Изложим теперь некоторые алгебраические соображения, связанные с результатами предыдущих глав. Сначала выведем некоторые чисто математические теоремы.
1. Пусть $\mathrm{D}^{(j)}(R)$ – неприводимое унитарное представление размерности $l_{f}$ группы унитарных операторов $\mathrm{P}_{R^{\prime}}$ и пусть $f_{\mathrm{i}}^{(j)}$, $f_{2}^{(j)}, \ldots, f_{l_{j}}^{(j)}$ представляют собой $l_{j}$ собственных функций, для которых имеет место уравнение
\[
\mathrm{P}_{R} f_{\mu}^{(j)}=\sum_{\lambda=1}^{l_{j}} D^{(j)}(R)_{\lambda \mu} f_{\lambda}^{(j)} \quad\left(\mu=1,2, \ldots, l_{j}\right)
\]

при всех $\mathrm{P}_{R}$. Говорят, что функция $f_{x}^{(j)}$ принадлежит $x$-й строке неприводимого представления $\mathrm{D}^{(j)}(R)$, если существуют такие функции- ${ }_{n}$ партнеры “ $f_{1}^{(j)}, f_{2}^{(j)}, \ldots, f_{\mathrm{x}-1}^{(j)}, f_{x+1}^{(j)}, \ldots, f_{l_{j}}^{(j)}$, что все $f_{\lambda}^{(j)}$ удовлетворяют (12.1). Это утверждение является вполне определенным только в том случае, если представления $\mathrm{D}^{(j)}(R)$ заданы полностью, а не с точностью до преобразования подобия.

Умножая (12.1) на $D^{\left(f^{\prime}\right)}(R)_{\lambda^{\prime} x^{\prime}}^{*}$ и суммируя (или интегрируя в случае непрерывной группы) по всей группе, на основе свойства ортогональности элементов представления находим, что
\[
\begin{aligned}
\sum_{R} D^{\left(j^{\prime}\right)}(R)_{\lambda^{\prime}}^{*} \mathrm{P}_{R} f_{\mathrm{x}}^{(j)} & =\sum_{R} \sum_{\lambda} D^{\left(j^{\prime}\right)}(R)_{\lambda^{\prime} x^{\prime}}^{*} D^{(j)}(R)_{\lambda x} f_{\lambda}^{(j)}= \\
& =\sum_{\lambda} \frac{h}{l_{j}} \delta_{j j^{\prime}} \delta_{\lambda \lambda^{\prime}} \delta_{x x^{\prime}} f_{\lambda}^{(j)}=\frac{h}{l_{j}} \delta_{j j^{\prime}} \delta_{x x^{\prime}} f_{\lambda^{\prime}}^{(j)} .
\end{aligned}
\]

Отсюда, в частности, имеем
\[
\sum_{R} D^{(j)}(R)_{x \mathrm{x}}^{*} \mathrm{P}_{R} f_{\mathrm{x}}^{(j)}=\frac{h}{l_{j}} f_{\mathrm{x}}^{(j)}
\]
для каждой функции $f_{x}^{(j)}$, принадлежащей $x$-й строке неприводимого представления $\mathrm{D}^{(j)}(R)$. Наоборот, для любой функции $f_{\mathrm{x}}^{(j)}$, удовлетворяющей (12.3), может быть найден набор таких функцийпартнеров $f_{1}^{(j)}, f_{2}^{(j)}, \ldots, f_{x-1}^{(j)}, f_{x+1}^{(j)}, \ldots, f_{l_{j}}^{(j)}$, что (12.1) имеет место для всего набора. Соотношение (12.3) является необходимым и достаточным условием того, что $f_{x}^{(j)}$ принадлежит х-й строке неприводимого представления $\mathrm{D}^{(j)}(R)$.

Из (12.2) следует, что если у $f_{x}^{(j)}$ имеются функции-партнеры, то они должны задаваться выражением
\[
f_{\Lambda}^{(j)}=\frac{l_{j}}{h} \sum_{S} D^{(j)}(S)_{\wedge \times}^{*} P_{S} f_{x}^{(j)} .
\]

Мы рассматриваем это равенство в качестве определения $f_{1}^{(j)}, \ldots, f_{x-1}^{(j)}$, $f_{x+1}^{(j)}, \ldots, f_{l_{j}}^{(j)}$. Кроме того, по предположению, (12.3а) справедливо и для частного случая $\lambda=x$, так что оно применимо ко всем $f_{\lambda}^{(j)}$. Непосредственная подстановка правой части (12.3а) вместо $f_{\mu}^{(j)}$ и $f_{\lambda}^{(j)}$ в (12.1) показывает, что (12.1) справедливо, если только
\[
\mathrm{P}_{R} \frac{l_{j}}{h} \sum_{S} D^{(j)}(S)_{\mu \mathrm{x}}^{*} \mathrm{P}_{S} f_{\mathrm{x}}^{(j)}=\sum_{\lambda} D^{(j)}(R)_{\lambda \mu} \frac{l_{j}}{h} \sum_{S} D^{(j)}(S)_{\lambda x}^{*} \mathrm{P}_{S} f_{\mathrm{x}}^{(j)} .
\]

Но это равенство выполняется тождественно, как легко видеть, применяя $\mathrm{P}_{R^{-1}}$ к обеим его частям и подставляя $D^{(j)}(R)_{\lambda \mu}=$ $=D^{(j)}\left(R^{-1}\right)_{\mu \lambda}^{*}$. Поскольку $\mathrm{D}^{(j)}$ образуют представление, это дает
\[
\begin{array}{l}
\sum_{S} D^{(j)}(S)_{\mu \mathrm{x}}^{*} \mathrm{P}_{S} f_{\mathrm{x}}^{(j)}=\sum_{S} \sum_{\lambda} \mathrm{P}_{R^{-1}} \mathrm{P}_{S} D^{(j)}\left(R^{-1}\right)_{\mu \lambda}^{*} D^{(j)}(S)_{\lambda \lambda}^{*} f_{\mathrm{x}}^{(j)}= \\
=\sum_{S} \mathrm{P}_{R^{-1} S} D^{(j)}\left(R^{-1} S\right)_{\mu \times \mathrm{x}}^{*} f_{\mathrm{x}}^{(j)}, \\
\end{array}
\]

