1. Непрерывная группа, образованная из совокупности всех вещественных ортогональных $n$-мерных матриц, называется $n$-мерной группой вращений. Группа чистых вращений включает ортогональные матрицы только с определителем +1 , тогда как группа вращений и отражений включает также матрицы с определителем -1; таким образом, последняя содержит все вещественные ортогональные матрицы. Групповое умножение является снова матричным умножением, а тождественным элементом является единичная матрица.

В гл. 3 мы видели, что всякая вещественная ортогональная матрица может быть приведена к диагональному виду с помощью унитарной матрицы. Тогда абсолютные величины всех диагональных элементов равны 1 ; некоторые диагональные элементы равны +1 , другие равны — -1 , а остальные состоят из сопряженных пар комплексных чисел $e^{i \varphi}$ и $e^{-i \varphi}$. Собственные векторы, соответствующие собственным значениям +1 или -1 , могут быть записаны в вещественном виде, а пары собственных векторов, соответствующие двум комплексно сопряженным собственным значениям, — в виде комплексно сопряженных векторов. Так как эти собственные векторы, как и всякие собственные векторы, ортогональны в эрмитовом смысле, они ортогональны сами себе в комплексном ортогональном смысле; иначе говоря, сумма квадратов их компонент равна нулю.

Как известно, $n$-мерная ортогональная матрица представляет преобразование от одной системы ортогональных осей к другой, т. е. вращение осей координат. Из ортогональности этой матрицы следует, что каждая пара осей новой системы координат ортогональна и что единица длины новых осей координат та же, что и была для старых. Группа чистых вращений содержит только преобразования от одной „правой“ системы координат к другой \»правой“ системе; группа вращений и отражений включает также преобразования от правой системы координат к левой и, наоборот. Последние преобразования часто называются несобственными вращениями.
Чтобы применить наши общие результаты к непрерывным группам, мы должны прежде всего ввести параметры. Это может быть сделано только несимметричным образом, так как определенные направления в пространстве (оси координат) должны быть выделены, и даже сами оси координат не могут рассматриваться на равных основаниях. Прежде всего найдем число измерений пространства искомых параметров. Рассмотрим $n$-мерную вещественную ортогональную матрицу. Так как первая строка является $n$-мерным вектором единичной длины (ось $x$ новой системы координат), она в силу условия $a_{11}^{2}+a_{12}^{2}+\ldots+a_{1 n}^{2}=1$ содержит в точности $n-1$ параметр. Вторая строка должна быть ортогональна первой; отсюда следует однородное линеиное уравнение $a_{11} a_{21}+a_{12} a_{22}+\ldots+a_{1 n} a_{2 n}=0$ для $a_{21}, a_{22}, \ldots, a_{2 n}$, а из единичной длины вытекает $a_{21}^{2}+a_{22}^{2}+\ldots+a_{2 n}^{2}=1$. Таким образом, во второй строке имеется $n-2$ свободных параметров. Далее, $k$-я строка должна быть ортогональна всем $k-1$ предшествующим строкам — отсюда следуют $k-1$ однородных уравнений — и иметь единичную длину. Следовательно, она содержит $n-k$ свободных параметров. Всего имеется
\[
(n-1)+(n-2)+(n-3)+\ldots+[n-(n-1)]+0=\frac{1}{2} n(n-1)
\]

свободных параметров.
2. В дальнейшем мы будем ограничиваться двумерной и трехмерными группами вращений.

Общий 9лемент двумерной группы чистых вращений получается путем преобразования к новой системе координат на плоскости ${ }^{1}$ )
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime}=x \cos \varphi+y \sin \varphi, \\
y^{\prime}=-x \sin \varphi+y \cos \varphi,
\end{array}
\]

где $\varphi-$ угол вращения, принимающий значения от $-\pi$ до $+\pi$. Общий элемент группы имеет, таким образом, вид
\[
\left(\begin{array}{cc}
\cos \varphi & \sin \varphi \\
-\sin \varphi & \cos \varphi
\end{array}\right) \text {. }
\]

Второе преобразование — переход от $x^{\prime} y^{\prime}$ к $x^{\prime \prime}$, $y^{\prime \prime}$ путем вращения системы координат на угол $\varphi^{\prime}$ — приводит к произведению
\[
\left(\begin{array}{rr}
\cos \varphi^{\prime} & \sin \varphi^{\prime} \\
-\sin \varphi^{\prime} & \cos \varphi^{\prime}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}
\cos \varphi & \sin \varphi \\
-\sin \varphi & \cos \varphi
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}
\cos \left(\varphi+\varphi^{\prime}\right) & \sin \left(\varphi+\varphi^{\prime}\right) \\
-\sin \left(\varphi+\varphi^{\prime}\right) & \cos \left(\varphi+\varphi^{\prime}\right)
\end{array}\right) .
\]
1) Вращенис определяется как положительное, если ось $x$ вращается к оси у так, чтобы соответствовать определению трехмерных вращений. В общем случае положительным вращением вокруг некоторой оси называется вращение правого винта, продвигающегося в положительном направлении этой оси.
Соотношение (14.3) показывает, что произведение является просто вращением на угол $\varphi+\varphi^{\prime}$.

