6. Рассмотрим здесь простой, сильно упрощенный случай принципа построения, в котором тождественность электронов не учитывается, а в качестве группы симметрии уравнения Шредингера берется лишь группа вращений ${ }^{1}$ ).

Рассмотрим две системы, каждая из которых состоит в простейем случае из одного электрона; при этом оба электрона движутся вокруг одного и того же ядра. Пусть энергия первой системы равна $E$, причем система находится в состоянии с орбитальным квантовым числом $l$. Пусть далее $\psi_{-l}, \psi_{-l+1}, \ldots, \psi_{l}$ являются $2 l+1$ собственными функциями этого собственного значения. Тогда
\[
\mathbf{P}_{R} \psi_{\mu}=\sum_{\mu^{\prime}} \mathfrak{D}^{(l)}(R)_{\mu^{\prime} \mu_{\mu}} \psi_{\mu^{\prime}},
\]

где $\mathrm{P}_{R}$ – оператор вращения координат первой системы. Пусть энергия второй системы равна $\bar{E}$, орбитальное квантовое число $\bar{l}$ и собственные функции $\bar{\psi}_{-\bar{l}}, \bar{\psi}_{-\bar{l}_{+1}}, \ldots, \bar{\psi}_{\bar{l}}$. Тогда
\[
\overline{\mathbf{P}}_{R} \bar{\psi}_{
u}=\sum_{
u^{\prime}} \mathfrak{D}^{(l)}(R)_{
u^{\prime},} \bar{\psi}_{
u^{\prime}} .
\]

Два оператора $\overline{\mathrm{P}}_{R}$ и $\mathrm{P}_{R}$ различны, так как $\mathrm{P}_{R}$ вращает координаты, от которых зависят функции $\psi_{\mu}$, а $\overline{\mathbf{P}}_{R}$ вращает переменные, от которых зависит функция $\bar{\psi}_{
u}$, причем эти два набора переменных различны. Следовательно, все $\mathrm{P}_{R}$ коммутируют со всеми $\overline{\mathrm{P}}_{R}$. причем $\mathrm{P}_{R} \bar{\psi}_{
u}=\bar{\psi}_{
u}$ и $\overline{\mathrm{P}}_{R} \psi_{\mu}=\psi_{\mu}$, так как $\mathrm{P}_{R}$ не действует на переменные функций $\bar{\psi}_{v}$, а $\overline{\mathrm{P}}_{R}$ – на переменные функций $\psi_{\mu}$.

Если мы будем теперь рассматривать эти две системы как одну, то, согласно (17.6) и (17.6a), собственные значения будут суммами, а собственные функции – произведениями соответствующих величин для отдельных систем. Bce $(2 l+1)(2 \bar{l}+1)$ собственных функций
\[
\begin{array}{ccccc}
\psi_{-l} \bar{\psi}_{-\bar{l}}, & \psi_{-l} \bar{\psi}_{-\bar{l}+1}, \ldots, \psi_{-l} \bar{\psi}_{\bar{l}-1}, & \psi_{-l} \bar{\psi}_{\bar{l}}, \\
\cdot & \cdot & \ldots, & \cdot & \cdot \\
\psi_{l} \bar{\psi}_{-\bar{l}}, & \psi_{l} \bar{\psi}_{-\bar{l}+1}, & \cdots, & \psi_{l} \bar{\psi}_{\bar{l}-1}, & \psi_{l} \bar{\psi}_{\bar{l}}
\end{array}
\]

принадлежат собственному значению $E+\bar{E}$. Теперь возникает вопрос о том, какие операторы будет содержать группа составнон системы, если учесть взаимодействие между системами. Ясно, что
1) См. E. Fues, Zs. f. Phys., 51, 817 (1928).
это не все прямое произведение двух групп операторов $\mathrm{P}_{R}$ и $\overline{\mathrm{P}}_{\bar{R}}$, элементы которого $\mathbf{P}_{R} \overleftarrow{\mathbf{P}}_{\bar{R}}$ соответствовали бы одновременным, но различным вращениям координатных систем переменных, от которых зависят функции $\psi$ и $\bar{\psi}$. Группа, которую мы должны рассматривать, это такая группа, в которой две системы осей претерпевают одно и то же вращение; эта группа не содержит всех операторов $\mathbf{P}_{R} \overline{\mathbf{P}}_{\bar{R}}$, а лишь операторы $\mathbf{P}_{R} \overline{\mathbf{P}}_{R}$. Группа операторов $\mathbf{P}_{R} \overline{\mathbf{P}}_{R}$ изоморфна простой группе вращений. Из $R Q=T$ следует, что
\[
\mathbf{P}_{R} \overline{\mathrm{P}}_{R} \cdot \mathrm{P}_{Q} \overline{\mathbf{P}}_{Q}=\mathrm{P}_{R} \mathbf{P}_{Q} \cdot \overline{\mathrm{P}}_{R} \overline{\mathbf{P}}_{Q}=\mathrm{P}_{T} \overline{\mathrm{P}}_{T} .
\]