и суммирование справа можно выполнять по $R^{-1} S$ вместо суммирования по $S$. Поэтому для всякой $f_{x}^{(j)}$, удовлетворяющей (12.3), равенство (12.3а) определяет функции-партнеры, так что (12.1) удовлетворяется для всего набора.
2. Линейная комбинация $a f_{x}^{(j)}+b g_{x}^{(j)}$ функций $f_{x}^{(j)}$ и $g_{x}^{(j)}$, каждая из которых принадлежит $x$-строке представления $\mathbf{D}^{(j)}$, также принадлежит той же строке этого представления. Это следует непосредственно из линейности выражения (12.3) или из определения (12.1).
3. Если $\mathbf{D}^{(1)}(R), \mathbf{D}^{(2)}(R), \ldots, \mathbf{D}^{(c)}(R)$ – все неприводимые представления группы операторов $P_{R}$, то каждая функция $F$, к которой применяется оператор $P_{R}$, может быть записана в виде суммы
\[
F=\sum_{j=1}^{c} \sum_{x=1}^{l_{j}} f_{x}^{(j)},
\]

где $f_{x}^{(j)}$ принадлежит $x$-й строке представления $\mathrm{D}^{(j)}(R)$.
Чтобы показать это, рассмотрим $h$ функций $F=\mathrm{P}_{E} F, \mathrm{P}_{A_{2}} F$, $\mathrm{P}_{A_{8}} F, \ldots, \mathrm{P}_{A_{h}} F$, получающихся в результате применения $h$ операторов группы $P_{R}$ к функции $F$. Если эти функции не являются линейно независимыми, можно опустить столько из них, чтобы остающиеся функции $F, F_{2}, \ldots, F_{h^{\prime}}$ были линейно независимыми. Эти $h^{\prime}$ функций „натягивают“ представление группы операторов $\mathrm{P}_{R}$. Если применить один из операторов $\mathrm{P}_{R}$ к этим функциям, то получающаяся при этом функция может быть представлена в виде линейной комбинации функций $F, F_{2}, \ldots, F_{h^{\prime}}$. Пусть, например, $F_{k}=\mathrm{P}_{T} F$; тогда $\mathrm{P}_{R} \mathrm{P}_{T} F=\mathrm{P}_{R T} F$, и либо это одна из функций $F_{i}$, либо она может быть представлена в виде их линейной комбинации. Следовательно,
\[
\mathrm{P}_{R} F_{k}=\sum_{i=1}^{h^{\prime}} \Delta(R)_{i k} F_{i}
\]

и матрицы $\boldsymbol{\Delta}(R)$ образуют представление группы операторов $\mathrm{P}_{R}$. Это сөответствует свойству собственных функций порождать представление, которое обсуждалось в конце предыдущей главы. В явном виде
\[
\begin{aligned}
\sum_{n} \Delta(S R)_{n k} F_{n} & =\mathrm{P}_{S R} F_{k}=\mathrm{P}_{S} \mathrm{P}_{R} F_{k}=\mathrm{P}_{S} \sum_{i} \Delta(R)_{i k} F_{i}= \\
& =\sum_{i} \sum_{n} \Delta(R)_{i k} \Delta(S)_{n i} F_{n}
\end{aligned}
\]

и, так как функции $F_{n}$ линейно независимы,
\[
\Delta(S) \Delta(R)=\Delta(S R) .
\]

Такой метод порождения представления будет играть существенную роль в дальнейшем в явном определении неприводимых представлений симметрической группы. Путем специального выбора начальных функций $F$ может быть получено много типов представлений, которые будут полезны для нахождения неприводимых представлений.

Если представление в (12.5) не является неприводимым, оно может быть приведено с помощью преобразования подобия, а именно с помощью преобразования, которое приводит все
матрицы $\boldsymbol{\Delta}(R)$ одновременно к виду
\[
\left(\begin{array}{ccc}
\mathrm{D}^{(1)}(R) & \mathbf{0} & \ldots \\
\mathbf{0} & \mathrm{D}^{(2)}(R) & \ldots \\
. & . & \ldots \\
. & . & \ldots \\
. & . & \ldots
\end{array}\right)=\boldsymbol{\alpha}^{-1} \Delta(R) \boldsymbol{\alpha},
\]

где все D являются унитарными неприводимыми представлениями. Тогда, согласно п. 6 гл. 11, с помощью матрицы $\alpha$ можно построить линеиные комбинации функций $F_{k}$, которые преобразуются операторами $P_{R}$ с матрицами (12.E.1) и которые, следовательно, принадлежат различным строкам неприводимых представлений $\mathbf{D}^{(1)}, \mathbf{D}^{(2)}, \ldots$ Наоборот, поскольку матрица $\boldsymbol{\alpha}$ имеет обратную, функции $F_{k}$, а тем самым и $F$, могут быть выражены через эти линейные комбинации. Это доказывает, что произвольная функция может быть представлена в виде суммы (12.4).

