Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1. На ранней стадии развития квантовой механики основное внимание было уделено определению уровней энергии, вероятностей спонтанных переходов и т. д.; затем все большее внимание стало уделяться принципиальным вопросам и отысканию физического истолкования матриц, операторов и собственных функций. Такое истолкование дается статистической интерпретацией квантовой механики, в развитии которой существенную роль сыграли Борн, Дирак, Гейзенберг, Йордан и Паули. В то время как в классической механике для описания системы с $f$ степенями свободы необходимо $2 f$ чисел ( $f$ пространственных координат и $f$ импульсных координат), квантовая механика описывает состояние такой системы нормированной волновой функцией $\varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right)[(\varphi, \varphi)=1]$, аргументами которой являются пространственные координаты. Точно так же, как классическая теория определяет состояние $2 f$ произвольными числами, квантовая теория определяет состояние волновой бункцией, удовлетворяющей одному ограничению: Әто состояние может быть собственной функцией уравнения Шредингера или линейной комбинацией таких собственных функций. Таким образом, множество состояний гораздо обширнее в квантовой механике, чем в классической теории. Эволюция системы во времени определяется в классической механике уравнениями движения Ньютона, а в квантовой механике – зависящим от времени уравнением Шредингера где $\mathrm{H}$-гамильтониан. В простейшем случае $\mathrm{H}$ имеет вид В классической механике $2 f$ чисел, служащих для описания ссстояния, непосредственно дают координаты и скорости отдельных частиц, посредством которых можно без труда вычислить произвольные функции этих величин. В квантовой механике вопрос о положении частицы в общем случае не имеет смысла. Можно лишь говорить о вероятности, с которой частица может быть найдена в определенном месте. То же самое относится к импульсу и к функциям этих величин, как, например, энергии. Всем величинам, имеющим бизический смысл, соответствуют квантовомеханические әрмитовы операторы. Так, например, оператором, соответствующим координате $x_{k}$, является ${ }_{n}$ умножение на $x_{k}$ \”, оператором импульса является – $i \hbar\left(\partial / \partial x_{k}\right)$, оператором энергии, согласно (6.2), является Н ит. д. Последний оператор играет особую роль, поскольку он входит в зависящее от времени уравнение Шредингера. В общем случае эти операторы получаются путем замены в классическом выражении физической величины, как функции координат и импульсов, пространственных координат $x_{k}$ оператором „умножения на $x_{k}{ }^{\prime \prime}$, а импульсных координат $p_{k}$ оператором – $і$ і ( $\left.\partial / \partial x_{k}\right)$. Например, энергия классического гармонического осциллятора равна В квантовой механике она заменяется оператором Этот оператор имеет как раз вид (6.2). дает искомую вероятность. Если ф разложена по полной ортогональной системе собственных функций оператора G, т. е. и если то (6.3) показывает, что вероятность того, что в результате измерения будет получено значение $\lambda_{k}$, равна как раз квадрату абсолютного значения $\left|a_{k}\right|^{2}$ величины Конечно, сумма вероятностей всех возможных значений $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$, должна быть равна единице. Это значит, что То, что это дейтвительно имеет место, следует из нормировки функции $\varphi$ : Волновая функция $c \varphi(\mathrm{c}|c|=1)$ соответствует тому же состоянию, что и волновая функция ч; поэтому волновая функция определяется бизическим состоянием только с точностью до множителя с модулем единица. Все вероятности, вычисленные с помощью волновой функции $\varphi$, совпадают с вероятностями, найденными с помощью волновой функции $c \varphi$, как это непосредственно видно из соотношений Поскольку эти вероятности являются единственными физически реалыными характеристиками состояния, то состояния, описываемые этими двумя волновыми функциями, с физической точки зрения совпадают. Если одному и тому же собственному значению $\lambda_{k}$ принадлежат несколько линейно независимых собственных функций $\psi_{k 1}, \psi_{k 2}$, $\psi_{k 3}, \ldots$ (которые предполагаются взаимно ортогональными), то вероятность для $\lambda_{k}$ равна сумме квадратов коэффициентов разложения: Если в результате измерения некоторой величины мы нашли, что она имеет определенное значение, мы должны получить то же самое значение при достаточно быстром повторении измерения. В противном случае утверждение, которое делается на основании измерения, что рассматриваемая величина имеет то или иное значение, не имело бы смысла. Вероятность при повторном измерении, а также волновая функция, существующая только для вычисления вероятностей, меняются в течение измерения ${ }^{1}$ ). В самом деле, волновая функция после измерения, давшего собственное значение $\lambda_{k}$ для $\mathrm{G}$, должна быть собственной функцией оператора $\mathrm{G}$, принадлежащей к $\lambda_{k}$. Только в этом случае повторное измерение $\mathrm{G}$ даст наверняка снова значение $\lambda_{k}$. При измерении величины, изображаемой оператором $\mathrm{G}$, волновая функция возмущается и переходит в некоторую собственную функцию оператора G, в частности в $\psi_{k}$, если измерение имело результатом $\lambda_{k}$. В общем случае невозможно предсказать с достоверностью, какой именно собственной функцией оператора G станет волновая функция состояния системы; квантовая механика дает лишь вероятность $\left|\left(\psi_{k}, \varphi\right)\right|^{2}$ для определенной собственной функции $\psi_{k}$ и сойственного значения $\lambda_{k}$. Так как вероятность перехода волновой функции $\varphi$ в $\psi_{k}$ при измерении величины $\mathrm{G}$ может быть вычислена с помощью двух волновых функций $\varphi$ и $\psi_{k}$ выражением $\left|\left(\psi_{k}, \varphi\right)\right|^{2}$, С точки зрения вышеизложенного особенно важно заметить, что вероятность перехода имеет физический смысл и поэтому должна иметь одно и то же значение при двух эквивалентных описаниях одной и той же системы. и волновых функций где $\mathrm{U}$ – произвольный унитарный ${ }^{1}$ ) оператор. Прежде всего, собственные значения, определяющие возможные результаты измерений величин $\mathrm{G}$ и $\overline{\mathrm{G}}=\mathrm{UGU}^{-1}$, совпадают, так как собственные значения не меняются при преобразовании подобия. Если $\lambda_{k}$ есть некоторое собственное значение оператора $\mathrm{G}$, а $\psi_{k}$ – соответствующая собственная функция, то $\lambda_{k}$ также является собственным значением оператора $\overline{\mathrm{G}}=\mathrm{UGU}^{-1}$, а соответствующая собственная функция равна $\mathrm{U} \psi_{k}$. Чтобы показать это, заметим, что из $\mathrm{G} \psi_{k}=\lambda_{k} \psi_{k}$ следует, что Кроме того, вероятности этого собственного значения $\lambda_{k}$ для величины, соответствующей оператору G в первой „системе координат“ и оператору $\overline{\mathrm{G}}$ – во второй, равны для этих двух случаев. В первом случае эта вероятность равна Если $f$ и $g$ являются векторами, то $U$ есть матрица, и определение сводится к обычному (необходимому и достаточному) условию унитарности. что совпадает с выражением, полученным выше, в силу унитарности оператора $U$. Аналогично, вероятности перехода между парами соответствующих состояний $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ и $U \varphi_{1}, U \varphi_{2}$ также одинаковы в двух системах координат, так как из равенства следует Такой переход к другой системе координат путем преобразования подобия для операторов и одновременной замены волновой функции $\varphi$ на $\bigcup \varphi$ называется каноническим преобразовднием. Два описания, получающиеся одно из другого каноническим преобразованием, эквивалентны. Наоборот, в гл. 20 будет показано, что два квантовомеханических описания, которье эквивалентны друг другу, могут быть преобразованы друг в друга с помощью канонического преобразования (кроме случая, когда имеет место обращение времени, обсуждаемое в гл. 26). где $N=f / 3$ – число электронов, а $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}$ – их $x$-координаты. Согласно матричной теории, этот матричный элемент определяет вероятность перехода, вызванного излучением, поляризованным вдоль оси $x$, из стационарного состояния $\psi_{E}$ в стационарное состояние $\psi_{F}$. Индексы $E$ и $F$ обозначают энергии этих двух стационарных состояний: Понятие о переходах, вызванных излучением, не имеет ничего общего с переходами, вызванными измерением и обсуждавшимися выше. Последние возникают в силу логической структуры статистической интерпретации и приводят к несколько парадоксально ввучащей вероятности существования состояния $\varphi^{\prime}$, если состояние системы есть $\varphi$. Она является безразмерной величиной. Излагаемые В действительности, последнее утверждение не вполне справедливо, так как зависящее от времени уравнение Шредингера не может объяснить спонтанного излучения. Согласно этому уравнению, атомы стабильны в течение сколь угодно долгого времени даже в возбужденных состояниях (таких, как $\Psi_{F}$ ), потому что $\varphi=\psi_{F} \exp [-i(F / \hbar) t]$ является решением уравнения (6.1). Тем не менее уравнение Шредингера охватывает процесс поглощения (так же как и индуцированное излучение), так что мы должны получать правильные результаты, коль скоро спонтанное, излучение не играет существенной роли, т. е. до тех пор, пока атом находится почти полностью в основном состоянии $\psi_{E}$. Мы увидим позднее, что то же предположение понадобится для завершения вычислений; оно справедливо, если атом первоначально находился в наинизшем состоянии $\psi_{E}$, если