Рассмотрим некоторый элемент $X$. Тогда можно образовать последовательность элементов
\[
E, X, X^{2}, X^{3}, X^{4}, X^{5}, \ldots
\]

и т. д. Так как все элементы (7.Е.2) являются элементами группы и полное число всех элементов конечно, то один из членов последовательности должен появиться второй раз после определенного числа степеней. Пусть первый повторяющийся элемент есть $X^{n}=X^{k}($ с $k<n)$. Тогда мы должны иметь $k=0$ и $X^{n}=E$; в противном случае $X^{n-1}=X^{k-1}$ уже появилось бы ранее в последовательности (7.Е.2) и $X$ не было бы первым повторяющимся элементом. Если $n$ есть наименьшее число, для которого $X^{n}=E$, то $n$ называется порядком элемента $X$. Последовательность
\[
E, X, X^{2}, X^{3}, \ldots, X^{n-1}
\]

называется периодом элемента $X$. Например, период элемента $D$ в группе (7.E.1) есть $E, D, D^{2}=F\left(D^{3}=F D=E\right)$ и порядок $D$ таким образом есть 3. Период элемента $F$ есть $E, F, F^{2}=D$ $\left(F^{3}=D F=E\right)$ и порядок $F$ также равен 3. С другой стороны, порядок элемента $A$ есть 2 , поскольку сразу $A^{2}=E$.

Период элемента $X$ образует группу сам по себе (причем абелеву группу). Некоторая совокупность элементов группы, сама по себе составляющая группу, называется подгруппой. Например, (7.Е.3) является абелевой подгруппой.

Теорема 1. Eсли $\mathscr{H}$ есть группа порядка $h$ с элементами $E, A_{2}, A_{3}, \ldots, A_{h}$ и если $A_{k}$-произвольный элемент этой группы, то каждый элемент встречается один и только один раз в последовательности $E A_{k}=A_{k}, A_{2} A_{k}, A_{3} A_{k}, \ldots, A_{h} A_{k}$. Пусть $X$-любой элемент и пусть $X A_{k}^{-1}=A_{r}$; тогда $A_{r} A_{k}=X$ и $X$ встречается в последовательности. С другой стороны, $X$ не может встретиться дважды, потому что из $A_{r} A_{k}=X$ и $A_{s} A_{k}=X$ следует $A_{r}=A_{s}$.

Разумеется, то же имеет место для последовательности $A_{k} E$, $A_{k} A_{2}, \quad A_{k} A_{3}, \ldots, A_{k} A_{h}$. Теорема 1 выражает тот факт, что
1) Все теоремы для конечных групп рекомендуется проверить на группе (7.Е.1). С этой целью следует воспользоваться групповой таблицей.
в каждом столбце групповой таблицы (так же как и в каждой строке) каждый элемент встречается один и только один раз. Эта теорема имеет следующее простейшее и наиболее важное приложение. Если $J_{E}, J_{A_{2}}, J_{A_{3}}, \ldots, J_{A_{h}}$ – такие числа, что каждому элементу группы $X$ соответствует число $J$ ( $J$ есть функция в пространстве группы “), то
\[
\sum_{
u=1}^{n} J_{A_{
u}}=\sum_{
u=1}^{n} J_{A_{
u} X}=\sum_{
u=1}^{n} J_{X A_{
u}} .
\]

Каждая сумма, очевидно, содержит одни и те же числа, но в различном порядке.

Пусть $\mathscr{B}$ есть подгруппа группы $\mathscr{H}$, включающая элементы $E, B_{2}, B_{3}, \ldots, B_{g}$. Совокупность $g$ элементов $E X, B_{2} X, B_{3} X$, $\ldots, B_{g} X$ называется правым смежным классом $\mathscr{B} X$, если только ${ }^{\prime} X$ не встречается в подгруппе ${ }^{1}$ ) (поскольку, если бы $X$ принадлежало $\mathscr{B}$, элементы $\mathscr{B} X$ были бы элементами $\mathscr{B}$, как показывает теорема 1). Смежный класс, конечно, не является группой, так как он не может содержать ни единичного (тождественного) элемента $E$, ни какого-либо другого элемента подгруппы $\mathscr{B}$. Предположим, например, что $B_{k} X=B_{l}$; тогда $X=B_{k}^{-1} B_{l}$, т. е. $X$ содержалось бы в подгруппе $\mathscr{B}$, и $\mathscr{B} X$ совпадало бы с $\mathscr{B}$. Аналогичным образом, элементы $X E=X, X B_{2}, X B_{3}, \ldots, X B_{g}$ образуют левый смежный класс по подгруппе $\mathscr{B}$.