Двумерная группа чистых вращений является абелевой, так как она имеет только один параметр. Если мы введем обозначение $\{\varphi\}$ гл. 10 для элемента группы с параметром $\varphi$, то соотношение (14.3) может быть записано в виде
\[
\left\{\varphi^{\prime}\right\} \cdot\{\varphi\}=\left\{\varphi+\varphi^{\prime}\right\}=\{\varphi\} \cdot\left\{\varphi^{\prime}\right\} .
\]

Если $\varphi+\varphi^{\prime}$ не лежит между $-\pi$ и $+\pi$, должно быть добавлено или вычтено целое число углов $2 \pi$, чтобы угол $\varphi+\varphi^{\prime}$ попал в область, в которой допускается изменение параметра.

Для матрицы (14.2) угол $\varphi$ является комплексной фазой собственного значения $\exp ( \pm i \varphi)$. Столбцы единичной матрицы $\mathbf{u}$, которая диагонализует (14.2), определяется из соотношений
\[
\left|t_{1 \alpha}\right|^{2}+\left|u_{2 \alpha}\right|^{2}=1, \quad u_{1 \alpha}^{2}+u_{2 \alpha}^{2}=0, \quad u_{1 \alpha}= \pm i u_{2 \alpha}
\]

с точностью до множителя с абсолютной величиной 1 (который может быть выбран произвольно). Эти условия дают $u_{11}=1 / \sqrt{2}$, $u_{21}=-i / \sqrt{2}, u_{12}=1 / \sqrt{2}, u_{22}=+i / \sqrt{2}$, и мы имеем
\[
\left(\begin{array}{cc}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\cos \varphi \sin \varphi \\
-\sin \varphi \cos \varphi
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
-\frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
e^{-i \varphi} & 0 \\
0 & e^{+i \varphi}
\end{array}\right) \text {. }
\]

Таким образом, собственные векторы одни и те же для всех матриц (14.2). Поскольку двумерная группа чистых вращений является абелевой, каждый элемент образует класс сам по себе.
3. Из всякой двумерной матрицы с определителем — можно получить матрицу с определителем +1 путем умножения второй строки на -1. И, наоборот, общая ортогональная матрица с определителем -1 получается путем изменения знаков во второй строке $(14.2)$ :
\[
\left(\begin{array}{rr}
\cos \varphi & \sin \varphi \\
\sin \varphi & -\cos \varphi
\end{array}\right) .
\]

Матрицы (14.2) и (14.2a), где $-\pi \leqslant \varphi \leqslant \pi$, образуют двумерную группу вращений и отражений. Все матрицы (14.2a) имеют собственные значения +1 и — 1 . Они имеют различные собственные векторы $\boldsymbol{u}_{\cdot 1}=[\cos (\varphi / 2), \sin (\varphi / 2)], \boldsymbol{u}_{\cdot 2}=[-\sin (\varphi / 2), \cos (\varphi / 2)]$, тогда как все матрицы (14.2) имеют все одинаковые собственные векторы, но различные собственные значения. Мы можем непосредственно проверить, что матрица, образованная из этих двух векторов, преобразует диагональную матрицу к виду (14.2a):
\[
\left(\begin{array}{lr}
\cos \varphi & \sin \varphi \\
\sin \varphi & -\cos \varphi
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\cos \frac{\varphi}{2} & -\sin \frac{\varphi}{2} \\
\sin \frac{\varphi}{2} & \cos \frac{\varphi}{2}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}
\cos \frac{\varphi}{2} & \sin \frac{\varphi}{2} \\
-\sin \frac{\varphi}{2} & \cos \frac{\varphi}{2}
\end{array}\right) .
\]

Выражение для несобственного вращения (14.2а) в виде произведения (14.5а) иллюстрирует то обстоятельство, что всякое несобственное вращение (14.2а) может рассматриваться как чистое отражение в прямой линии; соотношение (14.5а) означает, что (14.2a) получается путем, во-первых, вращения на угол $\varphi / 2, з а$ тем отражения относительно оси $x$, и наконец, вращения назад на угол $-\varphi / 2$. С другой стороны, то же отражение могло бы быть произведено относительно линии, составляющей угол $\varphi / 2$ с осью $x$.