Чтобы вычислить функции $f_{\mathrm{x}}^{(j)}$, входящие в (12.4) в явном виде, применим $\mathrm{P}_{R}$ к (12.4), умножим на $D^{(J)}(R)_{x х}^{*}$ и просуммируем по всем $R$. Тогда получим
\[
\sum_{R} D^{(j)}(R)_{\mathrm{x} \mathrm{x}}^{*} \mathrm{P}_{R} F=\sum_{j^{\prime}} \sum_{\dot{\mathrm{x}}^{\prime}} \sum_{R} D^{(j)}(R)_{\mathrm{xx}}^{*} \mathrm{P}_{R} f_{\mathrm{x}^{\prime}}^{\left(j^{\prime}\right)}=\frac{h}{l_{j}} f_{\mathrm{x}}^{(j)} .
\]

Последнее равенство в (12.6) следует из (12.3).
Равенствл (12.6) показывает, что $\sum_{R} D^{(j)}(R)_{x x}^{*} \mathrm{P}_{R} \cdot F$ принадлежит х-й строке представления $\mathrm{D}^{(j)}(R)$ для совершенно произвольной бункции $F$; это можно проверить, представляя это выражение для $f_{\star}^{(j)}$ в соотношении (12.3), которое приобретает вид
\[
\frac{l_{j}}{h} \sum_{s} D^{(j)}(S)_{x \mathrm{x}}^{*} \mathrm{P}_{S}\left(\sum_{R} D^{(j)}(R)_{\mathrm{x} \mathrm{x}}^{*} \mathrm{P}_{R} F\right)=\sum_{R} D^{(j)}(R)_{\mathrm{x}}^{*} \mathrm{P}_{R} F .
\]

Подставляя $S R=T$ в левую часть и суммируя по $T$ вместо $S$, мы видим, что левая часть совпадает с правои:
\[
\begin{array}{l}
\sum_{S} D^{(j)}(S)_{x \mathrm{x}}^{*} \mathrm{P}_{S} \cdot\left(\sum_{R} D^{(j)}(R)_{x \mathrm{x}}^{*} \mathrm{P}_{R} F\right)=\sum_{T, R} D^{(j)}\left(T R^{-1}\right)_{\mathrm{xx}}^{*} \mathrm{P}_{T} D^{(j)}(R)_{\mathrm{xx}}^{*} F, \\
\sum_{T, R} \sum_{\lambda} D^{(j)}(T)_{\mathrm{x} \lambda}^{*} D^{(j)}\left(R^{-1}\right)_{\lambda x}^{*} D^{(j)}(R)_{\mathrm{xx}}^{*} \mathrm{P}_{T} F=\frac{h}{l_{j}}\left(\sum_{T} D^{(j)}(T)_{\mathrm{xx}}^{*} \mathrm{P}_{T} F\right) .
\end{array}
\]
Здесь суммирование по $R$ было проведено в (9.31a).
Тождество
\[
F=\sum_{j} \sum_{\mathrm{x}} \sum_{R} \frac{l_{j}}{h} D^{(j)}(R)_{\mathrm{xx}}^{k} \mathrm{P}_{R} F
\]

имеет место для совершенно произвольной функции $F$, т. е. при произвольных значениях $h$ величин $\mathrm{P}_{R} F$. Это возможно только в том случае, если
\[
\sum_{j=1}^{c} \sum_{x=1}^{l_{j}} \frac{l_{j}}{h} D^{(j)}(R)_{\mathrm{xx}}^{*}=\left\{\begin{array}{lll}
1 & \text { при } & R=E, \\
0 & \text { при } & R
eq E .
\end{array}\right.
\]

При $R=E$, поскольку $D^{(j)}(E)_{\mathrm{xx}}=1$, это дает
\[
\sum_{j=1}^{c} \sum_{x=1}^{l_{j}} \frac{l_{j}}{h}=\sum_{j=1}^{c} \frac{l_{j}^{2}}{h}=1 .
\]

Это значит, что сумма квадратов размерностей всех неприводимых представлений равна порядку представляемой группы. Эта теорема была сформулирована, но не доказана на стр. 102.
4. Две функции $f_{x}^{(j)}$ и $g_{x^{\prime}}^{\left(j^{\prime}\right)}$, которые принадлежат различным неприводимым представлениям или различным строкам одного и того же представления, ортогональны. Для функций $f_{x}^{(j)}$ и $g_{x^{\prime}}^{\left(j^{\prime}\right)}$ существуют такие функции-партнеры $f_{1}^{(j)}, f_{2}^{(j)}, f_{3}^{(j)}, \ldots$ и $g_{1}^{\left(j^{\prime}\right)}$, $g_{2}^{\left(j^{\prime}\right)}, g_{3}^{\left(j^{\prime}\right)}, \ldots$, что, по определению,
\[
\mathbf{P}_{R} f_{x}^{(j)}=\sum_{\lambda} D^{(j)}(R)_{\lambda x} f_{\lambda}^{(j)}, \quad \mathrm{P}_{R} g_{x^{\prime}}^{\left(j^{\prime}\right)}=\sum_{\lambda^{\prime}} D^{\left(j^{\prime}\right)}(R)_{\lambda^{\prime} x^{\prime}} g_{\lambda^{\prime}}^{\left(j^{\prime}\right)} .
\]

Так как $P_{R}$ – унитарный оператор
\[
\begin{aligned}
\left(f_{\mathrm{x}}^{(j)}, g_{\mathrm{x}^{\prime}}^{\left(j^{\prime}\right)}\right) & =\left(\mathrm{P}_{R} f_{\mathrm{x}}^{(j)}, \mathrm{P}_{R^{\prime}} g_{\lambda^{\prime}}^{\left(j^{\prime}\right)}\right)= \\
& =\sum_{\lambda} \sum_{\lambda^{\prime}} D^{(j)}(R)_{\lambda x}^{*} D^{\left(j^{\prime}\right)}(R)_{\lambda^{\prime} x^{\prime}}\left(f_{\lambda^{\prime}}^{(j)}, g_{\lambda^{\prime}}^{\left(j^{\prime}\right)}\right)
\end{aligned}
\]

