Подгруппа, состоящая исключительно из целых классов первоначальной группы, называется инвариантной подгруппой. Пусть $\mathscr{R}=E, N_{2}, \ldots, N_{n}$ есть инвариантная подгруппа. Будучи группой, она должна содержать наряду с $N_{i}$ и $N_{j}$ также их произведение $N_{i} N_{j}$. Кроме того, она содержит $X N_{i} X^{-1}$, где $X$ является любым элементом полной группы, поскольку инвариантная подгруппа содержит все элементы $X N_{i} X^{-1}$ некоторого класса, если она содержит один элемент $N_{l}$ этого класса. Обычная подгруппа содержала бы $X N_{i} X^{-1}$ только в том случае, если бы наряду с $N_{i}$ она содержала и $X$.
В обычной подгруппе, как во всякой группе, элементы
\[
N_{j} E=N_{j}, \quad N_{j} N_{2}, \ldots, N_{j} N_{n}
\]

совпадают с элементами подгруппы с точностью до порядка. То же самое имеет место для последовательности
\[
E N_{j}^{-1}=N_{j}^{-1}, \quad N_{2} N_{j}^{-1}, \ldots, N_{n} N_{j}^{-1}
\]

и последовательности
\[
N_{j} E N_{j}^{-1}=E, \quad N_{j} N_{2} N_{j}^{-1}, \ldots, N_{j} N_{n} N_{j}^{-1},
\]

образуемой из (8.Е.2) при подстановке последовательности (8.E.1) вместо первого множителя в каждом члене (это лишь меняет порядок членов). Все $N_{i}$ являются здесь элементами подгруппы.

С другой стороны, когда элементы $E, N_{2}, \ldots, N_{n}$ образуют инвариантную подруппу, последовательность
\[
X E X^{-1}=E, \quad X N_{2} X^{-1}, \ldots, X N_{n} X^{-1},
\]

где $X$ — некоторый произвольный элемент полной группы, с точностью до порядка совпадает с элементами инвариантной подгруппы. Все элементы (8.E.4) встречаются в инвариантной подгруппе, так как они сопряжены с элементами подгруппы; как мы сейчас покажем, все әлементы инвариантной подгруппы встречаются в (8.E.4). Чтобы найти некоторый элемент $N_{k}$ в (8.E.4), нужно лишь построить $X^{-1} N_{k} X$. Этот элемент должен быть среди элементов $E, N_{2}, \ldots, N_{n}$. Пусть им будет $N_{l}$. Тогда $N_{k}=X N_{l} X^{-1}$ и $N_{k}$ встречается в (8.E.4) на $l$-м месте.

Каждая подгруппа абелевой группы является инвариантной подгруппой. Каждый элемент образует класс сам по себе; поэтому каждая подгруппа должна состоять целиком из полных классов. Симметрические группы имеют одну, и вообще только одну инвариантную подгруппу, состоящую из всех четных перестановок. Четные перестановки образуют подгруппу, так как произведение двух четных перестановок есть снова четная перестановка. Кроме того, элемент, сопряженный с четной перестановкой, должен быть четной перестановкой и поэтому также встречается в подгруппе (см. также гл. 13).

В примере (7.E.1) элементы $E, D$ и $F$ составляют инвариантную подгруппу. Читателю предлагается проверить другие теоремы для специального случая этой группы.

Определение инвариантных подгрупп очень важно для изучения строения группы. Группы, не имеющие инвариантных подгрупп, называются простыми группами.