1. В предыдущей главе обсуждались наиболее важные свойства атомных спектров, которые могут рассматриваться без введения спина электрона. Однако многие из менее очевидных характеристик, среди которых наиболее важной, по-видимому, является тонкая структура, не могли быть объяснены, так как они тесно связаны с иным свойтвом электрона – его магнитным моментом.

Гипотеза о том, что электрон имеет магнитный момент и момент количества движения (\”спин\”), была выдвинута Гаудсмитом и Уленбеком. Еще до создания квантовой механики они заметили, что невозможно дать полное описание спектров, не приписывая электрону магнитный момент и механический момент: концепция электрона как точечного заряда оказалась недостаточной. Как известно, в классической электродинамике магнит эквивалентен точечному заряду, вращающемуся вокруг оси магнитного момента. Тогда вектор магнитного момента $\mu$ связаи с моментом количества движения $\boldsymbol{L}$ соотношением
\[
\boldsymbol{\mu}=\frac{e L}{2 m c}=\eta \boldsymbol{L},
\]

где $e$-заряд вращающейся частицы и $m$ – ее масса. Однако, как показали Гаудсмит и Уленбек, соотношение (20.Е.1) не применимо к магнитному моменту, обязанному спину, если взять обычные заряд и массу электрона. Вместо этого следует предположить, что момент количества движения равен
\[
|\boldsymbol{S}|=\frac{1}{2} \hbar,
\]

тогда как магнитный момент равен целому магнетону Бора
\[
|\boldsymbol{\mu}|=\frac{e \hbar}{2 m c}=\frac{e}{m c}|\boldsymbol{S}|=2 \eta|\boldsymbol{S}| .
\]

Квантовая механика электрона со спином показывает, что эти утверждения нельзя понимать буквально. Даже теория Паули требует, что не может быть осуществлен эксперимент, позволяющий определить направление (в частности, направляющие косинусы) механического или магнитного моментов. Возможно лишь различить между одним направлением и противоположным ему. Следовательно, вопрос о вероятности различных пространственных направлений спина не имеет смысла, т. е. не может быть решен с помощью эксперимента; измерена может быть лишь проекция спина на какоелибо одно направление. Такие измерения, примером которых служит опыт Штерна – Герлаха, могут дать только два ответа: либо спин ориентирован по рассматриваемому направлению, либо он имеет противоположное направление. Возможными экспериментальными результатами для проекции момента количества движения на рассматриваемое направление являются $+\frac{\hbar}{2}$ или $-\frac{\hbar}{2}$. Если при измерении проекции спина на ось $Z$ получен первый результат, то повторное измерение проекции спина на ось $Z$, выполненное немедленно, с достоверностью даст направление $+Z$ и не даст\” $-Z$. С другой стороны, измерение проекции на ось $Y$ дает с равной вероятностью два возможных результата: $+Y$ и $-Y$. Поэтому важно приписать независимые вероятности всем направлениям спина; даже в том случае, когда спин с достоверностью направлен по оси $Z$ (т. е. если проекция момента количества движения на ось $Z$ с достоверностью равна $+\frac{\hbar}{2}$ ), вероятность направления $+Y$ равна $\frac{1}{2}$, а для всех направлений, кроме $-Z$, вероятность отлична от нуля.

