Предыдущие расчеты указывают более симметричный вид коэффициентов векторного сложения, но не дают еще соотношений, которые позволили бы без труда и с наименьшими вычислениями получить формулы последней главы. Как уже упоминалось в первом разделе настоящей главы, между коэффициентами векторного сложения должно существовать некоторое общее соотношение, которое при полном его использовании может сделать совершенно прозрачными выводы формул Хёнля – Кронига, правила интервалов Ланде и других аналогичных выражений. Имеется много способов вывести искомые формулы; некоторые формулы уже следуют из расчетов последней главы.

Рассмотрение трех частиц, движущихся в сферически симметричном поле, приводит к вышеупомянутым соотношениям наиболее естественным путем ${ }^{1}$ ). Первая частица имеет значение энергии, которому принадлежат волновые функции $\psi_{x}$ при $x=-j_{1}$, $-j_{1}+1, \ldots, j_{1}-1, j_{1} ;$ функции $\psi_{x}$ являются партнерами и принадлежат представлению $\mathfrak{D}^{\left(f_{1}\right)}$. Волновыми функциями, соответствующими энергии второй частицы, являются $\varphi_{\lambda}$; эти функции принадлежат представлению $\mathfrak{D}^{\left(\rho_{2}\right)}$. Соответствующими величинами для третьей частицы являются $\chi_{u}$ и $\mathfrak{D}^{\left(j_{3}\right)}$. Волновая функция всей системы является линейной комбинацией функций
\[
\psi_{x}(1) \varphi_{\lambda}(2) \chi_{\mu}(3),
\]

где цифрами $1,2,3$ обозначены координаты трех частиц. Поскольку функции $\psi_{x}(1)$ всегда будут зависеть от координат первой частицы, в дальнейшем ее аргумент будет опускаться. Подобным образом вместо $\varphi_{\lambda}(2)$ и $\chi_{\mu}$ (3) будем писать $\varphi_{\lambda}$ и $\chi_{\mu \mu}$. Рассматриваемая ситуация является крайне схематичной и не описывает какой-либо реальной физической системы. Однако связанные с ней соображения полезны для получения искомых соотношений.
1) См. цитированные выше работы Рака́ (стр. 227) и монографию Эдмондса (стр. 338), гл. 6; см. также L. C. BIedenharn, J. M. B I att, M. E. R os e, Rev. Mod. Phys., 24, 249 (1952).
Образуем линейные комбинации волновых функций (24.Е.4), которые преобразуются по неприводимому представлению $J$ при вращении координат всех трех частиц. Такие волновые функции можно получить тремя различными путями. Во-первых, можно связать моменты количества движения первых двух частиц в результирующий момент $j$, согласно (24.15а),
\[
\mathrm{X}_{m}^{j}(1,2)=\sqrt{2 j+1}\left(\begin{array}{ccc}
j & x & \lambda \\
m & j_{1} & j_{2}
\end{array}\right) \psi_{\mathrm{x}} \varphi_{\lambda},
\]

и затем связать третью частицу с полученным моментом $j$, так чтобы образовать полный момент количества движения $J$,
\[
\begin{aligned}
& \mathrm{X}_{M}^{j J}(1,2,3)=\sqrt{2 J+1}\left(\begin{array}{ccc}
J & \mu & m \\
M & j_{3} & j
\end{array}\right) \chi_{i} \mathrm{X}_{m}^{j}(1,2)= \\
= & \sqrt{2 J+1} \sqrt{2 j+1}\left(\begin{array}{ccc}
J & \mu & m \\
M & j_{3} & j
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
j & \chi & \lambda \\
m & j_{1} & j_{2}
\end{array}\right) \Psi_{x} \varphi_{\lambda} \chi_{\mu} .
\end{aligned}
\]

Индекс $j$ указывает полный момент частиц 1 и 2 , посредством которых было получено состояние $\mathrm{X}_{M}^{j J}$. Волновая функция (24.21) была бы естественным предметом рассмотрения, если бы взаимодейстие между частицами 1 и 2 было сильнее, чем взаимодействие каждой из этих частиц с частицей 3 .