Если применить операторы $\mathbf{P}_{R} \overline{\mathbf{P}}_{R}$ к функциям (17.9), то получающиеся при этом функции могут быть записаны в виде линейных комбинаций исходных.
Согласно (17.8) и (17.8a),
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{P}_{R} \overline{\mathrm{P}}_{R} \psi_{\mu^{\prime}} \bar{\psi}_{
u}=\mathrm{P}_{R} \psi_{\mu} \cdot \overline{\mathrm{P}}_{R} \bar{\psi}_{
u}= \\
\quad=\sum_{\mu^{\prime}} \mathfrak{D}^{(l)}(R)_{\mu^{\prime} \mu} \psi_{\mu^{\prime}} \sum_{
u^{\prime}} \mathfrak{D}^{(\bar{l})}(R)_{
u^{\prime}
u} \bar{\psi}_{
u^{\prime}}=\sum_{\mu^{\prime}
u^{\prime}} \Delta(R)_{\mu^{\prime}
u^{\prime} ; \mu
u} \psi_{\mu^{\prime}} \bar{\psi}_{
u^{\prime}} .
\end{array}
\]

Представление $\Delta(R)$, принадлежащее $(2 l+1)(2 \vec{l}+1)$ функциям (17.9) составной системы, является прямым произведением ${ }^{1}$ ) двух представлений $\mathfrak{D}^{(l)}$ и $\mathfrak{D}^{(\bar{l})}$ отдельных систем:
\[
\begin{aligned}
\Delta(R)_{\mu^{\prime}
u^{\prime} ; \mu
u} & =\mathfrak{D}^{(l)}(R)_{\mu^{\prime} \mu^{\prime}} \mathfrak{D}^{(\bar{l})}(R)_{
u^{\prime}
u^{\prime}}, \\
\Delta(R) & =\mathfrak{D}^{(l)}(R) \times \mathfrak{D}^{(\bar{l})}(R) .
\end{aligned}
\]

Найдем теперь неприводимые компоненты представления $\Delta(R)$. Наиболее просто это сделать, разлагая его характер по характерам неприводимых представлений. Характер представления $\Delta(R)$, где $R$ соответствует вращению на угол $\varphi$, равен
\[
\begin{aligned}
\sum_{\mu
u} \Delta(R)_{\mu
u ; \mu
u} & =\sum_{\mu} \mathfrak{D}^{(l)}(R)_{\mu \mu \mu} \sum_{
u} \mathfrak{D}^{(l)}(R)_{
u
u}= \\
& =\chi^{(l)}(\varphi) \chi^{(\bar{l})}(\varphi)=\sum_{\mu=-l}^{l} \exp (i \mu \varphi) \sum_{
u=-\bar{l}}^{\bar{l}} \exp (l
u \varphi) .
\end{aligned}
\]
1) Мы имеем здесь дело с некоторым типом прямого произведения, отличным от рассмотренных в предыдущей главе, где мы соединили две операции симметрии (вращение $R$ и отражение $I$ ), расширяя тем самым группу. Здесь же мы комбинируем две системы, имеющие одинаковую симметрию; тогда составная система имеет ту же самую симметрию.
Чтобы разложить это выражение на неприводимые характеры, можно представить (17.12) символически в виде таблицы. Образуем столбец для каждой экспоненциальной функции $\exp (i \times \varphi)$ (где $x=-l-\bar{l}, \ldots,-2,-1,0,1,2, \ldots, l+\bar{l}$ ) и поставим в этом столбце знак плюс каждый раз, когда $\exp (i \chi \varphi)$ встречается в (17.12). Наименьшим значением $x$, которое нам встретится, будет $-\bar{l}-l$, а наибольшим $l+\bar{l}$; таким образом, всего в таблице будет $2 l+2 \bar{l}+1$ столбцов. Строки таблицы будем нумеровать значениями $
u$ в $x=
u+\mu$; таким образом, в строке $
u$ мы будем ставить знаки плюс, возникающие от $2 l+1$ членов $\exp [l(
u-l) \varphi], \exp [i(
u-l+1) \varphi], \ldots, \exp [i(
u+l) \varphi]$. Если принять, что $l>\bar{l}$, получим табл. 1 .
ТАБлиц А 1
Наличие функции $\exp (i \times \varphi)$ в характере
Перемещая знаки плюс внутри столбцов, сделаем теперь так, чтобы каждая строка представляла неприводимый характер. [Это, разумеется, не меняет числа появлений $\exp (i \propto \varphi)$ в суммах.] Если, например, часть таблицы, лежащую слева от пунктирной линии, повернуть на $180^{\circ}$ вокруг строки с $
u=0$, отмеченной стрелкон $(\rightarrow)$, то в результате получим табл. 2.

