Элемент $X A X^{-1}$ называется элементом, сопряженным с $A$. Если два элемента $A$ и $B$ сопряжены с третьим элементом $C$, то они также сопряжены друг с другом: из $A=X C X^{-1}$ и $B=Y C Y^{-1}$ следует, что $X^{-1} A X=C$ и $B=Y X^{-1} A X Y^{-1}=\left(Y X^{-1}\right) A\left(Y X^{-1}\right)^{-1}$. Те элементы группы, которые сопряжены друг с другом, образуют класс. Класс определяется заданием одного из его элементов $A$; весь класс может быть тогда получен путем построения последовательности
\[
E A E^{-1}=A^{\circ} \quad A_{2} A A_{2}^{-1}, \quad A_{3} A A_{3}^{-1}, \ldots, A_{h} A A_{h}^{-1} .
\]

Все элементы этон последовательности сопряжены с $A$ и друг с другом; кроме того, каждый элемент, сопряженный с $A$ (и, таким образом, каждый, сопряженный с любым элементом этой последовательности) встречается (и притом более, чем один раз) в этой
1) Ее часто также называют группой перестановок, но никогда не называют группой симметрии.
последовательности. Поэтому элементы группы могут быть разбиты на классы; каждый элемент встречается в одном и только в одном классе.

Тождественный элемент группы образует класс сам по себе, так как он не сопряжен ни с каким другим элементом: $X E X^{-1}=E$ для всех $X$. За исключением этого класса, состоящего только из одного элемента $E$, никакой класс не является подгруппой, потому что ни один из них не может содержать единицу $E$. В абелевых группах каждыи класс состоит в точности из одного элемента, поскольку $X A X^{-1}=A$ для всех $X$.

Все элементы класса имеют один и тот же порядок. Если $A^{n}=E$, то $\left(X A X^{-1}\right)^{n}$ также равно $E$, как это видно непосредственно:
\[
\begin{array}{l}
\left(X A X^{-1}\right)^{n}=\left(X A X^{-1}\right) \cdot\left(X A X^{-1}\right) \ldots\left(X A X^{-1}\right)= \\
\quad=X A^{n} X^{-1}=X E X^{-1}=E .
\end{array}
\]

В группе подстановок (группе матриц) все матрицы, принадлежащие одному и тому же классу, имеют одинаковый след. Чтобы показать это, рассмотрим $\boldsymbol{\alpha}$ и $\boldsymbol{\beta}$, принадлежащие одному классу. Тогда существует такой элемент группы, т. е. матрица $\gamma$, что
\[
\beta=\gamma \alpha \gamma^{-1} \text {. }
\]

Следовательно, $\operatorname{Tr} \beta=\operatorname{Tr} \boldsymbol{\gamma} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\gamma}^{-1}=\operatorname{Tr} \boldsymbol{\alpha}$.
Например, образуем класс $C$ в группе (7.E.1). Он состоит из элементов
\[
\begin{array}{rlrl}
E C E^{-1}=C, & A C A^{-1}=B, & B C B^{-1}=A, & C C C^{-1}=C, \\
D C D^{-1}=A, & F C F^{-1}=B .
\end{array}
\]

Класс $C$, таким образом, состоит из элементов $A, B, C$; он также является классом $A$ или $B$. Все три элемента $A, B, C$ имеют порядок 2 , и след матричного представления (7.E.1) этой группы равен 0 для всех трех элементов. Класс $D$ содержит элементы
\[
\begin{array}{l}
E D E^{-1}=D, \quad A D A^{-1}=F, \quad B D B^{-1}=F, \quad C D C^{-1}=F, \\
D D D^{-1}=D, \quad F D F^{-1}=D . \\
\end{array}
\]

Таким образом, класс $D$ (или $F$ ) состоит из двух элементов $D, F$.