Пусть $\bar{\Phi}$ – волновая функция, приписанная вторым наблюдателем тому состоянию, которое первый наблюдатель описывает волновой функцией $\Phi$. Воспользуемся аналогичными обозначениями для всех других состояний. Тогда, согласно (20.8), для всех функций $\Psi$ и $Ф$ имеем
\[
|(\Psi, \Phi)|=|(\vec{\Psi}, \bar{\Phi})| .
\]

В действительности (20.8′) справедливо только в том случае, если $\Psi$ и $\Phi$ соответствуют физическим состояниям и, следовательно, нормированы. В противном случае мы вообще не можем рассматривать „второе описание\” состояния $\Phi$, так как только нормированные \” $\Phi$ представляют состояния. Однако полезно определить функции $\bar{\Phi}^{\prime}$ и для ненормированных $\Phi^{\prime}$. А именно, положим $\bar{\Phi}^{\prime}=a \bar{\Phi}$, если $\Phi^{\prime}=a \Phi$, причем $\Phi$ нормирована. Тогда (20.8 ) справедливо для всех функций.

Кроме того, (20.8′) не меняется, если умножить $\Psi$ и $\Phi$ на постоянные с абсолютной величиной 1. Покажем, что эти постоянные $c_{\Psi}, c_{\Phi}$ можно выбрать так, чтобы выполнялось не только соотношение
\[
\left|\left(\mathrm{O}_{R} \Psi, \mathrm{O}_{R} \Phi\right)\right|=|(\Psi, \Phi)|,
\]

но и соотношения
\[
\begin{aligned}
\left(\mathrm{O}_{R} \Psi, \mathrm{O}_{R} \Phi\right) & =(\Psi, \Phi), \\
\mathrm{O}_{R}(a \Psi+b \Phi) & =a \mathrm{O}_{R} \Psi+b \mathrm{O}_{R} \Phi,
\end{aligned}
\]

для всех $c_{\Psi} \bar{\Psi}=\mathrm{O}_{R} \Psi$ и $c_{\Phi} \bar{\Phi}=\mathrm{O}_{R} \Phi$, где $a$ и $b-$ произвольные постоянные. Трудность в переходе от (20.8) к (20.8а) заключается

—————————————————————-
0010ru_fiz_kvan_book23_no_photo_page-0278.jpg.txt

Спин электрона
277
в том, что для (20.8) требуется только равенство абсолютных величин скалярных произведений $\left(\mathrm{O}_{R} \Psi, \mathrm{O}_{R} \Phi\right)$ и ( $\left.\Psi, \Phi\right)$, тогда как для (20.8а) нужно, чтобы фазы также были равны, причем для всех функций одновременно.

Если функции $\Psi_{1}, \Psi_{2}, \ldots$ образуют полную ортогональную систему, то тем же свойством обладают и $\bar{\Psi}_{1}, \bar{\Psi}_{2}, \ldots$ Из соотношения $\left(\Psi_{i}, \Psi_{k}\right)=\delta_{i k}$ и (20.8′) следует, что ( $\left.\bar{\Psi}_{i}, \bar{\Psi}_{k}\right)=\delta_{i k}$ и, если не существует функции, ортогональной всем $\Psi_{i}$, то не может существовать функции, ортогональной всем $\vec{\Psi}_{i}$.

Рассмотрим теперь функции $\bar{F}_{x}$, которые соответствуют функциям $F_{x}=\Psi_{1}+\Psi_{x}$ при $x=1,2,3,4, \ldots$ Если $\vec{F}_{x}$ разложить ио полной ортогональной системе $\bar{\Psi}_{1}, \bar{\Psi}_{2}, \ldots$ то все коэффициенты разложения ( $\bar{\Psi}_{x}, \bar{F}_{x}$ ) будут равны нулю, кроме коэффициентов при $\bar{\Psi}_{1}$ и $\bar{\Psi}_{\mathrm{x}}$, которые по абсолютной величине равны 1 , так как $\left(\Psi_{\lambda}, F_{x}\right)$ не обращается в нуль только при $\lambda=1$ и $\lambda=x$; для этих же значений $\lambda$ скалярное произведение равно единице. Таким образом, имеем
\[
\vec{F}_{\mathrm{x}}=y_{\mathrm{x}}\left(\bar{\Psi}_{1}+x_{\mathrm{x}} \bar{\Psi}_{\mathrm{x}}\right), \quad\left|y_{\mathrm{x}}\right|=\left|x_{\mathrm{x}}\right|=1 \text { (при } \mathrm{x}=2,3, \ldots \text { ). (20.23). }
\]

