7. Из унитарности операторов ${\mathrm{O}}_R$ и ${\mathrm{P}}_R$ (и, следовательно, также ${\mathbf{P}}_R^{-1}$ ) следует, что оператор ${\mathrm{Q}}_R={\mathrm{O}}_R{\mathrm{P}}_R^{-1}$ должен быть унитарным. Поэтому для любых функций $\mathrm{\Phi }$ и $\mathrm{\Psi }$
$$({\mathrm{Q}}_R\mathrm{\Phi },{\mathrm{Q}}_R\mathrm{\Psi })=(\mathrm{\Phi },\mathrm{\Psi }).$$

Отсюда следует, что матрица $\mathfrak{u}(R)$ должна быть унитарной. Если положить $\mathrm{\Phi }={\delta }_{s\sigma }\psi$ и $\mathrm{\Psi }={\delta }_{s\tau }\psi$, то, согласно (20.3) (если $\psi$ нормирована), $(\mathrm{\Phi },\mathrm{\Psi })={\delta }_{\sigma \tau }$. Поэтому в соответствии с (20.15) и (20.12a) имеем
$$\begin{array}{rl}{\delta }_{\sigma \tau }=({\mathrm{Q}}_R{\delta }_{s\sigma }\psi ,{\mathrm{Q}}_R{\delta }_{s\tau }\psi )& =({\mathbf{u}}_{s\sigma }\psi ,{\mathbf{u}}_{s\tau }\psi )=\\ & =\sum _{s=\pm 1}{\iint }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\int {\mathbf{u}}_{s\sigma }^{\ast }{\psi }^{\ast }{\mathbf{u}}_{s\tau }\psi dxdydz=\sum _{s=\pm 1}{\mathbf{u}}_{s\sigma }^{\ast }{\mathbf{u}}_{s\tau }.\end{array}$$

Но это равенство и является в точности условием унитарности матрицы и.

Кроме того, поскольку ${\mathrm{O}}_R$ определяется физическими требованиями и соотношениями (20.8a) лишь с точностью до постоянного множителя с абсолютной величиной 1 , зависящего от $R$, можно заменить ${\mathrm{O}}_R$ на $c_R{\mathrm{O}}_R$, не меняя физического содержания теории и не видоизменяя соотношений (20.8a) (где $\left|c_R\right|=1$ ). Множитель $c_R$ может быть включен в оператор ${\mathrm{Q}}_R$, т. е. в $\mathbf{u}(R)$; тем самым можно обеспечить, чтобы определитель матрицы $\mathbf{u}(R)$ был равен +1 .

Наконец, чтобы полностью определить матрицу $\mathbf{u}(R)$, учтем, что ${\mathrm{O}}_R\mathrm{\Phi }$ есть волновая функция состояния $\mathrm{\Phi }$, повернутого на $R$, а ${\mathrm{O}}_S{\mathrm{O}}_R\mathrm{\Phi }$ — волновая функция этого состояния, повернутого сначала на $R$, а затем на $S$, или в целом — на $SR$. Таким образом, оператор ${\mathrm{O}}_s{\mathrm{O}}_R$ физически полностью эквивалентен оператору ${\mathrm{O}}_{SR}$. Так как он тоже удовлетворяет соотношениям (20.8a) — произведение двух линейных унитарных операторов снова линейно и унитарно, — то он может отличаться от OSR лишь постоянным множителем:
$${\mathrm{O}}_{SR}=c_{S,R}{\mathrm{O}}_S{\mathrm{O}}_R.$$
Далее, в силу ${\mathbf{P}}_{SR}={\mathrm{P}}_S{\mathbf{P}}_R$ и соотношения (20.14), из (20.12) следует, что
$${\mathrm{Q}}_{SR}{\mathrm{P}}_{SR}=c_{S,R}{\mathrm{Q}}_S{\mathrm{P}}_S{\mathrm{Q}}_R{\mathrm{P}}_R,{\mathrm{Q}}_{SR}=c_{S,R}{\mathrm{Q}}_S{\mathrm{Q}}_R$$