Первый знак плюс в v-й строке принадлежит теперь столбцу – $-l$; экспонентами, соответствующими v-й строке табл. 2 , будут
\[
\begin{array}{l}
\exp [-i(
u+l) \varphi]+\exp [-i(
u+l-1) \varphi]+\ldots+\exp [i(
u+l-1) \varphi]+ \\
+\exp [i(
u+l) \varphi]=\chi^{(l+
u)}(\varphi) .
\end{array}
\]

Вместе они дают в точности характер неприводимого представления с $L=l+
u$. Тогда вся таблица будет содержать неприводимые представления с
\[
L=l-\bar{l}, l-\bar{l}+1, \ldots, l+\bar{l}-1, l+\bar{l} .
\]
т АБ Лиц А 2
Неприводимые представления, входящие в матрицу $\Delta(R)$

Так, при $\bar{l} \leqslant l$ уровень $E+\bar{E}$ расщепляется под влиянием взаимодействия на $2 \tilde{l}+1$ уровней с орбитальными квантовыми числами (17.E.1). Неприводимыми компонентами произведения $\mathfrak{D}^{(l)}(R) \times$ $X \mathfrak{D}^{(\bar{l})}(R)$ в этом случае будут $\mathfrak{D}^{(L)}$ с $L$ из (17.E.1), причем каждое из этих значений $L$ встречается один и только один раз. Если $l \leqslant \bar{l}$, роли $l$ и $\bar{l}$ меняются местами; таким образом, в общем случае $L$ принимает значения
\[
L=|l-\bar{l}|,|l-\bar{l}|+1, \ldots, l+\bar{l}-1, l+\bar{l} .
\]

Әта „модель векторного сложения (см. фиг. 9) имеет весьма обширную применимость и большое значение для всей спектроскопии. Две системы, связь между которыми устанавливается с помощью этой модели, не обязательно должны состоять из отдельных
Фиг. 9. Сложение двух моментов количества движения с $l=5$ и $\bar{l}=2$ дает возможные значения $L=3,4,5,6$ и 7 .

электронов ${ }^{1}$ ), а могут сами быть сложными системами. Модель векторного сложения, как мы увидим, применима также к сочетанию спинового квантового числа с орбитальным квантовым числом (получающееся при этом число $L$ называется „полным квантовым числом\”) или к сложению полного квантового числа с ядерным спином и т. д.
1) Разумеется, в том простом виде, в котором модель приведена здесь, она не может описывать все детали в случае двух электронов, поскольку она не учитывает тождественности частиц.
7. Мы знаем теперь, что представление $\mathfrak{D}^{(l)} \times \mathfrak{D}^{(\bar{l})}$ эквиваленгно представлению
\[
\left(\begin{array}{ccccc}
\mathfrak{D}^{(|l-\bar{l}|)} & \mathbf{0} & \ldots & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathfrak{D}^{(|l-\bar{l}|+1)} & & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\
\cdot & \cdot & & \cdot & \cdot \\
\cdot & \cdot & & \cdot & \cdot \\
\cdot & \cdot & & \cdot & \cdot \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \ldots & \mathfrak{D}^{(l+\bar{l}-1)} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \ldots & \mathbf{0} & \mathfrak{D}^{(l+\bar{l})}
\end{array}\right)=\mathbf{M}(R), \quad(17.15)
\]

которое мы кратко обозначим через $\mathbf{M}(R)$. Поэтому должна существовать матрица $\mathbf{S}$, которая преобразует одно представление в другое:
\[
\mathfrak{D}^{(l),}(R) \times \mathfrak{D}^{(\bar{l})}(R)=\mathbf{S}^{-1} \mathbf{M}(R) \mathbf{S} .
\]

Так как $\mathbf{M}(R)$ и $\mathfrak{D}^{(l)} \times \mathfrak{D}^{(\bar{l})}$ унитарны, можно принять (теорема 1а гл. 9, стр. 96), что $\mathbf{S}$ унитарна, т. е. $\mathbf{S}^{-1}=\mathbf{S}^{\dagger}$.