Двумерная группа вращений и отражений является смешанной непрерывной группой. Наиболее естественная параметризация этой группы использует непрерывный параметр $\varphi$ и дискретный параметр $d$. Последний представляет собой определитель, т. е. равен $\pm 1$. Тогда мы имеем
\[
\begin{array}{c}
\{\varphi, d\}=\left(\begin{array}{cc}
\cos \varphi & \sin \varphi \\
-d \sin \varphi & d \cos \varphi
\end{array}\right), \\
\{\varphi, d\} \cdot\left\{\varphi^{\prime}, d^{\prime}\right\}=\left\{d^{\prime} \varphi+\varphi^{\prime}, d d^{\prime}\right\} .
\end{array}
\]

Эта группа не является более абелевой; матрицы (14.2а) не коммутируют, а также не имеют общих собственных векторов.

Разбиение группы на классы также меняется: (14.5a) показывает, что все элементы (14.2a) принадлежат одному классу, так как они все могут быть преобразованы в $\{0,-1\}$. Однако элементы (14.2) уже не образуют класса каждый в отдельности; например,
\[
\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}
\cos \varphi & \sin \varphi \\
-\sin \varphi & \cos \varphi
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}
\cos \varphi & -\sin \varphi \\
\sin \varphi & \cos \varphi
\end{array}\right),
\]

и, следовательно, $\{\varphi, 1\}$ и $\{-\varphi, 1\}$ принадлежат одному и тому же классу. В этом классе не может быть других элементов, так как все остальные имеют другие собственные значения и не могут быть преобразованы в один из этих двух.
4. В соответствии с общим рассмотрением интеграла Гурвица

в гл. 10 существует такой инвариантный интеграл по области двумерной группы чистых вращений, что соотношение
\[
\int_{-\pi}^{\pi} J(\{\varphi\}) g(\{\varphi\}) d \varphi=\int_{-\pi}^{\pi} J(R\{\varphi\}) g(\{\varphi\}) d \varphi
\]

выполняется для всех элементов группы $R$ при условии, что $g(T)$ определяется (10.9):
\[
g(T)=\frac{g(E)}{\partial p(T \cdot\{\alpha\}) / \partial \alpha} \text { при } \alpha=0,
\]

где $p(T)$ — параметр элемента $T$.
В случае двумерной группы вращений непосредственная проверка показывает, что одинаковым областям должны быть приписаны одинаковые веса. Пусть $t$ будет параметром элемента $T$; тогда, согласно (14.4), мы имеем параметр $p(T\{\alpha\})=t+\alpha$. После дифференцирования по а это дает 1 , так что
\[
g(T)=g(E) .
\]

Таким образом, инвариантный интеграл равен
\[
\int_{-\pi}^{\pi} J(\{\varphi\}) d \varphi=\int_{-\pi}^{\pi} J(R \cdot\{\varphi\}) d \varphi .
\]

Все неприводимые представления двумерной группы чистых вращений одномерны. Действительно, это справедливо для всех абелевых групп; непрерывные абелевы группы являются лишь частным случаем. Рассмотрим многомерное, скажем двумерное, представление. Мы можем привести некоторую матрицу этого представления к диагональному виду. Если два диагональных элемента не были бы равными, матрица имела бы вид
\[
\left(\begin{array}{ll}
a & 0 \\
0 & b
\end{array}\right) \text {. }
\]

так что все матрицы, коммутирующие с ней — и, следовательно, все матрицы этого представления — имели бы только нули на пересечениях строк и столбцов с различными диагональными элементами матрицы (14.Е.1); тогда представление было бы приводимым. Если бы это не имело места, то все собственные значения матрицы (14.Е.1) были бы равными и матрица была бы постоянной. Тогда она имела бы диагональный вид даже до преобразования. Но это верно для любой матрицы этого представления, так что они все были бы кратными единичной матрице, и представление было бы, следовательно, приводимым.
Из (14.4) следует, что если элемент $\{\varphi\}$ соответствует матрице $(f(\varphi))$ в некотором представлении, то
\[
(f(\varphi)) \cdot\left(f\left(\varphi^{\prime}\right)\right)=\left(f\left(\varphi^{\prime}\right)\right) \cdot(f(\varphi))=\left(f\left(\varphi+\varphi^{\prime}\right)\right),
\]

и, таким образом,
\[
f(\varphi)=e^{i k \varphi} .
\]

Так как матрица для $\varphi=-\pi$ должна совпадать с матрицей для $\varphi=+\pi$, мы должны иметь $\exp (i k \pi)=\exp (-i k \pi)$; следовательно, $\exp (2 i k \pi)=1$. Отсюда следует, что $k$ является вещественным целым числом. Двумерная группа чистых вращений имеет бесконечно много неприводимых представлений, и все они одномерны. Матрица $m$-го представления, соответствующая элементу (14.2) с углом вращения $\varphi$, равна
\[
\left(e^{l m \varphi}\right) \text {. }
\]

