8. В качестве примера выведем правило интервалов Ланде, т. е. отношение сдвигов уровней
\[
\left(\Psi_{m}^{N S L J}, \mathrm{H}_{1} \Psi_{m}^{N S L J}\right)=\Delta E_{J}^{N S L}
\]

для различных компонент тонкой структуры одного и того же уровня основной структуры. Оператор $\mathrm{H}_{1}$ представляет собой добавку к простому оператору энергии Шредингера, описывающую магнитные моменты электронов.

Оператор $\mathrm{H}_{1}$ состоит из двух частей. Первая часть дает взаимодейстие магнитных моментов электронов с токами, вызванными их движением; вторая же дает взаимодейтвие магнитных моментов между собой.

Гервая (почти всегда ббльшая) часть состоит из суммы $n$ выражений $\mathrm{B}=\mathrm{B}_{1}+\mathrm{B}_{2}+\ldots+\mathrm{B}_{n}$, где $\mathrm{B}_{k}$ описывает взаимодействие магнитного момента $k$-го электрона с токами. Кроме декартовых координат, $\mathrm{B}_{k}$ денствует на спиновые координаты только
$k$-го электрона ${ }^{1}$ ), так что
\[
\mathrm{B}_{k}=\mathbf{s}_{k x} \mathrm{~V}_{k x}+\mathbf{s}_{k y} \bigvee_{k y}+\mathbf{s}_{k z} \bigvee_{k z},
\]

где $\mathrm{V}_{k x}, \mathrm{~V}_{k y}, \mathrm{~V}_{k z}$ – бесспиновые операторы. Так как $\mathrm{B}_{k}$ должен быть скаляром по отношению к $\mathrm{O}_{R}$ и так как $\mathbf{s}_{k, x}, \mathbf{s}_{k y}, \mathbf{s}_{k z}$ являются компонентами векторного оператора, операторы $\mathrm{V}_{k x}$, $\mathrm{V}_{k y}, \mathrm{~V}_{k z}$ также должны быть компонентами векторного оператора. Вместо отношений всех матричных элементов оператора B
\[
\text { . }\left(\Psi_{m}^{N S L J}, \mathrm{~B} \Psi_{m}^{N S L J}\right):\left(\Psi_{m}^{N S L J^{\prime}}, \mathrm{B} \Psi_{m}^{N S L J^{\prime}}\right),
\]

которые мы хотим вычислить, можно просто вычислить это отношение для одного $\mathrm{B}_{k}$ – эти отношения одинаковы для всех $k$. Кроме того, $\mathbf{s}_{k x} \mathrm{~V}_{k x}, \mathbf{s}_{k y} \bigvee_{k y}, \mathrm{~s}_{k z} \bigvee_{k z}$ являются $x x$-, $у y$ – и $z z$-компонентами тензора, который удовлетворяет соотношениям (23.13a) и (23.136) и является вектором в обоих смыслах ( $p=q=1$ ). Поэтому отношение любых двух из выражений
\[
\begin{array}{c}
\left(\Psi_{m}^{N S L J}, \mathrm{~s}_{k x} \vee_{k x} \Psi_{m}^{N S L J}\right), \quad\left(\Psi_{m}^{N S L J}, \mathrm{~s}_{k y} \bigvee_{k y} \Psi_{m}^{N S L J}\right), \\
\left(\Psi_{m}^{N S L J}, \mathrm{~s}_{k z} \bigvee_{k z} \Psi_{m}^{N S L J}\right)
\end{array}
\]

одинаково для всех аналогичных тензоров, причем это верно также и для отношений этих выражений к аналогичным выражениям, в которых $J$ заменено на $J^{\prime}$.

То же самое справедливо для суммы трех приведенных выражений (23.27), так что достаточно вычислить отношения матричных элементов
\[
\left(\Psi_{m}^{N S L J},\left(\mathrm{~T}^{(x x)}+\mathrm{T}^{(y y)}+\mathrm{T}^{(z z)}\right) \Psi_{m}^{N S L J}\right)
\]

при различных $J$, где $\mathrm{T}$ – произвольный оператор, векторный в обоих смыслах. Естественно, эти операторы будут выбраны так, чтобы вычисление выражения (23.28) было наиболее простым. Пусть
\[
\mathrm{T}^{(x x)}=\mathrm{L}_{x} \mathrm{~S}_{x}, \quad \mathrm{~T}^{(x y)}=\mathrm{L}_{x} \mathrm{~S}_{y}, \quad \mathrm{~T}^{(x z)}=\mathrm{L}_{x} \mathrm{~S}_{z}, \ldots
\]