Суммируя в этом равенстве по всем операторам группы $P_{R}$, получаем
\[
h\left(f_{\mathrm{x}}^{(j)}, g_{\mathrm{x}^{\prime}}^{\left(j^{\prime}\right)}\right)=\frac{h}{l_{j}} \delta_{j j^{\prime}} \delta_{\mathrm{xx}} \sum_{\lambda}\left(f_{\lambda}^{(j)}, g_{\lambda}^{\left(j^{\prime}\right)}\right) .
\]

Отсюда следует, во-первых, фундаментальная теорема, сформулированная выше, о том, что $\left(f_{\mathrm{x}}^{(j)}, g_{\mathrm{x}^{\prime}}^{\left(j^{\prime}\right)}\right)$ обращается в нуль при $j
eq j^{\prime}$ или $x
eq x^{\prime}, \boldsymbol{u}$, во-вторых, что $\left(f_{x}^{(j)}, g_{x}^{(j)}\right)$ одинаковы для всех партнеров, т. е. не зависят от $х$.
5. В предыдущей главе мы говорили об операторах, которые симметричны относительно $P_{R}$; например, оператор Гамильтона $H$
был симметричен относительно операций (11.E.1) и (11.Е.2). Это значит, что $\mathrm{P}_{R}$ вызывают только такие не сказывающиеся на $\mathrm{H}$ изменения функции, как перестановка тождественных частиц и т. д.

Теперь мы несколько уточним это понятие. Симметричные операторы, которые мы рассматриваем, всегда эрмитовы и соответствуют физическим величинам, как, например, энергии. Oператоры $\mathrm{P}_{R}$, относительно которых некоторый оператор сммметричен, являются унитарными операторами. Однако они не соответствуют физическим величинам; вместо этого они преобразуют волновую функцию заданного состояния в волновую функцию другого состояния. Оператор $S$ называется симметричным, если он денствует на все $\mathrm{P}_{R} \varphi$ так же, как и на $\varphi$. Мы сразу увидим, что это определение совпадает с определением предыдущей главы.

Утверждение о том, что S – некоторый оператор, симметричный относительно $P_{R}$, и что $\psi$ – одна из его собственных функций, т. е. $\mathrm{S} \psi=s \psi$, означает, что в состоянии $\psi$ измерение величины, которой соответствует $\mathrm{S}$, с определенностью дает значение $s$. Тогда это должно выполняться и для $\mathrm{P}_{R} \psi$, т. е. $\mathrm{P}_{R} \psi$ также должна быть собственной функцией оператора $\mathrm{S}$, принадлежащей собственному значению $s$.

Применяя $\mathrm{P}_{R}$ к обеим частям уравнения $\mathrm{S} \psi=s \psi$, находим $\mathbf{P}_{R} \mathrm{~S} \psi=\mathbf{P}_{R} s \psi=s \mathbf{P}_{R} \psi$. Отсюда с учетом уравнения $\mathrm{SP}_{R} \psi=s \mathbf{P}_{R} \psi$ имеем $\mathrm{SP}_{R} \psi=\mathrm{P}_{R} \mathrm{~S} \psi$; это соотношение должно выполняться для каждой собственной функции оператора $\mathrm{S}$, так как собственное значение не входит в последнее равенство. Это соотношение линейно и поэтому применимо ко всякой линейной комбинации собственных функций, а следовательно, ко всем функциям. Поэтому отсюда следует операторное тождество $\mathbf{S P}_{R}=\mathbf{P}_{R} \mathbf{S}$ : onepamop, симметгичный относительно $\mathrm{P}_{R}$, коммутирует со всеми $\mathrm{P}_{R}$. Нет никакой разницы, в каком порядке $S$ и $P_{R}$ применяются к функции. Говорят, что $S$ инвариантен относительно $P_{R}$.

Применяя оператор $\mathrm{S}$ к (12.1), мы видим, что если $f_{x}^{(J)}$ принадлежит $x$-й строке представления $\mathbf{D}^{(j)}$, то той же строке принадлежит и $\mathrm{S} f_{\mathrm{x}}^{(j)}$. Тогда из (12.8) следует, что
\[
\left(f_{x}^{(j)}, \mathrm{S} g_{\mathbf{x}^{\prime}}^{\left(j^{\prime}\right)}\right)=\delta_{j j^{\prime}}, \delta_{\mathbf{x x ^ { \prime }}}\left(f_{\lambda}^{(j)}, \mathrm{S} g_{\lambda}^{(j)}\right)
\]

обращается в нуль при $j
eq j^{\prime}$ или $x
eq x^{\prime}$; при $j=j^{\prime}, x=x^{\prime}$ это выражение не зависит от $x$.

Хотя эти теоремы имеют весьма общую природу, они широко известны только для простейших групп операторов. Одна группа, для которой эти теоремы привычны, состоит из тождественного оператора $P_{E}$ и оператора (11.15) гл. 11:
\[
\mathrm{P}_{R} f(x)=f(-x), \quad \mathrm{P}_{R}^{2}=\mathrm{P}_{E} .
\]
Группа $\mathrm{P}_{E}, \mathrm{P}_{R}$ является группой отражений. Она имеет два неприводимых представления, причем оба одномерны:
\[
\mathbf{D}^{(1)}(E)=(1), \quad \mathbf{D}^{(1)}(R)=(1) \quad \text { и } \quad \mathbf{D}^{(2)}(E)=(1), \quad \mathbf{D}^{(2)}(R)=(-1) .
\]

Для функций, принадлежащих первому представлению (оно имеет лищь одну строку), (12.1) приобретает вид
\[
\mathrm{P}_{R} f^{(1)}(x)=f^{(1)}(-x)=1 \cdot f^{(1)}(x) .
\]

Это четные функции $x$. Для функций, которые принадлежат второму представлению, (12.1) запишется следующим образом:
\[
\mathrm{P}_{R} f^{(2)}(x)=f^{(2)}(-x)=-1 \cdot f^{(2)}(x) .
\]