Для каждого положительного и отрицательного целого числа, $m=\ldots-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3, \ldots$, существует одно определенное неприводимое представление двумерной группы чистых вращений.
Соотношения ортогональности
\[
\int_{-\pi}^{\pi}\left(e^{l m^{\prime} \varphi}\right)^{*}\left(e^{l m \varphi}\right) d \varphi=\left\{\begin{array}{ccc}
0 & \text { при } & m
eq m^{\prime} \\
\int_{-\pi}^{\pi} d \varphi=2 \pi & \text { при } & m=m^{\prime}
\end{array}\right.
\]

являются как раз соотношениями ортогональности рядов Фурье. Полнота набора коэффициентов представления является также полнотой системы функций, по которой производятся разложения Фурье.
5. Найдем теперь неприводимые представления двумерной группы вращений и отражений, используя метод, который покажется весьма сложным для этой цели. Однако тот же самый метод будет в дальнейшем применен к трехмерной группе, так что полезно рассмотреть его на простом примере; кроме того, мы имеем здесь другой пример соотношений между представлением и соответствующими функциями.

Рассмотрим уравнение для гармонических полиномов от двух переменных
\[
\frac{\partial^{2} f(x, y)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f(x, y)}{\partial y^{2}}=0 .
\]

Ясно, что оно инвариантно относительно всех преобразований (14.6). Далее, решение уравнения (14.12), являющееся однородной функцией степени $m$ относительно переменных $x$ и $y$, преобразуется оператором $\mathbf{P}_{R}$ [где $R$ — преобразование вида (14.6)] в полином того же вида, так как преобразование $\mathbf{P}_{R}$ линейно относительно переменных $x$ и $y$ :
\[
\mathrm{P}_{\{\varphi, d\}} f(x \cos \varphi+y \sin \varphi,-d x \sin \varphi+d y \cos \varphi)=f(x, y) \text { (14.13) }
\]
или, поскольку $\{\varphi, d\}^{-1}$ равно $\{-d \varphi, d\}$,
\[
\mathbf{P}_{\{\varphi, d\}} f(x, y)=f(x \cos (-d \varphi)+y \sin (-d \varphi),-x d \sin (-d \varphi)+
\]
\[
+y d \cos (-d \varphi))=f(x \cos \varphi-y d \sin \varphi, x \sin \varphi+y d \cos \varphi) \text {. (14.14) }
\]

Таким образом, если $f(x, y)$ является однородной функцией $m$-й степени, то тем же свойством обладает и $\mathrm{P}_{R} f$.

Уравнение (14.12) совпадает с одномерным волновым уравнением с мнимой скоростью $i$. Его общее решение имеет вид
\[
f(x, y)=f_{-}(x-i y)+f_{+}(x+i y) .
\]

Если $f(x, y)$ — однородная функция степени $m$ относительно $x$ и $y$, то $f_{+}$и $f_{-}$должны (с точностью до постоянного множителя) определятся выражениями
\[
f_{-}(x-i y)=(x-i y)^{m}, \quad f_{+}(x+i y)=(x+i y)^{m} .
\]

Представление $\mathbf{3}^{(m)}(\{\varphi, d\})$, принадлежащее этим функциям, двумерно. Его первый столбец (-) определяется с помощью (11.23) и (14.14);
\[
\begin{aligned}
\mathbf{P}_{\{\varphi, d\}} f_{-}(x, y) & =f_{-}(x \cos \varphi-y d \sin \varphi, \quad x \sin \varphi+y d \cos \varphi)= \\
& =[(x \cos \varphi-y d \sin \varphi)-i(x \sin \varphi+y d \cos \varphi)]^{m}= \\
& =[x(\cos \varphi-i \sin \varphi)-i y d(\cos \varphi-i \sin \varphi)]^{m}= \\
& =(x-i y d)^{m} e^{-i m \varphi} .
\end{aligned}
\]

Будучи записанным через коэффициенты представления, это дает
\[
\mathbf{P}_{\{\varphi, d\}} f_{-}(x, y)=\mathbf{3}^{(m)}(\{\varphi, d\})_{—} f_{-}+\mathbf{3}^{(m)}(\{\varphi, d\})_{+-} f_{+} .
\]

Следовательно, эти коэффициенты даются выражениями
\[
\begin{aligned}
\mathbf{3}^{(m)}(\{\varphi, 1\})_{—} & =e^{-i m \varphi}, & \mathbf{3}^{(m)}(\{\varphi, 1\})_{+-} & =0, \\
\mathbf{3}^{(m)}(\{\varphi,-1\})_{—} & =0, & & \mathbf{3}^{(m)}(\{\varphi,-1\})_{+-}=e^{-i m \varphi} .
\end{aligned}
\]

