Настоящии раздел представляет собой первый шаг в определении копредставлений, т. е. решений уравнений (26.21). Эта задача будет рассматриваться в этом и в следующем разделах как математическая задача. В частности, не будет предполагаться, что унитарные операторы $\mathrm{O}_{\mathbf{u}}$ соответствуют вращениям, а также, что антиунитарные операторы содержат обращение времени. Чтобы упростить обозначения, обозначим унитарные операторы $O_{\mu}$
через $u_{1}, u_{2}, u_{3}, \ldots$ Они образуют инвариантную подгруппу, которая будет называться унитарной подгруппой. Неприводимые представления этой подгруппы будут предполагаться известными; типичное неприводимое представление, предполагаемое унитарным, будет обозначено через $\boldsymbol{\Delta}(\mathrm{u})$. Антиунитарные операторы $\boldsymbol{\theta} \mathrm{O}_{\mathrm{u}}$ будут обозначены кратко через $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \mathbf{a}_{3}, \ldots$ Тогда четыре уравнения (26.21) принимают вид
\[
\begin{array}{lr}
D\left(u_{1}\right) D\left(u_{2}\right)=D\left(u_{1} u_{2}\right), & D(u) D(a)=D(u a), \\
D(a) D(u)^{*}=D(a u), & D\left(a_{1}\right) D\left(a_{2}\right)^{*}=D\left(a_{1} a_{2}\right) .
\end{array}
\]

Два решения уравнений (26.21) будут называться эквивалентными, если они могут быть преобразованы одно в другое с помощью унитарной матрицы $\boldsymbol{\alpha}$, так что
\[
\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{D}}(\mathrm{u})=\alpha^{-1} \mathrm{D}(\mathrm{u}) \boldsymbol{\alpha}, \\
\overline{\mathrm{D}}(\mathrm{a})=\alpha^{-1} \mathrm{D}(\mathrm{a}) \alpha^{*},
\end{array}
\]

а решение уравнений (26.21) будет называться неприводимым, если оно не может быть сведено к приведенному виду с помощью преобразования (26.23). Матрица $D(u)$ не меняется, если $\alpha=\omega 1$ кратна единичной матрице; однако D (a) умножается на $\omega^{-1} \omega^{*}=\omega^{*^{2}}$. Следовательно, два решения уравнений (26.21) наверняка эквивалентны, если их D (u) совпадают, а D (a) отличаются общим численным множителем. Фиксируя общий фазовый множитель матриц D(a), мы фиксируем фазовый множитель волновых функций, которые преобразуются с помощью D (a); общий фазовый множитель всех волновых функций, принадлежащих различным строкам представления, остается свободным, пока рассматриваются унитарные операции симметрии. Дальнейшие вычисления могут быть сделаны более прозрачными, если предположить, что существуют волновые функции $\psi_{1}, \psi_{2}, \psi_{3}, \ldots, \psi_{f}$, которые преобразуются под действием соответствующих операторов и и а согласно соотношениям
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{u} \psi_{x}=\sum_{1}^{f} D(\mathrm{u})_{\lambda_{x}} \psi_{\lambda}, \\
\mathbf{a} \psi_{x}=\sum_{1}^{f} D(\mathbf{a})_{\lambda_{x}} \psi_{\lambda} .
\end{array}
\]

В физической задаче наиболее интересны именно эти волновые функции. Если интересоваться чисто математической задачей решения уравнений (26.21), то волновые функции $\psi_{x}$ можно заменить векторами в „пространстве представления “. Это пространство представления имеет $f$ измерении, где $f$ — число строк и столбцов матриц D. Можно считать, что матрицы D денствуют на векторы в этом пространстве представления, причем D (u) и D (a) преобразуют $x$-й единичный вектор в векторы с $\lambda$ компонентами $D(u)_{x \lambda}$ и $\mathbf{D}(\mathrm{a})_{\boldsymbol{x} \lambda}$ соответственно. Таким образом, можно предположить, что единичные векторы в пространстве представления играют роль волновых функций $\psi$. Однако следует ожидать, что использование понятия волновых функций сделает последующий анализ менее абстрактным, чем анализ, использующий пространство представления.