или, с учетом (20.12a),
$$\begin{array}{rl}\sum _{t=\pm 1}\mathbf{u}(SR{)}_{st}\mathrm{\Phi }(x,y,z,t)& =c_{S,R}\sum _{r=\pm 1}\sum _{t=\pm 1}\mathbf{u}(S{)}_{sr}\mathbf{u}(R{)}_{rt}\mathrm{\Phi }(x,y,z,t),\\ \mathbf{u}(SR)& =c_{S,R}\mathbf{1}\cdot \mathbf{u}(S)\mathbf{u}(R).\end{array}$$

Так как определители всех матриц $\mathbf{м}\mathbf{ы}\mathbf{н}\mathbf{о}\mathbf{р}\mathbf{м}\mathbf{и}\mathbf{р}\mathbf{о}\mathbf{в}\mathbf{а}\mathbf{л}\mathbf{и}\mathbf{к}1$, из (20.17) следует также, что $|c_{S,R}\cdot \mathbf{1}|=1$ и $c_S,R=\pm 1$. Таким образом, с точностью до знака, матрицы $\mathbf{u}(R)$ образуют представление трехмерной группы вращений:
$$\mathbf{u}(SR)=\pm \mathbf{u}(S)\mathbf{u}(R).$$

Это наводит на мысль, что либо и $(R)$ совпадает с матрицами, которые обсуждались в гл. 15 ,
$$\mathbf{u}(\{\alpha \beta \gamma )={\mathfrak{D}}^{(1/2)}\{(\alpha \beta \gamma \})=\left(\begin{array}{ll}{e}^{-1/2l\alpha }\cos \frac{1}{2}\beta e^{-1/2l_{\gamma }}& -e^{-1/2l\alpha }\sin \frac{1}{2}\beta e^{1/2l_{\gamma }}\\ e^{1/2l\alpha }\sin \frac{1}{2}\beta e^{-1/2}{l}_{\gamma }& e^{1/2l\alpha }\cos \frac{1}{2}\beta e^{1/2}{l}_{\mathrm{{\rm Y}}}\end{array}\right),$$

либо по крайней мере получаются из них с помощью преобразования подобия. Это действительно так, и в следующей главе мы покажем, что всякая система двумерных матриц, удовлетворяющих (20.17a), либо состоит из единичных матриц, либо может быть получена из ${\mathfrak{D}}^{(1/2)}$ с помощью преобразования подобия. Первая из этих возможностен исключается, так как это означало бы, например, что состояние, в котором спин с достоверностью был направлен по оси $Z$, обладало бы этим свойством после произвольного вращения.

Матрица и может быть диагональной матрицей только для вращений с $\beta =0$ (которые оставляют неизменной ось $Z$ ); для таких вращений она должна быть диагональной. Деиствительно, если спин в первой системе координат имеет направление $-Z$, так что $\mathrm{\Phi }(x,y,z,1)=0$, то это должно сохраниться и во второй системе координат. Но если это так, из (20.11) следует, что ${\mathbf{u}}_{1,-1}=0$; аналогичным образом ${\mathbf{u}}_{-1,1}=0;$ значит $\mathbf{u}(\{\alpha 00\})$ есть диагональная матрица. Поскольку и эквивалентна ${\mathfrak{D}}^{1/2}(\{\alpha 00\})$, она может быть равна либо
$$\mathbf{u}(\{a00\})=\left(\begin{array}{cc}{e}^{-1/2l\alpha }& 0\\ 0& e^{1/2i\alpha }\end{array}\right),\text{ либо }\left(\begin{array}{cc}{e}^{1/2i\alpha }& 0\\ 0& e^{-1/2l\alpha }\end{array}\right).$$
Но из второго выражения следует, что в состоянии $\psi {\delta }_{s,-1}$ момент количества движения должен иметь направление $+Z$, а в состоянии $\psi {\delta }_{s,1}$ — направление — $Z$. Мы исключаем этот выбор, так как в этом случае волновая функция $\mathrm{\Phi }(x,y,z,-s)$ была бы приписана состоянию, которое мы описываем функцией $\mathrm{\Phi }(x,y,z,s)$.