Это нечетные функции. Уравнение (12.3) для $f^{(1)}\{x$ ) имеет вид
\[
\begin{aligned}
\mathbf{D}^{(1)}(E) \mathrm{P}_{E} f^{(1)}(x)+\mathbf{D}^{(1)}(R) & \mathrm{P}_{R} f^{(1)}(x)= \\
& =1 \cdot f^{(1)}(x)+1 \cdot f^{(1)}(-x)=\frac{2}{1} f^{(1)}(x),
\end{aligned}
\]

а для $f^{(2)}(x)$ – вид
\[
\begin{aligned}
\mathbf{D}^{(2)}(E) \mathrm{P}_{E} f^{(2)}(x)+\mathbf{D}^{(2)}(R) & \mathrm{P}_{R} f^{(2)}(x)= \\
& =1 \cdot f^{(2)}(x)-1 \cdot f^{(2)}(-x)=\frac{2}{1} f^{(2)}(x) .
\end{aligned}
\]

Обратно, из этих уравнений следует, что $f^{(1)}(x)$ – четная функция, а $f^{(2)}(x)$ – нечетная. Конечно, известио, что всякая функция может быть разложена на четную и нечетную части и что всякая четная функция ортогональна всякой нечетной.
6. До сих пор мы должны были предполагать, что представления определены некоторым произвольным образом. Тот же произвол имеется в определении функции $f_{x}^{(j)}$ : функция, принадлежащая х-й строке неприводимого представления, не принадлежит в общем случае $x$-й строке эквивалентного представления. Теоремы, которые мы приведем ниже, не зависят от частного вида представления.

Для всякой функции $f_{\mathrm{x}}^{(j)}$, которая принадлежит $\mathrm{x}$-й строке неприводимого представления $\mathrm{D}^{(j)}(R)$, согласно (12.2), имеет место
\[
\sum_{R} D^{(j)}(R)_{\lambda \lambda}^{*} \mathrm{P}_{R} f_{\mathrm{x}}^{(j)}=\frac{h}{l_{j}} \delta_{\mathrm{x} \lambda} f_{\mathrm{x}}^{(j)} .
\]

Суммируя по $\lambda$ от 1 до $l_{j}$, находим
\[
\sum_{R} \chi^{(j)}(R)^{*} \mathrm{P}_{R} f_{x}^{(j)}=\frac{h}{l_{j}} f_{x}^{(j)} \quad\left(\text { при } \chi=1,2, \ldots, l_{j}\right) .
\]

Поскольку в (12.9) $x$ уже несущественно, это равенство удовлетворяется всеми функциями, принадлежащими произвольным строкам представления $\mathbf{D}^{(j)}(R)$, а также произвольными линейны и комбинациями таких функций. О функции, удовлетворяющей (12.9) говорят, что она принадлежит предсттавлению $\mathrm{D}^{(j)}(R)$. Этот факт, так же как и характер, не зависит от специального вида представления. Наоборот, всякая функция, удовлетворяющая (12.9), является линейной комбинацией функций, каждая из которых принадлежит одной из строк представления $\mathbf{D}^{(j)}(R)$. Согласно (12.9),
\[
\frac{h}{l_{j}} f^{(j)}=\sum_{R} \chi^{(j)}(R)^{*} \mathrm{P}_{R} f^{(j)}=\sum_{\lambda} \sum_{R} \mathrm{D}^{(j)}(R)_{\lambda \lambda}^{*} \mathrm{P}_{R} f^{(j)} .
\]

Но, в соответствии с (12.3), всякая функция вида $\sum_{R} \mathrm{D}^{(j)}(R)_{\lambda \lambda}^{*} \mathrm{P}_{R} F$ принадлежит $\lambda$-й строке представления $\mathbf{D}^{(f)}(R)$.

Из (12.10) также следует, что функции, принадлежащие эквивалентным неприводимым представлениям, ортогональны друг другу. Кроме того, каждая функция $F$ может быть представлена в виде суммы
\[
F=\sum_{j=1}^{c} f^{(j)},
\]

где $f^{(j)}$ принадлежит представлению $\mathrm{D}^{(j)}(R)$. Чтобы показать это, достаточно лишь переписать (12.4) в виде
\[
\begin{aligned}
F & =\sum_{j=1}^{c} f^{(j)}, \\
f^{(j)} & =\sum_{x=1}^{l_{j}} f_{x}^{(j)} .
\end{aligned}
\]

Функции, принадлежащие заданному неприводимому представлению, имеют, таким образом, свойства, вполне аналогичные свойствам функций, принадлежащих строке неприводимого представления. Ликейная комбинация функций определенного рода есть снова функция того же рода; произвольная функция может быть записана в виде суммы функции, по одной из каждого рода; две функции различного рода всегда взаимно ортогональны; наконец, оператор $\mathrm{S}$, инвариантный относительно $\mathrm{P}_{R}$, преобразует функцию некоторого данного рода в другую функцию того же рода.

Сформулированные здесь общие теоремы о функциях можно резюмировать, если сказать, что функции различного рода (принадлежащие различным неприводимым представлениям или различным строкам одного и того же неприводимого представления) принадлежат различным собственным значениям некоторого эрмитового оператора, который, так же как все $P$ и функции от них, коммутирует со всеми инвариантными операторами S.
Oператор $\mathrm{O}_{j \mathrm{x}}$, преобразующий $F$ в
\[
\mathrm{O}_{j \times} F=\sum_{R}^{\dot{D}} D^{(j)}(R)_{\mathrm{xx}}^{*} \mathrm{P}_{R} F
\]

или, в случае, рассматриваемом в настоящем разделе, в
\[
\mathrm{O}_{j} F=\sum_{R} \chi^{(j)}(R)^{*} \mathrm{P}_{R} F
\]

имеет два собственных значения: 0 и $h / l_{j}$. Все функции, принадлежащие $x$-й строке представления $\mathbf{D}^{(j)}(R)$ или просто представлению $\mathbf{D}^{(j)}(R)$, соответствуют собственному значению $h / l_{j}$. Функции, которые принадлежат другим строкам неприводимого представления $D^{(j)}(R)$ (или другим представлениям), соответствуют собственному значению 0 .

