Рассмотрим теперь смежные классы по инвариантной подгруппе $\mathcal{R}$. Элементы $EU=U,N_{2}U,\dots ,N_{n}U$ образуют правый смежный класс по $\mathcal{R}$. Они образуют также левый смежный класс, так как $U=U{U}^{-1}EU,N_{2}U=U{U}^{-1}{N}_{2}U,\dots ,N_{n}U=U{U}^{-1}{N}_{n}U$ совпадают с элементами $U=UE,U{N}_2,\dots ,U{N}_n$ с точностью до порядка. Иначе говоря, комплекс $\mathcal{R}U$ совпадает с комплексом $U\mathcal{R}$. Поэтому можно говорить просто о смежных классах по инвариантной подгруппе, не уточняя, являются ли эти смежные классы правыми или левыми ${}^1$ ).

Перемножим все элементы одного смежного класса $\mathcal{R}U$ со всеми элементами другого смежного класса $\mathcal{R}V$. Тогда $N_{j}U{N}_{l}V=$ $=N_{j}U{N}_l{U}^{-1}UV=N_{k}UV$, так как и $N_j$ и $U{N}_l{U}^{-1}$, а поэтому и их произведение $N_k$ содержатся в $\mathcal{R}$. Процесс перемножения дает таким образом элементы единственного смежного класса $\mathfrak{R}UV$.
1) В этом можно убедиться также другим способом. Чтобы $U$ и $V$ были в одном и том же правом смежном классе (см. стр. 76), надо, чтобы $U{V}^{-1}$ входило в $R$. Чтобы они были в одном и том же левом смежном классе, надо чтобы $V^{-1}U$ входило в $\mathrm{\Re }$. Но если $\mathrm{\Re }$ является инвариантной подгруппой и содержит $U{V}^{-1}$, то она должна также содержать и $V^{-1}\cdot U{V}^{-1}\cdot V=V^{-1}U$. Поэтому два элемента встречаются в одном и том же левом смежном классе, если только они имеются в одном и том же правом смежном классе, и наоборот.
Если рассматривать смежные классы по инвариантной подгруппе как новые объекты и определить произведение двух смежных классов как смежный класс с элементами, получаемыми в результате перемножения элементов двух смежных классов, то сами смежные классы образуют группу. Эта группа называется бактор-группой инвариантной подгруппы. Единичным элементом фактор-группы является сама инвариантная подгруппа. Каждый элемент $N_{j}U$ смежного класса $\mathcal{R}U$ дает опять элемент смежного класса $\mathcal{R}U$ при умножении (справа или слева) на элемент $N_l$ из $\mathcal{R}$. В явном виде это запишется так:
$$N_l\cdot N_{j}U=N_l{N}_j\cdot U=N_k\cdot U\text{ и }{N}_j\cdot U{N}_l=N_j\cdot U{N}_l{U}^{-1}U=N_{k}U\text{. }$$

Во-вторых, каждый смежныи класс $\mathcal{R}U$ имеет обратный смежный класс $\mathcal{R}{U}^{-1}$. Это значит, что
$$N_{j}U\cdot N_l{U}^{-1}=N_j\cdot U{N}_l{U}^{-1}=N_k,$$

что дает нам элемент самой инвариантной подгруппы. Произведение $\mathcal{R}U$ и $\mathcal{R}{U}^{-1}$ сводится, таким образом, к $\mathcal{R}$, единичному элементу фактор-группы.

Порядок фактор-группы подгруппы $\mathcal{R}$ равен числу смежных классов по $\mathcal{R}$, т. е. ее индексу. Не следует смешивать факторгруппу с подгруппой; элементы подгруппы являются элементами группы, тогда как элементами фактор-группы являются смежные классы.

Теоремы, доказанные выше, можно также получить еще проще с помощью символического метода, в котором совокупность элементов, их комплекс, обозначается одной буквой, скажем, $\mathcal{C}$. Произведение комплекса $\mathcal{C}$ на элемент $A$ опять является комплексом $\mathcal{C}A$, элементы которого получаются при умножении всех элементов комплекса $\mathcal{E}$ на $A$ справа (или слева, чтобы получить $A\mathcal{C}$ ). Произведение двух комплексов $\mathcal{C}$ и $\mathcal{D}$ есть комплекс $\mathcal{C}\mathcal{D}$, элементы которого получаются, когда все элементы $\mathcal{C}$ умножаются справа на элементы $\mathcal{D}$. Легко видеть, что ассоциативный закон для такого вида умножения имеет место.

Если $\mathcal{C}$ и $\mathcal{D}$ содержат по $n$ и $n^{\prime }$ элементов соответственно, то $\mathcal{C}\mathcal{D}$ содержит самое большое $n{n}^{\prime }$ элементов. Однако обычно оно содержит меньшее число различных элементов, так как некоторые элементы могут встретиться более чем один раз среди $n{n}^{\prime }$ произведений.

Условием того, чтобы $\mathcal{C}$ было подгруппой, будет $\mathcal{E}\cdot \mathcal{E}=$ $={\mathcal{C}}^2=\mathcal{C}$. Эта подгруппа является инвариантной подгруппой, если для каждого элемента $U$ имеет место равенство $U^{-1}\mathcal{C}U=\mathcal{C}$. Правые смежные классы по $\mathcal{C}$ являются все различными комплексами $\mathcal{C}U$. Если $\mathcal{C}$ — инвариантная подгруппа, то $U^{-1}\mathcal{C}U=\mathcal{C}$,
так что $\mathcal{C}U=U\mathcal{C}$; правые смежные классы являются одновременно и левыми. Элементами фактор-группы будут различные комплексы $\mathcal{C}U$. Произведение двух комплексов $\mathcal{C}U$ и $\mathcal{C}V$, взятое в смысле перемножения в фактор-группе, совпадает с произведением, взятым в смысле умножения комплексов:
$$\mathcal{E}U\cdot \mathcal{C}V=\mathcal{C}\cdot U\mathcal{C}\cdot V=\mathcal{C}\cdot \mathcal{C}U\cdot V={\mathcal{C}}^{2}UV=\mathcal{C}UV.$$