С другой стороны, состояния с моментом $J$ могут быть получены, если связать сначала частицы 2 и 3 , а результирующее состояние – с частицей 1 или если связать частицы 1 и 3 , а затем получить окончательную волновую функцию, связывая полученное таким образом состояние с частицей 2 . Эти схемы соответствуют более сильному взаимодействию между частицами 2,3 и частицами 1,3 соответственно, однако мы не будем рассматривать эту мотивировку более подробно. Полученные таким путем волновые функции имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\Psi_{M}^{j J}(1,2,3)=\sqrt{2 J+1} \sqrt{2 j+1}\left(\begin{array}{ccc}
J & x & m \\
M & j_{1} & j
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
j & \lambda & \mu \\
m & j_{2} & j_{3}
\end{array}\right) \psi_{x} \varphi_{\lambda} \chi_{\mu^{\prime}} . \\
\Phi_{M}^{j J}(1,2,3)=\sqrt{2 J+1} \sqrt{2 j+1}\left(\begin{array}{ccc}
J & \lambda & m \\
M & j_{2} & j
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
j & x^{\prime} & \mu \\
m & j_{1} & j_{3}
\end{array}\right) \psi_{\mathrm{x}} \varphi_{\lambda} \chi_{\mu \mu} .
\end{array}
\]

Индекс $j$ в (24.21а) означает совместный момент частиц 2 и 3. Подобным образом $j$ в $(24.216)$ дает совместный момент частиц 1 и 3 .
$\begin{array}{llll}\text { Глав } & 24\end{array}$
Три состояния $\Psi_{M}^{j J}, \Phi_{M}^{\prime J}$ и $\mathrm{X}_{M}^{j J}$ не совпадают, хотя полный момент количества движения и его $Z$-компонента равны $J \hbar$ и $M \hbar$ для каждого из них. Однако поскольку каждое состояние (24.Е.4) может быть выражено в виде линейной комбинации всех $\Phi_{M^{\prime}}^{j^{\prime} J^{\prime}}$, то это справедливо также и для $\Psi_{M}^{j J}$ или $\mathrm{X}_{M}^{j J}$. Кроме того, если выразить, например,
\[
\mathrm{X}_{M}^{j J}=\sum_{j^{\prime}} \sum_{J^{\prime} M^{\prime}} c\left(j J M ; j^{\prime} J^{\prime} M^{\prime}\right) \Phi_{M^{\prime}}^{j^{\prime} J^{\prime}}
\]

через функции $\Phi$, то коэффициенты при $\Phi_{M^{\prime}}^{J^{\prime} J^{\prime}}$ с $J^{\prime}
eq J$ или $M^{\prime}
eq M$ будут обращаться в нуль, так как эти функции $\Phi$ принадлежат либо представлению, отличному от представления $\mathfrak{D}^{(J)}$ функций $\mathrm{X}_{M}^{j J}$, либо иной строке этого представления. Следовательно, суммирование по $J^{\prime}, M^{\prime}$ в (24.22) может быть опущено, а эти индексы можно заменить на $J$ и $M$. Далее, коэффициенты $c\left(j J M ; j^{\prime} J M\right)$ не зависят от $M$, так как и $\mathrm{X}_{M}^{j J}$ и $\Phi_{M}^{j^{\prime} J}$ являются партнерами, принадлежащими одному и тому же представлению $\mathfrak{D}^{(J)}$. Скалярные произведения ( $\mathrm{X}_{M}^{j J}, \Phi_{M}^{j^{\prime} J}$ ) не зависят от $M$. Поэтому и коэффициенты $c$ не зависят от $M$.

Следовательно, если всюду опустить множитель $\sqrt{2 J+1}$, (24.22) дает соотношение вида
\[
\begin{array}{c}
\sqrt{2 j+1}\left(\begin{array}{ccc}
J & \mu & m \\
M & j_{3} & j
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
j & x & \lambda \\
m & j_{1} & j_{2}
\end{array}\right) \psi_{x} \varphi_{\lambda} \chi_{\mu^{\alpha}}= \\
=\sum_{j^{\prime}} c^{j}\left(j ; j^{\prime}\right) \sqrt{2 j^{\prime}+1}\left(\begin{array}{ccc}
J & \lambda & m \\
M & j_{2} & j^{\prime}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
j^{\prime} & \chi & \mu \\
m & j_{1} & j_{3}
\end{array}\right) \psi_{x} \varphi_{\lambda} \chi_{\mu \mu} .
\end{array}
\]