Указанные выше теоремы дают не что иное, как соотношения ортогональности и полноты собственных функций операторов (12.12), (12.12a). Разница между ними и обычными эрмитовыми операторами возникает лишь в силу того обстоятельства, что (12.12), (12.12а) являются операторами с бесконечной кратностью вырождения, так как каждому собственному значению принадлежит бесконечное число линейно независимых собственных функций. В математической литературе операторы $l_{j} \mathrm{O}_{j} / h$ называются также идемпотентными или проекционными операторами, так как $\left(l_{j} \mathrm{O}_{j} / h\right)^{2}=l_{j} \mathrm{O}_{j} / h$.
7. Возвратимся теперь к уравнению Шредингера $\mathrm{H} \psi=E \psi$. В предыдущей главе мы видели, что однозначно определенное (с точностью до преобразования подобия) представление группы $\mathrm{P}_{R}$ принадлежит каждому собственному значению оператора Н. С другой стороны, мы знаем также, что это преобразование подобия находится в нашем полном распоряжении, поскольку оно состоит просто в выборе определенной линейной комбинации собственных функций.

Со многих точек зрения целесообразно предполагать, что представления отдельных собственных значений, поскольку они не являются неприводимыми, находятся в приведенном виде,
\[
\Delta(R)=\left(\begin{array}{cccc}
\mathrm{D}^{(1)}(R) & \mathbf{0} & \ldots & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathrm{D}^{(2)}(R) & \ldots & \mathbf{0} \\
\cdot & \cdot & & \cdot \\
\cdot & \cdot & & \cdot \\
\cdot & \cdot & & \cdot \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \ldots & \mathrm{D}^{(s)}(R)
\end{array}\right) .
\]

Здесь $\mathrm{D}^{(1)}(R), \ldots, \mathrm{D}^{(s)}(R)$ просто неприводимые представления (не обязательно различные), являющиеся $s$ неприводимыми компонентами представления $\boldsymbol{\Delta}(R)$. Пусть их размерности будут $l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{s}$. Обозначим через
\[
\psi_{1}^{(1)}, \psi_{2}^{(1)}, \ldots, \psi_{l_{1}}^{(1)}, \psi_{1}^{(2)}, \psi_{2}^{(2)}, \ldots, \psi_{h_{2}}^{(2)}, \ldots, \psi_{1}^{(s)}, \psi_{2}^{(s)}, \ldots, \psi_{l_{s}}^{(s)}
\]
те линейные комбинации собственных функций, которые соответствуют этому виду представления для рассматриваемого собственного значения. Запишем теперь соотношение (11.23) предыдущей главы для этого собственного значения:
\[
\mathbf{P}_{R} \psi_{\mathrm{x}}^{(j)}=\sum_{
u} D^{(j)}(R)_{v \mathrm{x}} \psi_{
u}^{(j)} .
\]
[Учитывая нули в (12.13), сразу можно выразить $\mathrm{P}_{R} \psi_{x}^{(j)}$ в виде линейных комбинаций функций $\psi_{
u}$ с одним и тем же верхним индексом.] Но из (12.14) следует, что $\psi_{
u}^{(j)}$ удовлетворяет (12.3). Собственная бункция $\psi_{x}^{(j)}$ принадлежит $х$-й строке представления $\mathrm{D}^{(j)}$, а ее партнерами являются $\psi_{1}^{(j)}, \psi_{2}^{(j)}, \ldots, \psi_{l_{j}}^{(j)}$.

Вид формулы преобразования (12.14) показывает, что мы рассматриваем собственные значения матрицы (12.13) как $s$ случайно совпавших собственных значений. Собственные функции $\psi_{1}^{(1)}$, $\psi_{2}^{(1)}, \ldots, \psi_{l_{1}}^{(1)}$ принадлежат первому собственному значению; $\psi_{1}^{(2)}$, $\psi_{2}^{(2)}, \ldots, \psi_{l_{2}}^{(2)}$ – второму; ..; и $\psi_{1}^{(s)}, \psi_{2}^{(s)}, \ldots, \psi_{l_{s}}^{(s)}$ – последнему. Каждому из этих собственных значений принадлежит одно меприводимое представление. Следовательно, если рассматривать таким образом весь спектр собственных значений, можно утверждать, что одно неприводимое представление соответствует каждому собственному значению, и одна строка неприводимого представления соответствует каждой собственной функции; партнерами собственной функции являются другие собственные бункции, принадлежащие тому же самому собственному. значению.

В общем случае всякому заданному представлению будет соответствовать очень много собственных значений. Поэтому можно провести дальнейшую стандартизацию формул для представлений, беря представления в одинаковом виде для всех уровней, которым они принадлежат.

