Коэффициенты векторного сложения были первоначально определены в (17.16) как элементы матрицы S, которая преобразует прямое произведение двух представлений к приведенному виду (17.15). Они вошли в (17.18) – и это является их наиболее важной функцией в качестве коэффициентов, позволяющих образовать функции, принадлежащие $m$-й строке неприводимого представления $\mathfrak{D}^{(L)}$ из произведений функций $\psi_{\mu}$ и $\bar{\psi}_{y}$, принадлежащих соответственно $\mu$-и строке $\mathfrak{D}^{(l)}$ и $
u$-й строке $\mathfrak{D}^{(\vec{l})}$. Они выполняют ту же функцию в (22.27), где волновая функция с квантовыми числами $J, m$ была получена в виде
\[
\Psi_{m}^{J}=\sum_{\mu} s_{J \mu m-\mu}^{(L S)} \Xi_{m-\mu, \mu}^{S L},
\]
т. е. выражена через волновые функции $\Xi$, которые преобразуются операторами $\mathrm{Q}_{R}$ и $\mathrm{P}_{R}$ по представлениям $\mathfrak{D}^{(S)}$ и $\mathfrak{D}^{(L)}$ и принадлежат ( $m-\mu$ )-и и $\mu$-й строкам этих представлений соответственно.
1) См. дальнейшее обсуждение этих соотношений и других характеристик неприводимых представлений в работе: E.P. Wigne r, Am. Journ. Math., 63, 57 (1941); см. также S. W. M \& ह k e y, Am, Journ. Math., 73; 576 (1951).
Ни в одном из этих случаев три представления $\mathfrak{D}^{(L)}, \mathfrak{D}^{(l)}, \mathfrak{D}^{(i)}$ или $\mathfrak{D}^{(J)}, \mathfrak{D}^{(S)}, \mathfrak{D}^{(L)}$ не входят симметрично. Формула (17.22)
\[
\int \mathfrak{D}^{(l)}(R)_{\mu^{\prime} \mu} \mathfrak{D}^{(\bar{l})}(R)_{v^{\prime}
u} \mathfrak{D}^{(L)}(R)_{\mu^{\prime}+v^{\prime} ; \mu^{\prime}+
u}^{*} d R=\frac{h s_{L \mu^{\prime}
u^{\prime}}^{(l \bar{l})} s_{L \mu
u}^{(l \bar{l})}}{2 L+1}
\]

ближе всего подходит к удовлетворению этого требования, и она будет нашей отправной точкои; здесь $h=\int d R$ – объем группы. Несколько более симметричной формой соотношения (24.8a) является

где $\mathbf{S}$ – первоначальная матрица, которая преобразует $\mathfrak{D}^{l} \times \mathfrak{D}^{(\bar{l})}$ к приведенному виду. Согласно (17.20a) и (17.20б),
\[
S_{L m ; \mu
u}=\delta_{m, \mu+
u} s_{L \mu
u}^{(\bar{l})} .
\]

Интеграл (24.86) обращается в нуль во всех случаях, кроме случая $m^{\prime}=\mu^{\prime}+
u^{\prime}$ и $m=\mu+
u$; при тех же условиях отличны от нуля и коэффициенты S. Поскольку $\mathbf{C}^{+} \mathfrak{D}^{*} \mathbf{C}=\mathbf{C}^{T} \mathfrak{D}^{*} \mathbf{C}=\mathfrak{D}$, левая часть (24.8б) будет симметричной по $l, \vec{l}, L$, если умножить ее на $C_{m^{\prime} \lambda^{\prime}} C_{m \lambda}$ и просуммировать по $m^{\prime}$ и $m$. В правую часть можно подставить дначение $\mathbf{C}$ из (24.6):
\[
\begin{aligned}
\int \mathfrak{D}^{(l)}(R)_{\mu^{\prime} \mu^{\prime}} \mathfrak{D}^{(\bar{l})}(R)_{
u^{\prime}
u} \mathfrak{D}^{(L)}(R)_{\lambda^{\prime} \lambda} d R= \\
\quad=\frac{h(-1)^{L-\lambda^{\prime}} S_{L,-\lambda^{\prime} ; \mu^{\prime}
u^{\prime}}(-1)^{L-\lambda} S_{L,-\lambda ; \mu
u}}{2 L+1} .
\end{aligned}
\]

Поэтому, если положить
\[
\frac{(-1)^{L-\lambda} S_{L,-\lambda ; \mu
u}}{\sqrt{2 L+1}} \sim\left(\begin{array}{ccc}
l & \bar{l} & L \\
\mu &
u & \lambda
\end{array}\right),
\]

то $l, \vec{l}$ и $L$ будут входить симметрично. По причинам, которые станут ясными в дальнейшем, положим
\[
\left(\begin{array}{lll}
l & \bar{l} & L \\
\mu &
u & \lambda
\end{array}\right)=(-1)^{l-\bar{l}-L} \frac{(-1)^{L-\lambda} S_{L,-\lambda ; \mu
u}}{\sqrt{2 L+1}} .
\]

При внесении этого выражения в (24.8б) множитель $(-1)^{l-\bar{l}-L}$ исчезает, так как он появляется в обоих матричных коэффициентах $S$ и так как $l-\bar{l}-L$ обязательно является целым числом; число $L$ является целым или полуцелым в зависимости от того, целым или полуцелым является число $l+\bar{l}$, т. е. $l+\bar{l}-2 \bar{l}=l-\bar{l}$.

