Главная > ТЕОРИЯ ГРУПП И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К КВАНТОМЕХАНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ АТОМНЫХ СПЕКТРОВ (Е.Вигнер)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

1. Непрерывная группа, образованная из совокупности всех вещественных ортогональных $n$-мерных матриц, называется $n$-мерной группой вращений. Группа чистых вращений включает ортогональные матрицы только с определителем +1 , тогда как группа вращений и отражений включает также матрицы с определителем -1; таким образом, последняя содержит все вещественные ортогональные матрицы. Групповое умножение является снова матричным умножением, а тождественным элементом является единичная матрица.

В гл. 3 мы видели, что всякая вещественная ортогональная матрица может быть приведена к диагональному виду с помощью унитарной матрицы. Тогда абсолютные величины всех диагональных элементов равны 1 ; некоторые диагональные элементы равны +1 , другие равны – -1 , а остальные состоят из сопряженных пар комплексных чисел $e^{i \varphi}$ и $e^{-i \varphi}$. Собственные векторы, соответствующие собственным значениям +1 или -1 , могут быть записаны в вещественном виде, а пары собственных векторов, соответствующие двум комплексно сопряженным собственным значениям, – в виде комплексно сопряженных векторов. Так как эти собственные векторы, как и всякие собственные векторы, ортогональны в эрмитовом смысле, они ортогональны сами себе в комплексном ортогональном смысле; иначе говоря, сумма квадратов их компонент равна нулю.

Как известно, $n$-мерная ортогональная матрица представляет преобразование от одной системы ортогональных осей к другой, т. е. вращение осей координат. Из ортогональности этой матрицы следует, что каждая пара осей новой системы координат ортогональна и что единица длины новых осей координат та же, что и была для старых. Группа чистых вращений содержит только преобразования от одной „правой“ системы координат к другой \”правой“ системе; группа вращений и отражений включает также преобразования от правой системы координат к левой и, наоборот. Последние преобразования часто называются несобственными вращениями.
Чтобы применить наши общие результаты к непрерывным группам, мы должны прежде всего ввести параметры. Это может быть сделано только несимметричным образом, так как определенные направления в пространстве (оси координат) должны быть выделены, и даже сами оси координат не могут рассматриваться на равных основаниях. Прежде всего найдем число измерений пространства искомых параметров. Рассмотрим $n$-мерную вещественную ортогональную матрицу. Так как первая строка является $n$-мерным вектором единичной длины (ось $x$ новой системы координат), она в силу условия $a_{11}^{2}+a_{12}^{2}+\ldots+a_{1 n}^{2}=1$ содержит в точности $n-1$ параметр. Вторая строка должна быть ортогональна первой; отсюда следует однородное линеиное уравнение $a_{11} a_{21}+a_{12} a_{22}+\ldots+a_{1 n} a_{2 n}=0$ для $a_{21}, a_{22}, \ldots, a_{2 n}$, а из единичной длины вытекает $a_{21}^{2}+a_{22}^{2}+\ldots+a_{2 n}^{2}=1$. Таким образом, во второй строке имеется $n-2$ свободных параметров. Далее, $k$-я строка должна быть ортогональна всем $k-1$ предшествующим строкам – отсюда следуют $k-1$ однородных уравнений – и иметь единичную длину. Следовательно, она содержит $n-k$ свободных параметров. Всего имеется
\[
(n-1)+(n-2)+(n-3)+\ldots+[n-(n-1)]+0=\frac{1}{2} n(n-1)
\]

свободных параметров.
2. В дальнейшем мы будем ограничиваться двумерной и трехмерными группами вращений.

Общий 9лемент двумерной группы чистых вращений получается путем преобразования к новой системе координат на плоскости ${ }^{1}$ )
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime}=x \cos \varphi+y \sin \varphi, \\
y^{\prime}=-x \sin \varphi+y \cos \varphi,
\end{array}
\]

где $\varphi-$ угол вращения, принимающий значения от $-\pi$ до $+\pi$. Общий элемент группы имеет, таким образом, вид
\[
\left(\begin{array}{cc}
\cos \varphi & \sin \varphi \\
-\sin \varphi & \cos \varphi
\end{array}\right) \text {. }
\]

Второе преобразование – переход от $x^{\prime} y^{\prime}$ к $x^{\prime \prime}$, $y^{\prime \prime}$ путем вращения системы координат на угол $\varphi^{\prime}$ – приводит к произведению
\[
\left(\begin{array}{rr}
\cos \varphi^{\prime} & \sin \varphi^{\prime} \\
-\sin \varphi^{\prime} & \cos \varphi^{\prime}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}
\cos \varphi & \sin \varphi \\
-\sin \varphi & \cos \varphi
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}
\cos \left(\varphi+\varphi^{\prime}\right) & \sin \left(\varphi+\varphi^{\prime}\right) \\
-\sin \left(\varphi+\varphi^{\prime}\right) & \cos \left(\varphi+\varphi^{\prime}\right)
\end{array}\right) .
\]
1) Вращенис определяется как положительное, если ось $x$ вращается к оси у так, чтобы соответствовать определению трехмерных вращений. В общем случае положительным вращением вокруг некоторой оси называется вращение правого винта, продвигающегося в положительном направлении этой оси.
Соотношение (14.3) показывает, что произведение является просто вращением на угол $\varphi+\varphi^{\prime}$.