Матрица $\mathbf{S}$ является квадратной матрицей в широком смысле; такие матрицы обсуждались в гл. 2. Строки и столбцы матриц $\mathfrak{D}^{(l)} \times \mathfrak{D}^{(\bar{l})}$ нумеруются двумя индексами $\mu$ и $
u$, и так же должны быть пронумерованы столбцы матрицы S. Строки и столбцы матриц $M(R)$ также имеют два индекса, но иного рода: первый индекс $L$ показывает, какое представление $\mathfrak{D}^{(L)}$ встречается в данной строке, а второй индекс $m$ указывает, какая строка этого представления рассматривается. Элементами матрицы $\mathbf{M}(R)$ являются
\[
M(R)_{L^{\prime} m^{\prime} ; L m}=\delta_{L L^{\prime}} \mathfrak{D}^{(L)}(R)_{m^{\prime} m^{*}}
\]

Поэтому строки матрицы $\mathbf{S}$ должны быть размечены индексами $L, m$, где $L$ пробегает от $|l-\bar{l}|$ до $l+\bar{l}$, а $m$ от $-L$ до $L$. В подробной записи (17.16) принимает вид
\[
\mathfrak{D}^{(l)}(R)_{\mu^{\prime} \mu^{\prime}} \mathfrak{D}^{(\vec{l})}(\dot{R})_{
u^{\prime}
u}=\sum_{m^{\prime} m} \sum_{L} S_{L m^{\prime} ; \mu^{\prime}
u^{\prime}}^{*} \mathfrak{D}^{(L)}(R)_{m^{\prime} m} S_{L m ; \mu
u} .
\]

Значение матрицы $\mathbf{S}$ заключается в том, что она определяет такие линейные комбинации произведений $\psi_{\mu} \bar{\psi}_{
u}$
\[
\Psi_{m}^{L}=\sum_{\mu
u} S_{L m ; \mu
u}^{k} \psi_{\mu} \bar{\psi}_{
u}
\]
которые преобразуются по неприводимым представлениям при применении операторов $\mathrm{P}_{R} \overline{\mathrm{P}}_{R}$, оставляющих систему (включая взаимодействие между моментами $l$ и $\bar{l}$ ) инвариантной. Функции $\Psi_{m}^{L}$ преобразуются следующим образом:
\[
\begin{aligned}
\mathrm{P}_{R} \overline{\mathrm{P}}_{R} \Psi_{m}^{L} & =\sum S_{L m ; \mu
u}^{*} \mathrm{P}_{R^{\prime}} \psi_{\mu} \cdot \overline{\mathrm{P}}_{R} \bar{\psi}_{
u}= \\
& =\sum_{\mu
u} \sum_{\mu^{\prime}
u^{\prime}} S_{L m ; \mu
u}^{*} \mathfrak{D}^{(l)}(R)_{\mu^{\prime} \mu} \mathfrak{D}^{(\bar{l})}(R)_{
u^{\prime}
u} \psi_{\mu^{\prime}} \bar{\psi}_{
u^{\prime}}= \\
& =\sum_{\mu \mu^{\prime}} \sum_{
u^{\prime}} \sum_{L^{\prime} m^{\prime}} S_{L m ; \mu
u}^{*} \mathfrak{D}^{(l)}(R)_{\mu^{\prime} \mu^{\prime}} \mathfrak{D}^{(\bar{l})}(R)_{
u^{\prime}
u} S_{L^{\prime} m^{\prime} ; \mu^{\prime}
u^{\prime}} \Psi_{m^{\prime}}^{L^{\prime}}= \\
& =\sum_{L^{\prime} m^{\prime}}\left[\mathbf{S} \cdot \mathfrak{D}^{(l)}(R) \times \mathfrak{D}^{(\bar{l})}(R) \cdot \mathbf{S}^{-1}\right]_{L^{\prime} m^{\prime} ; L m} \Psi_{m^{\prime}}^{L^{\prime}}= \\
& =\sum_{L^{\prime} m^{\prime}} M(R)_{L^{\prime} m^{\prime} ; L m} \Psi_{m^{\prime}}^{L^{\prime}}=\sum_{m^{\prime}} \mathfrak{D}^{(L)}(R)_{m^{\prime} m} \Psi_{m^{\prime}}^{L}
\end{aligned}
\]

Они являются поэтому собственными функциями первого приближения („правильными линейными комбинациями“ из гл. 5) возмущенной составной системы.