—————————————————————-
0010ru_fiz_kvan_book23_no_photo_page-0346.jpg.txt

Коэффициенты Рака́
345
Выражение (24.9) называется $3 j$-символом; его выражение через $s$ в более симметричных обозначениях имеет вид
\[
\left(\begin{array}{lll}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
m_{1} & m_{2} & m_{3}
\end{array}\right)=\frac{(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt{2 j_{3}+1}} s_{j_{3} m_{1} m_{3}}^{\left(j_{1} j_{3}\right)} \delta_{m_{1}+m_{2}+m_{3}, 0 .} .
\]

Поскольку коэффициенты $s$ определены только при том условии, что $j_{1}, j_{2}$ и $j_{3}$ образуют векторный треугольник, т. е. если их сумма является целым числом и если $\left|j_{1}-j_{2}\right| \leqslant j_{3} \leqslant j_{1}+j_{2}$ (или, что равносильно, если ни одно из $j$ не больше, чем сумма двух других), $3 j$-символы также определены лишь при этом условии. Дальнейшие вычисления упрощаются, если положить, что $3 j$-символы обращаются в нуль, если величины $j$ не образуют векторного треугольника. Аналогичным образом исключается необходимость указывать пределы суммирования, если приписать значение нуль тем $3 j$-символам, для которых абсолютное значение какого-либо $m$ больше соответствующего $j$. Поэтому в дальнейшем мы примем эти условия.
$3 j$-символ, определенный равенством (24.9a), не вполне симметричен. Полная симметрия не может быть достигнута, поскольку в случае, когда, например, два из $j$ равны, коэффициенты $s$ не являются симметричными функциями индексов строк $m$. Однако $3 j$-символы удовлетворяют следующим соотношениям
\[
\begin{aligned}
(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\left(\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
m_{1} & m_{2} & m_{3}
\end{array}\right) & =\left(\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{3} & j_{2} \\
m_{1} & m_{3} & m_{2}
\end{array}\right)= \\
& =\left(\begin{array}{ccc}
j_{3} & j_{2} & j_{1} \\
m_{3} & m_{2} & m_{1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
j_{2} & j_{1} & j_{3} \\
m_{2} & m_{1} & m_{3}
\end{array}\right),
\end{aligned}
\]
т. е. при перестановке двух $j$ с одновременной перестановкой соответствующих $m$ (\”перестановка столбцов\”) значение символа не меняется, если $j_{1}+j_{2}+j_{3}$ четно; оно меняет знак, если $j_{1}+j_{2}+j_{3}$ нечетно. Отсюда можно заключить, что значение символа не меняется, если $j$ подвергаются вместе с соответствующими $m$ циклической перестановке:
\[
\left(\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
m_{1} & m_{2} & m_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
j_{2} & j_{3} & j_{1} \\
m_{2} & m_{3} & m_{1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
j_{3} & j_{1} & j_{2} \\
m_{3} & m_{1} & m_{2}
\end{array}\right) .
\]

Наконец, если у всех индексов строк изменить знак, получим
\[
\left(\begin{array}{rrr}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
-m_{1} & -m_{2} & -m_{3}
\end{array}\right)=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\left(\begin{array}{rrr}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
m_{1} & m_{2} & m_{3}
\end{array}\right) .
\]

Таким образом, в общем случае (т. е. когда все три $j$ различны и, по крайней мере, одно из соответствующих им $m$ не равно
нулю) из значения одного символа можно получить значения еще одиннадцати. Если некоторые из $j$ равны между собой или если все $m$ равны нулю, значение символа должно обращаться в нуль в силу указанных выше соотношений.