Двумерная группа чистых вращений является абелевой, так как она имеет только один параметр. Если мы введем обозначение $\{\varphi\}$ гл. 10 для элемента группы с параметром $\varphi$, то соотношение (14.3) может быть записано в виде
\[
\left\{\varphi^{\prime}\right\} \cdot\{\varphi\}=\left\{\varphi+\varphi^{\prime}\right\}=\{\varphi\} \cdot\left\{\varphi^{\prime}\right\} .
\]

Если $\varphi+\varphi^{\prime}$ не лежит между $-\pi$ и $+\pi$, должно быть добавлено или вычтено целое число углов $2 \pi$, чтобы угол $\varphi+\varphi^{\prime}$ попал в область, в которой допускается изменение параметра.

Для матрицы (14.2) угол $\varphi$ является комплексной фазой собственного значения $\exp ( \pm i \varphi)$. Столбцы единичной матрицы $\mathbf{u}$, которая диагонализует (14.2), определяется из соотношений
\[
\left|t_{1 \alpha}\right|^{2}+\left|u_{2 \alpha}\right|^{2}=1, \quad u_{1 \alpha}^{2}+u_{2 \alpha}^{2}=0, \quad u_{1 \alpha}= \pm i u_{2 \alpha}
\]

с точностью до множителя с абсолютной величиной 1 (который может быть выбран произвольно). Эти условия дают $u_{11}=1 / \sqrt{2}$, $u_{21}=-i / \sqrt{2}, u_{12}=1 / \sqrt{2}, u_{22}=+i / \sqrt{2}$, и мы имеем
\[
\left(\begin{array}{cc}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\cos \varphi \sin \varphi \\
-\sin \varphi \cos \varphi
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
-\frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
e^{-i \varphi} & 0 \\
0 & e^{+i \varphi}
\end{array}\right) \text {. }
\]

Таким образом, собственные векторы одни и те же для всех матриц (14.2). Поскольку двумерная группа чистых вращений является абелевой, каждый элемент образует класс сам по себе.
3. Из всякой двумерной матрицы с определителем – можно получить матрицу с определителем +1 путем умножения второй строки на -1. И, наоборот, общая ортогональная матрица с определителем -1 получается путем изменения знаков во второй строке $(14.2)$ :
\[
\left(\begin{array}{rr}
\cos \varphi & \sin \varphi \\
\sin \varphi & -\cos \varphi
\end{array}\right) .
\]

Матрицы (14.2) и (14.2a), где $-\pi \leqslant \varphi \leqslant \pi$, образуют двумерную группу вращений и отражений. Все матрицы (14.2a) имеют собственные значения +1 и – 1 . Они имеют различные собственные векторы $\boldsymbol{u}_{\cdot 1}=[\cos (\varphi / 2), \sin (\varphi / 2)], \boldsymbol{u}_{\cdot 2}=[-\sin (\varphi / 2), \cos (\varphi / 2)]$, тогда как все матрицы (14.2) имеют все одинаковые собственные векторы, но различные собственные значения. Мы можем непосредственно проверить, что матрица, образованная из этих двух векторов, преобразует диагональную матрицу к виду (14.2a):
\[
\left(\begin{array}{lr}
\cos \varphi & \sin \varphi \\
\sin \varphi & -\cos \varphi
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\cos \frac{\varphi}{2} & -\sin \frac{\varphi}{2} \\
\sin \frac{\varphi}{2} & \cos \frac{\varphi}{2}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}
\cos \frac{\varphi}{2} & \sin \frac{\varphi}{2} \\
-\sin \frac{\varphi}{2} & \cos \frac{\varphi}{2}
\end{array}\right) .
\]

Выражение для несобственного вращения (14.2а) в виде произведения (14.5а) иллюстрирует то обстоятельство, что всякое несобственное вращение (14.2а) может рассматриваться как чистое отражение в прямой линии; соотношение (14.5а) означает, что (14.2a) получается путем, во-первых, вращения на угол $\varphi / 2, з а$ тем отражения относительно оси $x$, и наконец, вращения назад на угол $-\varphi / 2$. С другой стороны, то же отражение могло бы быть произведено относительно линии, составляющей угол $\varphi / 2$ с осью $x$.

