7. Из унитарности операторов $\mathrm{O}_{R}$ и $\mathrm{P}_{R}$ (и, следовательно, также $\mathbf{P}_{R}^{-1}$ ) следует, что оператор $\mathrm{Q}_{R}=\mathrm{O}_{R} \mathrm{P}_{R}^{-1}$ должен быть унитарным. Поэтому для любых функций $\Phi$ и $\Psi$
\[
\left(\mathrm{Q}_{R} \Phi, \mathrm{Q}_{R} \Psi\right)=(\Phi, \Psi) .
\]

Отсюда следует, что матрица $\mathfrak{u}(R)$ должна быть унитарной. Если положить $\Phi=\delta_{s \sigma} \psi$ и $\Psi=\delta_{s \tau} \psi$, то, согласно (20.3) (если $\psi$ нормирована), $(\Phi, \Psi)=\delta_{\sigma \tau}$. Поэтому в соответствии с (20.15) и (20.12a) имеем
\[
\begin{aligned}
\delta_{\sigma \tau}=\left(\mathrm{Q}_{R} \delta_{s \sigma} \psi, \mathrm{Q}_{R} \delta_{s \tau} \psi\right) & =\left(\mathbf{u}_{s \sigma} \psi, \mathbf{u}_{s \tau} \psi\right)= \\
& =\sum_{s= \pm 1} \iint_{-\infty}^{+\infty} \int \mathbf{u}_{s \sigma}^{*} \psi^{*} \mathbf{u}_{s \tau} \psi d x d y d z=\sum_{s= \pm 1} \mathbf{u}_{s \sigma}^{*} \mathbf{u}_{s \tau} .
\end{aligned}
\]

Но это равенство и является в точности условием унитарности матрицы и.

Кроме того, поскольку $\mathrm{O}_{R}$ определяется физическими требованиями и соотношениями (20.8a) лишь с точностью до постоянного множителя с абсолютной величиной 1 , зависящего от $R$, можно заменить $\mathrm{O}_{R}$ на $c_{R} \mathrm{O}_{R}$, не меняя физического содержания теории и не видоизменяя соотношений (20.8a) (где $\left|c_{R}\right|=1$ ). Множитель $c_{R}$ может быть включен в оператор $\mathrm{Q}_{R}$, т. е. в $\mathbf{u}(R)$; тем самым можно обеспечить, чтобы определитель матрицы $\mathbf{u}(R)$ был равен +1 .

Наконец, чтобы полностью определить матрицу $\mathbf{u}(R)$, учтем, что $\mathrm{O}_{R} \Phi$ есть волновая функция состояния $\Phi$, повернутого на $R$, а $\mathrm{O}_{S} \mathrm{O}_{R} \Phi$ – волновая функция этого состояния, повернутого сначала на $R$, а затем на $S$, или в целом – на $S R$. Таким образом, оператор $\mathrm{O}_{s} \mathrm{O}_{R}$ физически полностью эквивалентен оператору $\mathrm{O}_{S R}$. Так как он тоже удовлетворяет соотношениям (20.8a) – произведение двух линейных унитарных операторов снова линейно и унитарно, – то он может отличаться от OSR лишь постоянным множителем:
\[
\mathrm{O}_{S R}=c_{S, R} \mathrm{O}_{S} \mathrm{O}_{R} .
\]
Далее, в силу $\mathbf{P}_{S R}=\mathrm{P}_{S} \mathbf{P}_{R}$ и соотношения (20.14), из (20.12) следует, что
\[
\mathrm{Q}_{S R} \mathrm{P}_{S R}=c_{S, R} \mathrm{Q}_{S} \mathrm{P}_{S} \mathrm{Q}_{R} \mathrm{P}_{R}, \quad \mathrm{Q}_{S R}=c_{S, R} \mathrm{Q}_{S} \mathrm{Q}_{R}
\]