Чтобы определить коэффициенты $S_{L m ; \text {; }}^{*}$, применим прежде всего оператор $\mathrm{P}_{R} \overline{\mathrm{P}}_{R}$ к функции (17.18), где $R$ представляет собой вращение на угол $\alpha$ вокруг оси $Z$. Левая часть умножается при этом на $\exp (+i m \alpha)$ и то же самое должно иметь место для правой части:
\[
\begin{aligned}
\sum_{\mu
u} S_{L m ; \mu
u}^{*} e^{i m \alpha} \psi_{\mu .} \bar{\psi}_{
u} & =\sum_{\mu
u} S_{L m ; \mu
u}^{\kappa} P_{R} \psi_{\mu} \bar{P}_{R} \bar{\psi}_{
u}= \\
& =\sum_{\mu
u} S_{L m ; \mu
u}^{*} e^{i \mu \alpha} e^{i v \alpha} \psi_{\mu} \bar{\psi}_{
u} .
\end{aligned}
\]

Поэтому, в силу линейной независимости произведений $\psi_{\mu} \bar{\psi}_{
u}$, имеем
\[
S_{L m ; \mu
u}=0 \quad \text { при } \quad m
eq \mu+
u .
\]

Тот же самый результат получается из (17.16a), если учесть явную зависимость коэффициентов представления от $\alpha$ и $\gamma$, согласно (15.8), и приравнять члены, одинаково зависящие от $\alpha$ и $\gamma$. Записывая ${ }^{1}$ )
\[
S_{L, \mu+
u ; \mu
u}=s_{L \mu
u},
\]
1) Элементы матрицы $\mathbf{S}$, а именно $S_{L, \mu+
u ; \mu
u}=s_{L \mu
u}^{(l \bar{l})}$, дающие те линейные комбинации произведений $\psi^{(l)} \psi^{(\tilde{l})}$, которые преобразуются по $\mathfrak{D}^{(L)}$, известны как коэффициенты векторного сложения. Кондон и Шортли (см. цитированную выше книгу этих авторов) обозначают их через $s_{L \mu
u}^{(\stackrel{\rightharpoonup}{l})}=(l \bar{l} \mu
u \mid \bar{l} L m)$.
приводим (17.16a) к виду
\[
\mathfrak{D}^{(l)}(R)_{\mu^{\prime} \mu^{\prime}} \mathfrak{D}^{(\bar{l})}(R)_{
u^{\prime}
u}=\sum_{L=|l-\bar{l}|}^{l+\bar{l}} s_{L \mu^{\prime}
u^{\prime}}^{*} \mathfrak{D}^{(L)}(R)_{\mu^{\prime}+
u^{\prime} ; \mu+
u} s_{L \mu
u} .
\]

Равенство (17.16) не определяет матрицу $\mathbf{S}$ однозначно. Поскольку $\mathbf{M}(R)$ коммутирует с диагональной матрицей
\[
\mathbf{u}=\left(\begin{array}{ccccc}
\omega_{|l-\bar{l}|} \mathbf{1} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \omega_{|l-\bar{l}|+1} \mathbf{1} & \cdots & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \cdots & \omega_{l+\bar{l}-1} \mathbf{1} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{0} & \boldsymbol{\omega}_{l+\bar{l}} \mathbf{1}
\end{array}\right),
\]

правая часть (17.16) не меняется, если S заменить на uS. Чтобы uS оставалась унитарной, и также должна быть унитарной; для этого абсолютные значения всех $\omega$ должны быть равны 1. Элементы матрицы uS, которая будет входить вместо S, равны
\[
(\mathrm{uS})_{L m ; \mu
u}=\omega_{L} S_{L m ; \mu
u} .
\]

Соответствующим выбором матриц $\omega$ можно всегда сделать так, чтобы элементы
\[
S_{L, l-\vec{l} ; l,-\bar{l}}=s_{L, l,-\bar{l}}=\left|s_{L, l,-\bar{l}}\right|
\]