Тогда прежде всего
\[
\frac{\partial}{\partial \alpha} \mathbf{O}_{\{\alpha 00\}}=\mathbf{Q}_{\{\alpha 00\}} \frac{\partial}{\partial \alpha} \mathbf{P}_{\{\alpha 00\}}+\mathrm{P}_{\{\alpha 00\}} \frac{\partial}{\partial \alpha} \mathbf{Q}_{\{\alpha 00\}} .
\]
1) Всякий оператор, действующий только на $k$-ю спиновую координату, можно записать в виде $\mathrm{S}_{0}+\mathrm{s}_{k x} \mathrm{~V}_{k x}+\mathrm{s}_{k y} \mathrm{~V}_{k y}+\mathrm{s}_{k z} \mathrm{~V}_{k z}$, где $\mathrm{S}_{0}, \mathrm{~V}_{k x}$, $\vee_{k y}$ и $\vee_{k z}$ являются бесспиновыми операторами. В выражение для $\mathrm{B}_{k}$ член $\mathrm{S}_{\mathrm{e}}$ не входит. Однако, даже если бы он входил, он должен быть скаляром по отношению как к $\mathrm{P}_{R}$, так и к $\mathrm{Q}_{R}$. Он соответствовал бы в (23.13а) и (23.13б) случаю $p=q=0$ и вызывал бы, согласно (23.17), одинаковое смещение всех компонент тонкой структуры без изменения расщепления.
При $\alpha=0$, согласно (23.23а) и (23.23б), это дает
\[
\mathrm{L}_{z}+\mathrm{S}_{z}=-\left.i \hbar \frac{\partial}{\partial \alpha} \mathrm{O}_{\{\alpha 00\}}\right|_{\alpha=0} .
\]

Поскольку $\mathrm{O}_{\{a, 00\}} \Psi=\exp (\operatorname{lm} \alpha) \Psi$, отсюда следует, что
\[
\begin{array}{c}
\left(\mathrm{L}_{z}+\mathrm{S}_{z}\right) \Psi_{m}=m \hbar \Psi_{m} \\
\left(\mathrm{~L}_{z}+\mathrm{S}_{z}\right)^{2} \Psi_{m}=m^{2} \hbar^{2} \Psi_{m} .
\end{array}
\]

и

Таким образом, получаем
\[
\sum_{m=-J}^{J}\left(\Psi_{m}^{N S L J},\left(\mathrm{~L}_{z}+\mathrm{S}_{z}\right)^{2} \Psi_{m}^{N S L J}\right)=\sum_{m=-J}^{J} m^{2} \hbar^{2}=\frac{\hbar^{2} J(J+1)(2 J+1)}{3}
\]

В этом выражении $z$ можно заменить на $x$ или $y$, так как после суммирования по $m$ нельзя различить оси координат. Чтобы показать это, предположим, что $\mathrm{O}_{R}$ представляет вращение, переводящее ось $Z$ в ось $X$. Тогда (23.32) принимает вид
\[
\begin{array}{c}
\sum_{m}\left(\mathrm{O}_{R^{-1}} \Psi_{m}^{N S L J}, \mathrm{O}_{R^{-1}}\left(\mathrm{~L}_{z}+\mathrm{S}_{z}\right)^{2} \mathrm{O}_{R} \cdot \mathrm{O}_{R^{-1}} \Psi_{m}^{N S L J}\right)= \\
=\sum_{m} \sum_{m^{\prime} m^{n}} \mathfrak{D}^{(J)}\left(R^{-1}\right)_{m^{\prime} m}^{*} \mathfrak{D}^{(J)}\left(R^{-1}\right)_{m^{n} m}\left(\Psi_{m^{\prime}}^{N S L},\left(\mathrm{~L}_{x}+\mathrm{S}_{x}\right)^{2} \Psi_{m^{n}}^{N S L J}\right)= \\
=\sum_{m^{\prime} m^{n}} \delta_{m^{\prime} m^{n}}\left(\Psi_{m^{\prime}}^{N S L},\left(\mathrm{~L}_{x}+\mathrm{S}_{x}\right)^{2} \Psi_{m^{n}}^{N S L}\right)= \\
=\sum_{m}\left(\Psi_{m}^{N S L J},\left(\mathrm{~L}_{x}+\mathrm{S}_{x}\right)^{2} \Psi_{m}^{N S L J}\right)
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{c}
\sum_{m}\left(\Psi_{m}^{N S L J},\left[\left(\mathrm{~L}_{x}+\mathrm{S}_{x}\right)^{2}+\left(\mathrm{L}_{y}+\mathrm{S}_{y}\right)^{2}+\left(\mathrm{L}_{z}+\mathrm{S}_{z}\right)^{2}\right] \Psi_{m}^{N S L J}\right)= \\
=\hbar^{2} J(J+1)(2 J+1) .
\end{array}
\]