или, с учетом (20.12a),
\[
\begin{aligned}
\sum_{t= \pm 1} \mathbf{u}(S R)_{s t} \Phi(x, y, z, t) & =c_{S, R} \sum_{r= \pm 1} \sum_{t= \pm 1} \mathbf{u}(S)_{s r} \mathbf{u}(R)_{r t} \Phi(x, y, z, t), \\
\mathbf{u}(S R) & =c_{S, R} \mathbf{1} \cdot \mathbf{u}(S) \mathbf{u}(R) .
\end{aligned}
\]

Так как определители всех матриц $\mathbf{~ м ы ~ н о р м и р о в а л и ~ к ~} 1$, из (20.17) следует также, что $\left|c_{S, R} \cdot \mathbf{1}\right|=1$ и $c_{S}, R= \pm 1$. Таким образом, с точностью до знака, матрицы $\mathbf{u}(R)$ образуют представление трехмерной группы вращений:
\[
\mathbf{u}(S R)= \pm \mathbf{u}(S) \mathbf{u}(R) .
\]

Это наводит на мысль, что либо и $(R)$ совпадает с матрицами, которые обсуждались в гл. 15 ,
\[
\mathbf{u}\left(\{\alpha \beta \gamma)=\mathfrak{D}^{(1 / 2)}\{(\alpha \beta \gamma\})=\left(\begin{array}{ll}
e^{-1 / 2 l \alpha} \cos \frac{1}{2} \beta e^{-1 / 2 l_{\gamma}} & -e^{-1 / 2 l \alpha} \sin \frac{1}{2} \beta e^{1 / 2 l_{\gamma}} \\
e^{1 / 2 l \alpha} \sin \frac{1}{2} \beta e^{-1 / 2} l_{\gamma} & e^{1 / 2 l \alpha} \cos \frac{1}{2} \beta e^{1 / 2} l_{\Upsilon}
\end{array}\right),\right.
\]

либо по крайней мере получаются из них с помощью преобразования подобия. Это действительно так, и в следующей главе мы покажем, что всякая система двумерных матриц, удовлетворяющих (20.17a), либо состоит из единичных матриц, либо может быть получена из $\mathfrak{D}^{(1 / 2)}$ с помощью преобразования подобия. Первая из этих возможностен исключается, так как это означало бы, например, что состояние, в котором спин с достоверностью был направлен по оси $Z$, обладало бы этим свойством после произвольного вращения.

Матрица и может быть диагональной матрицей только для вращений с $\beta=0$ (которые оставляют неизменной ось $Z$ ); для таких вращений она должна быть диагональной. Деиствительно, если спин в первой системе координат имеет направление $-Z$, так что $\Phi(x, y, z, 1)=0$, то это должно сохраниться и во второй системе координат. Но если это так, из (20.11) следует, что $\mathbf{u}_{1,-1}=0$; аналогичным образом $\mathbf{u}_{-1,1}=0 ;$ значит $\mathbf{u}(\{\alpha 00\})$ есть диагональная матрица. Поскольку и эквивалентна $\mathfrak{D}^{1 / 2}(\{\alpha 00\})$, она может быть равна либо
\[
\mathbf{u}(\{a 00\})=\left(\begin{array}{cc}
e^{-1 / 2 l \alpha} & 0 \\
0 & e^{1 / 2 i \alpha}
\end{array}\right), \text { либо }\left(\begin{array}{cc}
e^{1 / 2 i \alpha} & 0 \\
0 & e^{-1 / 2 l \alpha}
\end{array}\right) .
\]
Но из второго выражения следует, что в состоянии $\psi \delta_{s,-1}$ момент количества движения должен иметь направление $+Z$, а в состоянии $\psi \delta_{s, 1}$ – направление – $Z$. Мы исключаем этот выбор, так как в этом случае волновая функция $\Phi(x, y, z,-s)$ была бы приписана состоянию, которое мы описываем функцией $\Phi(x, y, z, s)$.