Двумерная группа вращений и отражений является смешанной непрерывной группой. Наиболее естественная параметризация этой группы использует непрерывный параметр $\varphi$ и дискретный параметр $d$. Последний представляет собой определитель, т. е. равен $\pm 1$. Тогда мы имеем
\[
\begin{array}{c}
\{\varphi, d\}=\left(\begin{array}{cc}
\cos \varphi & \sin \varphi \\
-d \sin \varphi & d \cos \varphi
\end{array}\right), \\
\{\varphi, d\} \cdot\left\{\varphi^{\prime}, d^{\prime}\right\}=\left\{d^{\prime} \varphi+\varphi^{\prime}, d d^{\prime}\right\} .
\end{array}
\]

Эта группа не является более абелевой; матрицы (14.2а) не коммутируют, а также не имеют общих собственных векторов.

Разбиение группы на классы также меняется: (14.5a) показывает, что все элементы (14.2a) принадлежат одному классу, так как они все могут быть преобразованы в $\{0,-1\}$. Однако элементы (14.2) уже не образуют класса каждый в отдельности; например,
\[
\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}
\cos \varphi & \sin \varphi \\
-\sin \varphi & \cos \varphi
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}
\cos \varphi & -\sin \varphi \\
\sin \varphi & \cos \varphi
\end{array}\right),
\]

и, следовательно, $\{\varphi, 1\}$ и $\{-\varphi, 1\}$ принадлежат одному и тому же классу. В этом классе не может быть других элементов, так как все остальные имеют другие собственные значения и не могут быть преобразованы в один из этих двух.
4. В соответствии с общим рассмотрением интеграла Гурвица

в гл. 10 существует такой инвариантный интеграл по области двумерной группы чистых вращений, что соотношение
\[
\int_{-\pi}^{\pi} J(\{\varphi\}) g(\{\varphi\}) d \varphi=\int_{-\pi}^{\pi} J(R\{\varphi\}) g(\{\varphi\}) d \varphi
\]

выполняется для всех элементов группы $R$ при условии, что $g(T)$ определяется (10.9):
\[
g(T)=\frac{g(E)}{\partial p(T \cdot\{\alpha\}) / \partial \alpha} \text { при } \alpha=0,
\]

где $p(T)$ – параметр элемента $T$.
В случае двумерной группы вращений непосредственная проверка показывает, что одинаковым областям должны быть приписаны одинаковые веса. Пусть $t$ будет параметром элемента $T$; тогда, согласно (14.4), мы имеем параметр $p(T\{\alpha\})=t+\alpha$. После дифференцирования по а это дает 1 , так что
\[
g(T)=g(E) .
\]

Таким образом, инвариантный интеграл равен
\[
\int_{-\pi}^{\pi} J(\{\varphi\}) d \varphi=\int_{-\pi}^{\pi} J(R \cdot\{\varphi\}) d \varphi .
\]

Все неприводимые представления двумерной группы чистых вращений одномерны. Действительно, это справедливо для всех абелевых групп; непрерывные абелевы группы являются лишь частным случаем. Рассмотрим многомерное, скажем двумерное, представление. Мы можем привести некоторую матрицу этого представления к диагональному виду. Если два диагональных элемента не были бы равными, матрица имела бы вид
\[
\left(\begin{array}{ll}
a & 0 \\
0 & b
\end{array}\right) \text {. }
\]

так что все матрицы, коммутирующие с ней – и, следовательно, все матрицы этого представления – имели бы только нули на пересечениях строк и столбцов с различными диагональными элементами матрицы (14.Е.1); тогда представление было бы приводимым. Если бы это не имело места, то все собственные значения матрицы (14.Е.1) были бы равными и матрица была бы постоянной. Тогда она имела бы диагональный вид даже до преобразования. Но это верно для любой матрицы этого представления, так что они все были бы кратными единичной матрице, и представление было бы, следовательно, приводимым.
Из (14.4) следует, что если элемент $\{\varphi\}$ соответствует матрице $(f(\varphi))$ в некотором представлении, то
\[
(f(\varphi)) \cdot\left(f\left(\varphi^{\prime}\right)\right)=\left(f\left(\varphi^{\prime}\right)\right) \cdot(f(\varphi))=\left(f\left(\varphi+\varphi^{\prime}\right)\right),
\]

и, таким образом,
\[
f(\varphi)=e^{i k \varphi} .
\]

Так как матрица для $\varphi=-\pi$ должна совпадать с матрицей для $\varphi=+\pi$, мы должны иметь $\exp (i k \pi)=\exp (-i k \pi)$; следовательно, $\exp (2 i k \pi)=1$. Отсюда следует, что $k$ является вещественным целым числом. Двумерная группа чистых вращений имеет бесконечно много неприводимых представлений, и все они одномерны. Матрица $m$-го представления, соответствующая элементу (14.2) с углом вращения $\varphi$, равна
\[
\left(e^{l m \varphi}\right) \text {. }
\]