Но, поскольку $\left(\mathrm{L}_{x}+\mathrm{S}_{x}\right)^{2}+\left(\mathrm{L}_{y}+\mathrm{S}_{y}\right)^{2}+\left(\mathrm{L}_{z}+\mathrm{S}_{z}\right)^{2}$ есть скаляр, т. е. оператор, симметричный относительно $\mathrm{O}_{R}$, все $2 J+1$ членов в левой части (23.33) одинаковы и равны
\[
\begin{array}{r}
\left(\Psi_{m}^{N S L J},\left[\left(\mathrm{~L}_{x}+\mathrm{S}_{x}\right)^{2}+\left(\mathrm{L}_{y}+\mathrm{S}_{y}\right)^{2}+\left(\mathrm{L}_{z}+\mathrm{S}_{z}\right)^{2}\right] \Psi_{m}^{N S L J}\right)= \\
=\hbar^{2} J(J+1) .
\end{array}
\]

Для орбитального момента количества движения из
\[
\mathrm{L}_{z} \Xi_{
u \mu}^{N S L}=\mu \hbar \Xi_{v_{\mu}}^{N S L}
\]

аналогичным образом следует, что
\[
\left(\Xi_{v \mu}^{N S L},\left(L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}\right) \Xi_{v \mu}^{N S L}\right)=\hbar^{2} L(L+1) .
\]
Тогда из (23.11) и соотношений ортогональности (17.28) следует, что
\[
\left(\Psi_{m}^{N S L J} \cdot\left(\mathrm{L}_{x}^{2}+\mathrm{L}_{y}^{2}+\mathrm{L}_{z}^{2}\right) \Psi_{m}^{N S L J}\right)=\hbar^{2} L(L+1),
\]

так как $L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}$ является скаляром в обоих смыслах. Аналогично для спина из соотношений
\[
\mathrm{S}_{2} \mathrm{E}_{\psi \mu}^{N S L}=-i \hbar \frac{\partial}{\partial \alpha} \mathrm{Q}_{\{\alpha 00\}} \mathbb{E}_{\psi \mu}^{N S L}=
u \hbar \Xi_{\delta \mu}^{N S L} \quad(\alpha=0)
\]

следует,\” что
\[
\left(\Psi_{m}^{N S L J},\left(\mathrm{~S}_{x}^{2}+\mathrm{S}_{y}^{2}+\mathrm{S}_{z}^{2}\right) \Psi_{m}^{N S L J}\right)=\hbar^{2} S(S+1) .
\]

Вычитая (23.35a) и (23.36a) из (23.33a), получаем
\[
\begin{aligned}
\left(\Psi_{m}^{N S L J},\left(L_{x} \mathrm{~S}_{x}\right.\right. & \left.\left.+L_{y} \mathrm{~S}_{y}+L_{z} \mathrm{~S}_{z}\right) \Psi_{m}^{N S L J}\right) \\
& =\frac{1}{2} \hbar^{2}[J(J+1)-L(L+1)-S(S+1)]
\end{aligned}
\]

Согласно предыдущему, сдвиги компонент тонкой структуры одного и того же уровня основной структуры пропорциональны матричным элементам (23.37):
\[
\Delta E_{J}^{N S L}=\varepsilon_{N S L}[J(J+1)-L(L+1)-S(S+1)] .
\]

Поэтому разность между смещениями уровней двух последовательных компонент тонкой структуры
\[
\Delta E_{J+1}^{N S L}-\Delta E_{J}^{N S L}=2 \varepsilon_{N S L}(J+1)
\]

пропорциональна большему из двух квантовых чисел полного момента. Это и есть правило интервалов Ланде.

Правило интервалов Ланде справедливо только в случае нормальной связи, т. е. в случае, когда расщепление тонкой структуры мало по сравнению с расстояниями между уровнями основной структуры. Кроме того, оно подразумевает предположение о том, что взаимодећствиями между спиновыми магнитными моментами можно пренебречь. Как показал Гейзенберг ${ }^{1}$ ), это предположение не оправдывается для всех легких элементов, особенно для Не. Поэтому правило интервалов лучше всего выполняется для элементов со средними атомными номерами.

Взаимодействие спиновых магнитных моментов между собой состоит из двух частей. Первая часть представляет собой скаляр
1) См. W. Heis enberg, Zs. f. Phys., 39, 499 (1926).
в обоих смыслах и поэтому никак не влияет на тонкую структуру. Вторая часть принадлежит $\mathfrak{I}^{(2)}$ в обоих отношениях. В целом получается смещение уровней $\left.{ }^{1}\right)$, пропорциональное $[J(J+1)$ $-L(L+1)-S(S+1)]^{2}$, наряду с членом вида (23.37a) и членом, не зависящим от $J$. Отношение константы пропорциональности этого члена к $\varepsilon_{N S L}$ не может быть определено из общих соображений, так что если учтено спин-спиновое взаимодействие, формула интервалов содержит две неопределенные постоянные.
1) Доказательство предоставляется читателю. См. также G. Araki, Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 3, 152 (1948).