Таким образом, $\mathbf{u}(\{\alpha 00\})=\mathfrak{D}^{(1 / 2)}(\{\alpha 00\})$ и унитарная матрица $\mathbf{S}$, преобразующая $\mathfrak{D}^{(1 / 2)}$ в $\mathbf{u}$, должна коммутировать с $\mathfrak{D}^{(1 / 2)}(\{\alpha 00\})$; следовательно, она должна быть диагональной матрицей. Пусть ее два диагональных элемента равны $a$ и $a^{\prime}\left(|a|=\left|a^{\prime}\right|=1\right)$. Тогда можно изменить обозначения и приписать волновую функцию $\mathbf{S} \Phi(x, y, z, s)$ состоянию, волновая функция которого ранее равнялась $\Phi(x, y, z, s)$, где
\[
\begin{aligned}
\mathbf{S} \Phi(x, y, z,-1) & =a \Phi(x, y, z,-1), \\
\mathbf{S} \Phi(x, y, z, 1) & =a^{\prime} \Phi(x, y, z, 1) .
\end{aligned}
\]

Это допустимо, так как до сих пор мы не придавали никакого значения комплексной фазе отношения $\Phi(x, y, z,-1) / \Phi(x, y, z, 1)$. В описании, возникающем таким путем из первоначального и вполне эквивалентном ему, мы в каждом случае имеем
\[
\mathbf{u}(\{\alpha, \beta, \gamma\})=\mathfrak{D}^{(1 / 2)}(\{\alpha, \beta, \gamma\}),
\]

и мы находим, что всякое описание спина, основанное на положениях, обсуждавшихся в п. n. 1, 2 и 3 , физически вполне эквивалентно описанию, в котором волновая функция состояния $\Phi$, повернутого на $R$, равна ${ }^{1}$ ) $\mathrm{O}_{R} \Phi$. Здесь $\mathrm{O}_{R}=\mathrm{P}_{R} \mathrm{Q}_{R}$ является оператором, определенным соотношением
\[
\begin{aligned}
\mathrm{O}_{R} \Phi(x, y, z, s) & =\sum_{t= \pm 1} \mathfrak{D}^{(1 / 2)}(R)_{1 / 2} s, 1_{2} \mathrm{P}_{R} \Phi(x, y, z, t)= \\
& =\sum_{t= \pm 1} \mathfrak{D}^{(1 / 2)}(R)_{1 / 2} s, 1_{1 / 2} \Phi\left(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, z^{\prime \prime}, t\right),
\end{aligned}
\]

где $x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, z^{\prime \prime}$ получаются из $x, y, z$ путем вращения $R^{-1}$. Матрицы $\mathfrak{D}^{(1 / 2)}$ имеют индексы $1 / 2 s, 1 / 2 t$, так как строки и столбцы $\mathfrak{D}^{(1 / 2)}$ обозначены индексами $-1 / 2$ и $+1 / 2$ вместо индексов -1 и +1 в случае матрицы и.
Пусть, например,
\[
\Phi(x, y, z, s)=(x+i y) \exp \left(-r / 2 r_{0}\right) \quad \text { при } \quad s= \pm 1
\]

Функция $(x+i y) \exp \left(-r / 2 r_{0}\right)$ является, если отвлечься от нормировки. собственной функцией атома водорода с $N=2, l=1$ и $\mu=+1$ [см. (17.3)]
1) Здесь $R$ всегда является чистым вращением.
Рассмотрим состояние (20.Е.3) в системе координат, ось $Y$ которой совпадает со старой осью $Y$, а ось $Z$ является старой осью $X$. Тогда вращение $R$ имеет вид $\{0, \pi / 2,0\}$ и
\[
x^{\prime}=-z, \quad y^{\prime}=y, \quad z^{\prime}=x,
\]

а обратным преобразованием является
\[
x^{\prime \prime}=z, \quad y^{\prime \prime}=y, \quad z^{\prime \prime}=-x .
\]