Для каждого положительного и отрицательного целого числа, $m=\ldots-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3, \ldots$, существует одно определенное неприводимое представление двумерной группы чистых вращений.
Соотношения ортогональности
\[
\int_{-\pi}^{\pi}\left(e^{l m^{\prime} \varphi}\right)^{*}\left(e^{l m \varphi}\right) d \varphi=\left\{\begin{array}{ccc}
0 & \text { при } & m
eq m^{\prime} \\
\int_{-\pi}^{\pi} d \varphi=2 \pi & \text { при } & m=m^{\prime}
\end{array}\right.
\]

являются как раз соотношениями ортогональности рядов Фурье. Полнота набора коэффициентов представления является также полнотой системы функций, по которой производятся разложения Фурье.
5. Найдем теперь неприводимые представления двумерной группы вращений и отражений, используя метод, который покажется весьма сложным для этой цели. Однако тот же самый метод будет в дальнейшем применен к трехмерной группе, так что полезно рассмотреть его на простом примере; кроме того, мы имеем здесь другой пример соотношений между представлением и соответствующими функциями.

Рассмотрим уравнение для гармонических полиномов от двух переменных
\[
\frac{\partial^{2} f(x, y)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f(x, y)}{\partial y^{2}}=0 .
\]

Ясно, что оно инвариантно относительно всех преобразований (14.6). Далее, решение уравнения (14.12), являющееся однородной функцией степени $m$ относительно переменных $x$ и $y$, преобразуется оператором $\mathbf{P}_{R}$ [где $R$ – преобразование вида (14.6)] в полином того же вида, так как преобразование $\mathbf{P}_{R}$ линейно относительно переменных $x$ и $y$ :
\[
\mathrm{P}_{\{\varphi, d\}} f(x \cos \varphi+y \sin \varphi,-d x \sin \varphi+d y \cos \varphi)=f(x, y) \text { (14.13) }
\]
или, поскольку $\{\varphi, d\}^{-1}$ равно $\{-d \varphi, d\}$,
\[
\mathbf{P}_{\{\varphi, d\}} f(x, y)=f(x \cos (-d \varphi)+y \sin (-d \varphi),-x d \sin (-d \varphi)+
\]
\[
+y d \cos (-d \varphi))=f(x \cos \varphi-y d \sin \varphi, x \sin \varphi+y d \cos \varphi) \text {. (14.14) }
\]

Таким образом, если $f(x, y)$ является однородной функцией $m$-й степени, то тем же свойством обладает и $\mathrm{P}_{R} f$.

Уравнение (14.12) совпадает с одномерным волновым уравнением с мнимой скоростью $i$. Его общее решение имеет вид
\[
f(x, y)=f_{-}(x-i y)+f_{+}(x+i y) .
\]

Если $f(x, y)$ – однородная функция степени $m$ относительно $x$ и $y$, то $f_{+}$и $f_{-}$должны (с точностью до постоянного множителя) определятся выражениями
\[
f_{-}(x-i y)=(x-i y)^{m}, \quad f_{+}(x+i y)=(x+i y)^{m} .
\]

Представление $\mathbf{3}^{(m)}(\{\varphi, d\})$, принадлежащее этим функциям, двумерно. Его первый столбец (-) определяется с помощью (11.23) и (14.14);
\[
\begin{aligned}
\mathbf{P}_{\{\varphi, d\}} f_{-}(x, y) & =f_{-}(x \cos \varphi-y d \sin \varphi, \quad x \sin \varphi+y d \cos \varphi)= \\
& =[(x \cos \varphi-y d \sin \varphi)-i(x \sin \varphi+y d \cos \varphi)]^{m}= \\
& =[x(\cos \varphi-i \sin \varphi)-i y d(\cos \varphi-i \sin \varphi)]^{m}= \\
& =(x-i y d)^{m} e^{-i m \varphi} .
\end{aligned}
\]

Будучи записанным через коэффициенты представления, это дает
\[
\mathbf{P}_{\{\varphi, d\}} f_{-}(x, y)=\mathbf{3}^{(m)}(\{\varphi, d\})_{–} f_{-}+\mathbf{3}^{(m)}(\{\varphi, d\})_{+-} f_{+} .
\]

Следовательно, эти коэффициенты даются выражениями
\[
\begin{aligned}
\mathbf{3}^{(m)}(\{\varphi, 1\})_{–} & =e^{-i m \varphi}, & \mathbf{3}^{(m)}(\{\varphi, 1\})_{+-} & =0, \\
\mathbf{3}^{(m)}(\{\varphi,-1\})_{–} & =0, & & \mathbf{3}^{(m)}(\{\varphi,-1\})_{+-}=e^{-i m \varphi} .
\end{aligned}
\]