Другой столбец (+) может быть определен тем же способом через функции $f_{+}$. Матрица $\mathfrak{3}^{(m)}(\{\varphi, 1\})$, соответствующая в этом представлении чистому вращению на угол $\varphi$, оказывается равной
\[
\boldsymbol{\beta}^{(m)}(\{\varphi, 1\})=\left(\begin{array}{cc}
e^{-i m \varphi} & 0 \\
0 & e^{i m \varphi}
\end{array}\right),
\]
где мы сначала записали строку (или столбец) (-), а затем строку (или столбец) (+). Матрица, соответствующая элементу группы (14.2a), равна
\[
\mathbf{3}^{(m)}(\{\varphi,-1\})=\left(\begin{array}{cc}
0 & e^{i m \varphi} \\
e^{-i m \varphi} & 0
\end{array}\right) .
\]

Функция $f_{-}$принадлежит строке (-) (или первой) матрицы $\mathbf{3}^{(m)}$; функция $f_{+}$- строке (+) (или второй).

Эти представления неприводимы и различны при $m=1,2,3, \ldots$. Только диагональная матрица коммутирует с (14.18), но никакая диагональная матрица, кроме постоянной матрицы, не коммутирует c.(14.18a). Матрицы (14.6) являются, разумеется, также „представлением\» их собственной группы. Это представление эквивалентно частному представлению $m=1$ в (14.18), (14.18a); матрица, использованная в (14.5), преобразует (14.6) к виду (14.18), (14.18a).

Следует заметить, что (14.18) и (14.18a) также осуществляют представление при $m=0$. Однако оно не является неприводимым, так как в этом случае всякая матрица коммутирует с (14.18); следовательно, в этом специальном случае мы можем диагонализовать (14.18a) и разделить это представление на две неприводимые компоненты
\[
\begin{aligned}
\mathbf{3}^{(0)}(\{\varphi, 1\}) & =(1), & \mathbf{3}^{(0)}(\{\varphi,-1\})=(1) \\
\mathbf{3}^{\left(0^{\prime}\right)}(\{\varphi, 1\}) & =(1), & \mathbf{3}^{\left(0^{\prime}\right)}(\{\varphi,-1\})=(-1) .
\end{aligned}
\]
6. Мы нашли теперь все представления двумерной группы вращений и отражений. Они задаются формулами (14.18) и (14.18a) при $m=1,2,3, \ldots$ и являются двумерными; при $m=0$ и $m=0^{\prime}$ они представлены выражениями (14.19) и (14.20) и являются одномерными.

Коэффициенты представления $\mathbf{3}^{(m)}(\{\varphi, d\})_{\text {土t }}$ образуют полную систему функций в пространстве $\varphi$ и $d$. Это значит, что всякую функцию $g(\varphi, d)$ ( $\varphi$ изменяется от $-\pi$ до $+\pi$, а $d$ равно либо +1 , либо -1) можно записать в виде их линейной комбинации. Функции $\frac{1}{2}\left(\mathbf{3}^{(0)}+\mathbf{3}^{\left(0^{\prime}\right)}\right), \mathbf{3}_{—}^{(1)}, \mathbf{3}_{++}^{(1)}, \mathbf{3}_{—}^{(2)}, \mathbf{3}_{++}^{(2)}, \ldots$ задаются последовательностью 1, $\exp (-i \varphi), \exp (i \varphi), \exp (-2 i \varphi), \exp (2 i \varphi), \ldots$ при $d=1$ и исчезают при $d=-1$; с другой стороны, функции $\frac{1}{2}\left(\mathbf{3}^{(0)}-\mathbf{3}^{\left(0^{\prime}\right)}\right), \mathbf{3}_{+—}^{(1)}, \mathbf{3}_{-+}^{(1)}, \mathbf{3}_{+-}^{(2)}, \mathbf{3}_{-+}^{(2)}, \ldots$ равны нулю при $d=1$ и, следовательно, равны $1, \exp (-i \varphi), \exp (i \varphi), \quad \exp (-2 i \varphi)$, $\exp (2 i \varphi), \ldots$ при $d=-1$. Функция $g(\varphi, 1)$ может быть выражена в виде линейной комбинации первого набора, а $g(\varphi,-1)$ — второго.

