1. Связь с $3 j$-символами:
\[
\begin{array}{c}
\left(j_{1} l_{2} \dot{l}\right)\left(l_{1} j_{2} l_{.}\right)=(-1)^{2 l_{1}} \sum_{j}(2 j+1)\left\{\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{2} & j \\
l_{1} & l_{2} & l
\end{array}\right\}\left(j_{1} j_{2} j^{*}\right)\left(l_{1} l_{2} j_{.}\right), \\
\left(j_{1} l_{2} . \dot{l_{3}}\right)\left(\dot{\left.l_{1} j_{2} l_{3}\right)}\left(l_{1} . \dot{l_{2}} j_{3}\right)=\left\{\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
l_{1} & l_{8} & l_{3}
\end{array}\right\}\left(j_{1} j_{2} j_{\mathrm{a}}\right)\right.
\end{array}
\]
(относительно использованных здесь ковариантных обозначений см. гл. 24).
2. Рассмотрим $\sigma-ю$ компоненту $\mathrm{T}^{\sigma}$ неприводимого тензора ранга $p$ по отношению к декартовым координатам и ранга 0 (скаляр) по отношению к спиновым координатам. Оператор $\mathrm{T}^{a}$ является тогда неприводимым тензором ранга $\omega=p$ по отношению к вращениям всех координат. Для такого оператора другой возможной формой соотношения (21.19) является
\[
\left(\Psi_{\mu}^{N J}, \mathrm{~T}^{\sigma} \Psi_{\mu^{\prime}}^{N^{\prime} J}\right)=\left(J^{\mu}, p^{\sigma}, J_{\mu^{\prime}}^{\prime}\right) T_{N J ; N^{\prime} J^{\prime}} .
\]

Величина $T_{N J ; N^{\prime} J^{\prime}}$ в соотношении (24.27a) есть произведение $(-1)^{J-p-J^{\prime}} \sqrt{2 J^{\prime}+1}$ на $T_{N J ; N^{\prime} J^{\prime}}$ из (21.19). Если для обоих состояний $\Psi_{\mu}^{N J}$ и $\Psi_{\mu^{\prime}}^{N^{\prime} J^{\prime}}$ справедлива $L S$-связь, то
\[
\begin{array}{c}
T_{N J ; N^{\prime} J^{\prime}}= \\
=(-1)^{2 J-L+S+J^{\prime}+p}\left\{\begin{array}{ccc}
J & p & J^{\prime} \\
L^{\prime} & S & L
\end{array}\right\} \sqrt{2 J+1} \sqrt{2 J^{\prime}+1} T_{N S L ; N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime}} .
\end{array}
\]

Антиунитарные операторы
Оператор $\boldsymbol{\theta}$ является антиунитарным, если для любых двух состояний $\Psi$ и $\Phi$
\[
(\theta \Phi, \theta \Phi)=(\Phi, \Psi)^{*}=(\Psi, \Phi)
\]

и
\[
\theta(\alpha \Phi+\beta \Psi)=\alpha^{*} \theta \Phi+\beta^{*} \theta \Psi .
\]

Антиунитарный оператор обращения времени имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{\theta}=\mathrm{s}_{1 y} \mathrm{~s}_{2 \mathrm{y}} \cdots \mathrm{s}_{n y} \mathrm{~K}, \\
\boldsymbol{\theta}=(-i)^{n} \mathrm{Q}_{\{0, \pi, 0\}} \mathrm{K},
\end{array}
\]

где $\mathrm{K}$ – оператор, заменяющий некоторую величину ее комплексносопряженной.

Законы умножения матриц, соответствующих антиунитарным операторам а и унитарным операторам $u$, записываются в виде
\[
\begin{array}{l}
D\left(u_{1}\right) D\left(u_{2}\right)=D\left(u_{1} u_{2}\right), \\
D(a) D\left(u^{*}\right)=D(a u), \\
D(u) D(a)=D(u a), \\
D\left(a_{1}\right) D\left(a_{2}\right)^{*}=D\left(a_{1} a_{2}\right) .
\end{array}
\]