Другой столбец (+) может быть определен тем же способом через функции $f_{+}$. Матрица $\mathfrak{3}^{(m)}(\{\varphi, 1\})$, соответствующая в этом представлении чистому вращению на угол $\varphi$, оказывается равной
\[
\boldsymbol{\beta}^{(m)}(\{\varphi, 1\})=\left(\begin{array}{cc}
e^{-i m \varphi} & 0 \\
0 & e^{i m \varphi}
\end{array}\right),
\]
где мы сначала записали строку (или столбец) (-), а затем строку (или столбец) (+). Матрица, соответствующая элементу группы (14.2a), равна
\[
\mathbf{3}^{(m)}(\{\varphi,-1\})=\left(\begin{array}{cc}
0 & e^{i m \varphi} \\
e^{-i m \varphi} & 0
\end{array}\right) .
\]

Функция $f_{-}$принадлежит строке (-) (или первой) матрицы $\mathbf{3}^{(m)}$; функция $f_{+}$- строке (+) (или второй).

Эти представления неприводимы и различны при $m=1,2,3, \ldots$. Только диагональная матрица коммутирует с (14.18), но никакая диагональная матрица, кроме постоянной матрицы, не коммутирует c.(14.18a). Матрицы (14.6) являются, разумеется, также „представлением\” их собственной группы. Это представление эквивалентно частному представлению $m=1$ в (14.18), (14.18a); матрица, использованная в (14.5), преобразует (14.6) к виду (14.18), (14.18a).

Следует заметить, что (14.18) и (14.18a) также осуществляют представление при $m=0$. Однако оно не является неприводимым, так как в этом случае всякая матрица коммутирует с (14.18); следовательно, в этом специальном случае мы можем диагонализовать (14.18a) и разделить это представление на две неприводимые компоненты
\[
\begin{aligned}
\mathbf{3}^{(0)}(\{\varphi, 1\}) & =(1), & \mathbf{3}^{(0)}(\{\varphi,-1\})=(1) \\
\mathbf{3}^{\left(0^{\prime}\right)}(\{\varphi, 1\}) & =(1), & \mathbf{3}^{\left(0^{\prime}\right)}(\{\varphi,-1\})=(-1) .
\end{aligned}
\]
6. Мы нашли теперь все представления двумерной группы вращений и отражений. Они задаются формулами (14.18) и (14.18a) при $m=1,2,3, \ldots$ и являются двумерными; при $m=0$ и $m=0^{\prime}$ они представлены выражениями (14.19) и (14.20) и являются одномерными.

Коэффициенты представления $\mathbf{3}^{(m)}(\{\varphi, d\})_{\text {土t }}$ образуют полную систему функций в пространстве $\varphi$ и $d$. Это значит, что всякую функцию $g(\varphi, d)$ ( $\varphi$ изменяется от $-\pi$ до $+\pi$, а $d$ равно либо +1 , либо -1) можно записать в виде их линейной комбинации. Функции $\frac{1}{2}\left(\mathbf{3}^{(0)}+\mathbf{3}^{\left(0^{\prime}\right)}\right), \mathbf{3}_{–}^{(1)}, \mathbf{3}_{++}^{(1)}, \mathbf{3}_{–}^{(2)}, \mathbf{3}_{++}^{(2)}, \ldots$ задаются последовательностью 1, $\exp (-i \varphi), \exp (i \varphi), \exp (-2 i \varphi), \exp (2 i \varphi), \ldots$ при $d=1$ и исчезают при $d=-1$; с другой стороны, функции $\frac{1}{2}\left(\mathbf{3}^{(0)}-\mathbf{3}^{\left(0^{\prime}\right)}\right), \mathbf{3}_{+–}^{(1)}, \mathbf{3}_{-+}^{(1)}, \mathbf{3}_{+-}^{(2)}, \mathbf{3}_{-+}^{(2)}, \ldots$ равны нулю при $d=1$ и, следовательно, равны $1, \exp (-i \varphi), \exp (i \varphi), \quad \exp (-2 i \varphi)$, $\exp (2 i \varphi), \ldots$ при $d=-1$. Функция $g(\varphi, 1)$ может быть выражена в виде линейной комбинации первого набора, а $g(\varphi,-1)$ – второго.