Из того обстоятельства, что рассмотренные матричные элементы образуют полную систему в пространстве параметров, следует, что,
кроме (14.18), (14.18a), (14.19) и (14.20), не существует других неприводимых представлений двумерной группы вращений.
7. Обратимся теперь к исследованию трехмерной группы чистых вращений. Собственные значения матрицы а, вещественной ортогональной трехмерной матрицы с определителем 1 , должны иметь вид $1, \exp (-i \varphi), \exp (+i \varphi)$, так как все они имеют модуль 1 , а комплексные собственные значения появляются сопряженными парами. Фаза $\varphi$ комплексного собственного значения называется углом вращения; собственный вектор ${ }^{1}$ ) $\boldsymbol{D}_{1}$ с собственным значением 1 называется осью вращения. Его компоненты $v_{11}, v_{21}, v_{31}$ проще всего определить, если начать с $\mathbf{a} \boldsymbol{v}_{1}=1 \boldsymbol{v}_{1}$ и, умножив на $\mathbf{a}^{-1}=\mathbf{a}^{T}$, найти $\boldsymbol{v}_{1}=\mathbf{a}^{T} \boldsymbol{v} \cdot 1$. Это дает $\left(\mathbf{a}-\mathbf{a}^{T}\right) \boldsymbol{v}_{1}=0$ или, если записать более подробно,
\[
\begin{array}{l}
\left(a_{12}-a_{21}\right) v_{21}+\left(a_{13}-a_{31}\right) v_{31}=0, \\
\left(a_{21}-a_{12}\right) v_{11} \\
+\left(a_{23}-a_{32}\right) v_{31}=0 \text {, } \\
\left(a_{31}-a_{13}\right) v_{11}+\left(a_{32}-a_{23}\right) v_{21}=0 \text {, } \\
\end{array}
\]

откуда
\[
v_{11}: v_{21}: v_{31}=\left(a_{23}-a_{32}\right):\left(a_{31}-a_{13}\right):\left(a_{12}-a_{21}\right) .
\]

Угол вращения $\varphi$ проще всего определить, приравняв сумму собственных значений следу матрицы,
\[
1+e^{-i \varphi}+e^{i \varphi}=1+2 \cos \varphi=a_{11}+a_{22}+a_{33} \text {. }
\]

где $\varphi$ принимает значения между 0 и $\pi$.
Собственные векторы $\boldsymbol{v}_{2}$ и $\boldsymbol{v}_{.3}$, которые соответствуют $\exp (-i \varphi)$ и $\exp (+i \varphi)$, комплексно сопряжены друг с другом, $\boldsymbol{v}_{2}^{*}=\boldsymbol{v}_{3}$. С другой стороны, $\boldsymbol{v}_{1}$ должен быть взят вещественным: $(\boldsymbol{v} .1, \boldsymbol{v} .1)=((\boldsymbol{v} .1, \boldsymbol{v} .1))=1$.

Матрица v, столбцами которой являются собственные векторы $\mathbf{v}^{\dagger} \mathbf{a v}$ является диагональной матрицей с собственными значениями 1 , $\exp (-i \varphi), \exp (+i \varphi)$ в качестве диагональных элементов. Запишем теперь $\mathbf{V}=\mathbf{v v}_{0}$, где $\left.{ }^{2}\right)$
\[
\mathbf{v}_{0}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
0 & \frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right) .
\]
1) Хотя $\boldsymbol{
u}_{.1}$ является, конечно, вектором, он будет также играть в нашем обсуждении роль столбца элементов матрицы. Поэтому мы обозначаем его в соответствии с нашими обозначениями 9лементов матриц.
2) Здесь $\mathrm{v}_{0}$ выбрано так, что а представляет вращения вокруг оси $X$ после преобразования с помощью $\mathrm{v} \mathrm{v}_{0}$. Ясно, что возможен другой выбор $\mathrm{v}_{0}$, который приводит а к виду, представляющему, например, вращение вокруг оси $Y$.
Столбцами матрицы $\mathbf{V}$ являются векторы $\boldsymbol{v}_{1},(-i / \sqrt{2})\left(\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{2}^{*}\right)$ и $(1 / \sqrt{2})\left(\boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{\eta}_{2}^{*}\right)$, так что $\mathbf{V}$ вещественна. Кроме того, матрица $V$, будучи произведением унитарных матриц $\mathbf{v}$ и $\mathbf{v}_{0}$, также унитарна, так что она является вещественной ортогональной матрицей, и, следовательно, элементом группы вращения. Если мы теперь преобразуем уравнение $\mathbf{v}^{\dagger} \mathbf{a v}=\mathbf{d}$ с помощью $\mathbf{v}_{0}$, то получим
\[
\mathbf{v}^{\dagger} \mathbf{a V}=\mathbf{v}_{0}^{\dagger} \mathbf{v}^{\dagger} \mathbf{a} \mathbf{v} \mathbf{v}_{0}=\mathbf{v}_{0}^{\dagger} \mathbf{d} \mathbf{v}_{0}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \varphi & \sin \varphi \\
0 & -\sin \varphi & \cos \varphi
\end{array}\right)=\boldsymbol{\varepsilon}_{\varphi} .
\]

Можно принять, что в этом уравнении $\mathbf{V}$ представляет чистое вращение, так как мы могли бы умножить ее на -1 , если бы ее определитель равнялся — 1 , и (14.25) осталось бы без изменения. Из (14.25) видно, что все вращения с одним и тем же углом вращения ч принадлежат одному и тому же классу, поскольку они все могут быть преобразованы в $\varepsilon_{\varphi}$. С другой стороны, матрицы, угол вращения которых отличен от $\varphi$, не могут принадлежать одному и тому же классу, так как они имеют различные собственные значения и поэтому не могут быть преобразованы в $\varepsilon_{\varphi}$.