Таким образом, $\mathbf{u}(\{\alpha 00\})={\mathfrak{D}}^{(1/2)}(\{\alpha 00\})$ и унитарная матрица $\mathbf{S}$, преобразующая ${\mathfrak{D}}^{(1/2)}$ в $\mathbf{u}$, должна коммутировать с ${\mathfrak{D}}^{(1/2)}(\{\alpha 00\})$; следовательно, она должна быть диагональной матрицей. Пусть ее два диагональных элемента равны $a$ и $a^{\prime }(|a|=\left|a^{\prime }\right|=1)$. Тогда можно изменить обозначения и приписать волновую функцию $\mathbf{S}\mathrm{\Phi }(x,y,z,s)$ состоянию, волновая функция которого ранее равнялась $\mathrm{\Phi }(x,y,z,s)$, где
$$\begin{array}{rl}\mathbf{S}\mathrm{\Phi }(x,y,z,-1)& =a\mathrm{\Phi }(x,y,z,-1),\\ \mathbf{S}\mathrm{\Phi }(x,y,z,1)& =a^{\prime }\mathrm{\Phi }(x,y,z,1).\end{array}$$

Это допустимо, так как до сих пор мы не придавали никакого значения комплексной фазе отношения $\mathrm{\Phi }(x,y,z,-1)/\mathrm{\Phi }(x,y,z,1)$. В описании, возникающем таким путем из первоначального и вполне эквивалентном ему, мы в каждом случае имеем
$$\mathbf{u}(\{\alpha ,\beta ,\gamma \})={\mathfrak{D}}^{(1/2)}(\{\alpha ,\beta ,\gamma \}),$$

и мы находим, что всякое описание спина, основанное на положениях, обсуждавшихся в п. n. 1, 2 и 3 , физически вполне эквивалентно описанию, в котором волновая функция состояния $\mathrm{\Phi }$, повернутого на $R$, равна ${}^1$ ) ${\mathrm{O}}_R\mathrm{\Phi }$. Здесь ${\mathrm{O}}_R={\mathrm{P}}_R{\mathrm{Q}}_R$ является оператором, определенным соотношением
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{O}}_R\mathrm{\Phi }(x,y,z,s)& =\sum _{t=\pm 1}{\mathfrak{D}}^{(1/2)}(R{)}_{1/2}s,1_2{\mathrm{P}}_R\mathrm{\Phi }(x,y,z,t)=\\ & =\sum _{t=\pm 1}{\mathfrak{D}}^{(1/2)}(R{)}_{1/2}s,1_{1/2}\mathrm{\Phi }(x^{\prime \prime },y^{\prime \prime },z^{\prime \prime },t),\end{array}$$

где $x^{\prime \prime },y^{\prime \prime },z^{\prime \prime }$ получаются из $x,y,z$ путем вращения $R^{-1}$. Матрицы ${\mathfrak{D}}^{(1/2)}$ имеют индексы $1/2s,1/2t$, так как строки и столбцы ${\mathfrak{D}}^{(1/2)}$ обозначены индексами $-1/2$ и $+1/2$ вместо индексов -1 и +1 в случае матрицы и.
Пусть, например,
$$\mathrm{\Phi }(x,y,z,s)=(x+iy)\exp (-r/2r_0)\text{ при }s=\pm 1$$

Функция $(x+iy)\exp (-r/2r_0)$ является, если отвлечься от нормировки. собственной функцией атома водорода с $N=2,l=1$ и $\mu =+1$ [см. (17.3)]
1) Здесь $R$ всегда является чистым вращением.
Рассмотрим состояние (20.Е.3) в системе координат, ось $Y$ которой совпадает со старой осью $Y$, а ось $Z$ является старой осью $X$. Тогда вращение $R$ имеет вид $\{0,\pi /2,0\}$ и
$$x^{\prime }=-z,y^{\prime }=y,z^{\prime }=x,$$