Из того обстоятельства, что рассмотренные матричные элементы образуют полную систему в пространстве параметров, следует, что,
кроме (14.18), (14.18a), (14.19) и (14.20), не существует других неприводимых представлений двумерной группы вращений.
7. Обратимся теперь к исследованию трехмерной группы чистых вращений. Собственные значения матрицы а, вещественной ортогональной трехмерной матрицы с определителем 1 , должны иметь вид $1, \exp (-i \varphi), \exp (+i \varphi)$, так как все они имеют модуль 1 , а комплексные собственные значения появляются сопряженными парами. Фаза $\varphi$ комплексного собственного значения называется углом вращения; собственный вектор ${ }^{1}$ ) $\boldsymbol{D}_{1}$ с собственным значением 1 называется осью вращения. Его компоненты $v_{11}, v_{21}, v_{31}$ проще всего определить, если начать с $\mathbf{a} \boldsymbol{v}_{1}=1 \boldsymbol{v}_{1}$ и, умножив на $\mathbf{a}^{-1}=\mathbf{a}^{T}$, найти $\boldsymbol{v}_{1}=\mathbf{a}^{T} \boldsymbol{v} \cdot 1$. Это дает $\left(\mathbf{a}-\mathbf{a}^{T}\right) \boldsymbol{v}_{1}=0$ или, если записать более подробно,
\[
\begin{array}{l}
\left(a_{12}-a_{21}\right) v_{21}+\left(a_{13}-a_{31}\right) v_{31}=0, \\
\left(a_{21}-a_{12}\right) v_{11} \\
+\left(a_{23}-a_{32}\right) v_{31}=0 \text {, } \\
\left(a_{31}-a_{13}\right) v_{11}+\left(a_{32}-a_{23}\right) v_{21}=0 \text {, } \\
\end{array}
\]

откуда
\[
v_{11}: v_{21}: v_{31}=\left(a_{23}-a_{32}\right):\left(a_{31}-a_{13}\right):\left(a_{12}-a_{21}\right) .
\]

Угол вращения $\varphi$ проще всего определить, приравняв сумму собственных значений следу матрицы,
\[
1+e^{-i \varphi}+e^{i \varphi}=1+2 \cos \varphi=a_{11}+a_{22}+a_{33} \text {. }
\]

где $\varphi$ принимает значения между 0 и $\pi$.
Собственные векторы $\boldsymbol{v}_{2}$ и $\boldsymbol{v}_{.3}$, которые соответствуют $\exp (-i \varphi)$ и $\exp (+i \varphi)$, комплексно сопряжены друг с другом, $\boldsymbol{v}_{2}^{*}=\boldsymbol{v}_{3}$. С другой стороны, $\boldsymbol{v}_{1}$ должен быть взят вещественным: $(\boldsymbol{v} .1, \boldsymbol{v} .1)=((\boldsymbol{v} .1, \boldsymbol{v} .1))=1$.

Матрица v, столбцами которой являются собственные векторы $\mathbf{v}^{\dagger} \mathbf{a v}$ является диагональной матрицей с собственными значениями 1 , $\exp (-i \varphi), \exp (+i \varphi)$ в качестве диагональных элементов. Запишем теперь $\mathbf{V}=\mathbf{v v}_{0}$, где $\left.{ }^{2}\right)$
\[
\mathbf{v}_{0}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
0 & \frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right) .
\]
1) Хотя $\boldsymbol{
u}_{.1}$ является, конечно, вектором, он будет также играть в нашем обсуждении роль столбца элементов матрицы. Поэтому мы обозначаем его в соответствии с нашими обозначениями 9лементов матриц.
2) Здесь $\mathrm{v}_{0}$ выбрано так, что а представляет вращения вокруг оси $X$ после преобразования с помощью $\mathrm{v} \mathrm{v}_{0}$. Ясно, что возможен другой выбор $\mathrm{v}_{0}$, который приводит а к виду, представляющему, например, вращение вокруг оси $Y$.
Столбцами матрицы $\mathbf{V}$ являются векторы $\boldsymbol{v}_{1},(-i / \sqrt{2})\left(\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{2}^{*}\right)$ и $(1 / \sqrt{2})\left(\boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{\eta}_{2}^{*}\right)$, так что $\mathbf{V}$ вещественна. Кроме того, матрица $V$, будучи произведением унитарных матриц $\mathbf{v}$ и $\mathbf{v}_{0}$, также унитарна, так что она является вещественной ортогональной матрицей, и, следовательно, элементом группы вращения. Если мы теперь преобразуем уравнение $\mathbf{v}^{\dagger} \mathbf{a v}=\mathbf{d}$ с помощью $\mathbf{v}_{0}$, то получим
\[
\mathbf{v}^{\dagger} \mathbf{a V}=\mathbf{v}_{0}^{\dagger} \mathbf{v}^{\dagger} \mathbf{a} \mathbf{v} \mathbf{v}_{0}=\mathbf{v}_{0}^{\dagger} \mathbf{d} \mathbf{v}_{0}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \varphi & \sin \varphi \\
0 & -\sin \varphi & \cos \varphi
\end{array}\right)=\boldsymbol{\varepsilon}_{\varphi} .
\]

Можно принять, что в этом уравнении $\mathbf{V}$ представляет чистое вращение, так как мы могли бы умножить ее на -1 , если бы ее определитель равнялся – 1 , и (14.25) осталось бы без изменения. Из (14.25) видно, что все вращения с одним и тем же углом вращения ч принадлежат одному и тому же классу, поскольку они все могут быть преобразованы в $\varepsilon_{\varphi}$. С другой стороны, матрицы, угол вращения которых отличен от $\varphi$, не могут принадлежать одному и тому же классу, так как они имеют различные собственные значения и поэтому не могут быть преобразованы в $\varepsilon_{\varphi}$.