В обеих частях последнего соотношения подразумевается суммирование по $m, x, \lambda, \mu$. Однако, в силу линейной независимости функций $\psi_{x} \varphi_{\lambda} \chi_{\mu}$, коэффициенты при каждом произведении $\psi_{x} \varphi_{\lambda} \chi_{\mu}$ в обеих частях равны
\[
\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{lll}
J & \mu & m \\
M & j_{3} & j
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
j & x & \lambda \\
m & j_{1} & j_{2}
\end{array}\right)= \\
=\sum_{j^{\prime}}(-1)^{2 j_{1}}\left(2 j^{\prime}+1\right)\left\{\begin{array}{lll}
J & j_{2} & j^{\prime} \\
j_{1} & j_{3} & j
\end{array}\right\}\left(\begin{array}{lll}
J & \lambda & m \\
M & j_{2} & j^{\prime}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
j^{\prime} & x & \mu \\
m & j_{1} & j_{3}
\end{array}\right),
\end{array}
\]

где
\[
\left\{\begin{array}{lll}
J & j_{2} & j^{\prime} \\
j_{1} & j_{3} & j
\end{array}\right\}=\frac{(-1)^{2 j_{1}} c^{\prime}\left(j ; j^{\prime}\right)}{\sqrt{2 j+1} \sqrt{2 j^{\prime}+1}} .
\]
Эти величины называются $6 j$-символами, или коэффициентами Рака́1) или коэффициентами повторной связи (recoupling coefficients). Последнее название указывает на связь с настоящим выводом, который заключается в переходе от волновой функции $\mathrm{X}$ к волновой функции $\Phi$. В первом случае сильно связаны частицы 1 и 2 , а во втором – частицы 1 и 3 . Из вывода следует, что $6 j$-символы не зависят от $x, \lambda, \mu$ [эти индексы вошли только при переходе от (24.22a) к (24.23)], а также не зависят от $M$ (как уже было указано). Ниже мы покажем это еще раз. Следовательно, (24.23) является тождеством по $x, \lambda, \mu$, и $6 j$-символ является универсальной функцией шести $j$, входящих в него; он полностью (численно) определяется этими шестью числами. Заметим, что в обеих частях равенства (24.23) подразумевается суммирование по $m$. Фактически же, поскольку в (24.23) последний $3 j$-символ не обращается в нуль только при $m=x+\mu$, для каждого $j^{\prime}$ лишь один член отличен от нуля, и правая часть содержит по существу только суммирование по $j^{\prime}$. Кроме того, в силу наличия $3 j$-символов в правой части, даже член с $m=x+\mu$ исчезает, если не выполнено равенство $M=\lambda+m=x+\lambda+\mu$. Левая часть содержит только один член – член с $m=x+\lambda-и$ обращается в нуль, кроме случая $M=\mu+m=x+\lambda+\mu$. Таким образом, (24.23) является нетривиальным соотношением только при $M=x+\lambda+\mu$. Это не удивительно, так как $\mathrm{X}_{M}^{J J}$ и $\Phi_{M}^{j^{\prime} J}$ содержат только произведения $\psi_{x} \varphi_{\lambda} \chi_{\mu}$ с $x+\lambda+\mu=M$, так что сравнение коэффициентов при остальных $\psi_{x} \varphi_{\lambda} \chi_{\mu}$ не может дать никакой дополнительной информации.