а обратным преобразованием является
$$x^{\prime \prime }=z,y^{\prime \prime }=y,z^{\prime \prime }=-x.$$

Матрица ${\mathfrak{D}}^{(1/2)}(\{0,\pi /2,0\})$ равна
$$\left(\begin{array}{rr}1/\sqrt{2}& -1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2}\end{array}\right).$$

Волновая функция состояния (20.Е.3) в новой системе координат, согласно (20.19), имеет вид
$$\begin{array}{l}{\mathrm{O}}_R\mathrm{\Phi }(x,y,z,s)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}(z+iy)e^{-r/2r_0}-\frac{1}{\sqrt{2}}(z+iy)e^{-r/2r_0}\text{ при }s=-1,\\ \frac{1}{\sqrt{2}}(z+iy)e^{-r/2r_0}+\frac{1}{\sqrt{2}}(z+iy)e^{-r/2r_0}\text{ при }s=+1,\end{array}\\ ={\delta }_{s1}\sqrt{2}(z+iy)e^{-r/2r_0}\text{. }\end{array}$$

В новой системе координат спин с достоверностью направлен по оси $+Z$; следовательно, в старой системе спин был с достоверностью направлен по оси $+X$.
8. Получим теперь определенные физические следствия из формул преобразования (20.19). С помощью (20.19) можно ответить на следующий важный вопрос: каковы вероятности того, что измерение проекции спина на ось $Z^{\prime }$ приведет к результатам $+\hslash /2$ и — $\hslash /2$, если известно, что $Z$-компонента имеет значение $+\hslash /2$ ? Иными словами, каково соотношение между вероятностями проекций спина на два направления $Z^{\prime }$ и $Z$, составляющие угол $\beta$ ? Если спин ориентирован в направлении $Z$, то волновая функция имеет вид $\mathrm{\Phi }(x,y,z,s)={\delta }_{s1}\phi (x,y,z)$. Если рассматривать это состояние с точки зрения системы коордиңат, повернутой на $\{0,\beta ,0\}$, то в силу соотношения
$${\mathbf{P}}_{\{0\beta 0\}}\mathrm{\Phi }(x,y,z,s)={\delta }_{s1}{P}_{\{0\beta 0\}}\phi (x,y,z)$$
[так как $\mathrm{\Phi }(x,y,z,-1)=0$ ], используя ${\mathfrak{D}}^{(1/2)}(\{0,\beta ,0\}{)}_{st}$ из (15.16), имеем
$$\begin{array}{c}{\mathrm{O}}_{\{0\beta 0\}}\mathrm{\Phi }(x,y,z,-1)=\cos \frac{1}{2}\beta {\mathrm{P}}_{(0\beta 0)}\mathrm{\Phi }(x,y,z,-1)-\\ -\sin \frac{1}{2}\beta {\mathrm{P}}_{\{0\beta 0\}}\mathrm{\Phi }(x,y,z,1)=-\sin \frac{1}{2}\beta {\mathrm{P}}_{\{0\beta 0\}}\phi (x,y,z),(20.20)\\ {\mathrm{O}}_{\{0\beta 0\}}\mathrm{\Phi }(x,y,z,1)=\sin \frac{1}{2}\beta {\mathrm{P}}_{\{0\beta 0\}}\mathrm{\Phi }(x,y,z,-1)+\\ +\cos \frac{1}{2}\beta {\mathrm{P}}_{\{0\beta 0\}}\mathrm{\Phi }(x,y,z,1)=\cos \frac{1}{2}\beta {\mathrm{P}}_{\{0\beta 0\}}\phi (x,y,z).\end{array}$$
Теперь второй наблюдатель может вычислить вероятность данного значения проекции спина на ось $Z^{\prime }$, составляющей угол $\beta$ с первоначальным направлением оси $Z$, непосредственно пользуясь волновой функцией ${\mathrm{O}}_{\{0\beta 0\}}\mathrm{\Phi }$. Согласно (20.20), вероятность найти спин в направлении $+Z^{\prime }$ дается выражением ${|\cos \frac{1}{2}\beta |}^2$, а вероятность найти спин в направлении $-Z^{\prime }$ — выражением ${|\sin \frac{1}{2}\beta |}^2$. Если вероятность определенного направления спина равна 1 , то для направления, составляющего с ним угол $\beta$, вероятность равна ${|\cos \frac{1}{2}\beta |}^2$. При $\beta =0$ эта вероятность равна 1 , как это и должно быть при совпадении двух направлений; при $\beta =\pi /2$, когда направления взаимно перпендикулярны, она равна $1/2$; при $\beta =\pi$, когда два направления противоположны, эта вероятность равна 0 .