стали вещественными и положительными. В дальнейшем предполагается, что такой выбор уже сделан ${ }^{1}$ ). Умножим теперь (17.166) на $\mathfrak{D}^{\left(L^{\prime}\right)}(R)_{\mu^{\prime}+v^{\prime} ; \mu+v}^{*}$ и проинтегрируем по всей группе. В силу соотношений ортогональности, справедливых для коэффициентов представлений, в правой части остается только один член; полагая $L^{\prime}=L\left(\right.$ и записывая $\left.h=\int d R\right)$, получаем
\[
\int \mathfrak{D}^{(l)}(R)_{\mu^{\prime} \mu^{\prime}} \mathfrak{D}^{(\bar{l})}(R)_{
u^{\prime}
u} \mathfrak{D}^{(L)}(R)_{\mu^{\prime}+
u^{\prime} ; \mu+
u}^{*} d R=h \frac{s_{L \mu^{\prime}
u^{\prime}}^{*} s_{L \mu
u}}{2 L+1} .
\]

Чтобы определить $s_{L \mu
u}$, нет необходимости вычислять интеграл в (17.22) при всех возможных значениях $L, \mu^{\prime},
u^{\prime}, \mu$ и $
u$ достаточно найти его для одной пары значений $\mu^{\prime}$, $
u^{\prime}$ и при всех $L$,
1) Этот выбор приводит к тем же самым коэффициентам векторного сложения, которые даны в цитированных выше книгах Е. Кондона и Г. Шортли, а также М. Роуза (см. обсуждение в Приложении А), и которые использовались Рака́ [G. R a cah, Phys. Rev., 62, 438 (1942); Phys. Rev., 63, 367 (1943)]. Ниже мы увидим, что все получающиеся при этом коэффициенты вещественны хак что нет необходимости делать различие между S и S*.
$\mu,
u$ (и $l, \bar{l}$ ). Чтобы по возможности упростить формулы, положим $\mu^{\prime}=l$ и $
u^{\prime}=-\bar{l}$, тогда, согласно (15.27a) и (15.27б), получим
\[
\begin{array}{c}
\sqrt{\left(\begin{array}{c}
2 l \\
l-\mu
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
2 \bar{l} \\
\bar{l}-
u
\end{array}\right)} \sum_{x}(-1)^{x+\bar{l}+
u} \times \\
\times \frac{\sqrt{(L+\mu+
u) !(L-\mu-
u) !(L+l-\bar{l}) !(L-l+\bar{l}) !}}{(L-l+\bar{l}-x) !(L+\mu+
u-x) ! \times !(x+l-\bar{l}-\mu-
u) !} \times \\
\times \int \cos ^{2 L+2 \bar{l}+2 \mu-2 \times} \frac{1}{2} \beta \cdot \sin ^{2 l-2 \mu+2 x} \frac{1}{2} \beta d R=h \frac{s_{L, l,-\bar{l}}^{*} s_{L \mu
u}}{2 L+1} .
\end{array}
\]

Как и следовало ожидать, $\alpha$ и $\gamma$ выпали.
Теперь нам понадобятся интегралы вида
\[
\int \cos ^{2 a} \frac{1}{2} \beta \sin ^{2 b} \frac{1}{2} \beta d R .
\]

Они получаются также из соотношений ортогональности коэффициентов представления; эти соотношения имеют вид
\[
\frac{h}{2 j+1}=\int\left|\mathfrak{D}^{(j)}(R)_{j \mu}\right|^{2} d R=\left(\begin{array}{c}
2 j \\
j-\mu
\end{array}\right) \int \cos ^{2 j+2 \mu} \frac{1}{2} \beta \sin ^{2 j-2 \mu} \frac{1}{2} \beta d R .
\]

Тогда, если $j+\mu=a, j-\mu=b$,
\[
\int \cos ^{2 a} \frac{1}{2} \beta \sin ^{2 b} \frac{1}{2} \beta d R=g \frac{b ! a !}{(a+b+1) !} .
\]

Если подставить значение этого интеграла в (17.23), то найдем
\[
\begin{array}{l}
\sum_{\mathrm{x}}(-1)^{\mathrm{x}+\bar{l}+
u} \frac{\sqrt{(2 l) !(2 \bar{l}) !(L+\mu+
u) !(L-\mu-
u) !(L+l-\bar{l}) !(L-l+\bar{l}) !}}{(L+l+\bar{l}+1) ! \sqrt{(l-\mu) !(l+\mu) !(\bar{l}-v) !(\bar{l}+v) !}} \times \\
\times \frac{(L+\bar{l}+\mu-x) !(l-\mu+\mathrm{l}) !(2 L+1)}{(L-l+\bar{l}-x) !(L+\mu+
u-\mathrm{x}) ! x !(x+l-\bar{l}-\mu-
u) !}=s_{L, l,-\bar{l}}^{*} s_{L \mu
u
u^{*}}
\end{array}
\]