Геометрическую интерпретацию этого изложения дает хорошо известная теорема, согласно которой всякое ортогональное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено как вращение
Фиг. 6. Геометрическая интерпретация соотношения (14.25).

вокруг соответствующим образом выбранной оси $\boldsymbol{\eta}_{.1}$. (Так как $\mathbf{a} \boldsymbol{\theta}_{\cdot 1}=\boldsymbol{\theta}_{.1}$, ось вращения не меняется при вращении.) Если преобразование переводит дугу $X Z$ на фиг. 6 в дугу $X^{\prime} Z^{\prime}$, то ось вращения должна лежать на перпендикулярах, восстановленных в серединах дуг $Z Z^{\prime}$ и $X X^{\prime}$ и, следовательно, в точке их пересечения $C$. Действительно, вращение вокруг $C$ преобразует $Z$ в $Z^{\prime}$ и $X$ в $X^{\prime}$ : из равенства двух треугольников $Z C X$ и $Z^{\prime} C^{\prime} X^{\prime}$ (три стороны их равны) следует, что углы $Z C X$ и $Z^{\prime} C^{\prime} X^{\prime}$ равны, а поэтому углы $Z C Z^{\prime}$ и $X C X^{\prime}$ также равны и равны углу вращения $\varphi$. Вращение на угол $\varphi$ может быть преобразовано в другое вращение с тем же углом вращения, если ось первого вращения привести в совпадение с осью второго вращения путем вращения $V$, выполнить затем вращения на угол $\varphi$ и, наконец, вернуть ось в ее первоначальное положенне с помощью $\mathrm{V}^{-1}$.

Для однозначной характеристики вращений оси вращения должно быть придано определенное направление, которое задает также знак вектора $\boldsymbol{v}_{.1}$. Вращение будет происходить по часовой стрелке, если смотреть вдоль положительного направления оси.

Параметризация (фиг. 1, стр. 110) трехмерной группы чистых вращений, которая обсуждалась в гл. 10 , основана на этих характеристиках. Вращение на угол $\varphi$ вокруг оси $\boldsymbol{v}_{1}$ соответствует точке на расстоянии $\varphi$ от начала в направлении $\boldsymbol{v .}_{1}^{1}$ ). Угол вращения всегда однозначно определяется вращением. Для вращения с $\varphi=0$ (которое фактически вовсе не является вращением) направление оси вращения не определено; тем не менее соответствующая точка в пространстве параметров определяется однозначно: она является центром сферы.

На поверхности сферы $\varphi=\pi$ в пространстве параметров направление оси вращения не определяется однозначно; вращения на угол $\pi$ вокруг противоположно направленных осей совпадают. Поэтому одно и то же вращение соответствует противоположным точкам сферической поверхности. В остальных случаях соответствие вращений точкам в пространстве параметров взаимно однозначно. Элементы определенных классов лежат на концентрических сферах.

Для этой системы параметров можно также легко сформулировать инвариантный интеграл Гурвица. Так как точки на сферической поверхности радиуса $\varphi$ соответствуют вращениям на один и тот же угол, но вокруг осей, направленных по-разному, и так как все оси вращения в пространстве эквивалентны, $g\left(\left\{\varphi v_{11}, \varphi v_{21}, \varphi v_{31}\right\}\right)$ может зависеть только от угла вращения $\varphi$, но не от направления вектора $\boldsymbol{\eta}_{1}$. Таким образом, достаточно определить $g(\{\varphi, 0,0\})$. С этой целью [см. формулу (10.9)] сначала вычислим параметры произведения $\{\varphi, 0,0\} \cdot\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\}$ для очень малых $e_{i}$, а затем устремим $e_{i}$ к нулю. Вращение $\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\}$ задается выражением
\[
\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\}=\left(\begin{array}{rrr}
1 & e_{3} & -e_{2} \\
-e_{3} & 1 & e_{1} \\
e_{2} & -e_{1} & 1
\end{array}\right),
\]

справедливым с точностью до первой степени величин $e_{l}$ [см. соотношение (14. 22)]. Для $\{\varphi, 0,0\}\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\}=\varepsilon_{\varphi}\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\}$ получим
\[
\left(\begin{array}{ccc}
1 & e_{3} & -e_{2} \\
-e_{3} \cos \varphi+e_{2} \sin \varphi & \cos \varphi-e_{1} \sin \varphi & e_{1} \cos \varphi+\sin \varphi \\
e_{3} \sin \varphi+e_{2} \cos \varphi & -\sin \varphi-e_{1} \cos \varphi & -e_{1} \sin \varphi+\cos \varphi
\end{array}\right) .
\]
1) При обсуждении фиг. 1 в гл. 10 расстояние от начала было определено как $\varphi / \pi$, а не как $\varphi$. Левая часть фиг. 1 должна рассматриваться в настоящем обсуждении увеличенной в отношении $\pi: 1$.
Отсюда вычислим угол вращения $\varphi^{\prime}$ с помощью соотношения (14.23):
\[
1+2 \cos \varphi^{\prime}=1+2 \cos \varphi-2 e_{1} \sin \varphi, \quad \varphi^{\prime}=\varphi+e_{1} .
\]