Рассмотрим теперь вопрос о том, при каких условиях существует направление, в котором спин с достоверностью не лежит. Пусть этим направлением будет, скажем, направление $Z^{\prime }$, так что волновая функция ${\mathrm{O}}_{\{\alpha \beta \}\}}\mathrm{\Phi }$ в системе координат, в которой ось $Z$ совпадает с направлением $Z^{\prime }$, имеет вид
$${\mathrm{O}}_{\{\alpha \beta \}}\mathrm{\Phi }(x,y,z,s)={\delta }_{s,-1}\phi (x,y,z).$$

Сама волновая функция $\mathrm{\Phi }$ (ради краткости будем писать $R=\{\alpha ,\beta ,\gamma \})$ имеет вид
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Phi }(x,y,z,s)& ={\mathrm{O}}_{R^{-1}}{\mathrm{O}}_R\mathrm{\Phi }={\mathrm{O}}_{R^{-1}{\delta }_{s,-1}\phi (x,y,z)=}\\ & ={\mathfrak{D}}^{(1/2)}{\left(R^{-1}\right)}_{1/2s,-1/2}{\mathrm{P}}_{R^{-1}\phi }(x,y,z).\end{array}$$

Следовательно, такое направление будет существовать только в том случае, если $\mathrm{\Phi }(x,y,z,-1)$ и $\mathrm{\Phi }(x,y,z,1)$ различаются лишь постоянным множителем, не зависящим от $x,y,z$ :
$$\frac{\mathrm{\Phi }(x,y,z,-1)}{\mathrm{\Phi }(x,y,z,1)}=\frac{{\mathfrak{D}}^{(1/2)}(R{)}_{-1/2,-1/2}}{{\mathfrak{D}}^{(1/2)}(R{)}_{1/2,-1/2}}=e^{-l\alpha }\mathrm{ctg}\frac{1}{2}\beta .$$

Абсолютная величина и комплексная фаза этого множителя остаются, как показывает (20.Е.4), совершенно произвольными. То, что $\mathrm{\Phi }(x,y,z,-1)$ и $\mathrm{\Phi }(x,y,z,1)$ отличаются лишь множителем, показывает, что при одновременном измерении $Z$-компоненты спина и произвольной, не зависящей от спина величины вероятность для последней, в соответствии с п. 3, статистически независима от направления спина. В этом случае всегда существует направление — его азимут $\alpha$ и полярный угол $\beta$ даются соотношением (20.A.4) — вдоль которого спин с достоверностью не лежит; в противном случае такого направления не существует.
9. Следует еще обратить внимание на то обстоятельство, что далеко идущие конкретные утверждения о поведении электрона со спином могут быть получены на основе одних лишь требований инвариантности и общих принципов квантовой механики, а также нёкоторых весьма качественных постулатов. Только что полученные два результата, особенно результат, касающиися соотношений между вероятностями различных направлений спина, доступны (по крайней мере в принципе) экспериментальной проверке.

Определение оператора ${\mathrm{O}}_R$ было дано в предположении, что различные системы координат физически эквивалентны. Внешние поля, нарушающие изотропность пространства, могут также приводить к видоизменению операторов ${\mathrm{O}}_R$. Разумеется, пока внешнее поле слабо, операторы, осуществляющие переход к повернутым осям, будут по-прежжнему приближенно даваться выражением (20.19). Однако в дальнейшем (20.19) будет считаться справедливым и при сильных полях.