Матрица $\mathfrak{D}^{(1 / 2)}(\{0, \pi / 2,0\})$ равна
\[
\left(\begin{array}{rr}
1 / \sqrt{2} & -1 / \sqrt{2} \\
1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2}
\end{array}\right) .
\]

Волновая функция состояния (20.Е.3) в новой системе координат, согласно (20.19), имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{O}_{R} \Phi(x, y, z, s)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{\sqrt{2}}(z+i y) e^{-r / 2 r_{0}}-\frac{1}{\sqrt{2}}(z+i y) e^{-r / 2 r_{0}} \text { при } s=-1, \\
\frac{1}{\sqrt{2}}(z+i y) e^{-r / 2 r_{0}}+\frac{1}{\sqrt{2}}(z+i y) e^{-r / 2 r_{0}} \text { при } s=+1,
\end{array}\right. \\
=\delta_{s 1} \sqrt{2}(z+i y) e^{-r / 2 r_{0}} \text {. } \\
\end{array}
\]

В новой системе координат спин с достоверностью направлен по оси $+Z$; следовательно, в старой системе спин был с достоверностью направлен по оси $+X$.
8. Получим теперь определенные физические следствия из формул преобразования (20.19). С помощью (20.19) можно ответить на следующий важный вопрос: каковы вероятности того, что измерение проекции спина на ось $Z^{\prime}$ приведет к результатам $+\hbar / 2$ и – $\hbar / 2$, если известно, что $Z$-компонента имеет значение $+\hbar / 2$ ? Иными словами, каково соотношение между вероятностями проекций спина на два направления $Z^{\prime}$ и $Z$, составляющие угол $\beta$ ? Если спин ориентирован в направлении $Z$, то волновая функция имеет вид $\Phi(x, y, z, s)=\delta_{s 1} \varphi(x, y, z)$. Если рассматривать это состояние с точки зрения системы коордиңат, повернутой на $\{0, \beta, 0\}$, то в силу соотношения
\[
\mathbf{P}_{\{0 \beta 0\}} \Phi(x, y, z, s)=\delta_{s 1} P_{\{0 \beta 0\}} \varphi(x, y, z)
\]
[так как $\Phi(x, y, z,-1)=0$ ], используя $\mathfrak{D}^{(1 / 2)}(\{0, \beta, 0\})_{s t}$ из (15.16), имеем
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{O}_{\{0 \beta 0\}} \Phi(x, y, z,-1)=\cos \frac{1}{2} \beta \mathrm{P}_{(0 \beta 0)} \Phi(x, y, z,-1)- \\
-\sin \frac{1}{2} \beta \mathrm{P}_{\{0 \beta 0\}} \Phi(x, y, z, 1)=-\sin \frac{1}{2} \beta \mathrm{P}_{\{0 \beta 0\}} \varphi(x, y, z), \quad(20.20) \\
\mathrm{O}_{\{0 \beta 0\}} \Phi(x, y, z, 1)=\sin \frac{1}{2} \beta \mathrm{P}_{\{0 \beta 0\}} \Phi(x, y, z,-1)+ \\
\quad+\cos \frac{1}{2} \beta \mathrm{P}_{\{0 \beta 0\}} \Phi(x, y, z, 1)=\cos \frac{1}{2} \beta \mathrm{P}_{\{0 \beta 0\}} \varphi(x, y, z) .
\end{array}
\]
Теперь второй наблюдатель может вычислить вероятность данного значения проекции спина на ось $Z^{\prime}$, составляющей угол $\beta$ с первоначальным направлением оси $Z$, непосредственно пользуясь волновой функцией $\mathrm{O}_{\{0 \beta 0\}} \Phi$. Согласно (20.20), вероятность найти спин в направлении $+Z^{\prime}$ дается выражением $\left|\cos \frac{1}{2} \beta\right|^{2}$, а вероятность найти спин в направлении $-Z^{\prime}$ – выражением $\left|\sin \frac{1}{2} \beta\right|^{2}$. Если вероятность определенного направления спина равна 1 , то для направления, составляющего с ним угол $\beta$, вероятность равна $\left|\cos \frac{1}{2} \beta\right|^{2}$. При $\beta=0$ эта вероятность равна 1 , как это и должно быть при совпадении двух направлений; при $\beta=\pi / 2$, когда направления взаимно перпендикулярны, она равна $1 / 2$; при $\beta=\pi$, когда два направления противоположны, эта вероятность равна 0 .