Матрицы D(u), которые соответствуют унитарным преобразованиям, образуют представление унитарной подгруппы. Предположим, что D (u) как представление унитарной подгруппы полностью приведено и что размерность $l$ его первой неприводимой части $\Delta(\mathrm{u})$ не превышает размерности любой другой неприводимой части представления $D(\mathrm{u})$. Это может быть сделано путем выбора соответствующих линейных комбинаций волновых функций (использования надлежащей системы координат в пространстве представления). Следовательно, мы имеем
\[
\mathbf{u} \psi_{x}=\sum_{1}^{l} \Delta(\mathrm{u})_{\lambda x} \psi_{\lambda} \quad \text { при } \quad x \leqslant l .
\]

Заметим, что $\boldsymbol{\Delta}$ определено только для унитарных операторов, a $\boldsymbol{\Delta}$ (a), например, не имеет смысла. Однако, поскольку $\mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{2}$ и $\mathrm{a}^{-1} \mathrm{ua}$ входят в унитарную подгруппу, выражения вида $\Delta\left(\mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{2}\right)$ или $\Delta\left(\mathbf{a}^{-1} \mathrm{ua}\right)$ вполне определены.
Рассмотрим, далее, $l$ волновых функций
\[
\psi_{x}^{\prime}=\mathbf{a}_{0} \psi_{x}=\sum_{1}^{f} D\left(\mathbf{a}_{0}\right)_{\lambda x} \psi_{\lambda} \quad(x \leqslant l) .
\]

Суммирование в правой части должно производиться по всем волновым функциям, поскольку мы не делали никаких предположений относительно $D(a)$. Оператор $a_{0}$ в (26.25) является произвольным фиксированным антиунитарным оператором. Покажем, что $\psi_{x}^{\prime}$ принадлежат некоторому неприводимому представлению унитарной подгруппы. Рассмотрим
\[
\begin{aligned}
u \psi_{x}^{\prime}=\mathrm{u} \sum_{\lambda} D\left(\mathbf{a}_{0}\right)_{\lambda x} \psi_{\lambda} & =\sum_{\lambda} \sum_{\mu} D\left(\mathbf{a}_{0}\right)_{\lambda x} D(\mathrm{u})_{\mu \lambda} \psi_{\mu}= \\
& =\sum_{\mu}\left[\mathbf{D}(\mathrm{u}) \mathbf{D}\left(\mathbf{a}_{0}\right)\right]_{\mu x} \psi_{\mu} .
\end{aligned}
\]

Однако, согласно (26.21),
\[
D(u) D\left(a_{0}\right)=D\left(u a_{0}\right)=D\left(a_{0}\right) D\left(a_{0}^{-1} u a_{0}\right)^{*},
\]

так что
\[
\mathbf{u} \psi_{x}^{\prime}=\sum_{\mu \lambda} D\left(\mathbf{a}_{0}\right)_{\mu \lambda} D\left(\mathbf{a}_{0}^{-1} \mathbf{u} \mathbf{a}_{0}\right)_{\lambda x}^{*} \psi_{\mu}=\sum_{\lambda} D\left(\mathbf{a}_{0}^{-1} \mathbf{u} \mathbf{a}_{0}\right)_{\lambda x}^{*} \psi_{\lambda}^{\prime} .
\]
Заметим, что мы использовали только соотношения (26.21), но не законы умножения операторов и и а.

Поскольку $\mathrm{a}_{0}^{-1} \mathrm{ua}_{0}$ входит в унитарную подгруппу при $x \leqslant l$, мы имеем
\[
D\left(\mathbf{a}_{0}^{-1} \mathbf{u a}_{0}\right)_{\lambda x}=\Delta\left(\mathbf{a}_{0}^{-1} \mathbf{u a}_{0}\right)_{\lambda x} \text { при } \quad \lambda \leqslant l
\]

и
\[
D\left(\mathrm{a}_{0}^{-1} \mathrm{ua}_{0}\right)_{\lambda x}=0 \text { при } \lambda>l .
\]

Таким образом,
\[
u \psi_{x}^{\prime}=\sum_{1}^{l} \Delta\left(\mathrm{a}_{0}^{-1} \mathrm{ua}\right)_{\lambda x}^{*} \psi_{\lambda}^{\prime} \quad(x \leqslant l),
\]

и функции $\psi_{x}^{\prime}$, являющиеся линейными комбинациями функций $\psi$. принадлежат $l$-мерному представлению
\[
\bar{\Delta}(\mathrm{u})=\Delta\left(\mathrm{a}_{0}^{-1} \mathrm{ua}_{0}\right)^{*} .
\]

То, что эти матрицы образуют представления унитарной подгруппы, следует из (26.27). Это также следует из того факта, что $\Delta$ является таким представлением и что $\mathbf{a}_{0}^{-1} \mathbf{u a}_{0}$ унитарно. Кроме того, представление $\overline{\boldsymbol{\Delta}}$ должно быть неприводимым, так как оно содержится в D (u) и так как это последнее не содержит представлений более низкой размерности, чем $l$.