Наконец, обратим внимание на одно весьма существенное обстоятельство в выводе (20.19), которое могло быть заслонено математическим формализмом. Это обстоятельство состоит в том, что эквивалентность двух систем координат также влечет за собой эквивалентность операторов ${\mathrm{O}}_R$, осуществляющих преобразование к сходным образом повернутым системам координат.

Операторы ${\mathrm{O}}_R$ линейны и унитарны, но они не представляют точечного преобразования, как ${\mathrm{P}}_R$. По этой причине к ним не применимо соотношение (11.22). Это значит, что
$${\mathrm{O}}_R\mathrm{\Phi }\mathrm{\Psi }eq{\mathrm{O}}_R\mathrm{\Phi }\cdot {\mathrm{O}}_R\mathrm{\Psi }.$$

Кроме того, следует заметить, что вращение $R$ соответствует не одному, а двум операторам, ${\mathrm{O}}_R$ и $-{\mathrm{O}}_R$, так как матрица ${\mathfrak{D}}^{(1/2)}(\{\alpha ,\beta ,\gamma \})$, входящая в (20.19), определяется вращением лишь с точностью до знака. К тому же равенство ${\mathrm{O}}_{SR}={\mathrm{O}}_s{\mathrm{O}}_R$ не имеет места; выполняется лишь соотношение
$${\mathrm{O}}_{SR}=\pm {\mathrm{O}}_S{\mathrm{O}}_R.$$

Нет никакой возможности произвольно опустить один из этих операторов $+{\mathrm{O}}_R$ или $-{\mathrm{O}}_R$ таким путем, чтобы (20.16a) оставалось справедливым для оставшихся операторов с одним лишь верхним знаком.
10. Проекция спина на ось $Z$ является такой же „физической величиной\», как и пространственные координаты или момент количества движения. Тогда, согласно физической интерпретации квантовой механики, она должна соответствовать линейному эрмитовому оператору; этот оператор будем обозначать через ${\mathrm{s}}_z=(\hslash /2){\mathrm{s}}_z$. Собственными значениями оператора $s_z$, соответствующими возможным значениям — $\hslash /2$ и $+\hslash /2Z$-компоненты спина, являются -1 и +1 . Собственными функциями, принадлежащими первому собственному значению, являются все функции
${\mathrm{\Psi }}_{-}(x,y,z,s)={\delta }_{s,-1}\psi (x,y,z)$; они отличны от нуля только при $s=-1$. Второму собственному значению принадлежат все функции ${\mathrm{\Psi }}_{+}(x,y,z,s)=$ $=8_{s,1}{\psi }^{\prime }(x,y,z)$, отличные от нуля только при $s=+1$. Таким образом
$$\begin{array}{l}{\mathrm{s}}_z{\delta }_{s,-1}\psi (x,y,z)=-{\delta }_{s,-1}\psi (x,y,z),\\ {\mathrm{s}}_{z^0}{\hat{s}}_{s,1}{\psi }^{\prime }(x,y,z)=+{\delta }_s,{\psi }^{\prime }(x,y,z);\end{array}$$

для произвольных функций
$$\mathrm{\Phi }(x,y,z,s)={\delta }_{s,-1}\mathrm{\Phi }(x,y,z,-1)+{\delta }_{s,1}\mathrm{\Phi }(x,y,z,1)$$

мы имеем
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{s}}_z\mathrm{\Phi }(x,y,z,s)& ={\mathrm{s}}_z({\delta }_{s.-1}\mathrm{\Phi }(x,y,z,-1)+{\delta }_{s,1}\mathrm{\Phi }(x,y,z,1))=\\ & =-{\delta }_{s,-1}\mathrm{\Phi }(x,y,z,-1)+{\delta }_{s,1}\mathrm{\Phi }(x,y,z,1),\\ {\mathrm{s}}_z\mathrm{\Phi }(x,y,z,s)& =\sum _{t=\pm 1}t{\delta }_{st}\mathrm{\Phi }(x,y,z,t)=s\mathrm{\Phi }(x,y,z,s),\end{array}$$