Равенство (24.23) содержит искомое соотношение. Придадим ему теперь различные формы, а также запишем его в более симметричном виде. С этой целью заменим сначала в обеих частях контравариантные индексы $x, \lambda, \mu$ ковариантными индексами и произведем циклическую перестановку в обеих частях во втором $3 j$-символе. Заменим также различные виды $j$ другими символами и получим
\[
\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{lll}
j_{1} & l_{2} & \lambda \\
\mu_{1} & \lambda_{2} & l
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
l_{1} & j_{2} & l \\
\lambda_{1} & \mu_{2} & \lambda
\end{array}\right)= \\
=\sum_{j}(-1)^{2 l_{1}}(2 j+1)\left\{\begin{array}{lll}
j_{1} & j_{2} & j \\
l_{1} & l_{2} & l
\end{array}\right\}\left(\begin{array}{lll}
j_{1} & j_{2} & \mu \\
\mu_{1} & \mu_{2} & j
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
l_{1} & l_{2} & j \\
\lambda_{1} & \lambda_{2} & \mu
\end{array}\right) .
\end{array}
\]
1) Фактически коэффициент $W$ Рака̀ не равен в точности $6 j$-символу; они связаны соотношением
\[
W\left(j_{1} j_{2} l_{2} l_{1} ; \quad j_{3} l_{3}\right)=(-1)^{j_{1}+j_{2}+l_{1}+l_{2}}\left\{\begin{array}{lll}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
l_{1} & l_{2} & l_{3}
\end{array}\right\}
\]
В это соотношение входят четыре $3 j$-символа и соответственно имеются четыре тройки чисел $j$ и $l$, которые должны образовывать векторные треугольники. Три члена каждой тройки (например, $l_{1} j_{2} l$ ) входят в различные столбцы $6 j$-символов и либо все три находятся в верхней строке, либо два из них стоят в нижней строке, а третий – в верхней. Наоборот, $6 j$-символы были определены только для тех случаев, когда эти четыре тройки (т. е. $j_{1} j_{2} j, j_{1} l_{2} l, l_{1} j_{2} l, l_{1} l_{2} j$ ) образуют векторные треугольники. Все остальные $6 j$-символы мы положим теперь равными нулю. Было бы довольно трудно запомнить положение каждого $j$ и $l$ в $6 j$-символе в (24.24), но мы сразу же покажем, что все те $6 j$-символы, которые составлены из одних и тех же $j$ и в которых одни и те же тройки должны образовывать векторные треугольники, равны. В результате (если отвлечься от знака) оказывается довольно легко запомнить соотношение (24.24), которое ясно показывает переход от связи $j_{1}$ с $j_{2}$ (и $l_{1}$ с $l_{2}$ ) к связи $j_{1}$ с $l_{2}$ и $l_{1}$ с $j_{2}$. Все эти числа могут быть целыми или полуцелыми.

Введем теперь сокращенное обозначение, упомянутое в конце предыдущего раздела. Оно заключается, в сущности, в опускании всех индексов строк. Свободные индексы строк одинаковы в обеих частях и могут иметь любое значение, поэтому их можно не выписывать. Далее, нет необходимости указывать, являются ли они ковариантными или контравариантными, если только запомнить, что они имеют одну и ту же природу в обеих частях. Индексы, по которым производится свертка, можно также не выписывать, так как по ним в любом случае производится суммирование. Однако в этом случае необходимо указать, какие индексы являются ковариантными, а какие – контравариантными; это будет делаться с помощью точки сверху или снизу. При перестановке двух точек у двух $j$, по индексам которых произведено суммирование, возникает множитель (-1) ${ }^{2 j}$, так как
\[
f_{\mu}^{j} g_{j}^{\mu}=C_{\mu
u}^{j} f_{j}^{
u} C_{j}^{\mu \lambda} g_{\lambda}^{\prime}=(-1)^{j+\mu} f_{j}^{-\mu}(-1)^{j-\mu} g_{-\mu}^{j}=(-1)^{2 j} f_{j}^{\mu} g_{\mu}^{j} .
\]

Следовательно, соотношение (24.24) в сокращенных обозначениях имеет вид
\[
\left(j_{1} l_{2} l^{*}\right)\left(l_{1} j_{2} l\right)=(-1)^{2 l_{1}} \sum_{j}(2 j+1)\left\{\begin{array}{lll}
j_{1} & j_{2} & j \\
l_{1} & l_{2} & l
\end{array}\right\}\left(j_{1} j_{2} j^{*}\right)\left(l_{1} l_{2} j\right) .
\]

Если изменить положение точек в левой части равенства, возникает множитель $(-1)^{2 l}=(-1)^{2 l_{1}+2 /} ;$ при изменении их положения в правой части возникает множитель $(-1)^{2 j}=(-1)^{2 j_{1}+2 j_{2}}$.
Соотношения ортогональности (24.19) в сокращенных обозначениях принимают вид
\[
\left(j_{1} j_{2} j\right)\left(\dot{j}_{1} \dot{j}_{2}^{\prime} j^{\prime}\right)=(2 j+1)^{-1} \delta\left(j_{.}, j^{\prime} \cdot\right),
\]