Спин приобретает еще более символический характер в релятивистской теории электрона Дирака, как это было подчеркнуто, в частности, Н. Бором. Согласно этой теории (которую мы не будем здесь обсуждать), существование магнитного момента является целиком релятивистским эффектом, который выступает автоматически, когда пространство и время рассматриваются как равноправные.
2. В теории Паули магнитный момент описывается дополнительной координатой $s$ в волновой функции, которая при этом принимает вид $\Phi(x, y, z, s)$. В то время как $x, y, z$ изменяются от $-\infty$ до $+\infty$, координата $s$ может принимать только два значения: -1 и +1 . Поэтому волновая функция электрона состоит в действительности из двух функций от $x, y, z: \Phi(x, y, z,-1)$ и $\Phi(x, y, z, 1)$. То обстоятельство, что переменная $s$ (в противоположность координатам $x, y, z$ ) может принимать лишь два значения, отражает тот факт, что компонента спина, например в направлении $Z$, может иметь лишь два значения $\left(+\frac{\hbar}{2}\right.$ и $\left.-\frac{\hbar}{2}\right)$, тогда как координаты, определяющие положение, могут принимать все значения от $-\infty$ до $+\infty$
Скалярное произведение двух функции от $x, y, z$ и $s$ определяется как непосредственное обобщение скалярного произведения, которое мы видели выше. Скалярное произведение двух функций $\varphi(x, y, z)$ и $g(x, y, z)$ было определено как предел суммы
\[
\sum_{x, y, z} \varphi(x, y, z)^{*} g(x, y, z)
\]

где суммирование должно распространяться на всю область от $-\infty$ до $+\infty$. Аналогичным образом, скалярное произведение $\Phi(x, y, z, s)$ и $G(x, y, z, s)$ равно
\[
\sum_{s= \pm 1} \sum_{x, y, z} \Phi(x, y, z, s)^{*} G(x, y, z, s),
\]

где суммирование снова производится по всей области изменения переменных. Переходя к пределу, получаем
\[
\begin{array}{c}
(\Phi, G)=\sum_{s= \pm 1} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \Phi(x, y, z, s)^{*} G(x, y, z, s) d x d y d z= \\
=\iint_{-\infty}^{\infty} \int^{-}\left[\Phi(x, y, z,-1)^{*} G(x, y, z,-1)+\right. \\
\left.\quad+\Phi(x, y, z, 1)^{*} G(x, y, z, 1)\right] d x d y d z .
\end{array}
\]
3. Величины, зависящие только от пространственных координат, остаются важным специальным классом физических величин. Эти величины – как координата $X$ или скорость – имеют также смысл в теории, вовсе не рассматривающей спина. Опыты, в которых измеряются эти величины, мы будем называть \”бесспиновыми\”. Сами эти величины соответствуют в теории Паули операторам, действующим только на декартовы координаты $x, y, z$, так что спиновая координата может рассматриваться как параметр.

Уточним понятие оператора, действующего только на некоторые из координат. Всякий оператор $\mathbf{X}$, который может быть применен к функции $f(\xi)$ одной переменной $\xi$ (как, например, дифференцирование по $\xi$ ), может быть применен также к функции двух переменных, так как любая функция $F(\xi, \sigma)$ двух переменных может рассматриваться как семейство функций лишь одной переменной $\xi$; для каждого конкретного значения $\sigma$ функция $F(\xi, \sigma)$ является функцией только $\xi^{1}$ ). Если оператор $X$ применяется ко всем этим функциям от $\xi$, то для каждого значения о получается другое семейство функций от $\xi$. Это семейство образует тогда
) Под $\xi$ мы подразумеваем здесь тройку координат $x, y, z$, а под $\sigma$ – спиновую координату $s$.
функцию $\mathrm{X} F(\xi, \sigma)$. Утверждение о том, что $\mathrm{X}$ действует только на $\xi$, означает таким образом, что значение функции $\mathrm{X} F$ в точке $\xi$, $\sigma$ зависит только от значений функции $F\left(\xi^{\prime}, \sigma^{\prime}\right)$ при $\sigma^{\prime}=\sigma$.