Когда несколько собственных функций, являющихся партнерами, принадлежат одному собственному значению, мы говорим о „нормальном вырождении\”. Если к тому же совпадают несколько собственных значений, как это было в случае собственного значения в (12.13), мы относим это к случайному вырождению. Будем считать, что такая ситуация является весьма необычной и что в важном случае уравнения Шредингера она может встретиться лишь в виде исключения.
8. Чтобы привыкнуть к введенным выше понятиям, применим их теперь для рассмотрения теории возмущений Рэлея – ІШредингера. Начнем с собственного значения $E_{n}$ невозмущенной“ задачи, которое не имеет случайного вырождения. Соответствующее представление группы уравнения Шредингера является тогда неприводимым, и собственные функции $\psi_{E 1}, \psi_{E 2}, \ldots, \psi_{E l}$ принадлежат различным строкам неприводимого представления. Добавим к первоначальному оператору Гамильтона $\mathrm{H}_{\text {n }}$ симметричное возмущение \” $\lambda \mathrm{V}$, обладающее тем свойством, что оно не нарушает симметрию группы оператора $\mathrm{H}$, т. е. являющееся симметричным оператором в смысле, введенном в этой главе. Чтобы сформулировать секулярное уравнение для первого приближения к сдвигу энергии $\Delta E$, мы должны вычислить матричные элементы ( $\Psi_{E x}, V \psi_{E x^{\prime}}$ ). Согласно (12.8a), они все равны нулю при $x
eq x^{\prime}$ и все равны между собой при $x=x^{\prime}$. Если обозначить их общее значение через $v_{E}$, то секулярное уравнение принимает вид
\[
\left|\begin{array}{cccc}
\lambda v_{E}-\Delta E & 0 & \ldots & 0 \\
0 & \lambda v_{E}-\Delta E & \ldots & 0 \\
\cdot & \cdot & & \cdot \\
\cdot & \cdot & & \cdot \\
\cdot & 0 & \ldots & \lambda v_{E}-\Delta E
\end{array}\right|=0
\]

и имеет $l$-кратный корень $\lambda v_{E}$. Таким образом, в первом приближении собственные значения не расщепляются. Более того, они не могут расщепиться в сколь угодно высоком приближении, так как при расщеплении, скажем, на два собственных значения $E_{1}$ и $E_{2}$ с $l_{1}$ и $l_{2}$ собственными функциями $\left(l_{1}+l_{2}=l\right.$ ), $l_{1}$ собствен-ных функций уровня $E_{1}$ преобразуются одна в другую под действием $P$, и им должно соответствовать представление размерности $l_{1}$. Это представление нё может содержать первоначальное неприводимое представление невозмущенного собственного значения, так как $l_{1}<l$. Тогда эти $l_{1}$ собственных значений уровня $E_{1}$ были бы ортогональны всем $l$ собственным функциям уровня $E$ и не могли бы быть получены из них или из линеиных комбинаций каким-либо непрерывным образом. При „симметричном возмущекии\” собственное значение с неприводимым представлением сохраняет это представление и не может расщепиться.
9. Рассмотрим теперь собственное значение, представление которого $\boldsymbol{\Delta}(R)$ содержит $\mathrm{D}^{(1)}(R), \mathbf{D}^{(2)}(R), \ldots$ соответственно $a_{1}, a_{2}, \ldots$ раз. По поводу рассмотрения в п. 7 настоящей главы можно также сказать, что $a_{1}$ собственных значений с представлением $\mathbf{D}^{(1)}(R), \quad a_{2}$ – с представлением $\mathbf{D}^{(2)}(R)$ и т. д. совпадают случайно. Если теперь вводится симметричное возмущение $\lambda V$, то наибольшим изменением, к которому оно может привести, является расщепление случайно вырожденных собственных значений, Тогда
при наличии возмущения будет $a_{1}$ собственных значений с представлением $\mathbf{D}^{(1)}(R), a_{2}$ собственных значений с представлением $\mathrm{D}^{(2)}(R)$ и т. д. В общем случае эти $a_{1}+a_{2}+\ldots$ собственных значений будут различными. То, что после введения возмущения должны появиться в точности $a_{1}$ собственных значений с представлением $\mathbf{D}^{(1)}(R)$, следует из того факта, что число собственных функции $a_{1} l_{1}$, принадлежащих представлению $\mathrm{D}^{(1)}(R)$, не может измениться. Изменение этого числа означало бы, что изменилось соответствие собственных функций неприводимым представлениям. Выше мы видели, что это не может произойти непрерывным образом.

В п. 8 настоящей главы мы рассмотрели собственное значение с неприводимым представлением. Несмотря на то, что ему принадлежит $l$ собственных функций, оно не может быть расщеплено симметричным возмущением. Это оправдывает название „естественное вырождение “, которое описывает соответствие этих $l$ линейно независимых собственных функций одному собственному значению.

О собственном значении, которое, как и рассмотренное выше, соответствует приводимому представлению, говорят, что оно состокт из $a_{1}$ собственных значений представления $\mathrm{D}^{(1)}(R), a_{2}$ собственных значений представления $\mathbf{D}^{(2)}(R)$ и т. д. Совпадение этих $a_{1}, a_{2}, \ldots$ собственных значений называется случайным вырождением, так как его появление в отсутствие возмущения связано со специфической природой гамильтониана задачи. Оно не следует из симметрии задачи, лежащей в его основе.
10. То обстоятельство, что собственные функции оператора $\mathrm{H}+\lambda \mathrm{V}$ могут рассматриваться как\”принадлежащие одной строке олного неприводимого представления, справедливо не только для точных собственных функций, но и для каждого из последовательных приближений теории возмушений. Прежде всего, ясно, что оно справедливо для точных собственных функций, т. е. для всего степенного ряда по $\lambda$. Однако, если оно выполняется для всякого ряда и при произвольных значениях $\lambda$, оно должно быть справедливо и для каждого члена в отдельности.

В частности, „правильные линейные комбинации\” для первого приближения к собственным функциям заданного собственного значения $E$ могут быть выбраны таким образом, чтобы они были комбинациями только собственных функций уровня $E$, принадлежащих одной и той же строке одного и того же неприводимого представления. Если представление для $E$ содержит данное неприводимое представление $\mathrm{D}^{\left(j^{\prime}\right)}(R)$ только один раз, то имеет лишь одну собственную функцию $\psi_{x}^{\left(j^{\prime}\right)}$, которая принадлежит, скажем, $x$-й строке представления $\mathrm{D}^{\left(j^{\prime}\right)}(R)$, и $\psi_{x}^{\left(j^{\prime}\right)}$ является то:да уже
\”правильной линейной комбинацией\”. Соответствующее собственное значение равно
\[
\left(\psi_{x}^{\left(j^{\prime}\right)},(\mathrm{H}+\lambda \mathrm{V}) \psi_{x}^{\left(j^{\prime}\right)}\right) .
\]

Если представление для $E$ содержит неприводимое представление $\mathbf{D}^{(j)}(R)$ несколько раз, скажем, $a_{j}$ раз, то $E$ имеет $a_{j}$ собственных функций $\psi_{x 1}^{(j)}, \psi_{x 2}^{(j)}, \psi_{x 3}^{(j)}, \ldots, \psi_{x a_{j}}^{(j)}$, принадлежащих одной и той же ( $x-
ot{n})$ строке представления $\mathrm{D}^{(j)}(R)$. Правильные линейные комбинации являются тогда линейными комбинациями этих $a_{j}$ собственных функции; их нельзя полностью определить без вычислений.