Ниже мы обсудим связь между представлениями $\overline{\boldsymbol{\Delta}}$ и $\boldsymbol{\Delta}$. Но сначала покажем, что волновые функции
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{a} \psi_{x}=\boldsymbol{\Sigma} D(\mathbf{a})_{\mu x} \psi_{\mu}, \\
\mathbf{a} \psi_{x}^{\prime}=\boldsymbol{\Sigma} \mathbf{a} D\left(\mathbf{a}_{0}\right)_{\lambda, x} \psi_{\lambda}=\boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{\Sigma} D\left(\mathbf{a}_{0}\right)_{\lambda x}^{*} D(\mathbf{a})_{\mu \lambda} \psi_{\mu}
\end{array}
\]

при ‘ $x \leqslant l$ могут быть выражены линейно через $\psi_{x}$, $\psi_{x}^{\prime}$, где снова $x \leqslant l$. Поскольку $\mathrm{D}(\mathrm{a})=\mathrm{D}\left(\mathrm{a}_{0}\right) \mathrm{D}\left(\mathrm{a}_{0}^{-1} \mathrm{a}\right)^{*}$, (26.28a) можно записать просто в виде
\[
\begin{aligned}
\mathbf{a} \psi_{x} & =\sum D(\mathbf{a})_{\mu x} \psi_{\mu}=\boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{\Sigma} D\left(\mathbf{a}_{0}\right)_{\mu
u} D\left(\mathbf{a}_{0}^{-1} \mathbf{a}\right)_{
u x}^{*} \psi_{\mu}= \\
& =\sum_{1}^{l} \Delta\left(\mathbf{a}_{0}^{-1} \mathbf{a}\right)_{
u x}^{*} \psi_{
u}^{\prime} \quad(x \leqslant l) .
\end{aligned}
\]

Последний шаг следует из того, что $\mathbf{a}_{0}^{-1} \mathbf{a}$ входит в унитарную подгруппу и $x \leqslant l$, так что $D\left(\mathbf{a}_{0}^{-1} \mathbf{a}\right)_{y x}=\Delta\left(\mathbf{a}_{0}^{-1} \mathbf{a}\right)_{y x}$ при $v \leqslant l$, а в противном случае обращается в нуль. Аналогичным образом из $\mathrm{D}(\mathrm{a}) \mathrm{D}\left(\mathrm{a}_{0}\right)^{*}=\mathrm{D}\left(\mathrm{aa}_{0}\right)$ следует, что при $x \leqslant l$ (26.280) принимает вид
\[
\mathbf{a} \psi_{x}^{\prime}=\sum D\left(\mathrm{aa}_{0}\right)_{\mu x} \psi_{\mu}=\sum_{\mathfrak{I}}^{L} \Delta\left(\mathrm{aa}_{0}\right)_{\mu x} \psi_{\mu}
\]
$\begin{array}{lllll}\text { Г } & \text { в } & \text { a } & 26\end{array}$
Теперь докажем следующую лемму: Функции $\psi_{x}^{\prime}=\mathbf{a}_{0} \psi_{x}$ ( $n$ p $x \leqslant l$ ) либо могут быть выражены линейно через $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots, \psi_{l}$, либо все линейно независимы от них и друг от друга.. В процессе доказательства этой леммы мы часто будем иметь дело с функциями $\psi_{x}$ и $\psi_{x}^{\prime}=\mathbf{a}_{0} \psi_{x}$ при $x \leqslant l$. Поэтому удобно условиться, что в этом разделе $x$ лежит между 1 и $l$. Заметим, прежде всего, что функции $\psi_{x}^{\prime}$ ортогональны друг другу, так как они принадлежат различным строкам неприводимого представления $\bar{\Delta}$. Следовательно, всякое линейное соотношение между $\psi_{x}^{\prime}$ и $\psi_{x}$ можно привести к виду
\[
\sum \alpha_{x}^{\prime} \psi_{x}^{\prime}=\varphi_{1}, \quad \varphi_{1}=\sum \alpha_{x} \psi_{x},
\]

где $\varphi_{1}
eq 0$. Тогда из (26.27) и свойства линейности и следует, что все $и \varphi_{1}$ также являются линейными комбинациями функций $\psi_{x}^{\prime}$, причем это относится ко всем линейным комбинациям функций $\mathrm{u} \varphi_{1}$. Представим все $\psi_{x}^{\prime}$ в виде линейных комбинаций функций $\mathbf{u} \varphi_{1}$. Тогда они будут также линейными комбинациями функций $\psi_{x}$, откуда вытекает, что все $\psi_{x}^{\prime}$ являются линейными комбинациями функций $\psi_{x}$, если между ними имеет место одно соотношение вида (26.30).