Рассмотрим теперь вопрос о том, при каких условиях существует направление, в котором спин с достоверностью не лежит. Пусть этим направлением будет, скажем, направление $Z^{\prime}$, так что волновая функция $\mathrm{O}_{\{\alpha \beta\}\}} \Phi$ в системе координат, в которой ось $Z$ совпадает с направлением $Z^{\prime}$, имеет вид
\[
\mathrm{O}_{\{\alpha \beta\}} \Phi(x, y, z, s)=\delta_{s,-1} \varphi(x, y, z) .
\]

Сама волновая функция $\Phi$ (ради краткости будем писать $R=\{\alpha, \beta, \gamma\})$ имеет вид
\[
\begin{aligned}
\Phi(x, y, z, s) & =\mathrm{O}_{R^{-1}} \mathrm{O}_{R} \Phi=\mathrm{O}_{R^{-1} \delta_{s,-1} \varphi(x, y, z)=} \\
& =\mathfrak{D}^{(1 / 2)}\left(R^{-1}\right)_{1 / 2 s,-1 / 2} \mathrm{P}_{R^{-1} \varphi}(x, y, z) .
\end{aligned}
\]

Следовательно, такое направление будет существовать только в том случае, если $\Phi(x, y, z,-1)$ и $\Phi(x, y, z, 1)$ различаются лишь постоянным множителем, не зависящим от $x, y, z$ :
\[
\frac{\Phi(x, y, z,-1)}{\Phi(x, y, z, 1)}=\frac{\mathfrak{D}^{(1 / 2)}(R)_{-1 / 2,-1 / 2}}{\mathfrak{D}^{(1 / 2)}(R)_{1 / 2,-1 / 2}}=e^{-l \alpha} \operatorname{ctg} \frac{1}{2} \beta .
\]

Абсолютная величина и комплексная фаза этого множителя остаются, как показывает (20.Е.4), совершенно произвольными. То, что $\Phi(x, y, z,-1)$ и $\Phi(x, y, z, 1)$ отличаются лишь множителем, показывает, что при одновременном измерении $Z$-компоненты спина и произвольной, не зависящей от спина величины вероятность для последней, в соответствии с п. 3, статистически независима от направления спина. В этом случае всегда существует направление – его азимут $\alpha$ и полярный угол $\beta$ даются соотношением (20.A.4) – вдоль которого спин с достоверностью не лежит; в противном случае такого направления не существует.
9. Следует еще обратить внимание на то обстоятельство, что далеко идущие конкретные утверждения о поведении электрона со спином могут быть получены на основе одних лишь требований инвариантности и общих принципов квантовой механики, а также нёкоторых весьма качественных постулатов. Только что полученные два результата, особенно результат, касающиися соотношений между вероятностями различных направлений спина, доступны (по крайней мере в принципе) экспериментальной проверке.

Определение оператора $\mathrm{O}_{R}$ было дано в предположении, что различные системы координат физически эквивалентны. Внешние поля, нарушающие изотропность пространства, могут также приводить к видоизменению операторов $\mathrm{O}_{R}$. Разумеется, пока внешнее поле слабо, операторы, осуществляющие переход к повернутым осям, будут по-прежжнему приближенно даваться выражением (20.19). Однако в дальнейшем (20.19) будет считаться справедливым и при сильных полях.