Теорема 2. Два правых смежных класса по подгруппе $\mathscr{8}$ либо содержат одни и те же элементы, либо не имеют общих элементов вовсе. Пусть один смежный класс будет $\mathscr{B} X$, а другой – $\mathscr{O} Y$. Тогда из $B_{k} X=B_{l} Y$ следует $Y X^{-1}=B_{l}^{-1} B_{k}$, т. е. $Y X^{-1}$ содержится в $\mathscr{O}$. В таком случае по теореме 1 , примененной к подгруппе $\mathscr{B}$, последовательность $E Y X^{-1}, B_{2} Y X^{-1}$, $\ldots, B_{g} Y X^{-1}$ совпадает с $E, B_{2}, B_{3}, \ldots, B_{g}$ с точностью до порядка. Таким образом, $E Y X^{-1} X, B_{2} Y X^{-1} X, B_{3} Y X^{-1} X, \ldots, B_{g} Y X^{-1} X$ также совпало бы с $E X, B_{2} X, B_{3} X, \ldots, B_{g} X$ с точностью до порядка. Но первые элементы являются членами смежного класса $\mathscr{B} Y=E Y, B_{2} Y, B_{3} Y, \ldots, B_{g} Y$. Таким образом, элементы $\mathscr{B} Y$ совпадают с элементами $\mathscr{D} X$, если только совпадает один элемент. Критерием совпадения является то, чтобы $Y X^{-1}$ содержался в $\mathscr{O}$.

Например, одной из подгрупп группы (7.Е.1) является период элеНапример, одной из подгрупп группы (7.E.1) является период эле- мента $A$, т. е. два элемента $E$ и $A$. Правый смежный класс по этой групе получается при умножении каждого элемента на какой-либо другой элемент, например $B$, справа. Таким образом, мы получаем смежный
1) Разумеется, $X$ должно быть элементом группы $\mathscr{C}$.
класс $E B=B, A B=D$. Смежные классы также получаются умножением элементов $E, A$ на каждый из остальных элементов $C, D, F$. Смежный класс, получаемый при умножении $E, A$
\[
\begin{array}{l}
\text { на } B \text {, есть } B, D \text {, } \\
\text { на } C \text {, есть } C, F \text {, } \\
\text { на } D \text {, есть } D, B \text {, } \\
\text { на } F \text { есть } F, C .
\end{array}
\]

Так, в этом случае смежные классы, полученные путем умножения на $B$ и $D$ (или $C$ и $F$ ), совпадают. Заметим также, что $B D^{-1}=B F=A$ (или $C F^{-1}=G D=A$ ) содержится в подгруппе $E, A$.

Рассмотрим теперь все различные смежные классы по подгруппе $\mathscr{B}$. Пусть ими будут $\mathscr{B} X_{2}, \mathscr{D} X_{3}, \ldots, \mathscr{B} X_{l}$. Каждый элемент группы $\mathscr{H}$ встречается либо в $\mathscr{B}$, либо в одном из $l-1$ смежных классов. Так мы получаем все $l g$ элементов. Поскольку каждыи элемент встречается по крайней мере один раз и ни один из них не встречается дважды, $\lg$ должно равняться $h$. Это приводит к теореме 3 .

Теорема 3. Порядок $g$ подгруппы является целочисленным делителем порядка $h$ полной группы. Отношение $h / g=l$ называется индексом подгруппы $\mathscr{B}$ относительно группы $\mathscr{H}$.

Так как период каждого элемента есть подгруппа с числом элементов, равным его порядку, то, следовательно, порядок каждого элемента есть делитель порядка группы.

Признак подгрупп. Если некоторая совокупность элементов группы содержит все произведения $A B$ всех элементов $A$ и $B$, содержащихся в ней, то она образует группу, и, следовательно, подгруппу исходной группы. Сочетательный закон умножения имеет место для всех элементов группы, а тем самым и для рассматриваемой совокупности элементов. Вместе с каждым элементом $A$ совокупность содержит также все его степени, и, следовательно, в ней встречается и единичный элемент $E$. Наконег, если $n$ есть порядок элемента $A$, то $A^{n}=E$ и $A^{n-1}=A^{-1}$. Обратная величина каждого элемента также встречается в данной совокупности. Таким образом, все три групповых постулата выполнены.