Рассмотрим теперь смежные классы по инвариантной подгруппе $\mathscr{R}$. Элементы $E U=U, N_{2} U, \ldots, N_{n} U$ образуют правый смежный класс по $\mathscr{R}$. Они образуют также левый смежный класс, так как $U=U U^{-1} E U, N_{2} U=U U^{-1} N_{2} U, \ldots, N_{n} U=U U^{-1} N_{n} U$ совпадают с элементами $U=U E, U N_{2}, \ldots, U N_{n}$ с точностью до порядка. Иначе говоря, комплекс $\mathscr{R} U$ совпадает с комплексом $U \mathscr{R}$. Поэтому можно говорить просто о смежных классах по инвариантной подгруппе, не уточняя, являются ли эти смежные классы правыми или левыми ${ }^{1}$ ).

Перемножим все элементы одного смежного класса $\mathscr{R} U$ со всеми элементами другого смежного класса $\mathscr{R} V$. Тогда $N_{j} U N_{l} V=$ $=N_{j} U N_{l} U^{-1} U V=N_{k} U V$, так как и $N_{j}$ и $U N_{l} U^{-1}$, а поэтому и их произведение $N_{k}$ содержатся в $\mathscr{R}$. Процесс перемножения дает таким образом элементы единственного смежного класса $\mathfrak{R} U V$.
1) В этом можно убедиться также другим способом. Чтобы $U$ и $V$ были в одном и том же правом смежном классе (см. стр. 76), надо, чтобы $U V^{-1}$ входило в $R$. Чтобы они были в одном и том же левом смежном классе, надо чтобы $V^{-1} U$ входило в $\Re$. Но если $\Re$ является инвариантной подгруппой и содержит $U V^{-1}$, то она должна также содержать и $V^{-1} \cdot U V^{-1} \cdot V=V^{-1} U$. Поэтому два элемента встречаются в одном и том же левом смежном классе, если только они имеются в одном и том же правом смежном классе, и наоборот.
Если рассматривать смежные классы по инвариантной подгруппе как новые объекты и определить произведение двух смежных классов как смежный класс с элементами, получаемыми в результате перемножения элементов двух смежных классов, то сами смежные классы образуют группу. Эта группа называется бактор-группой инвариантной подгруппы. Единичным элементом фактор-группы является сама инвариантная подгруппа. Каждый элемент $N_{j} U$ смежного класса $\mathscr{R} U$ дает опять элемент смежного класса $\mathscr{R} U$ при умножении (справа или слева) на элемент $N_{l}$ из $\mathcal{R}$. В явном виде это запишется так:
\[
N_{l} \cdot N_{j} U=N_{l} N_{j} \cdot U=N_{k} \cdot U \text { и } N_{j} \cdot U N_{l}=N_{j} \cdot U N_{l} U^{-1} U=N_{k} U \text {. }
\]

Во-вторых, каждый смежныи класс $\mathscr{R} U$ имеет обратный смежный класс $\mathscr{R} U^{-1}$. Это значит, что
\[
N_{j} U \cdot N_{l} U^{-1}=N_{j} \cdot U N_{l} U^{-1}=N_{k},
\]

что дает нам элемент самой инвариантной подгруппы. Произведение $\mathscr{R} U$ и $\mathscr{R} U^{-1}$ сводится, таким образом, к $\mathscr{R}$, единичному элементу фактор-группы.

Порядок фактор-группы подгруппы $\mathscr{R}$ равен числу смежных классов по $\mathscr{R}$, т. е. ее индексу. Не следует смешивать факторгруппу с подгруппой; элементы подгруппы являются элементами группы, тогда как элементами фактор-группы являются смежные классы.

Теоремы, доказанные выше, можно также получить еще проще с помощью символического метода, в котором совокупность элементов, их комплекс, обозначается одной буквой, скажем, $\mathscr{C}$. Произведение комплекса $\mathscr{C}$ на элемент $A$ опять является комплексом $\mathscr{C} A$, элементы которого получаются при умножении всех элементов комплекса $\mathscr{E}$ на $A$ справа (или слева, чтобы получить $A \mathscr{C}$ ). Произведение двух комплексов $\mathscr{C}$ и $\mathscr{D}$ есть комплекс $\mathscr{C} \mathscr{D}$, элементы которого получаются, когда все элементы $\mathscr{C}$ умножаются справа на элементы $\mathscr{D}$. Легко видеть, что ассоциативный закон для такого вида умножения имеет место.

Если $\mathscr{C}$ и $\mathscr{D}$ содержат по $n$ и $n^{\prime}$ элементов соответственно, то $\mathscr{C} \mathscr{D}$ содержит самое большое $n n^{\prime}$ элементов. Однако обычно оно содержит меньшее число различных элементов, так как некоторые элементы могут встретиться более чем один раз среди $n n^{\prime}$ произведений.

Условием того, чтобы $\mathscr{C}$ было подгруппой, будет $\mathscr{E} \cdot \mathscr{E}=$ $=\mathscr{C}^{2}=\mathscr{C}$. Эта подгруппа является инвариантной подгруппой, если для каждого элемента $U$ имеет место равенство $U^{-1} \mathscr{C} U=\mathscr{C}$. Правые смежные классы по $\mathscr{C}$ являются все различными комплексами $\mathscr{C} U$. Если $\mathscr{C}$ – инвариантная подгруппа, то $U^{-1} \mathscr{C} U=\mathscr{C}$,
так что $\mathscr{C} U=U \mathscr{C}$; правые смежные классы являются одновременно и левыми. Элементами фактор-группы будут различные комплексы $\mathscr{C} U$. Произведение двух комплексов $\mathscr{C} U$ и $\mathscr{C} V$, взятое в смысле перемножения в фактор-группе, совпадает с произведением, взятым в смысле умножения комплексов:
\[
\mathscr{E} U \cdot \mathscr{C} V=\mathscr{C} \cdot U \mathscr{C} \cdot V=\mathscr{C} \cdot \mathscr{C} U \cdot V=\mathscr{C}^{2} U V=\mathscr{C} U V .
\]