Чтобы получить все $\psi_{x}^{\prime}$ как линейные комбинации функций $\mathrm{u} \varphi_{1}$, преобразуем $\bar{\Delta}$ таким образом, чтобы функция $\varphi_{1}$ принадлежала первой строке. Это может быть достигнуто унитарным преобразованием, первым столбцом которого является $\alpha_{1}^{\prime}, \alpha_{2}^{\prime}, \ldots, \alpha_{l}^{\prime}$. Поэтому партнеры функции $\varphi_{1}$ могут быть получены как линейные комбинации функций $\mathbf{u} \varphi_{1}$ c помощью (12.3a). Отсюда функции $\psi_{x}^{\prime}$ могут быть найдены путем преобразования, обратного упомянутому выше унитарному преобразованию. Таким образом, лемма доказана.

Если $\psi_{x}^{\prime}$ являются линейными комбинациями функций $\psi_{x}$, то из проделанного выше вычисления, начиная с (26.24) и (26.29a), следует, что $\mathbf{u} \psi_{x}$ и $\mathbf{a} \psi_{x}$ также являются линейными комбинациями этих функций. В этом случае копредставление приводится к $l$-мерной и $(f-l)$-мерной частям. Все $D_{\lambda \mu}$ обращаются в нуль, если $\mu \leqslant l, \lambda>l$, причем то же справедливо и для $\mu>l, \lambda \leqslant l$. Последнее утверждение верно, так как все $D(u)$ и $D(a)$ унитарны. В результате $\mathrm{D}(\mathrm{u})^{\dagger}=\mathrm{D}\left(\mathrm{u}^{-1}\right)$ и, согласно (26.22), $\mathrm{D}(\mathrm{a})^{T}=\mathrm{D}\left(\mathrm{a}^{-1}\right)$. Поскольку $D\left(\mathrm{u}^{-1}\right)_{\lambda_{\mu}}$ и $D\left(\mathrm{a}^{-1}\right)_{\lambda \mu}$ имеют лишь нули в прямоугольнике $\lambda>l, \mu \leqslant l$, матрицы $D(\mathrm{u})_{\lambda_{\mu}}$ и $D(\mathrm{a})_{\lambda_{\mu}}$ будут иметь только нули при $\mu>l, \lambda \leqslant l$.

Если, с другой стороны, функции $\psi_{x}$ и $\psi_{x}^{\prime}$ линейно независимы, то можно выбрать ортогональный набор, первыми $l$ членами которого являются $\psi_{t}$, дальнейщими $l$ членами — линейные комбинации
$\psi_{x}$ и $\psi_{x}^{\prime}$, а остальные — ортогональны как $\psi_{x}$, так и $\psi_{x}^{\prime}$. Это может быть достигнуто применением метода Грама — Шмидта к функциям $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots, \psi_{l} ; \psi_{1}^{\prime}, \psi_{2}^{\prime}, \ldots, \psi_{l}^{\prime}$. $\psi_{l+1}, \psi_{l+2}, \ldots, \psi_{f^{*}}$ Функции $\psi_{x}$ и $\psi_{x}^{\prime}$ будут тогда линенными комбинациями первых $2 l$ членов набора. Если и или а применяется к одному из первых $2 l$ членов набора, то получающаяся при этом функция будет снова линейной комбинацией первых $2 l$ членов. Это опять следует из вычисления, предшествующего данному обсуждению и приводящего к (26.24), (26.27), (26.29a) и (26.29б). Следовательно, если D взято в том виде, какой был тољко что описан для ортогонального набора, то все $D(\mathrm{u})_{\lambda \mu}$ и $D(\mathrm{a})_{\lambda \mu}$ обращаются в нуль при $\lambda \leqslant 2 l, \mu>2 l$. Отсюда, как и раньше, вытекает, что $D$ распадается на две части, одна из которых $2 l$-мерна, а другая $-(f-2 l)$-мерна. Первая часть содержит только два неприводимых представления унитарной подгруппы $\boldsymbol{\Delta}$ и $\bar{\Delta}$.

Приведение D может быть продолжено далее, если к ( $f-l$ )мерной или ( $f-2 l$ )-мерной второй части применить тот же метод, какой применялся выше ко всему представлению D. В результате этого разложения каждая приведенная часть копредставления будет содержать либо одно неприводимое представление унитарной подгруппы, либо два таких представления, $\Delta(\mathrm{u})$ и $\bar{\Delta}(\mathrm{u})=\Delta\left(\mathrm{a}_{0}^{-1} \mathrm{ua}_{0}\right)^{*}$.