Геометрическую интерпретацию этого изложения дает хорошо известная теорема, согласно которой всякое ортогональное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено как вращение
Фиг. 6. Геометрическая интерпретация соотношения (14.25).

вокруг соответствующим образом выбранной оси $\boldsymbol{\eta}_{.1}$. (Так как $\mathbf{a} \boldsymbol{\theta}_{\cdot 1}=\boldsymbol{\theta}_{.1}$, ось вращения не меняется при вращении.) Если преобразование переводит дугу $X Z$ на фиг. 6 в дугу $X^{\prime} Z^{\prime}$, то ось вращения должна лежать на перпендикулярах, восстановленных в серединах дуг $Z Z^{\prime}$ и $X X^{\prime}$ и, следовательно, в точке их пересечения $C$. Действительно, вращение вокруг $C$ преобразует $Z$ в $Z^{\prime}$ и $X$ в $X^{\prime}$ : из равенства двух треугольников $Z C X$ и $Z^{\prime} C^{\prime} X^{\prime}$ (три стороны их равны) следует, что углы $Z C X$ и $Z^{\prime} C^{\prime} X^{\prime}$ равны, а поэтому углы $Z C Z^{\prime}$ и $X C X^{\prime}$ также равны и равны углу вращения $\varphi$. Вращение на угол $\varphi$ может быть преобразовано в другое вращение с тем же углом вращения, если ось первого вращения привести в совпадение с осью второго вращения путем вращения $V$, выполнить затем вращения на угол $\varphi$ и, наконец, вернуть ось в ее первоначальное положенне с помощью $\mathrm{V}^{-1}$.

Для однозначной характеристики вращений оси вращения должно быть придано определенное направление, которое задает также знак вектора $\boldsymbol{v}_{.1}$. Вращение будет происходить по часовой стрелке, если смотреть вдоль положительного направления оси.

Параметризация (фиг. 1, стр. 110) трехмерной группы чистых вращений, которая обсуждалась в гл. 10 , основана на этих характеристиках. Вращение на угол $\varphi$ вокруг оси $\boldsymbol{v}_{1}$ соответствует точке на расстоянии $\varphi$ от начала в направлении $\boldsymbol{v .}_{1}^{1}$ ). Угол вращения всегда однозначно определяется вращением. Для вращения с $\varphi=0$ (которое фактически вовсе не является вращением) направление оси вращения не определено; тем не менее соответствующая точка в пространстве параметров определяется однозначно: она является центром сферы.

На поверхности сферы $\varphi=\pi$ в пространстве параметров направление оси вращения не определяется однозначно; вращения на угол $\pi$ вокруг противоположно направленных осей совпадают. Поэтому одно и то же вращение соответствует противоположным точкам сферической поверхности. В остальных случаях соответствие вращений точкам в пространстве параметров взаимно однозначно. Элементы определенных классов лежат на концентрических сферах.

Для этой системы параметров можно также легко сформулировать инвариантный интеграл Гурвица. Так как точки на сферической поверхности радиуса $\varphi$ соответствуют вращениям на один и тот же угол, но вокруг осей, направленных по-разному, и так как все оси вращения в пространстве эквивалентны, $g\left(\left\{\varphi v_{11}, \varphi v_{21}, \varphi v_{31}\right\}\right)$ может зависеть только от угла вращения $\varphi$, но не от направления вектора $\boldsymbol{\eta}_{1}$. Таким образом, достаточно определить $g(\{\varphi, 0,0\})$. С этой целью [см. формулу (10.9)] сначала вычислим параметры произведения $\{\varphi, 0,0\} \cdot\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\}$ для очень малых $e_{i}$, а затем устремим $e_{i}$ к нулю. Вращение $\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\}$ задается выражением
\[
\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\}=\left(\begin{array}{rrr}
1 & e_{3} & -e_{2} \\
-e_{3} & 1 & e_{1} \\
e_{2} & -e_{1} & 1
\end{array}\right),
\]

справедливым с точностью до первой степени величин $e_{l}$ [см. соотношение (14. 22)]. Для $\{\varphi, 0,0\}\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\}=\varepsilon_{\varphi}\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\}$ получим
\[
\left(\begin{array}{ccc}
1 & e_{3} & -e_{2} \\
-e_{3} \cos \varphi+e_{2} \sin \varphi & \cos \varphi-e_{1} \sin \varphi & e_{1} \cos \varphi+\sin \varphi \\
e_{3} \sin \varphi+e_{2} \cos \varphi & -\sin \varphi-e_{1} \cos \varphi & -e_{1} \sin \varphi+\cos \varphi
\end{array}\right) .
\]
1) При обсуждении фиг. 1 в гл. 10 расстояние от начала было определено как $\varphi / \pi$, а не как $\varphi$. Левая часть фиг. 1 должна рассматриваться в настоящем обсуждении увеличенной в отношении $\pi: 1$.
Отсюда вычислим угол вращения $\varphi^{\prime}$ с помощью соотношения (14.23):
\[
1+2 \cos \varphi^{\prime}=1+2 \cos \varphi-2 e_{1} \sin \varphi, \quad \varphi^{\prime}=\varphi+e_{1} .
\]