Наконец, обратим внимание на одно весьма существенное обстоятельство в выводе (20.19), которое могло быть заслонено математическим формализмом. Это обстоятельство состоит в том, что эквивалентность двух систем координат также влечет за собой эквивалентность операторов $\mathrm{O}_{R}$, осуществляющих преобразование к сходным образом повернутым системам координат.

Операторы $\mathrm{O}_{R}$ линейны и унитарны, но они не представляют точечного преобразования, как $\mathrm{P}_{R}$. По этой причине к ним не применимо соотношение (11.22). Это значит, что
\[
\mathrm{O}_{R} \Phi \Psi
eq \mathrm{O}_{R} \Phi \cdot \mathrm{O}_{R} \Psi .
\]

Кроме того, следует заметить, что вращение $R$ соответствует не одному, а двум операторам, $\mathrm{O}_{R}$ и $-\mathrm{O}_{R}$, так как матрица $\mathfrak{D}^{(1 / 2)}(\{\alpha, \beta, \gamma\})$, входящая в (20.19), определяется вращением лишь с точностью до знака. К тому же равенство $\mathrm{O}_{S R}=\mathrm{O}_{s} \mathrm{O}_{R}$ не имеет места; выполняется лишь соотношение
\[
\mathrm{O}_{S R}= \pm \mathrm{O}_{S} \mathrm{O}_{R} .
\]

Нет никакой возможности произвольно опустить один из этих операторов $+\mathrm{O}_{R}$ или $-\mathrm{O}_{R}$ таким путем, чтобы (20.16a) оставалось справедливым для оставшихся операторов с одним лишь верхним знаком.
10. Проекция спина на ось $Z$ является такой же „физической величиной\”, как и пространственные координаты или момент количества движения. Тогда, согласно физической интерпретации квантовой механики, она должна соответствовать линейному эрмитовому оператору; этот оператор будем обозначать через $\mathrm{s}_{z}=(\hbar / 2) \mathrm{s}_{z}$. Собственными значениями оператора $s_{z}$, соответствующими возможным значениям – $\hbar / 2$ и $+\hbar / 2 Z$-компоненты спина, являются -1 и +1 . Собственными функциями, принадлежащими первому собственному значению, являются все функции
$\Psi_{-}(x, y, z, s)=\delta_{s,-1} \psi(x, y, z)$; они отличны от нуля только при $s=-1$. Второму собственному значению принадлежат все функции $\Psi_{+}(x, y, z, s)=$ $=8_{s, 1} \psi^{\prime}(x, y, z)$, отличные от нуля только при $s=+1$. Таким образом
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{s}_{z} \delta_{s,-1} \psi(x, y, z)=-\delta_{s,-1} \psi(x, y, z), \\
\mathrm{s}_{z^{0}} \hat{s}_{s, 1} \psi^{\prime}(x, y, z)=+\delta_{s}, \psi^{\prime}(x, y, z) ; \\
\end{array}
\]

для произвольных функций
\[
\Phi(x, y, z, s)=\delta_{s,-1} \Phi(x, y, z,-1)+\delta_{s, 1} \Phi(x, y, z, 1)
\]

мы имеем
\[
\begin{aligned}
\mathrm{s}_{z} \Phi(x, y, z, s) & =\mathrm{s}_{z}\left(\delta_{s .-1} \Phi(x, y, z,-1)+\delta_{s, 1} \Phi(x, y, z, 1)\right)= \\
& =-\delta_{s,-1} \Phi(x, y, z,-1)+\delta_{s, 1} \Phi(x, y, z, 1), \\
\mathrm{s}_{z} \Phi(x, y, z, s) & =\sum_{t= \pm 1} t \delta_{s t} \Phi(x, y, z, t)=s \Phi(x, y, z, s),
\end{aligned}
\]