Равенства (24.10), (24.10a) и (24.10б) можно доказать следующим образом. Введение $3 j$-символов в (24.8г) дает
\[
\int \mathfrak{D}^{\left(j_{1}\right)}(R)_{n_{1} m_{1}} \mathfrak{D}^{\left(j_{2}\right)}(R)_{n_{2} m_{2}} \mathfrak{D}^{\left(j_{3}\right)}(R)_{n_{3} m_{3}} d R=h\left(\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
n_{1} & n_{2} & n_{3}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
m_{1} & m_{2} & m_{3}
\end{array}\right) .
\]

Левая часть последнего соотношения не меняется, если переставить любую пару индексов $j$ с одновременной перестановкой соответствующих индексов $n$ и $m$, сопутствующих им. Это должно быть верно также и для правой части, притом для любых значений $n$. Если положить все $n$ равными соответствующим $m$, правая часть становится квадратом $3 j$-символа, причем он не меняется при перестановке любых двух $j$, сопровождаемой перестановкой соответствующих индексов нижних строк $m$. С точностью до знака это выполняется и для самих $3 j$-символов. Чтобы найти соотнощение между знаками, можно положить $n_{1}=-j_{1}, n_{2}=j_{1}-j_{3}, n_{3}=j_{3}$. Это такой набор значений, для которого $3 j$-символ может быть определен особенно просто, так как вся сумма (17.27) для соответствующего $s$ содержит лишь один член с $x=0$, отличный от нуля. Фактически нам нужен только знак символа
\[
\left(\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
-j_{1} & j_{1}-j_{3} & j_{3}
\end{array}\right)
\]

а он содержит (-1) $)^{j_{1}-J_{3}-j_{3}}$ из (24.9a) и (-1) $)^{j_{2}+f_{1}-j_{3}}$ из (17.27). Следовательно, знак выражения (24.Е.2) определяется выражением (-1) 2j $^{2-2 j_{3}}$. Аналогично знаки символов
\[
\left(\begin{array}{cr}
j_{2} & j_{1} j_{3} \\
j_{1}-j_{3}-j_{1} & j_{3}
\end{array}\right) \text { и }\left(\begin{array}{cc}
j_{1} j_{3} & l_{2} \\
-j_{1} j_{3} j_{1}-j_{3}
\end{array}\right)
\]
перестановка первых двух столбцов символа (24.E.2) приводит к умножению этого символа на (-1) $)^{j_{2}-j_{1}-j_{3}} /(-1)^{2 j_{1}-2 j_{3}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}$. Поскольку произведения двух символов в (24.11) должно оставаться без изменения при такой перестановке, второй символ тоже должен меняться на тот же множитель при перестановке первых двух столбцов. Подобным образом перестановка последних двух столбцов дает множитель
\[
(-1)^{-j_{3}-j_{1}+j_{2}} /(-1)^{2 j_{1}-2 j_{3}}=(-1)^{-3 j_{1}+j_{3}+j_{3}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{8}},
\]

так как $(-1)^{4 f_{1}} \approx 1$. Это показывает, что перестановка последних двух столбцов меняет $3 j$-символ на множитель ( -1$)^{j_{1}+j_{1}+j_{5}}$. Это доказывает равенство первого, второго и последнего из выражений (24.10). Отсюда вытекают равенство третьего выражения (24.10) и равенства (24.10a). Назначение множителя (-1) ${ }^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}$ заключается как раз в том, чтобы обеспечить выполнение соотношений (24.10) и (24.10a).

Чтобы доказать (24.106), заметим, что правая часть (24.11) вещественна. Следовательно, правая часть может быть заменена комплексносопряженным выражением, а $\mathfrak{D}^{*}$ можно снова выразить через $\mathfrak{D}$ с помощью (24.7). Это дает множитель ( -1$)^{n_{1}+n_{2}+n_{3}-m_{1}-m_{2}-m_{3}}$, который может
быть, однако, опущен, так как обе части равенства не равны нулю только при $n_{1}+n_{2}+n_{3}=0$ и $m_{1}+m_{2}+m_{3}=0$. Следовательно,
\[
\left(\begin{array}{rrr}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
-n_{1} & -n_{2}- & -n_{3}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
-m_{1} & -m_{2}-m_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
n_{1} & n_{2} & n_{3}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{2} & j_{3} \\
m_{1} & m_{2} & m_{3}
\end{array}\right) .
\]

Если снова положить $n_{1}=-j_{1}, n_{2}=j_{1}-j_{3}, n_{3}=j_{3}$, то знак первого символа в правой части (24.12) становится равным (-1) 2 2j $^{2-2 j_{3}}$. Символ в левой части также приобретает вид (24.Е.2), если переставить первый столбец с последним. Следовательно, его знак определяется выражением $(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}(-1)^{2 j_{3}-2 j_{1}}=(-1)^{-j_{1}+j_{2}-j_{3}}$. Поэтому отношение первых множителей имеет знак (-1) $)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}$. Это доказывает изменение знака, указанное в (24.106); замена чисел $n$ соответствующими $m$ показывает, что абсолютные значения обеих частей (24.10б) также равны. Более абстрактный вывод этих соотношений дан в статье, указанной в примечании на стр. 343 .