Чтобы определить $s_{L, l,-\bar{l}}$, положим $\mu=l,
u=-\bar{l}$; тоғда
\[
\begin{array}{c}
\frac{2 L+1}{(L+l+\bar{l}+1) !} \sum_{\mathrm{x}} \frac{(-1)^{\mathrm{x}}(L+l-\bar{l}) !(L-l+\bar{l}) !(L+\bar{l}+l-\mathrm{x}) !}{(L-l+\bar{l}-x) !(L+l-\bar{l}-\mathrm{x}) ! \times !}= \\
=\left|s_{L, l,-\bar{l}}\right|^{2}=\left(s_{L, l,-\bar{l}}\right)^{2},
\end{array}
\]

где при получении последнего выражения было использовано соотношение (17.21). В приложении к настоящей главе будет показано, что
\[
\sum_{x}(-1)^{x}\left(\begin{array}{c}
L-l+\bar{l} \\
x
\end{array}\right) \frac{(L+\bar{l}+l-x) !}{(L+l-\bar{l}-x) !}=(2 \bar{l}) !\left(\begin{array}{c}
2 l \\
L+l-\bar{l}
\end{array}\right) .
\]
Пользуясь этой суммой в (17.25a), окончательно получаем
\[
s_{L, l,-\bar{l}}=\sqrt{\frac{(2 L+1)(2 l) !(\overline{2 l}) !}{(L+l+\bar{l}+1) !(l+\bar{l}-L) !}},
\]

откуда, используя (17.25), находим
\[
\begin{array}{l}
s_{L \mu
u}^{(l, \bar{l})}=\frac{\sqrt{(L+l-\bar{l}) !(L-l+\bar{l}) !(l+\bar{l}-L) !(L+\mu+
u) !(L-\mu-
u) !}}{\sqrt{(L+l+\bar{l}+1) !(l-\mu) !(l+\mu) !(\bar{l}-
u) !(\bar{l}+
u) !}} \times \\
\times \sum_{x} \frac{(-\overline{1})^{x+\bar{l}+
u} \sqrt{2 L+1}(L+\bar{l}+\mu-x) !(l-\mu+x) !}{(L-l+\bar{l}-x) !(L+\mu+
u-x) ! x !(x+l-\bar{l}-\mu-
u) !} \cdot
\end{array}
\]

Это соотношение показывает, что условие, принятое в (17.21), действительно делает все $s_{L \mu,
u}$ вещественными: $s_{L \mu
u}^{*}=s_{L \mu,
u}$.

Суммирование по $x$ в последнем выражении, так же как и в (15.27), должно производиться по всем целым числам; бесконечные значения факториалов в знаменателе ограничивают $x$ промежутком между наибольшим из двух чисел 0 и $\bar{l}-l+\mu+
u$ и наименьшим из чисел $L+\mu+
u$ и $L-l+\vec{l}$, как и в гл. 15. Величины $s$ по-прежнему зависят от двух чисел $l$ и $\bar{l}$ наряду с их индексами $L, \mu,
u ; l$ и $\bar{l}$ служат для обозначения того, какое именно произведение $\mathfrak{D}^{(l)} \times \mathfrak{D}^{(\vec{l})}$ может быть приведено с их помощью. Кроме того, $s$ существенно не меняются ${ }^{1}$ ), если одновременно переставить $l$ и $\bar{l}$, с одной стороны, и $\mu$ и v, с другой. Это не видно непосредственно из выражения (17.27), так как суммирование по $x$ не может быть выполнено в общем случае в замкнутом виде. В случае же $\mu+
u=L$ из всей суммы не обращается в нуль лишь один член ( $x=L-l+\bar{l}$ ) и мы получаем $s_{L, \mu, L-\mu}^{(l \bar{l})}=(-1)^{l-\mu} \times$
\[
\sqrt{\frac{(2 L+1) !(l+\bar{l}-L) !(l+\mu) !(L+\bar{l}-\mu) !}{(L+l+\bar{l}+1) !(L+l-\bar{l}) !(L-l+\bar{l}) !(l-\mu) !(\bar{l}-L+\mu)}} .
\]

