Элемент $XA{X}^{-1}$ называется элементом, сопряженным с $A$. Если два элемента $A$ и $B$ сопряжены с третьим элементом $C$, то они также сопряжены друг с другом: из $A=XC{X}^{-1}$ и $B=YC{Y}^{-1}$ следует, что $X^{-1}AX=C$ и $B=Y{X}^{-1}AX{Y}^{-1}=\left(Y{X}^{-1}\right)A{\left(Y{X}^{-1}\right)}^{-1}$. Те элементы группы, которые сопряжены друг с другом, образуют класс. Класс определяется заданием одного из его элементов $A$; весь класс может быть тогда получен путем построения последовательности
$$EA{E}^{-1}=A^{\circ }{A}_{2}A{A}_2^{-1},A_{3}A{A}_3^{-1},\dots ,A_{h}A{A}_h^{-1}.$$

Все элементы этон последовательности сопряжены с $A$ и друг с другом; кроме того, каждый элемент, сопряженный с $A$ (и, таким образом, каждый, сопряженный с любым элементом этой последовательности) встречается (и притом более, чем один раз) в этой
1) Ее часто также называют группой перестановок, но никогда не называют группой симметрии.
последовательности. Поэтому элементы группы могут быть разбиты на классы; каждый элемент встречается в одном и только в одном классе.

Тождественный элемент группы образует класс сам по себе, так как он не сопряжен ни с каким другим элементом: $XE{X}^{-1}=E$ для всех $X$. За исключением этого класса, состоящего только из одного элемента $E$, никакой класс не является подгруппой, потому что ни один из них не может содержать единицу $E$. В абелевых группах каждыи класс состоит в точности из одного элемента, поскольку $XA{X}^{-1}=A$ для всех $X$.

Все элементы класса имеют один и тот же порядок. Если $A^n=E$, то ${\left(XA{X}^{-1}\right)}^n$ также равно $E$, как это видно непосредственно:
$$\begin{array}{l}{\left(XA{X}^{-1}\right)}^n=\left(XA{X}^{-1}\right)\cdot \left(XA{X}^{-1}\right)\dots \left(XA{X}^{-1}\right)=\\ =X{A}^n{X}^{-1}=XE{X}^{-1}=E.\end{array}$$

В группе подстановок (группе матриц) все матрицы, принадлежащие одному и тому же классу, имеют одинаковый след. Чтобы показать это, рассмотрим $\mathit{\alpha }$ и $\mathit{\beta }$, принадлежащие одному классу. Тогда существует такой элемент группы, т. е. матрица $\gamma$, что
$$\beta =\gamma \alpha {\gamma }^{-1}\text{. }$$

Следовательно, $\mathrm{Tr}\beta =\mathrm{Tr}\mathit{\gamma }\mathit{\alpha }{\mathit{\gamma }}^{-1}=\mathrm{Tr}\mathit{\alpha }$.
Например, образуем класс $C$ в группе (7.E.1). Он состоит из элементов
$$\begin{array}{rlrl}EC{E}^{-1}=C,& AC{A}^{-1}=B,& BC{B}^{-1}=A,& CC{C}^{-1}=C,\\ DC{D}^{-1}=A,& FC{F}^{-1}=B.\end{array}$$

Класс $C$, таким образом, состоит из элементов $A,B,C$; он также является классом $A$ или $B$. Все три элемента $A,B,C$ имеют порядок 2 , и след матричного представления (7.E.1) этой группы равен 0 для всех трех элементов. Класс $D$ содержит элементы
$$\begin{array}{l}ED{E}^{-1}=D,AD{A}^{-1}=F,BD{B}^{-1}=F,CD{C}^{-1}=F,\\ DD{D}^{-1}=D,FD{F}^{-1}=D.\end{array}$$

Таким образом, класс $D$ (или $F$ ) состоит из двух элементов $D,F$.