1. Группа, содержащая лишь один элемент, состоит из одного только элемента $E$.
2. Группа порядка 2 имеет следующую групповую таблицу умножения:
\begin{tabular}{c|cc}
& $E$ & $A$ \\
\hline$E$ & $E$ & $A$ \\
$A$ & $A$ & $E$
\end{tabular}
Эта группа является абелевой. Мы назовем ее группой отражения, так как она составлена из тождественного преобразования и преобразования отражения $x^{\prime}=-x$.
3. Группа порядка 3 может содержать наряду с единичным элементом только элемент порядка 3 , так как ее порядок должен быть целым делителем трех (отличным от 1). Она состоит из одного периода. Ее элементами являются
\[
E, A, A^{2}\left(A^{3}=E\right) .
\]

Таким образом, эта группа абелева.
То же самое имеет место для всякой группы, порядок которой является простым числом ‘p. Элементы таких групп имеют вид
\[
E, A, A^{2}, A^{3}, \ldots, A^{p-1} .
\]

Группы такого вида называются также циклическими группами, даже если $p$ не является простым числом. Если $\omega$ является $n$-м простым корнем из единицы, (т. е. $\omega^{n}$ есть наинизшая степень $\omega$, которая равна 1 , как, например, для $\omega=\cos 2 \pi / n+i \sin 2 \pi / n$ ), то числа
\[
1, \omega, \omega^{2}, \ldots, \omega^{n-1}
\]

образуют циклическую группу порядка $n$, если под групповым умножением понимать обычное числовое умножение. Все циклические группы абелевы. „Та же“ группа, что и (7.Е.4), образуется числами
\[
0,1,2, \ldots, n-1 \text {, }
\]

если групповое умножение определено как сложение по модулю $n$ (если, например, $n=7$, то $5 \cdot 4 \doteq 2$, так как $5+4=9=7+2=$ $=n+2$ ). Элементы группы (7.Е.5) можно сопоставить элементам (7.Е.4) взаимно однозначным образом путем установления соответствия между $k$ и $\omega^{k}$. Это соответствие имеет то свойство, что с его помощью „произведения преобразуются в произведения\», т. е. из $k_{1} \cdot k_{2}=k_{3}$ следует $\omega^{k_{1}} \cdot \omega^{k_{2}}=\omega^{k_{3}}$. Такие две группы называются изоморфными ${ }^{1}$ ).
1) Чтобы показать, что не все из доказанных выше теорем тривиальны, упомянем их следствие для теории чисел. Если $n+1$ есть простое число, то числа $1,2,3, \ldots, n$ образуют групду еще одним способом, если понимать под групповым умножением числовое умножение по модулю $n+1$. Если, скажем, $n+1=7$, то $3 \cdot 5=1$, так как $3 \cdot 5=$ $=15=2 \cdot 7+1$; при этом тождественным элементом будет 1 . Тогда период каждого элемента является делителем $n$, порядка группы. Таким образом, мы обязательно имеем $A^{n}=1$, если $A$ есть элемент этой группы. Но это равносильно утверждению, что $a^{n} \equiv 1(\bmod n+1)$, если $a$ есть одно из чисел $1,2,3, \ldots, n$. Это частный случай теоремы Ферма, которая, как следует признать, нетривиальна.
Две группы изоморфны, если элементам $A$ одной из них можно сопоставить элементы $\bar{A}$ другой, притом взаимно однозначно и так, что из $A B=C$ следует, что $\bar{A} \bar{B}=\bar{C}$, т. е. что $\bar{A} \bar{B}=\overline{A B}$. Изоморфные группы в сущности совпадают; лишь индивидуальные элементы пронумерованы по-разному.
4. Имеются две группы порядка 4, т. е. две группы, не изэморфные одна другой. Все остальные изоморфны одной из этих двух. Первая группа — это циклическая группа, например $1, i$, $-1,-i$ с групповым умножением, определенным как числовое умножение. Вторая группа — это так называемая четыре-групna. Ее групповая таблица такова:
\begin{tabular}{c|cccc}
& $E$ & $A$ & $B$ & $C$ \\
\hline$E$ & $E$ & $A$ & $B$ & $C$ \\
$A$ & $A$ & $E$ & $C$ & $B$ \\
$B$ & $B$ & $C$ & $E$ & $A$ \\
$C$ & $C$ & $B$ & $A$ & $E$
\end{tabular}

Все элементы этой группы (кроме $E$ ) порядка 2: она также абелева.
5. Четыре-группа является первым примером весьма обширного множества групп, а именно симметрических групп. Рассмотрим правильный $n$-угольник на плоскости $X Y$. Пусть координаты $n$ вершин равны $x_{k}=$ $=r \cos 2 \pi k / n, y_{k}=r \sin 2 \pi k / n \quad(k=0,1,2,3, \ldots, n-1)$, и рассмотрим все линейные подстановки
\[
x^{\prime}=\alpha x+\beta y, \quad y^{\prime}=\gamma x+\delta y,
\]

которые преобразуют правильный $n$-угольник „в самого себя“, т. е. для которого новые координаты вершин $x_{x}^{\prime}$, $y_{x}^{\prime}$ могут быть снова записаны в виде
\[
x_{x}^{\prime}=r \cos \frac{2 \pi x}{n}, \quad y_{x}^{\prime}=r \sin \frac{2 \pi x}{n}
\]
$(x=0,1,2,3, \ldots, n-1)$. Матрицы этих линейных подстановок образуют груnnу, так как произведение любых двух подстановок, подстановка, обратная любой из подстановок, а также единичный элемент $E$-все удовлетворяют условиям для элементов группы.