Из (14.22) мы получим направление оси вращения:
\[
=\left(2 e_{1} \cos \varphi+2 \sin \varphi\right):\left(e_{3} \sin \varphi+e_{2}(1+\cos \varphi)\right):\left(e_{3}(1+\cos \varphi)-e_{2} \sin \varphi\right) \text {. }
\]

В сочетании с условием нормировки ${v_{11}^{\prime 2}}^{2}+{v_{21}^{\prime 2}}^{\prime 2}+{v_{13}^{\prime 2}}^{2}=1$ это дает (с учетом лишь членов первого порядка по $e$ )
\[
v_{11}^{\prime}=1, \quad v_{21}^{\prime}=\frac{e_{2}(1+\cos \varphi)}{2 \sin \varphi}+\frac{e_{3}}{2}, \quad v_{31}^{\prime}=\frac{e_{3}(1+\cos \varphi)}{2 \sin \varphi}-\frac{e_{2}}{2} .
\]

Таким образом, параметрами $\{\varphi, 0,0\} \cdot\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\}$ являются
\[
\varphi+e_{1}, \quad \varphi\left[\frac{e_{2}(1+\cos \varphi)}{2 \sin \varphi}+\frac{e_{3}}{2}\right], \quad \varphi\left[\frac{e_{3}(1+\cos \varphi)}{2 \sin \varphi}-\frac{e_{2}}{2}\right] .
\]

При $e_{1}=e_{2}=e_{3}=0$ получаем в точности параметры вращения $\varepsilon_{\varphi}$, т. е. $\varphi, 0,0$. При $e_{1}=e_{2}=e_{3}=0$ интересующий нас якобиан равен
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial\left(p_{1}\left(\{\varphi, 0,0\}\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\}\right), \ldots, p_{3}\left(\{\varphi, 0,0\}\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\}\right)\right)}{\partial\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)}= \\
=\left|\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \varphi \frac{1+\cos \varphi}{2 \sin \varphi} & -\frac{\varphi}{2} \\
0 & \frac{\varphi}{2} & \varphi \frac{1+\cos \varphi}{2 \sin \varphi}
\end{array}\right|=\frac{\varphi^{2}}{4} \frac{(1+\cos \varphi)^{2}+\sin ^{2} \varphi}{\sin ^{2} \varphi}=\frac{\varphi^{2}}{2(1-\cos \varphi)} . \\
\end{array}
\]

Таким образом, для весовой функции $g$ [формула (10.9)] получаем
\[
g(\{\varphi, 0,0\})=g\left(\left\{v_{11} \varphi, v_{21} \varphi, v_{31} \varphi\right\}\right)=\frac{2 g_{0}(1-\cos \varphi)}{\varphi^{2}} .
\]

Вычисление инвариантного интеграла функции $J(R)=J(\varphi)$, имеющей одно и то же значение для всех элементов класса (как, например, характер представления), также довольно просто. Интегрирование в пространстве параметров может быть выполнено тогда сначала по сферической поверхности ( $\varphi=$ const), т. е. по всем элементам одного класса, что дает $4 \pi \varphi^{2}$, а затем по $\varphi$, т. е. по всем различным классам. Таким образом, для интеграла Гурвица получаем
\[
g_{0} \int_{0}^{\pi} J(\varphi) 8 \pi(1-\cos \varphi) d \varphi
\]
Для другой параметризации часто используют углы Эйлера, как это показано на фиг. 2 (стр. 110). Вращение с углами Эилера $\alpha, \beta, \gamma$ является произведением трех вращении: вокруг оси $Z$ на угол $\gamma$, вокруг оси $Y$ на угол $\beta$ и снова вокруг оси $Z$ на угол $\alpha$. В последующих главах $\{\alpha, \beta, \gamma\}$ будет всегда обозначать вращение с углами Эилера $\alpha, \beta$ и $\gamma$. В этом представлении $\alpha$ и $\gamma$ в общем случае изменяются от 0 до $2 \pi$, а $\beta$ — от 0 до $\pi$. Однако если $\beta=0$, то $\alpha$ и $\gamma$ не определяются однозначно; все вращения $\{\alpha, 0, \gamma\}$ являются вращениями на угол $\alpha+\gamma$ вокруг оси $Z$.