Выберем теперь значение одной из постоянных $c_{\Psi_{1}}=1$ и запишем $c_{\Psi_{\mathrm{x}}}=x_{\mathrm{\chi}}$ и $c_{F_{\mathrm{x}}}=1 / y_{\mathrm{x}}$. Тогда
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{O}_{R} \Psi_{1}=\bar{\Psi}_{1}, \quad \mathrm{O}_{R} \Psi_{\mathrm{x}}=c_{\mathrm{\Psi}_{\mathrm{x}}} \bar{\Psi}_{\mathrm{x}}=x_{\mathrm{x}} \bar{\Psi}_{\mathrm{x}}, \\
\mathrm{O}_{R}\left(\Psi_{1}+\Psi_{\mathrm{x}}\right)=\mathrm{O}_{R} F_{\mathrm{x}}=c_{F_{\mathrm{x}}} \bar{F}_{\mathrm{x}}=\frac{\bar{F}_{\mathrm{x}}}{y_{\mathrm{x}}}=\mathrm{O}_{R} \Psi_{1}+\mathrm{O}_{R} \Psi_{\mathrm{x}} .
\end{array}
\]
. Пусть теперь $\Phi$ является произвольной функцией, разложенной по функциям $\Psi_{x}$ :
\[
\Phi=a_{1} \Psi_{1}+a_{2} \Psi_{2}+a_{3} \Psi_{3}+\ldots
\]

Разложим $\bar{\Phi}$ по полной ортогональной системе функций $\mathrm{O}_{R} \Psi_{1}$, $\mathrm{O}_{R} \Psi_{2}, \ldots$
\[
\bar{\Phi}=\bar{a}_{1} \mathrm{O}_{R} \Psi_{1}+\overline{a_{2}} \mathrm{O}_{R} \Psi_{2}+\overline{a_{3}} \mathrm{O}_{R} \Psi_{3}+\ldots
\]

Таким образом,
\[
\left|\bar{a}_{\mathrm{x}}\right|=\left|\left(\mathrm{O}_{R} \Psi_{\mathrm{x}}, \bar{\Phi}\right)\right|=\left|\left(x_{\mathrm{x}} \bar{\Psi}_{\mathrm{x}}, \bar{\Phi}\right)\right|=\left|\left(\Psi_{\mathrm{x}}, \Phi\right)\right|=\left|a_{\mathrm{x}}\right|
\]

и, в частности, $\left|\bar{a}_{1}\right|=\left|a_{1}\right|$. Поэтому мы выберем $c_{\Phi}=a_{1} / a_{1}$, так что
\[
\mathrm{O}_{R} \Phi=c_{\Phi} \bar{\Phi}=a_{1} \mathrm{O}_{R} \Psi_{1}+a_{2}^{\prime} \mathrm{O}_{R} \Psi_{2}+a_{3}^{\prime} \mathrm{O}_{R} \Psi_{3}+\ldots
\]
$\begin{array}{ll}\Gamma и в а & 20\end{array}$
К тому же $\left|a_{\mathrm{x}}^{\prime}\right|=\left|a_{\mathrm{x}}\right|$. В действительности окажется, что $a_{\mathrm{x}}^{\prime}=a_{\mathrm{x}}$. Чтобы показать это, применим (20.8) к паре функций $F_{\mathrm{x}}=\Psi_{1}+\Psi_{\mathrm{x}}$ и Ф. Прежде всего мы находим
\[
\left|\left(F_{x}, \Phi\right)\right|=\left|\left(\Psi_{1}+\Psi_{x}, \Phi\right)\right|=\left|a_{1}+a_{x}\right| .
\]

Аналогичным образом, поскольку $\bar{F}_{\mathrm{x}}$ и $\bar{\Phi}$ отличаются от $\mathrm{O}_{R} F_{\mathrm{x}}$ и $\mathrm{O}_{R} \Phi$ только постоянным множителем с модулем 1 ,
\[
\begin{array}{l}
\left|\left(\bar{F}_{\mathrm{x}}, \bar{\Phi}\right)\right|=\left|\left(\mathrm{O}_{R} F_{\mathrm{x}}, \mathrm{O}_{R} \Phi\right)\right|= \\
\quad=\left|\left(\mathrm{O}_{R} \Psi_{1}+\mathrm{O}_{R} \Psi_{\mathrm{x}}, a_{1} \mathrm{O}_{R} \Psi_{1}+a_{2}^{\prime} \mathrm{O}_{R} \Psi_{2}+\ldots\right)\right|=\left|a_{1}+a_{\mathrm{x}}^{\prime}\right| .
\end{array}
\]