Подстановками, преобразующими $n$-угольник в самого себя, являются следующие. а) Вращения плоскости на углы $2 \pi k / n(k=0,1,2, \ldots, n-1)$; соответствующие матрицы имеют вид
\[
\left(\begin{array}{cc}
\cos \frac{2 \pi k}{n}, & \sin \frac{2 \pi k}{n} \\
-\sin \frac{2 \pi k}{n}, & \cos \frac{2 \pi k}{n}
\end{array}\right)=\mathbf{D}_{k} .
\]
Они образуют циклическую группу. б) Отражение плоскости в прямой и последующее вращение на угол $2 \pi k / n$. Соответствующие матрицы равны
\[
\left(\begin{array}{rr}
-\cos \frac{2 \pi k}{n}, & \sin \frac{2 \pi k}{n} \\
\sin \frac{2 \pi k}{n}, & \cos \frac{2 \pi k}{n}
\end{array}\right)=\mathrm{U}_{k} .
\]

Эти $2 n$ матриц образуют группу порядка $2 n$, известную как группу диэдра. Матрицы (7.Е.6) образуют подгруппу этой группы, а матрицы (7.Е.7) — смежный класс по этой подгруппе. 4-группа с $n=2$ является простейшим примером группы диэдра; $n$-угольник вырождается в две вершины, т. е. в отрезок прямой. В то время как 4 -группа все еще является абелевой, другие диэдрические группы уже не являются абелевыми. Группа (7.Е.1) есть диэдрическая группа правильного треугольника и является первой неабелевой группой; элементы $E, F, D$ относятся к подгруппе, а $A, B, C$-к смежному классу.

Подстановки, преобразующие правильные многогранники в самих себя, являются важными и интересными группами, и известны как группы симметрии. Они обычно определяются с помощью правильных многогранников, которые они преобразуют в самих себя. Таким образом существует группа тетраэдра, группа октаэдра, группа икосаэдра и т. д. Они играют важную роль в кристаллофизике.
6. Весьма важны также группы перестановок. Рассмотрим числа от 1 до $n: 1,2,3, \ldots, n$. Всякий порядок $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ этих $n$ чисел образует перестановку. Таким образом, всего существует $n !$ перестановок $n$ предметов, обычно обозначаемых символом
\[
\left(\begin{array}{cccc}
1, & 2, & 3, & \ldots, n \\
\alpha_{1}, & \alpha_{2}, & \alpha_{3}, \ldots, & \alpha_{n}
\end{array}\right) .
\]

Объекты, которые должны быть переставлены, записываются в их естественном порядке в верхней строчке, а во второй строчке в порядке, возникающем в результате рассматриваемой перестановки. Перемножение двух перестановок $P_{1}$ и $P_{2}$ производится таким образом, что те изменения, которые $P_{2}$ должна вызывать в естественном порядке, происходят с предметами в порядке $P_{1}$. Так, если

To
\[
P_{1}=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\right) \text { и } P_{2}=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2
\end{array}\right),
\]
\[
P_{1} P_{2}=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
1 & 3 & 2
\end{array}\right) .
\]

Это значит, что, поскольку $P_{2}$ преобразует 1 в 3,3 появляется в $P_{1} P_{2}$ там, где 1 находится в $P_{1}$. Аналогичным образом, так как $P_{2}$ преобразует 2 в 1,1 появляется в $P_{1} P_{2}$ там, где 2 находится в $P_{1}$, и т. д,
Если $P_{1}$ переводит $k$ в $\alpha_{k}, P_{2}-\alpha_{k}$ в $\beta_{k}$ и $P_{3}-\beta_{k}$ в $\gamma_{k}$, то $P_{1} P_{2}$ переводит $k$ в $\beta_{k}$, а $P_{2} P_{3}$ — $\alpha_{k}$ в $\gamma_{k}$. Таким образом, как $\left(P_{1} P_{2}\right) \cdot P_{3}$, так и $P_{1} \cdot\left(P_{2} P_{3}\right)$ преобразуют $\alpha_{k}$ в $\gamma_{k} ;$ следовательно, перемножение перестановок ассоциативно.

Совокупность всех $n$ ! перестановок $n$ объектов образует группу с тождественной перестановкой
\[
\left(\begin{array}{lllll}
1, & 2, & 3, & \ldots, & n \\
1, & 2, & 3, & \ldots, & n
\end{array}\right)
\]

в качестве единичного элемента. Эта группа называется симметрической группой ${ }^{1}$ ) степени $n$. Симметрическая группа третьей степени имеет порядок 6; она изоморфна группе (7.Е.1) и, следовательно, группе диэдра с $n=3$. Соответствие между ними следующее:
\[
\begin{array}{l}
\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
1 & 3 & 2
\end{array}\right) \\
E \quad A \quad B \\
\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1
\end{array}\right) \\
\text { C } \\
\text { D } \\
\text { F } \\
\end{array}
\]

Симметрические группы также играют существенную роль в квантовой механике.