в силу линейности операторов $\mathbf{s}_{z}$.
Так как оператор $s_{z}$ действует только на спиновые координаты, то, подобно $\mathrm{Q}_{R}$, его матричный вид будет
\[
\mathbf{s}_{z}=\left(\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) .
\]

Определим теперь оператор $h$, соответствующий $Z^{\prime}$-компоненте спина Для наблюдателя в системе координат, осью $Z$ которой является $Z^{\prime}$, этот оператор равен просто $\mathrm{s}_{z}$, поскольку для этого наблюдателя, по определению, все операторы имеют тот же вид, что и для первого наблюдателя, за исключением того, что они относятся к его собственной системе координат. С другой стороны, этот оператор должен получаться из $\mathrm{h}$ путем преобразования с помощью оператора $\mathrm{O}_{R}$, так что
\[
\mathrm{s}_{z}=\mathrm{O}_{R} \mathrm{hO}_{R}^{-1}, \mathrm{~h}=\mathrm{O}_{R^{-1}} \mathrm{~s}_{z} \mathrm{O}_{R} .
\]

Тогда в силу (20.12) (а также в силу коммутативности $P_{R}$ с $s_{z}$ ) следует, что
\[
\mathrm{h}=\mathrm{Q}_{R^{-1}} \mathrm{P}_{R^{-1}} \mathrm{~s}_{z} \mathrm{P}_{R} \mathrm{Q}_{R}=\mathrm{Q}_{R^{-1}} \mathrm{~s}_{z} \mathrm{Q}_{R}
\]

Если для всех операторов, входящих в (20.22), воспользоваться матричной, формой (они действуют только на $s$ ), получим
\[
\mathbf{h}=\mathbf{u}(R)^{\dagger} \mathbf{s}_{\mathbf{z}} \mathbf{u}(R) .
\]

Теперь из соотношения (15.11) следует, что наш оператор $h$ совпадает с матрицей, использованной в этом соотношении, если положить $\overline{\mathrm{h}}=\mathbf{8}_{z}$ (т. е. $x^{\prime}=y^{\prime}=0, z^{\prime}=1$ ). Вектор $r=(x, y, z)$ в равенстве (15.11) представляет собой вектор, компоненты которого получаются из $\boldsymbol{r}^{\prime}$ (с компонентами $x^{\prime}=y^{\prime}=0, z^{\prime}=1$ ) путем преобразования $R^{-1}$ и, следовательно, является единичным вектором в направлении $Z^{\prime}$. Поэтому равенство (15.10a), определяющее $h$, принимает вид
\[
\mathbf{h}=\alpha_{1} \mathbf{s}_{x}+\alpha_{2} \mathbf{s}_{y}+\alpha_{3} \mathbf{s}_{z}
\]
где $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ – направляющие косинусы оси $Z^{\prime}$. Из (20.22а) видно, что оператор $Z^{\prime}$-компоненты спина построен из операторов компонент $X, Y, Z$, определенных в (15.10),
\[
\mathbf{s}_{x}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad \mathbf{s}_{y}=\left(\begin{array}{rr}
0 & i \\
-i & 0
\end{array}\right), \quad \mathbf{s}_{z}=\left(\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right),
\]

точно таким же способом, как и оператор $Z^{\prime}$-компоненты координаты (оператор умножения на $\alpha_{1} x+\alpha_{2} y+\alpha_{3} z$ ) образован из операторов координат $X Y Z$. Операторы этого типа называются „векторными операторами“.

Соотношение (15.11) показывает, что оператор (Rr, s) $=\left(r^{\prime}, \mathbf{s}\right)$ для $\mathrm{R} r$-компоненты спина получается из оператора ( $r, s$ ) для $r$-компоненты спина путем преобразования с $\mathbf{u}(R)^{-1}$ (т. е. с $\mathbf{Q}_{R}^{-1}$ ).

В теории спина изложение чаще всего начинают прямо с (20.22a), положив это равенство в основу всей теории.