В предыдущей главе мы познакомились с понятием изоморбизма двух групп. Две группы изоморфны, если между их элементами имеется взаимнооднозначное соответствие, притом такое, что произведения соответствуют произведениям. Элементам $A$ или $B$ одной группы соответствуют элементы $\bar{A}$ или $\bar{B}$ изоморфной группы, и произведению $A B$ соответствует произведение $\bar{A} \cdot \bar{B}=\overline{A B}$. Ясно, что изоморфные группы должны быть одного и того же порядка.

Менее точное соответствие между двумя группами будет при простом гомоморфизме, который напоминает изоморфизм за тем исключением, что от соответствия не требуется, чтобы оно было взаимнооднозначным. Группа $\mathscr{F}$ гомоморфна на другую группу $\mathscr{H}$, если один и только один элемент группы $\mathscr{H}$ соответствует каждому элементу группы $\mathscr{G}$ и если по крайней мере один элемент группы $\mathscr{Z}$ соответствует каждому элементу группы $\mathscr{\mathscr { H }}$, а также если соответствие таково, что произведение $A$ и $B$ из группы $\mathscr{G}$ соответствует произведению $\bar{A} \cdot \bar{B}=\overline{A B}$ соответствующих элементов $\bar{A}$ и $\bar{B}$ группы $\mathscr{H}^{1}$ ). При гомоморфизме один элемент $\bar{A}$ группы $\mathscr{H}$ может соответствовать нескольким различным элементам, скажем, взаимным свойством. Если $\mathscr{g}$ гомоморфна $\mathscr{H}$, то $\mathscr{H}$ не обязательно гомоморфна на $\mathscr{G}$. Число элементов группы $\mathscr{\mathscr { ~ }}$ должно быть равно или больше, чем число элементов группы $\mathscr{H}$; если число элементов равно, то гомоморфизм становится изоморфизмом, который уже является взаимным.

Тождественный элемент $E$ группы $\mathscr{F}$ соответствует тождественнэму элементу $\bar{E}$ группы $\mathscr{H}$, так как из $E \cdot E=E$ следует
1) Соответствие, которое называется здесь гомомарфизмом группы $\mathscr{F}$ на группу $\mathscr{C}$, у большинства немецких авторов обозначается как гомоморфизм группы $\mathscr{H}$ группе $\mathscr{g}$. Заметим также, что выражения \”голоморфизм\” и „изоморфизм“ используются как синонимы в некоторых текстах. (В русской литературе говорят также о гомоморфном отображении группы $\mathscr{y}$ на группу $\mathscr{C}$. Мы оставляем более краткую терминологию автора. – Прим. ред.)
$\bar{E} \cdot \bar{E}=\bar{E}$, причем это имеет место только для тождественного ветствуют обратным элементам группы $\mathscr{H}$.

Рассмотрим все элементы $E, E_{2}, \ldots, E_{n}$ группы $\mathscr{F}$, соответствующие тождественному элементу $\bar{E}$ группы $\mathscr{H}$, и обозначим этот комплекс через $\mathscr{C}$. Так как $E_{k} \cdot E_{l}$ соответствует произведению $\vec{E} \cdot \vec{E}=\bar{E}$, комплекс $\mathscr{C}$ также содержит $E_{k} \cdot E_{l}$, так что $\mathscr{C}$ является группой. Кроме того, всякий элемент $U^{-1} E_{k} U$, сопряженный с $E_{k}$, соответствует элементу $\bar{E}$, поскольку $\overline{U^{-1}} \cdot \bar{E} \cdot \bar{U}=$ $=\bar{U}^{-1} \bar{E} \bar{U}=\bar{E}$; поэтому группа $\mathscr{C}$ является инвариантной подгруппой группы $\mathscr{G}$. Аналогичным образом, элементы комплекса $\mathcal{A}$, которым соответствует один и тот же элемент $\bar{A}$ группы $\mathscr{H}$, образуют смежный класс по подгруппе $\mathscr{C}$. Пусть $A_{j}$ и $A_{l}$ – два элемента комплекса $\mathcal{A}$; тогда $\bar{A}_{j}=\bar{A}_{l}=\bar{A}$. Всякому элементу $A_{j} A_{l}^{-1}$ соответствует элемент $\bar{A}_{j} \bar{A}_{l}^{-1}=\bar{A}_{j} \bar{A}_{l}^{-1}=\bar{A} \bar{A}^{-1}=\bar{E}$; иначе говоря, $A_{j} A_{l}^{-1}$ содержится в $\mathscr{C}$, что является условием того, что $A_{j}$ и $A_{l}$ принадлежат одному и тому же смежному классу по подгруппе $\mathscr{C}$.