Из (14.22) мы получим направление оси вращения:
\[
=\left(2 e_{1} \cos \varphi+2 \sin \varphi\right):\left(e_{3} \sin \varphi+e_{2}(1+\cos \varphi)\right):\left(e_{3}(1+\cos \varphi)-e_{2} \sin \varphi\right) \text {. }
\]

В сочетании с условием нормировки ${v_{11}^{\prime 2}}^{2}+{v_{21}^{\prime 2}}^{\prime 2}+{v_{13}^{\prime 2}}^{2}=1$ это дает (с учетом лишь членов первого порядка по $e$ )
\[
v_{11}^{\prime}=1, \quad v_{21}^{\prime}=\frac{e_{2}(1+\cos \varphi)}{2 \sin \varphi}+\frac{e_{3}}{2}, \quad v_{31}^{\prime}=\frac{e_{3}(1+\cos \varphi)}{2 \sin \varphi}-\frac{e_{2}}{2} .
\]

Таким образом, параметрами $\{\varphi, 0,0\} \cdot\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\}$ являются
\[
\varphi+e_{1}, \quad \varphi\left[\frac{e_{2}(1+\cos \varphi)}{2 \sin \varphi}+\frac{e_{3}}{2}\right], \quad \varphi\left[\frac{e_{3}(1+\cos \varphi)}{2 \sin \varphi}-\frac{e_{2}}{2}\right] .
\]

При $e_{1}=e_{2}=e_{3}=0$ получаем в точности параметры вращения $\varepsilon_{\varphi}$, т. е. $\varphi, 0,0$. При $e_{1}=e_{2}=e_{3}=0$ интересующий нас якобиан равен
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial\left(p_{1}\left(\{\varphi, 0,0\}\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\}\right), \ldots, p_{3}\left(\{\varphi, 0,0\}\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\}\right)\right)}{\partial\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)}= \\
=\left|\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \varphi \frac{1+\cos \varphi}{2 \sin \varphi} & -\frac{\varphi}{2} \\
0 & \frac{\varphi}{2} & \varphi \frac{1+\cos \varphi}{2 \sin \varphi}
\end{array}\right|=\frac{\varphi^{2}}{4} \frac{(1+\cos \varphi)^{2}+\sin ^{2} \varphi}{\sin ^{2} \varphi}=\frac{\varphi^{2}}{2(1-\cos \varphi)} . \\
\end{array}
\]

Таким образом, для весовой функции $g$ [формула (10.9)] получаем
\[
g(\{\varphi, 0,0\})=g\left(\left\{v_{11} \varphi, v_{21} \varphi, v_{31} \varphi\right\}\right)=\frac{2 g_{0}(1-\cos \varphi)}{\varphi^{2}} .
\]

Вычисление инвариантного интеграла функции $J(R)=J(\varphi)$, имеющей одно и то же значение для всех элементов класса (как, например, характер представления), также довольно просто. Интегрирование в пространстве параметров может быть выполнено тогда сначала по сферической поверхности ( $\varphi=$ const), т. е. по всем элементам одного класса, что дает $4 \pi \varphi^{2}$, а затем по $\varphi$, т. е. по всем различным классам. Таким образом, для интеграла Гурвица получаем
\[
g_{0} \int_{0}^{\pi} J(\varphi) 8 \pi(1-\cos \varphi) d \varphi
\]
Для другой параметризации часто используют углы Эйлера, как это показано на фиг. 2 (стр. 110). Вращение с углами Эилера $\alpha, \beta, \gamma$ является произведением трех вращении: вокруг оси $Z$ на угол $\gamma$, вокруг оси $Y$ на угол $\beta$ и снова вокруг оси $Z$ на угол $\alpha$. В последующих главах $\{\alpha, \beta, \gamma\}$ будет всегда обозначать вращение с углами Эилера $\alpha, \beta$ и $\gamma$. В этом представлении $\alpha$ и $\gamma$ в общем случае изменяются от 0 до $2 \pi$, а $\beta$ – от 0 до $\pi$. Однако если $\beta=0$, то $\alpha$ и $\gamma$ не определяются однозначно; все вращения $\{\alpha, 0, \gamma\}$ являются вращениями на угол $\alpha+\gamma$ вокруг оси $Z$.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru