7. Второе приложение формулы (23.19e) связано с эффектом Зеемана. Взаимодействие магнитноге поля с атомом описывается двумя дополнительными членами гамильтониана. Первым членом является $\mathrm{V}=\eta \mathscr{H} \mathrm{L}_{z}$, где $\eta=e / 2 m_{0}$ с и $m_{0}$ – масса электрона. Этот член описывает взаимодействие магнитного поля с токами, создаваемыми движением электронов; он имеет тот же самый вид, что и в простой теории Шредингера [см. (18.6) и (18.7)]. Действие оператора $L_{z}$ заключается просто в умножении волновой функции на $Z$-компоненту момента количества движения:
\[
\mathrm{L}_{z} \psi_{x \mu}^{N S L}=\mu \hbar \psi_{x \mu}^{N S L} .
\]

Псэлому, согласно (22.25),
\[
\mathrm{L}_{z} \Xi_{y \mu}^{N S L}=\sum_{\mathrm{x}} \mathrm{L}_{z} \psi_{\mathrm{x} \mu}^{N S L} f_{\mathrm{xy}}^{(S)}=\hbar \sum_{\mathrm{x}} \mu \psi_{\mathrm{x} \mu}^{N S L} f_{\mathrm{xy}}^{(S)}=\mu \hbar \Xi_{y \mu}^{N S L},
\]

так что в этом случае $v_{N S L ;} N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime}$ принимает вид
\[
\left(\Xi_{v \mu}^{N S L}, L_{z} \Xi_{\psi \mu}^{N S L}\right)=\mu \hbar=v_{N S L} ; S L \frac{\mu}{\sqrt{L(L+1)}},
\]

как следует из сравнения с (23.14). Согласно (23.19e), это дает
\[
V_{N S L J ; N S L J}=\hbar \frac{J(J+1)+L(L+1)-S(S+1)}{2 \sqrt{J(J+1)}} .
\]

Тогда соотношение (23.18) показывает, что матричные элементы оператора $L_{z}$ равны
\[
\left(\Psi_{m}^{N S L J}, L_{z} \Psi_{m}^{N S L J}\right)=m \hbar \frac{J(J+1)+L(L+1)-S(S+1)}{2 J(J+1)} .
\]

Второй член $\overline{\mathbf{V}}$ оператора магнитной энергии в гамильтониане описывает взаимодейстие магнитного поля со спиновым магнитным моментом электрона; он равен скалярному произведению магнитного момента на напряженность поля, т. е. $\left(\eta=e / 2 m_{0} c\right)$
\[
2 \eta\left(s_{x} \mathscr{H}{ }_{x}+s_{y} \mathscr{H} \mathscr{y}_{y}+s_{z} \mathscr{H}{ }_{z}\right),
\]

или в случае нескольких электронов – сумме членов вида (23.22). Если магнитное поле направлено по оси $Z$, то $\overline{\mathrm{V}}=2 \eta \mathscr{H} \mathrm{S}_{z}$, где $\mathrm{S}_{z}$ есть $Z$-компонента полного спина. Соответствующим оператором является умножение на
\[
\frac{1}{2} \hbar\left(s_{1}+s_{2}+\ldots+s_{n}\right)=\mathrm{S}_{z},
\]
так как $\mathbf{s}_{\boldsymbol{z}}$ представляет собой, согласно (20.21), умножение на $s$. Будет показано, что
\[
\mathrm{S}_{z} \Psi=-\left.i \hbar \frac{\partial}{\partial \alpha} \mathrm{Q}_{\{\alpha, 0,0\}} \Psi\right|_{\alpha=0} .
\]

Это соотношение аналогично (18.7):
\[
\mathrm{L}_{z} \Psi=-\left.i \hbar \frac{\partial}{\partial \alpha} \mathrm{P}_{\{\alpha, 0,0\}} \Psi\right|_{\alpha=0} .
\]

Множитель $1 / 2$ появляется в (23.22а) вследствие того, что спин представляет собой момент количества движения, равный $\hbar / 2$. Так как $\mathfrak{D}^{(1 / 2)}(\alpha, 0,0)_{\frac{1}{2} s, \frac{1}{2} t}=\delta_{s t} e^{\frac{1}{2} i s \alpha}$, то соотношение, определяющее $\mathrm{Q}_{R}$ [см. (21.6б)], принимает вид
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{Q}_{\{\alpha, 0,0\}} \Psi\left(\ldots, x_{k}, y_{k}, z_{k}, s_{k}, \ldots\right)= \\
=\sum_{t_{1} \ldots t_{n}= \pm 1} \ldots D^{(1 / 2)}(\{\alpha, 0,0\})_{\frac{1}{2} s_{k}, \frac{1}{2} t_{k}} \ldots \Psi\left(\ldots x_{k}, y_{k}, z_{k}, t_{k}, \ldots\right)= \\
=\sum_{t_{1}, \ldots, t_{n}} \ldots \delta_{s_{k} t_{k}} e^{\frac{1}{2} t s_{k} \alpha} \ldots \Psi\left(\ldots, x_{k}, y_{k}, z_{k}, t_{k}, \ldots\right)= \\
=e^{\frac{1}{2} t\left(s_{1}+\ldots+s_{n}\right)^{\alpha} \Psi .},
\end{array}
\]

откуда непосредственно следует равенство (23.23а).
Поэтому имеем также
\[
\left(\Xi_{\gamma \mu}^{N S L}, \mathrm{~S}_{z} \Xi_{
u \mu}^{N S L}\right)=
u \hbar .
\]

Теперь $\mathrm{S}_{z}$ является скаляром по отношению к $\mathrm{P}_{R}$ и вектором по отношению к $\mathrm{Q}_{R}$, тогда как $\mathrm{L}_{z}$ является вектором относительно $\mathrm{P}_{R}$ и скаляром относительно $\mathrm{Q}_{R}$. При вычислении выражения $\left(\Psi_{m}^{N S L J}, \mathrm{~S}_{z} \Psi_{m}^{N S L J}\right)$ с помощью величин (23.22б) $L$ и $S$ следует поэтому поменять местами, после чего вместо (23.21) получим
\[
\left(\Psi_{m}^{N S L J}, \mathrm{~S}_{z} \Psi_{m}^{N S L J}\right)=m \hbar \frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2 J(J+1)} .
\]

Матричные элементы полного оператора взаимодействия с магнитным полем $\mathrm{V}+\overline{\mathrm{V}}=\eta \mathscr{H} \mathrm{L}_{z}+2 \eta \mathscr{H} \mathrm{S}_{z}$ можно вычислить, если сложить (23.21) и удвоенную величину матричного элемента (23.24). Смещение зеемановских компонент с магнитным квантовым числом $m$ оказывается равным
\[
\Delta E_{m}=\frac{e \hbar \mathscr{H}}{2 m_{0} c} m \frac{3 J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2 J(J+1)} .
\]
Это обычная формула Ланде. Она показывает, что вследствие аномального (вдвое большего, чем классическое значение) магнитного момента, связанного со спином электрона, различные уровни в магнитном поле расщепляются по-разному. Действительное расщепление получается, если расщепление $\eta \mathscr{\mathscr { C }}$ m нормального эффекта Зеемана умножить на
\[
g=1+\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2 J(J+1)} .
\]

Вывод формул (23.19) и аналогичных формул можно упростить, если заметить, что вычисляемые отношения матричных элементов не должны [согласно (23.15)] зависеть от конкретной механической задачи и от частного вида оператора $T^{(\rho a)}$ и могут зависеть только от их трансформационных свойств. Действительно, вычисляемые отношения являются просто суммами произведений коэффициентов $s_{J_{\mu
u}}^{(L S)}$. Однако все $s$ являются просто числами, задаваемыми выражением (17.27), так что эти отношения одинаковы для всех операторов с одинаковыми трансформационными свойствами. Таким образом, они могут быть вычислены для любого тензора с нужными трансформационными сеойствами (23.13a) и (23.136), причем результаты распространяются на все тензоры с одинаковыми $p$ и $q$.