Пусть $\Psi_{k}(x, y, z, s)$ – собственная функция оператора $\mathrm{H}$, действующего только на $x, y$ и $z$. Если $\lambda_{k}$ является соответствующим собственным значением, то функция от $x, y, z, s$
\[
H \Psi_{k}(x, y, z, s)-\lambda_{k} \Psi_{k}(x, y, z, s)=0
\]

должна обращаться в нуль; иначе говоря, должны обращаться в нуль обе функции этого семейства ( $s=+1$ и $s=-1$ ):
\[
\begin{array}{l}
H \Psi_{k}(x, y, z,-1)-\lambda_{k} \Psi_{k}(x, y, z,-1)=0, \\
H \Psi_{k}(x, y, z,+1)-\lambda_{k} \Psi_{k}(x, y, z,+1)=0 .
\end{array}
\]

Если при данном $\lambda_{k}$ уравнение
\[
\mathrm{H} \psi_{k}(x, y, z)=\lambda_{k} \psi_{k}(x, y, z)
\]

имеет только одно решение, то как $\Psi_{k}(x, y, z,+1)$, так и $\Psi_{k}(x, y, z,-1)$ должны быть кратными $\left.\psi_{k}(x, y, z)^{1}\right)$ :
\[
\Psi_{k}(x, y, z,-1)=u_{-1} \psi_{k}(x, y, z), \Psi_{k}(x, y, z, 1)=u_{1} \psi_{k}(x, y, z) \text {, }
\]
\[
\Psi_{k}(x, y, z, s)=u_{s} \psi_{k}(x, y, z) .
\]

Независимо от того, как выбраны $u_{-1}$ и $u_{1}, u_{s} \psi_{k}(x, y, z)$ остается собственной функцией оператора $\bar{H}$, принадлежащей собственному значению $\lambda_{k}$. Это показывает, что введение спиновой координаты $s$ превратило собственное значение $\lambda_{k}$ в двукратно вырожденное собственное значение, которому принадлежат две линейно независимые и взаимно ортогональные собственные функции
\[
\begin{array}{l}
\Psi_{k-}=\delta_{s,-1} \psi_{k}(x, y, z), \\
\Psi_{k+}=\delta_{s, 1} \psi_{k}(x, y, z) .
\end{array}
\]

Скалярное произведение $\Psi_{k-}$ и $\Psi_{k+}$ действительно обращается в нуль, так как один из множителей в каждом члене подынтегральной функции (20.3) равен нулю.
Собственные функции
\[
\delta_{s,-1} \psi_{1}, \delta_{s, 1} \psi_{1}, \delta_{s,-1} \psi_{2}, \delta_{s, 1} \psi_{2}, \delta_{s,-1} \psi_{3}, \ldots
\]
1) Сначала могло бы показаться несколько странным, что $s$ выступает в качестве переменной в левой части этого равенства и в качестве индекса – в правой; но это лишний раз подчеркивает то обстоятельство, что всякая функция $x, y, z$ и $s$ может рассматриваться как соответствие между функцией от $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ и $\boldsymbol{z}$ и каждым значением $s$.
соответствуют возможным результатам двух измерений, выполняемых одновременно: а) измерения величины, отвечающей оператору $\mathrm{H}$ и б) измерения $Z$-компоненты спина. Для $\Psi_{k-}$ значение первой величины с достоверностью равно $\lambda_{k}$, а спин с достоверностью имеет направление $-Z$, тогда как для $\Psi_{k+}$ первая величина по-прежнему с достоверностью равна $\lambda_{k}$, но спин имеет направление $+Z$, т. е. вероятность обнаружить его в направлении $-Z$ равна нулю. В общем случае, если волновая функция равна
\[
\Phi=a_{1} \Psi_{1-}+a_{2} \Psi_{2-}+a_{3} \Psi_{3-}+\ldots+b_{1} \Psi_{1+}+b_{2} \Psi_{2+}+b_{3} \Psi_{3+}+\ldots,
\]

вероятность того, что $H$ имеет значение $\lambda_{k}$ и что спин одновременно имеет направление $-Z$, равна $\left|a_{k}\right|^{2}$, а вероятность значения $\lambda_{k}$ для $\mathrm{H}$ и направления спина $+Z$ равна $\left|b_{k}\right|^{2}$.