где символ $\delta\left(j, j^{\prime} \cdot\right)$ равен нулю, если $j
eq j^{\prime}$ или если соответствующие индексы не равны, и равен 1 , если $j=j^{\prime}$ и соответствующие индексы равны и стоят на тех местах в левой части равенства, которые указаны точками в правой части. Следовательно,
\[
\delta\left(j_{.}, j^{\prime}\right)=(-1)^{2 j} \delta\left(j^{\prime}, j^{\prime}\right) .
\]

Разумеется, не всегда можно пользоваться сокращенными обозначениями; в частности, ими нельзя пользоваться в случае, когда одно и то же $j$ входит дважды в одну и ту же часть соотношения, причем по индексу соответствующей проекции суммирование не производится. В этом случае одно и то же $j$ встречается дважды и в другой части равенства, так что в вопросе о том, какой из индексов должен быть отождествлен с $j$, возникает неоднозначность. Ilо этой причине сокращенными обозначениями нельзя пользоваться в релятивистских расчетах (там все индексы относятся к одному и тому же пространству). В настоящем же случае использование сокращенных обозначений делает многие вычисления более прозрачными.

Ввиду наличия суммирования по $j$ в правой части (24.24) оно не дает явного выражения $6 j$-сцмвола. Такое выражение может быть получено, если умножить (24.24a) на ( $\left.l_{1} l_{2} j_{3}\right)$ и свернуть по индексам моментов $l_{1}$ и $l_{2}$ :
\[
\begin{array}{l}
\left(j_{1} l_{2} l^{*}\right)\left(l_{1}, j_{2} l\right)\left(\dot{l_{1}} \dot{l}_{2} j_{3}\right)= \\
=(-1)^{2 l_{1}} \sum_{j}(2 j+1)\left\{\begin{array}{lll}
j_{1} & j_{2} & j \\
l_{1} & l_{2} & l
\end{array}\right\}\left(j_{1} j_{2} j^{*}\right)\left(l_{1} l_{2} j_{.}\right)\left(i_{1} \dot{l}_{2} j_{3}\right) . \\
\end{array}
\]

Точки у $l_{1}$ в левой части можно поменять местами; при этом исчезнет множитель ( -1$)^{2 t_{1}}$ в правой части. Последние два множителя справа сокращаются после суммирования с $2 j+1$ в силу $(24.25) ; j$ следует заменить на $j_{3}$, а его индекс, где он свободен, будет иметь то же самое положение, что и индекс момента $j_{3}$. Следовательно,
\[
\left(j_{1} l_{2} \dot{l}_{3}\right)\left(i_{1}^{*} j_{2} l_{3 .}\right)\left(l_{1} \dot{l}_{2} j_{3}\right)=\left\{\begin{array}{lll}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
l_{1} & l_{2} & l_{3}
\end{array}\right\}\left(j_{1} j_{2} j_{3}\right) .
\]

Это, по-видимому, наиболее важное соотношение, содержащее коэффициенты Рака́; мы воспользуемся им в следующем разделе при вычислении матричных элементов неприводимых тензорных операторов. Оно показывает, что вследствие циклической симметрии $3 j$-символов столбцы $6 j$-символа можно подвергать циклической перестановке. Аналогичным образом перестановка $j_{1}$ с $j_{2}$ и $l_{1}$ с $l_{2}$
в (24.24) приводит к появлению в левой части множителя Отношения этих $3 j$-символов, входящих в обе части равенства, равен 1 , поскольку векторы $l_{1}, l_{2}, j$ должны образовывать векторный треугольник. Сочетание этих двух результатов показывает, что $6 j$-символ остается неизменным, если его столбцы переставлены произвольным образом. Наконец, перестановка $j_{1}$ с $l_{1}$ и $j_{2}$ с $l_{2}$ приводит к появлению в левой части (24.24) множителя $(-1)^{2 t}$ (вследствие перестановки ковариантного и контравариантного $\lambda$ ) и в правой части – множителя (-1) $2 j_{2}-2 l_{1}+2 j$. Отношение этих множителей также равно 1 , поскольку обе пары $j_{1} j$ и $l_{1} l$ образуют векторные треугольники с $j_{2}$. Следовательно, $6 j$-символ не меняется, если переставить первые два столбца. Комбинация этого результата с предыдущим показывает, что $6 j$-символ не меняется при перестановке любых двух столбиов. Всего имеется 24 перестановки $j$, не меняющих $6 j$-символ; это все те перестановки, которые переставляют произвольным образом четыре тройки векторных треугольников ${ }^{1}$ ). Между $6 j$-символами существуют другие соотношения. В частности, соотношения симметрии могут быть записаны в более явном виде, если (24.24б) умножить на полностью контравариантный $3 j$-символ от $j_{1} j_{2} j_{3}$ и свернуть по всем относящимся к ним индексам.