в силу линейности операторов ${\mathbf{s}}_z$.
Так как оператор $s_z$ действует только на спиновые координаты, то, подобно ${\mathrm{Q}}_R$, его матричный вид будет
$${\mathbf{s}}_z=\left(\begin{array}{rr}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$$

Определим теперь оператор $h$, соответствующий $Z^{\prime }$-компоненте спина Для наблюдателя в системе координат, осью $Z$ которой является $Z^{\prime }$, этот оператор равен просто ${\mathrm{s}}_z$, поскольку для этого наблюдателя, по определению, все операторы имеют тот же вид, что и для первого наблюдателя, за исключением того, что они относятся к его собственной системе координат. С другой стороны, этот оператор должен получаться из $\mathrm{h}$ путем преобразования с помощью оператора ${\mathrm{O}}_R$, так что
$${\mathrm{s}}_z={\mathrm{O}}_R{\mathrm{hO}}_R^{-1},\mathrm{h}={\mathrm{O}}_{R^{-1}}{\mathrm{s}}_z{\mathrm{O}}_R.$$

Тогда в силу (20.12) (а также в силу коммутативности $P_R$ с $s_z$ ) следует, что
$$\mathrm{h}={\mathrm{Q}}_{R^{-1}}{\mathrm{P}}_{R^{-1}}{\mathrm{s}}_z{\mathrm{P}}_R{\mathrm{Q}}_R={\mathrm{Q}}_{R^{-1}}{\mathrm{s}}_z{\mathrm{Q}}_R$$

Если для всех операторов, входящих в (20.22), воспользоваться матричной, формой (они действуют только на $s$ ), получим
$$\mathbf{h}=\mathbf{u}(R{)}^{†}{\mathbf{s}}_{\mathbf{z}}\mathbf{u}(R).$$

Теперь из соотношения (15.11) следует, что наш оператор $h$ совпадает с матрицей, использованной в этом соотношении, если положить $\bar{\mathrm{h}}={\mathbf{8}}_z$ (т. е. $x^{\prime }=y^{\prime }=0,z^{\prime }=1$ ). Вектор $r=(x,y,z)$ в равенстве (15.11) представляет собой вектор, компоненты которого получаются из ${\mathit{r}}^{\prime }$ (с компонентами $x^{\prime }=y^{\prime }=0,z^{\prime }=1$ ) путем преобразования $R^{-1}$ и, следовательно, является единичным вектором в направлении $Z^{\prime }$. Поэтому равенство (15.10a), определяющее $h$, принимает вид
$$\mathbf{h}={\alpha }_1{\mathbf{s}}_x+{\alpha }_2{\mathbf{s}}_y+{\alpha }_3{\mathbf{s}}_z$$
где ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ — направляющие косинусы оси $Z^{\prime }$. Из (20.22а) видно, что оператор $Z^{\prime }$-компоненты спина построен из операторов компонент $X,Y,Z$, определенных в (15.10),
$${\mathbf{s}}_x=\left(\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\mathbf{s}}_y=\left(\begin{array}{rr}0& i\\ -i& 0\end{array}\right),{\mathbf{s}}_z=\left(\begin{array}{rr}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),$$

точно таким же способом, как и оператор $Z^{\prime }$-компоненты координаты (оператор умножения на ${\alpha }_{1}x+{\alpha }_{2}y+{\alpha }_{3}z$ ) образован из операторов координат $XYZ$. Операторы этого типа называются „векторными операторами“.

Соотношение (15.11) показывает, что оператор (Rr, s) $=(r^{\prime },\mathbf{s})$ для $\mathrm{R}r$-компоненты спина получается из оператора ( $r,s$ ) для $r$-компоненты спина путем преобразования с $\mathbf{u}(R{)}^{-1}$ (т. е. с ${\mathbf{Q}}_R^{-1}$ ).

В теории спина изложение чаще всего начинают прямо с (20.22a), положив это равенство в основу всей теории.