Следовательно, $\left|a_{1}+a_{x}\right|^{2}=\left|a_{1}+a_{x}^{\prime}\right|^{2}$ или
\[
\left|a_{1}\right|^{2}+a_{1}^{*} a_{x}^{\prime}+a_{1} a_{x}^{\prime^{*}}+\left|a_{x}^{\prime}\right|^{2}=\left|a_{1}\right|^{2}+a_{1}^{*} a_{x}+a_{1} a_{x}^{*}+\left|a_{x}\right|^{2} .
\]

Величины $a_{x}^{\prime *}$ можно исключить из этого соотношения, пользуясь равенством $a_{\chi}^{\prime} a_{x}^{\prime *}=a_{\chi} a_{x}^{*}$, в результате чего для $a_{\chi}^{\prime}$ получаем квадратное уравнение
\[
a_{1}^{*} a_{x}^{\prime 2}-\left(a_{1}^{*} a_{x}+a_{1} a_{\mathrm{x}}^{*}\right) a_{\mathrm{x}}^{\prime}+a_{1}\left|a_{\mathrm{x}}\right|^{2}=0 .
\]

Из (20.28) следует, что либо
\[
a_{x}^{\prime}=a_{x}, \quad \text { либо } \quad a_{x}^{\prime}=\frac{a_{x}^{*} a_{1}}{a_{1}^{*}} .
\]

В первом случае для каждой функции $\Phi=\sum_{x} a_{x} \Psi_{x}$ и $\Psi=\sum_{x} b_{x} \Psi_{x}$
\[
\mathrm{O}_{R} \Phi=\sum_{\mathrm{x}} a_{\mathrm{x}} \mathrm{O}_{R} \Psi_{\mathrm{x}}, \quad \mathrm{O}_{R} \Psi=\sum_{\mathrm{x}} b_{\mathrm{x}} \mathrm{O}_{R} \Psi_{\mathrm{x}} ;
\]

а также
\[
\begin{aligned}
\mathrm{O}_{R}(a \Phi+b \Psi) & =\mathrm{O}_{R} \sum_{\mathrm{x}}\left(a a_{\mathrm{x}}+b b_{\mathrm{x}}\right) \Psi_{\mathrm{x}}= \\
& =\sum_{\mathrm{x}}\left(a a_{\mathrm{x}}+b b_{\mathrm{x}}\right) \mathrm{O}_{R} \Psi_{\mathrm{x}}=a \mathrm{O}_{R} \Phi+b \mathrm{O}_{R} \Psi,
\end{aligned}
\]

так что оператор $\mathrm{O}_{R}$ действительно является линейным. Далее
\[
\left(\mathrm{O}_{R} \Psi, \mathrm{O}_{R} \Phi\right)=\left(\sum_{\mathrm{x}} b_{\mathrm{x}} \mathrm{O}_{R} \Psi_{\mathrm{x}}, \sum_{\lambda} a_{\lambda} \mathrm{O}_{R} \Psi_{\lambda}\right)=\sum_{\mathrm{x} \lambda} b_{\mathrm{x}}^{*} a_{\lambda} \delta_{\mathrm{x} \lambda}=\sum_{\mathrm{x}} b_{\mathrm{x}}^{*} a_{\mathrm{x}}
\]

и, кроме того,
\[
(\Psi, \Phi)=\left(\sum_{x} b_{x} \Psi_{x}, \sum_{\lambda} a_{\lambda} \Psi_{\lambda}\right)=\sum_{x \lambda} b_{x}^{*} a_{\lambda} \delta_{x \lambda}=\sum_{x} b_{x}^{*} a_{x} .
\]

Оператор $\mathrm{O}_{R}$ является также унитарным, тем самым соотношение (20.8a) доказано.
Необходимо еще показать, что второе возможное значение $a_{x}^{\prime}$ в (20.29) не может осуществляться. С этой целью подставим
\[
\mathrm{O}_{R} \Phi=\mathrm{O}_{R} \sum_{\mathrm{x}} a_{\mathrm{x}} \Psi_{\mathrm{x}}=\sum_{\mathrm{x}} a_{\mathrm{x}}^{*} \mathrm{O}_{R} \Psi_{\mathrm{x}}
\]

вместо
\[
\mathrm{O}_{R} \Phi=\mathrm{O}_{R} \sum_{\mathrm{x}} a_{\mathrm{x}} \Psi_{\mathrm{x}}=\frac{a_{1}}{a_{1}^{*}} \sum_{x} a_{\mathrm{x}}^{*} \mathrm{O}_{R} \Psi_{\mathrm{x}},
\]
т. е. умножим $\mathrm{O}_{R} \Phi$ на $a_{1}^{*} / a_{1}$. Это не может, разумеется, изменить содержания описания.