Тем не менее полезно использовать во всех случаях с самого начала те линейные комбинации $\psi_{x \rho}^{(j)}$ собственных функций уровня $E$, которые принадлежат одной строке некоторого неприводимого представления. Тогда, в силу (12.8a), выражение
\[
\left(\psi_{x \rho}^{(j)}, V \psi_{x^{\prime} \rho^{\prime}}^{\left(j^{\prime}\right)}\right)=V_{j \times \rho ; j^{\prime} x^{\prime} \rho^{\prime}}=\delta_{j j^{\prime}} \delta_{x x^{\prime}} v_{\rho \rho^{\prime}}^{j}
\]

должно обращаться в нуль при $j
eq j^{\prime}$ или $x
eq x^{\prime}$. Поэтому секулярнсе уравнение для $E$
\[
\left|V_{j \times \rho ; j^{\prime} x^{\prime} \rho^{\prime}}-\Delta E \cdot \mathbf{1}\right|=0
\]

существенно упрощается. Оно распадается, как показывает ближайшее рассмотрение, на отдельные малые „неприводимые секулярные уравнения\”, размерности которых $a_{j}$ указывают, сколько раз одно и то же неприводимое представление содержится в представлении для собственного значения $E$.

Изменение собственных значений и собственных функций представления $\mathrm{D}^{(j)}(R)$ может быть вычислено даже в высших приближениях с использованием собственных значений и собственных функции только этого представления. Достаточно даже рассматривать только собственные функции, принадлежащие заданной строке этого представления. Согласно (5.22), например, второе приближение равно
\[
F_{k
u}=E_{k}+\lambda\left(\psi_{k
u}, \mathrm{V} \psi_{k
u}\right)+\lambda^{2} \sum_{E_{l}
eq E_{k}} \frac{\left|\left(\psi_{l}, \mathrm{~V} \psi_{k_{v}}\right)\right|^{2}}{E_{k}-E_{l}} .
\]

Если теперь $\psi_{l}$ принадлежит -представлению, отличному от $\mathrm{D}^{(j)}(R)$, или строке представления $\mathbf{D}^{(j)}$, отличной от той, которой принадлежит $\psi_{k
u}$, член $\left(\psi_{l}, V \psi_{k v}\right.$ ) обращается в нуль и может быть просто исключен из рассмотрения.
11. Если возмущение $\lambda V$ оператора $H$ инвариантно не относительно полной группы оператора $P$, а только относительно под-
группы, то должны быть введены собственные функции, принадлежащие неприводимым представлениям этой подгруппы. Будем предполагать, что собственные значения и собственные функции оператора $\mathrm{H}$ соответствуют неприводимым представлениям полной группы Р. Матрицы, соответствующие элементам подгруппы, могут тогда быть истолкованы как представление этой подгруппы. Для всех $\mathbf{P}$ и, в частности, для оператора $\mathbf{P}_{R}$ этой подгруппы, мы имеем
\[
\mathrm{P}_{R} \psi_{x}^{(j)}=\sum_{\lambda} D^{(j)}(R)_{\lambda x} \psi_{\lambda}^{(j)} .
\]

Однако матрицы $\mathrm{D}^{(j)}(R)$ для элементов $R$ подгруппы не обязательно должны быть неприводимыми; но чтобы получить функции, принадлежащие неприводимым представлениям подгруппы, эти матрицы должны быть приведены. Числа и типы неприводимых компонент представления $\mathbf{D}^{(j)}(R)$ как представления подгруппы дают нам числа и типы собственных значениї, на которые может расщепиться рассматриваемое собственное значение.

Мы видим, что для характеристики собственных значений уравнения Шредингера существенным является знание неприводимых представлений симметрической группы из $n$ элементов и трехмерной группы вращений. Поэтому мы перейдем к определению 9тих представлений.
12. Во всей этой главе относительно операторов $P_{R}$ достаточно было предполагать, что они образуют группу и что они линейны и унитарны [например, не было использовано соотношение (11.22)]. Кроме того, было лишь предположено, что $\mathrm{P}_{R}$ преобразуют собственные функции, принадлежащие некоторому собственному значению оператора $H$, в собственные функции, принадлежащие тому же собственному значению. Фактически из этих предположений уже следуют уравнение преобразования (11.23) (которое мы использовали в качестве отправной точки соответствующего изложения) и то обстоятельство, что входящие в него коэффициенты образуют представление группы операторов $\mathrm{P}_{R}$.

Заметим здесь, что для операторов, играющих роль $P_{R}$ для собственных функций с учетом спина (они будут обозначаться через $\mathrm{O}_{R}$ ), соотношение (11.22) уже не имеет места. Более того, группа симметрии конфигурационного пространства не изоморфна группе этих операторов, а лишь гомоморфна. Тогда коэффициенты соотношения (11.23) будут образовывать представление группы операторов $O_{R}$, а не группы симметрии конфигурационного пространства. Все остальные теоремы этой главы, такие, как теорема об ортогональности собственных функций, принадлежащих различным неприводимым представлениям, остаются без изменений.