Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Настоящии раздел представляет собой первый шаг в определении копредставлений, т. е. решений уравнений (26.21). Эта задача будет рассматриваться в этом и в следующем разделах как математическая задача. В частности, не будет предполагаться, что унитарные операторы $\mathrm{O}_{\mathbf{u}}$ соответствуют вращениям, а также, что антиунитарные операторы содержат обращение времени. Чтобы упростить обозначения, обозначим унитарные операторы $O_{\mu}$ Два решения уравнений (26.21) будут называться эквивалентными, если они могут быть преобразованы одно в другое с помощью унитарной матрицы $\boldsymbol{\alpha}$, так что а решение уравнений (26.21) будет называться неприводимым, если оно не может быть сведено к приведенному виду с помощью преобразования (26.23). Матрица $D(u)$ не меняется, если $\alpha=\omega 1$ кратна единичной матрице; однако D (a) умножается на $\omega^{-1} \omega^{*}=\omega^{*^{2}}$. Следовательно, два решения уравнений (26.21) наверняка эквивалентны, если их D (u) совпадают, а D (a) отличаются общим численным множителем. Фиксируя общий фазовый множитель матриц D(a), мы фиксируем фазовый множитель волновых функций, которые преобразуются с помощью D (a); общий фазовый множитель всех волновых функций, принадлежащих различным строкам представления, остается свободным, пока рассматриваются унитарные операции симметрии. Дальнейшие вычисления могут быть сделаны более прозрачными, если предположить, что существуют волновые функции $\psi_{1}, \psi_{2}, \psi_{3}, \ldots, \psi_{f}$, которые преобразуются под действием соответствующих операторов и и а согласно соотношениям В физической задаче наиболее интересны именно эти волновые функции. Если интересоваться чисто математической задачей решения уравнений (26.21), то волновые функции $\psi_{x}$ можно заменить векторами в „пространстве представления “. Это пространство представления имеет $f$ измерении, где $f$ — число строк и столбцов матриц D. Можно считать, что матрицы D денствуют на векторы в этом пространстве представления, причем D (u) и D (a) преобразуют $x$-й единичный вектор в векторы с $\lambda$ компонентами $D(u)_{x \lambda}$ и $\mathbf{D}(\mathrm{a})_{\boldsymbol{x} \lambda}$ соответственно. Таким образом, можно предположить, что единичные векторы в пространстве представления играют роль волновых функций $\psi$. Однако следует ожидать, что использование понятия волновых функций сделает последующий анализ менее абстрактным, чем анализ, использующий пространство представления. Матрицы D(u), которые соответствуют унитарным преобразованиям, образуют представление унитарной подгруппы. Предположим, что D (u) как представление унитарной подгруппы полностью приведено и что размерность $l$ его первой неприводимой части $\Delta(\mathrm{u})$ не превышает размерности любой другой неприводимой части представления $D(\mathrm{u})$. Это может быть сделано путем выбора соответствующих линейных комбинаций волновых функций (использования надлежащей системы координат в пространстве представления). Следовательно, мы имеем Заметим, что $\boldsymbol{\Delta}$ определено только для унитарных операторов, a $\boldsymbol{\Delta}$ (a), например, не имеет смысла. Однако, поскольку $\mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{2}$ и $\mathrm{a}^{-1} \mathrm{ua}$ входят в унитарную подгруппу, выражения вида $\Delta\left(\mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{2}\right)$ или $\Delta\left(\mathbf{a}^{-1} \mathrm{ua}\right)$ вполне определены. Суммирование в правой части должно производиться по всем волновым функциям, поскольку мы не делали никаких предположений относительно $D(a)$. Оператор $a_{0}$ в (26.25) является произвольным фиксированным антиунитарным оператором. Покажем, что $\psi_{x}^{\prime}$ принадлежат некоторому неприводимому представлению унитарной подгруппы. Рассмотрим Однако, согласно (26.21), так что Поскольку $\mathrm{a}_{0}^{-1} \mathrm{ua}_{0}$ входит в унитарную подгруппу при $x \leqslant l$, мы имеем и Таким образом, и функции $\psi_{x}^{\prime}$, являющиеся линейными комбинациями функций $\psi$. принадлежат $l$-мерному представлению То, что эти матрицы образуют представления унитарной подгруппы, следует из (26.27). Это также следует из того факта, что $\Delta$ является таким представлением и что $\mathbf{a}_{0}^{-1} \mathbf{u a}_{0}$ унитарно. Кроме того, представление $\overline{\boldsymbol{\Delta}}$ должно быть неприводимым, так как оно содержится в D (u) и так как это последнее не содержит представлений более низкой размерности, чем $l$. Ниже мы обсудим связь между представлениями $\overline{\boldsymbol{\Delta}}$ и $\boldsymbol{\Delta}$. Но сначала покажем, что волновые функции при ‘ $x \leqslant l$ могут быть выражены линейно через $\psi_{x}$, $\psi_{x}^{\prime}$, где снова $x \leqslant l$. Поскольку $\mathrm{D}(\mathrm{a})=\mathrm{D}\left(\mathrm{a}_{0}\right) \mathrm{D}\left(\mathrm{a}_{0}^{-1} \mathrm{a}\right)^{*}$, (26.28a) можно записать просто в виде Последний шаг следует из того, что $\mathbf{a}_{0}^{-1} \mathbf{a}$ входит в унитарную подгруппу и $x \leqslant l$, так что $D\left(\mathbf{a}_{0}^{-1} \mathbf{a}\right)_{y x}=\Delta\left(\mathbf{a}_{0}^{-1} \mathbf{a}\right)_{y x}$ при $v \leqslant l$, а в противном случае обращается в нуль. Аналогичным образом из $\mathrm{D}(\mathrm{a}) \mathrm{D}\left(\mathrm{a}_{0}\right)^{*}=\mathrm{D}\left(\mathrm{aa}_{0}\right)$ следует, что при $x \leqslant l$ (26.280) принимает вид где $\varphi_{1} Чтобы получить все $\psi_{x}^{\prime}$ как линейные комбинации функций $\mathrm{u} \varphi_{1}$, преобразуем $\bar{\Delta}$ таким образом, чтобы функция $\varphi_{1}$ принадлежала первой строке. Это может быть достигнуто унитарным преобразованием, первым столбцом которого является $\alpha_{1}^{\prime}, \alpha_{2}^{\prime}, \ldots, \alpha_{l}^{\prime}$. Поэтому партнеры функции $\varphi_{1}$ могут быть получены как линейные комбинации функций $\mathbf{u} \varphi_{1}$ c помощью (12.3a). Отсюда функции $\psi_{x}^{\prime}$ могут быть найдены путем преобразования, обратного упомянутому выше унитарному преобразованию. Таким образом, лемма доказана. Если $\psi_{x}^{\prime}$ являются линейными комбинациями функций $\psi_{x}$, то из проделанного выше вычисления, начиная с (26.24) и (26.29a), следует, что $\mathbf{u} \psi_{x}$ и $\mathbf{a} \psi_{x}$ также являются линейными комбинациями этих функций. В этом случае копредставление приводится к $l$-мерной и $(f-l)$-мерной частям. Все $D_{\lambda \mu}$ обращаются в нуль, если $\mu \leqslant l, \lambda>l$, причем то же справедливо и для $\mu>l, \lambda \leqslant l$. Последнее утверждение верно, так как все $D(u)$ и $D(a)$ унитарны. В результате $\mathrm{D}(\mathrm{u})^{\dagger}=\mathrm{D}\left(\mathrm{u}^{-1}\right)$ и, согласно (26.22), $\mathrm{D}(\mathrm{a})^{T}=\mathrm{D}\left(\mathrm{a}^{-1}\right)$. Поскольку $D\left(\mathrm{u}^{-1}\right)_{\lambda_{\mu}}$ и $D\left(\mathrm{a}^{-1}\right)_{\lambda \mu}$ имеют лишь нули в прямоугольнике $\lambda>l, \mu \leqslant l$, матрицы $D(\mathrm{u})_{\lambda_{\mu}}$ и $D(\mathrm{a})_{\lambda_{\mu}}$ будут иметь только нули при $\mu>l, \lambda \leqslant l$. Если, с другой стороны, функции $\psi_{x}$ и $\psi_{x}^{\prime}$ линейно независимы, то можно выбрать ортогональный набор, первыми $l$ членами которого являются $\psi_{t}$, дальнейщими $l$ членами — линейные комбинации Приведение D может быть продолжено далее, если к ( $f-l$ )мерной или ( $f-2 l$ )-мерной второй части применить тот же метод, какой применялся выше ко всему представлению D. В результате этого разложения каждая приведенная часть копредставления будет содержать либо одно неприводимое представление унитарной подгруппы, либо два таких представления, $\Delta(\mathrm{u})$ и $\bar{\Delta}(\mathrm{u})=\Delta\left(\mathrm{a}_{0}^{-1} \mathrm{ua}_{0}\right)^{*}$.
|
1 |
Оглавление
|