Наиболее простая общая формула для вычисления $6 j$-символа следует из (24.24б). Чтобы получить ее, выберем некоторые специальные значения для $\mu_{1}, \mu_{2}, \mu_{3}$; положим $\mu_{1}=-j_{1}, \mu_{2}=j_{1}-j_{3}$, $\mu_{3}=j_{3}$, что обеспечивает наиболее простые выражения для $3 j$ символов, которые только могут быть получены в общем случае. На аналогичном выборе $\mu$ неявно основано вычисление $6 j$-символов при выводе формул Хёня – Кронига. Несколько иное выражение для $3 j$-символов было дано в работе Рака́ ${ }^{2}$ ). Тем не менее вычисление остается весьма трудоемким. Однако имеются обширные таблицы $6 j$-символов или эквивалентных им величин. Таблица Шарпа и др. ${ }^{3}$ ) является, пожалуй, наиболее приемлемой. Отметим
1) Подробности см. в цитированной на стр. 338 монографии Эдмондса и в цитированной на стр. 352 работе Биденхарна, Блатта и Роуза.
2) См. цитированную на стр. 227 работу Рака́.
3) Sharp, Kennedy, Sears, Hoyle, Tables of Coefficients for Angular Distribution Analysis, CRT-556, Atomic Energy of Canada, 1954. Cм. также Simon, Van der Sluis, Biedenharn, Oak Ridge National Laboratory Report 1679, 1954; O b 1, Is hidzu, Horie, Ya nagowa, Tanabe, Sato, Ann. Tokyo Astron. Obs., 1953-1955; R ot enberg, Bivins, Metropol: Wooten, The $3-j$ and $6-j$ Symbols, Cambridge (в печати); K. M How e11, Tables of 6-j Symbols, University of Southampton.
лишь три довольно тривиальных случая. Если $j_{2}=0$, то векторы $l_{1}, j_{2}, l_{3}$ будут составлять векторный треугольник только при $l_{3}=l_{1}$. Аналогично из треугольника $j_{1}, j_{2}, j_{3}$ следует $j_{1}=j_{3}$. Поэтому при $j_{2}=0$ все не обращающиеся в нуль $6 j$-символы будут иметь вид
\[
\left\{\begin{array}{lll}
j_{1} & 0 & j_{1} \\
j_{2} & j & j_{2}
\end{array}\right\}=\frac{(-1)^{j+j_{1}+j_{2}}}{\sqrt{2 j_{1}+1} \sqrt{2 j_{2}+1}} .
\]

Симметрия $6 j$-символов позволяет сместить 0 в любое положение При $j_{2}=1 / 2$ имеем два типа $6 j$-символов:
\[
\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{ccc}
j_{1}-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & j_{1} \\
j_{2} & j & j_{2}-\frac{1}{2}
\end{array}\right\}=(-1)^{J}\left[\frac{(J+1)(J-2 j)}{2 j_{1}\left(2 j_{1}+1\right) 2 j_{2}\left(2 j_{2}+1\right)}\right]^{1 / 2}, \\
\left\{\begin{array}{lll}
j_{1}-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & j_{1} \\
j_{2}-\frac{1}{2} & j & j_{2}
\end{array}\right\}=(-1)^{J-\frac{1}{2}}\left[\frac{\left(J-2 j_{1}+\frac{1}{2}\right)\left(J-2 j_{2}+\frac{1}{2}\right)}{2 j_{1}\left(2 j_{1}+1\right) 2 j_{2}\left(2 j_{2}+1\right)}\right]^{1 / 2}, \\
\end{array}
\]