Рассмотрим теперь две собственные функции оператора Гамильтона, т. е. два стационарных состояния $\chi=\sum_{\mathrm{x}} u_{\mathrm{x}} \Psi_{\chi}$ и $\chi^{\prime}=\sum_{\mathrm{x}} u_{\mathrm{x}}^{\prime} \Psi_{\text {х }}$ с различными энергиями $E$ и $E^{\prime}$. Тогда
\[
\chi e^{-i \frac{E}{\hbar} t}+\chi^{\prime} e^{-i \frac{E^{\prime}}{\hbar} t}=\sum_{\mathrm{x}}\left(u_{\mathrm{x}} e^{-i \frac{E}{\hbar} t}+u_{\mathrm{x}}^{\prime} e^{-i \frac{E^{\prime}}{\hbar} t}\right) \Psi_{\mathrm{x}}
\]

будет решением зависящего от времени уравнения Шредингера. При втором описании, в силу (20.31), функция
\[
\mathrm{O}_{R} \chi=\sum_{\mathrm{x}} u_{\mathrm{x}}^{*} \mathrm{O}_{R} \Psi_{\mathrm{x}}
\]

должна соответствовать состоянию $\chi$, а функция
\[
\mathrm{O}_{R} \chi^{\prime}=\sum_{\mathrm{x}} u_{\mathrm{x}}^{\prime *} \mathrm{O}_{R} \Psi_{\mathrm{x}}
\]

состоянию $\chi^{\prime}$. В то же время энергии при втором описании попрежнему равны $E$ и $E^{\prime}$. Поэтому функция
\[
e^{-i \frac{E}{\hbar} t} \mathrm{O}_{R} \chi+e^{-i \frac{E^{\prime}}{\hbar} t} \mathrm{O}_{R} \chi^{\prime}=\sum_{\mathrm{\chi}}\left(u_{\mathrm{x}}^{*} e^{-i \frac{E}{\hbar} t}+u_{\mathrm{x}}^{\prime *} e^{-i \frac{E^{\prime}}{\hbar} t}\right) \mathrm{O}_{R} \Psi_{\mathrm{x}}
\]

также должна быть решением уравнения Шредингера, представляющим состояние, совпадающее с состоянием (20.32) при $t=0$, и, следовательно, представляющим то же самое состояние в течение всех последующих моментов времени. Но это невозможно, так как, согласно (20.31),
\[
\sum_{\mathrm{x}}\left(u_{\mathrm{x}} e^{-i \frac{E}{\hbar} t}+u_{\mathrm{x}}^{\prime} e^{-i \frac{E^{\prime}}{\hbar} t}\right)^{*} \mathrm{O}_{R} \Psi_{x}
\]

соответствует состоянию (20.32), которое совпадает с (20.33) при $t
eq 0$, только в случае, если $E=E^{\prime}$. Поэтому вторая возможность в (20.29) приводит к противоречию, так что выбор величины $c$, использованный в (20.24) и (20.27), приводит к первой возможности в (20.29). Отсюда следует линейность и унитарность операторов $\mathrm{O}_{R}$.

Таким путем мы приходим к важному результату, что два физически эквивалентных описания – после соответствующего изменения свободных констант, волновых функций – могут быть преобразованы одно в другое путем канонического преобразования. Следует, однако, заметить, что для исключения второй возможности, соответствующей „антиунитарной функции (20.31), необходимо рассматривать также временну́ю зависимость волновых функций. Точнее, было постулировано, что если состояние $\Phi$ по прошествии промежутка времени $t$ превращается в состояние $\Phi^{\prime}$, то состояние $\bar{\Phi}$ в течение того же промежутка времени превращается в состояние $\overline{\Phi^{\prime}}$. Это предположение является оправданным и действительно необходимым для настоящего обсуждения, но оно окажется непригодным при рассмотрении операции потражения времени “ в гл. 26.