Смежные классы по подгруппе $\mathscr{C}$ находятся во взаимнооднозначном соответствии с элементами группы $\mathscr{E}$; поэтому произведение двух смежных классов $\mathscr{C} U$ и $\mathscr{C} V$ соответствует прозведению $\bar{U} \bar{V}=\overline{U V}$ соответствующих двух элементов $\bar{U}$ и $\bar{V}$. Так как смежные классы являются элементами фактор-группы подгруппы $\mathscr{C}$, эта фбактор-группа изоморфна группе ё .

Если $\mathscr{F}$ гомоморфна на $\mathscr{H}$, то фактор-группа группы $\mathscr{F}$ изоморфна группе $\mathscr{H}$. Порядок группы $\mathscr{F}$ является целым кратным порядка группы $\mathscr{H}$. Если гомоморфизм является в действительности изоморфизмом, то рассматриваемая инвариантная подгруппа $\mathscr{C}$ вырождается в единственный тождественный элемент $E$.
С помощью надлежащей перенумерации элементов групп можно по-

Мы видим, что единственный элемент группы $\mathscr{H}$ соответствует группы $\mathscr{f}$ соответствуют каждому элементу группы $\mathscr{H}$; это соответствие не является, однако, одно-однозначным, а $n$-однозначным, Элементы $E, G_{2}, \ldots, G_{n}$ образуют инвариантную подгруппу $\mathscr{C}$ (ранее они были обозначены через $E, E_{2}, E_{3}, \ldots, E_{n}$ ); каждый из других комплексов, обозначенных скобкой, образует один иэ
$\Gamma л а в а 8$
смежных классов по этой подгруппе, соответствующей каждыи одному элементу группы $\mathscr{H}$.

Умножение некоторого элемента группы $\mathscr{E}$, соответствующего $H_{i}$, на элемент, соответствующий $H_{j}$, дает элемент, который соответствует $H_{l} \cdot H_{j}$. Перемножение всех $n$ элементов, соответствующих $H_{l}$, со всеми $n$ элементами, соответствующими $H_{j}$, дает $n$ элементов, которые соответствуют $H_{i} \cdot H_{j}$, каждый $n$ раз. Группа $\mathscr{C}$ в сущности совпадает с фактор-группой инвариантной подгруппы $E, G_{2}, \ldots, G_{n}$. Она изоморфна этой фактор-группе.

Всякая группа, очевидно, изоморфна сама себе. Всякая группа также гомоморфна на группу, состоящую из одного лишь тождественного элемента $\bar{E}$. Элементу $A$ соответствует тождественный элемент $\bar{E}$, а элементу $B$ – также тождественный элемент $\bar{E}$. Таким образом, произведение $A B$ соответствует также произведению $\bar{E} \bar{E}=\bar{E}$. В этом случае инвариантная подгруппа охватывает всю группу.

Всякая группа подстановок гомоморфна некоторой абелевой группе. Этот гомоморфизм может быть построен, если каждой подстановке поставить в соответствие ее определитель. Что это дает в случае группы (7.Е.1) предыдущей главы?

На этом мы заканчиваем изложение абстрактной теории конечных групп; затем мы перейдем к теории представлений групп. Далее мы обсудим непрерывные группы. Наше рассмотрение было ограничено началами абстрактной теории групп, которая необычайно проста в своей аргументации. Подробное изложение можно найти в „Теории конечных групп“ Спайзера и в „Алгебре“ Вебера. Здесь мы рассмотрели только те вопросы, которые существенны для дальнейшего изложения и для приобретения навыков при использовании теории групп ${ }^{1}$ ), и не будем далее обсуждать эти вопросы.
1) Из более поздних руководств по теории групп можно указать книгу: H. Zassenhays, Theory of Groups, New York, 1958.