где $J=j_{1}+j_{2}+j$.
Наконец, при $j_{2}=1$ имеются четыре типа $6 j$-символов
\[
\begin{aligned}
\left\{\begin{array}{ccc}
j_{1}-1 & 1 & j_{1} \\
j_{2} & j & j_{2}-1
\end{array}\right\}= \\
\quad=(-1)^{J}\left[\frac{J(J+1)(J-2 j-1)(J-2 j)}{\left(2 j_{1}-1\right) 2 j_{1}\left(2 j_{1}+1\right)\left(2 j_{2}-1\right) 2 j_{2}\left(2 j_{2}+1\right)}\right]^{1 / 2}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{lll}
j_{1}-1 & 1 & j_{1} \\
j_{2}-1 & j & j_{2}
\end{array}\right\}= \\
=(-1)^{J-1}\left[\frac{\left(J-2 j_{1}\right)\left(J-2 j_{1}+1\right)\left(J-2 j_{2}\right)\left(J-2 j_{2}+1\right)}{\left(2 j_{1}-1\right) 2 j_{1}\left(2 j_{1}+1\right)\left(2 j_{2}-1\right) 2 j_{2}\left(2 j_{2}+1\right)}\right]^{1 / 2}, \\
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{ccc}
j_{1} & 1 & j_{1} \\
j_{2}-1 & j & j_{2}
\end{array}\right\}= \\
\quad=(-1)^{J}\left[\frac{2(J+1)(J-2 j)\left(J-2 j_{1}\right)\left(J-2 j_{2}+1\right)}{2 j_{1}\left(2 j_{1}+1\right)\left(2 j_{1}+2\right)\left(2 j_{2}-1\right) 2 j_{2}\left(2 j_{2}+1\right)}\right]^{1 / 2},
\end{array}
\]
\[
\left\{\begin{array}{lll}
j_{1} & 1 & j_{1} \\
j_{2} & j & j_{2}
\end{array}\right\}=(-1)^{J} \frac{j(j+1)-j_{1}\left(j_{1}+1\right)-j_{2}\left(j_{2}+1\right)}{\left[j_{1}\left(2 j_{1}+1\right)\left(2 j_{1}+2\right) j_{2}\left(2 j_{2}+1\right)\left(2 j_{2}+2\right)\right]^{1 / 2}}
\]
Последняя формула, если подставить $j_{1}=L, j_{2}=S, j=J$, будет эквивалентна правилу интервалов Ланде.

Поскольку $6 j$-символы не зависят от вида, в котором взяты неприводимые представления, то, казалось бы, можно найти их, исходя из характеров представлений. Это не вполне верно, так как при определении этих символов были наложены условия на знак. Однако имеются выражения с $6 j$-символами, которые не зависят от этих условий относительно знака, как, например, квадрат $6 j$-символа. Действительно, квадрат $6 j$-символа может быть выражен в виде тройного интеграла по группе
\[
\begin{aligned}
\left\{\begin{array}{lll}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
l_{1} & l_{2} & l_{3}
\end{array}\right\}^{2}= & \\
& =h^{-3} \iiint \chi_{1}\left(R_{1}\right) \chi_{2}\left(R_{2}\right) \chi_{3}\left(R_{3}\right) \chi_{1}^{\prime}\left(R_{2} R_{3}^{-1}\right) \chi_{2}^{\prime}\left(R_{3} R_{1}^{-1}\right) \times \\
& \times \chi_{3}^{\prime}\left(R_{1} R_{2}^{-1}\right) d R_{1} d R_{2} d R_{3},
\end{aligned}
\]

где $\chi_{i}$ – характер представления $\mathfrak{D}^{\left(j_{i}\right)}$, а $\chi_{i}^{\prime}$ – характер представления $\mathfrak{D}^{\left(l_{i}\right)}$. Мы не будем приводить здесь подробного вывода этой формулы.

Кроме упомянутых выше, $6 j$-символы удовлетворяют большому числу других соотношений. В частности, можно показать, что матрица
\[
\left(R_{l_{j}}\right)=\sqrt{2 l+1} \sqrt{2 j+1}\left\{\begin{array}{lll}
j_{1} & j_{2} & j \\
l_{1} & l_{2} & l
\end{array}\right\}
\]

ортогональна. Вследствие того, что столбцы $6 j$-символов могут быть переставлены, каждый такой символ является элементом трех вещественных ортогональных матриц, если отвлечься от множителей, аналогичных
\[
(2 l+1)^{1 / 2}(2 j+1)^{1 / 2} .
\]
$6 j$-символы могут быть определены для довольно больщого класса групп. В связи с этим возникает вопрос о том, определяют ли их значения группу. Этот вопрос до настоящего времени еще не решен.