Интерпретация величин
\[
\left|\mathfrak{D}^{(j)}(R)_{\mu^{\prime} \mu}\right|^{2}=\left[d^{(j)}(\beta)_{\mu^{\prime} \mu}\right]^{2}
\]

с помощью наблюдаемых величин, которая может быть дана по крайней мере в принципе, уже содержится в предыдущем разделе. Выражение (27.E.1) дает вероятность того, что $Z$-компонента момента количества движения равна $\mu^{\prime} \hbar$, если $Z^{\prime}$-компонента этой величины равна $\mu \hbar$, а полныи момент количества движения ${ }^{1}$ ) равен $j \hbar$. Вращение $R$ переводит направление $Z^{\prime}$ в направление $Z$. Угол между $Z$ и $Z^{\prime}$ равен $\beta$, и, разумеется, (27.Е.1) зависит только от $\beta$ и не зависит от остальных эйлеровых углов вращения $R$. Аналогичная интерпретация матрицы преобразования спина одного электрона была дана после соотношений (20.20); истолкование коэффициентов представления, которое неявно содержится в (27.Е.1), было подчеркнуто- Гюттингером ${ }^{2}$ ).

Из указанной интерпретации коэффициентов представлений следует ряд соотношений. Наиболее очевидным из них является то, что вероятность (26.Е.1) симметрична относительно $\mu^{\prime}$ и $\mu$. Легко показать, что
\[
d^{(j)}(\beta)_{\mu^{\prime} \mu}=(-1)^{\mu-\mu^{\prime}} d^{(j)}(\beta)_{\mu \mu^{\prime}} .
\]

Другими соотношениями, для которых квадрат неявно содержится в интерпретации величины (27.Е.1), являются (24.7) и (19.14).

Полагая $\mu=j$ в (27.1), получаем состояние, в котором момент количества движения параллелен оси $Z^{\prime}$. Тогда вероятность того,
1) См. примечание на стр. 415.
2) P. Güttinger, Zs. f. Phys., 73, 169 (1932).
что $Z$-компонента момента будет равна $\mu \hbar$, согласно (27.2) и (15.27a), есть
\[
P(\mu)=\left(\begin{array}{c}
2 j \\
j-\mu
\end{array}\right) \cos ^{2 j+2 \mu} \frac{1}{2} \beta \sin ^{2 j-2 \mu} \frac{1}{2} \beta .
\]

Если $j$ велико, то следует ожидать, что это выражение будет иметь максимум около $\mu_{0}=j \cos \beta$ – того самого значения, которое $\mu$ принимает согласно классической теории. Вероятность $P(\mu)$ может быть вычислена в окрестности $\mu_{0}$ наиболее просто, если принять, что $\mu_{0}=j \cos \beta$ есть целое число. Поскольку $j$ велико, это ограничение не является существенным. Тогда, если $\mu>\mu_{0}$,
\[
\begin{aligned}
P(\mu) & =\frac{(2 j) !}{(j-\mu) !(j+\mu) !} \cos ^{2 j+2 \mu} \frac{1}{2} \beta \sin ^{2 j-2 \mu} \frac{1}{2} \beta= \\
& =\frac{\left(j-\mu_{0}\right)\left(j-\mu_{0}-1\right) \ldots(j-\mu-1)}{\left(j+\dot{\mu}_{0}+1\right)\left(j+\mu_{0}+2\right) \ldots(j+\mu)}\left(\operatorname{tg}^{2} \frac{1}{2} \beta\right)^{\mu_{0}-\mu} P\left(\mu_{0}\right)
\end{aligned}
\]

или, так как
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{tg}^{2} \frac{1}{2} \beta=\frac{1-\cos \beta}{1+\cos \beta}=\frac{j-\mu_{0}}{j+\mu_{0}}, \\
P(\mu)=\frac{1\left(1-\frac{1}{j-\mu_{0}}\right)\left(1-\frac{2}{j-\mu_{0}}\right) \cdots\left(1-\frac{\mu-\mu_{0}-1}{j-\mu_{0}}\right)}{\left(1+\frac{1}{j+\mu_{0}}\right)\left(1+\frac{2}{j+\mu_{0}}\right) \ldots\left(1+\frac{\mu-\mu_{0}}{j+\mu_{0}}\right)} P\left(\mu_{0}\right) .
\end{array}
\]

Если $\mu-\mu_{0} \ll j \pm \mu_{0}$, это выражение весьма близко к
\[
P(\mu) \approx \frac{e^{-\left(\mu-\mu_{0}\right)^{2} / 2\left(j-\mu_{0}\right)}}{e^{\left(\mu-\mu_{0}\right)^{2} / 2\left(j+\mu_{0}\right)}} P\left(\mu_{0}\right)=e^{-j\left(\mu-\mu_{0}\right)^{2} /\left(j^{2}-\mu_{0}^{2}\right)} P\left(\mu_{0}\right) .
\]

Та же самая формула относится к случаю $\mu \lessdot \mu_{0}$. В квантовой теории $P(\mu)$ имеет гауссово распределение около значения $\mu_{0}$, которое имела бы величина $\mu$ в классической теории. Результат не был бы таким простым, если бы мы рассматривали состояние $\mathrm{O}_{R} \Psi_{\mu}^{j}$ с $\mu
eq j$, так как момент количества движения такого состояния может иметь, даже в классической теории, любое направление, составляющее угол $\theta$ с осью $Z^{\prime}$, где $\cos \theta=\mu / j$. Лишь в случае $\mu= \pm j$ это направление единственно; тогда оно совпадает соответственно с $Z^{\prime}$ и $-Z^{\prime}$.