Представим теперь также в явном виде соэтношения для $s$, которые следуют из унитарности матрицы S [соотношение (17.27) показывает, что $\mathbf{S}$ вещественна]:
\[
\begin{aligned}
\sum_{\mu} s_{L, \mu, m-\mu}^{(l \bar{l})} s_{L^{\prime}, \mu, m-\mu}^{(l \bar{l})} & =\delta_{L L^{\prime}} \\
\sum_{L} s_{L, \mu, m-\mu}^{(l \bar{l})} s_{L^{\prime}, \mu^{\prime}, m-\mu^{\prime}}^{(l \bar{l})} & =\delta_{\mu \mu^{\prime \prime}}
\end{aligned}
\]
1) Числа $l$ и $\bar{l}$ не входят в (17.21) совершенно одинаковым образом; следовательно, $s_{L \mu
u}^{(l \bar{l})}=(-1)^{l+\bar{l}-L} s_{L
u \mu}^{(\bar{l} l)}$.
8. Теперь мы определили все коэффициенты, которые входят в (17.16б) и (17.18):
\[
\Psi_{m}^{L}=\sum_{\mu} s_{L, \mu, m-\mu}^{(l \vec{l})} \psi_{\mu} \bar{\psi}_{m-\mu} .
\]

Следует заметить, что в (17.18a) мы имеем случай (разумеется, один из наиболее важных), в котором „правильные линейные комбинации\” первого приближения теории возмущений могут быть найдены лишь из общих соображений; соотношение (17.18a) справедливо в самом общем случае для всех возмущений, не выделяющих направления в пространстве. Это следует из того известного нам с самого начала факта, что все правильные линейные комбинации „принадлежат одной строке некоторого неприводимого представления\” и что только одна линейная комбинация может быть построена из функций (17.9), принадлежащих $m$-й строке представления $\mathfrak{D}^{(L)}$, если вообще она может быть построена (т. е. если $L$ лежит между $|l-\vec{l}|$ и $l+\bar{l}$ ). С другой стороны, если другие собственные функции, кроме (17.9), принадлежат тому же собственному значению невозмущенной задачи, то возможно, что существует несколько линейных комбинаций с нужными свойствами, а \”правильная“ из них может быть линейной комбинацйен только этих функций.

Формула (17.166) имеет много приложений. Прежде всего, она справедлива не только для вещественных представлений (для целых $l$ ), но и для двузначных представлений гл. 15. Она включает, в частности, формулы для интенсивности линий мультиплетов и зеемановских компонент (см. гл. 23).

Ясно, что $\mathfrak{D}^{(l)}(R)_{\mu^{\prime} \mu} \mathfrak{D}^{(\bar{l})}(R)_{
u^{\prime}
u}$. может быть выражено через коэффициенты представлений, так как они образуют полную систему функций. Очевидно также, что в формулу (17.16б) могут входить только те коэффициенты, которые встречаются в некотором представлении в ( $\left.\mu^{\prime}+
u^{\prime}\right)$-й строке и в ( $\mu+
u$ )-м столбце, так как только они имеют правильную зависимость от $\alpha$ и $\gamma$. Кроме тoro, (17.16б)_показывает также, что $L$ может изменяться между $|l-\bar{l}|$ и $l+\bar{l}$. Если оба числа $l$ и $\bar{l}$-целые или полуцелые, то все $L$ в (17.166) – целые; если, с другой стороны, одно из них целое, а другое – полуцелое, то все $L$ – полуцелые. Суммирование всегда веддется целыми шагами от нижней границы до верхней.

При $\bar{l}=0$ формула (17.16б) тривиальна; для $\bar{l}=1 / 2$ и 1 коэффициенты $s_{L \mu
u}^{(l)-}$ приведены в табл. 3 и $4^{1}$ ).
1) Коэффициенты $s_{L_{\mu
u}}^{(1)}$ легко запомнить, если иметь в виду, что они обращаются в нуль при $|\mu|>l$ или $|\mu+
u|>L$, т. е. во всех случаях, когла один из коэффициентов представления в (17.22) теряет смысл.

Коэффициенты векторного сложения $s_{L \mu
u}^{(l / 2)}$
\begin{tabular}{c|c|c}
\hline$L$ & $v=-\frac{1}{2}$ & $v=+\frac{1}{2}$ \\
\hline$l-\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{l+\mu}}{\sqrt{2 l+1}}$ & $-\frac{\sqrt{l-\mu}}{\sqrt{2 l+1}}$ \\
$l+\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{l-\mu+1}}{\sqrt{2 l+1}}$ & $\frac{\sqrt{l+\mu+1}}{\sqrt{2 l+1}}$ \\
\hline
\end{tabular}

ТАБЛИЦА 4
Коэффициенты векторного сложения $s_{L \mu
u}^{(l 1)}$