Возьмем шесть матриц ${ }^{1}$ )
\[
\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \sqrt{3} \\
\frac{1}{2} \sqrt{3} & \frac{1}{2}
\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}
-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \sqrt{3} \\
-\frac{1}{2} \sqrt{3} & \frac{1}{2}
\end{array}\right) \text {, }
\]
E
A
B
C
\[
\left(\begin{array}{cc}
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \sqrt{3} \\
-\frac{1}{2} \sqrt{3} & -\frac{1}{2}
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \sqrt{3} \\
\text { D } & \text { F }
\end{array}\right.
\]
и образуем таблицу умножения из 36 произведений, получающихся путем умножения каждой матрицы из (7.Е.1) на каждую матрицу из (7.Е.1.) согласно правилам матричного умножения. При этом каждая из 36 получающихся матриц совпадает с одной из матриц (7.Е.1). Такая совокупность матриц называется групnой. Эти свойства указанных матриц можно представить в виде таблицы, групповой таблицы:
\begin{tabular}{c|cccccc}
& $E$ & $A$ & $B$ & $C$ & $D$ & $F$ \\
\hline$E$ & $E$ & $A$ & $B$ & $C$ & $D$ & $F$ \\
$A$ & $A$ & $E$ & $D$ & $F$ & $B$ & $C$ \\
$B$ & $B$ & $F$ & $E$ & $D$ & $C$ & $A$ \\
$C$ & $C$ & $D$ & $F$ & $E$ & $A$ & $B$ \\
$D$ & $D$ & $C$ & $A$ & $B$ & $F$ & $E$ \\
$F$ & $F$ & $B$ & $C$ & $A$ & $E$ & $D$
\end{tabular}
1) Мы пользуемся символом $E$ (единица) для представления единичного элемента группы.
Первый множитель берется в первом столбце, второй – в первой строке, а произведение появляется на пересечении соответствующих столбца и строки в таблице. Эта таблица объединяет все правила умножения матриц (7.E.1).
Дадим строгое определение групnы. Групnа есть некоторая совокупность объектов (элементов группы), в которой определен один вид операции, называемый умножением. Это умножение указывает для всяких двух элементов группы (множителей) третий элемент группы, произведение ${ }^{1}$ ). Это групповое умножение, которое является свойством, присущим элементам группы, должно также обладать следующими свойствами.
1. Должен иметь место сочетательный закон. Если $A B=F$ и $B C=G$, то $F C=A G$. Если ялементы группы являются матрицами и если под групповым умножением мы понимаем матричное умножение, то сочетательный закон всегда имеет место (согласно теореме 3 гл. 1). Группы, в которых выполняется также перестановочный закон умножения, т. е. в которых $A B=B A$, называются абелевыми группами.
2. Среди элементов есть один (и только один), который называется тождественным или единичным элементом $E$ и который обладает тем свойством, что его произведение на любой другой элемент дает именно тот другой элемент, т. е. $E A=A E=A$.
3. Каждый элемент имеет обратный. Это значит, что для каждого элемента $A$ существует такой элемент $B$, что $B A=E$. Тогда можно также показать (как в теореме 5 гл. 1), что $A B=E$. Действительно, из $B A=E$ следует $B A B=B$; тогда, если $C$ есть элемент, обратный $B$, получаем, что $C B A B=C B$, т. е. $A B=E$. Элемент, обратный $A$, обозначается через $A^{-1}$.
Эти три свойства элементов группы и группового умножения являются определением группы. При формулировке их в этом (или каком-либо ином) виде о них говорят как о групnовых аксиомах или групповых постулатах.
Правило. Элемент, обратный произведению $A B C D \ldots$, образуется путем перемножения обратных отдельным множителям в обратном порядке (как это имеет место для матриц). Таким образом,
\[
(A B C D \ldots)^{-1}=\ldots D^{-1} C^{-1} B^{-1} A^{-1} .
\]
Это равенство может быть доказано сразу, так как
\[
\left(\ldots D^{-1} C^{-1} B^{-1} A^{-1}\right)(A B C D \ldots)=E .
\]
Следует заметить, что из $A X=B$ и $A Y=B$ вытекает, что $X=Y$, поскольку как $X$, так и $Y$, очевидно, равны $A^{-1} B$. Так же
1) В дальнейшем будем иметь в виду систему матриц с $n$ строками.
из $X A=B$ и $Y A=B$ следует $X=Y=B A^{-1}$. Если группа содержит лишь конечное число $h$ элементов, она называется конечной группой, причем $h$ называют порядком группы.