рассмотрение ограничено сравнительно короткими промежутками времени и если интенсивность падающего света не является слишком большой (что трудно осуществимо на практике). Рассмотрим теперь процесс поглощения. Предположим, что в момент $t=0$ система находилась в состоянии $\varphi(0)=\psi_{E}$; затем состояние меняется согласно уравнению где член $\mathrm{H}_{0}$-гамильтониан в отсутствие падающего излучения, а $\mathrm{H}_{1}$ – дополнительный оператор, включающий излучение. Излучение является просто переменным электрическим полем Зависимостью напряженности поля от координат можно пренебречь в силу того, что размеры атома малы. Таким образом, потенциальная энергия в (6.2) должна быть заменена на если бы $P$ было равно нулю, видоизменяется дополнительным потенциалом, рассматриваемым как возмущение. Уравнение для $\varphi$ записывается в виде Чтобы решить это уравнение, разложим $\varphi$ по полной системе собственных функций оператора $\mathrm{H}_{0}$ : где коэффициенты $a_{E}, a_{F}, a_{Q}, \ldots$ не зависят от координат $x_{1}$, $x_{2}, \ldots, x_{N}$, а функции $\psi_{E}, \psi_{F}, \psi_{Q}, \ldots$ не зависят от времени. Тогда состояние может быть охарактеризовано коэффициентами разложения $a_{E}, a_{F}, a_{Q}, \ldots$, вместо волновой функции $\varphi$. Квадраты модулей этих величин, $\left|a_{E}\right|^{2},\left|a_{F}\right|^{2},\left|a_{Q}\right|^{2}, \ldots$ дают вероятности различных возбужденных состояний атома. Если атом не возбужден световой волной, эти вероятности не меняются во времени, и, поскольку вначале только $\left|a_{E}\right|^{2}=1$ было отличным от нуля, то же самое остается справедливым и все время. С другой стороны, если световая волна падает на атом, возбуждаются также более высокие состояния. Вычислим интенсивность такого возбуждения. Для этого предположим, что при $t=0$ и что частота света ш приближенно дается частотой, соответствующей энергии перехода, Если выражение (6.12) для $\varphi$ подставить в (6.11), получим дифференциальное уравнение для временно́й зависимости коэффициентов $a_{E}, a_{F}, a_{a}, \ldots$ Так как мы интересуемся возбуждением первого возбужденного состояния $\psi_{F}$, составим скалярное произведение этого уравнения на $\psi_{F}$; тогда в левой части остается лишь член с $a_{F}$ в силу ортогональности собственных функций оператора $\mathrm{H}_{0}$ [см. (4.12), (4.12a)], и мы получим где мы подставили (6.6): во втором члене в правой части (6.13). Поскольку этот член уже мал, подставим в него приближенную волновую функцию (6.10). Она в свою очередь получается при полном пренебрежении возмущением в правой части уравнения (6.13). Это дает Для интегрирования этого уравнения мы сделаем подстанөвку Тогда откуда, умножая на $\exp \left(i \frac{E}{\hbar} t\right)$ и интегрируя, получаем $i \hbar b(t)=\frac{i P e}{2} X_{F E}\left\{\frac{\exp \left[-i\left(\omega-\frac{F-E}{\hbar}\right) t\right]}{-i\left(\omega-\frac{F-E}{\hbar}\right)}-\right.$ Постоянная интегрирования определяется условием $b(0)=0$. Тогда выражение для $b(t)$ может быть разбито на две части: Если интенсивность света $P^{2}$ будет оставаться постоянной, а частота будет меняться, то первый член суммы (6.15) становится очень большим, когда энергия $ћ \omega$ приближенно равна $F-E$. Заметное возбуждение происходит вообще только тогда, когда это условие соблюдено. Это объясняет условие частот Бора: частота света, осуществляющего заданный переход из состояния с энергией $E$ в состояние с энергией $F$, должна удовлетворять условйю (6.Е.1); а именно, $\hbar \omega \approx(F-E)$. В силу этого условия в дальнейем можно пренебречь вторым членом выражения (6.15) по сравнению с первым. Для вероятности $\left|a_{F}(t)\right|^{2}=|b(t)|^{2}$ состояния $F$ теперь получаем где $\omega$ пробегает все частоты падающего света, а $P_{\omega}$-амплитуда колебания с частотой $\omega$. Если часто́ты падающего излучения плотно группируются в малой области, симметричной относительно ( $F-E) / \hbar=\omega$ и ограниченной, например, частотой $\omega_{2}$ сверху и $\omega_{1}$ снизу, то можно написать, что $P_{\omega}^{2}=4 J d \omega$, где $J$ – интенсивность (плотность энергии) света на единичный интервал частоты $\omega / 2 \pi$, а $d \omega$ – бесконечно малый интервал частоты $\omega$. Тогда (6.16) становится интегралом. приводится к виду Тогда новые пределы интегрирования будут равны Однако, поскольку подынтегральное выражение в (6.16б) дает наибольший вклад в узкой области около $x=0$, интегрирование может быть распространено на интервал от – до $+\infty$. Вероятность состояния с энергией $F$ тогда приобретает вид Распространение области интегрирования на бесконечный интервал законно только в том случае, если $x_{1}$ и $x_{2}$ велики, откуда, согласно (6.Е.2), следует, что падающий свет должен покрывать область частот с обеих сторон от $\omega=(F-E) / \hbar$, большу́ю по сравнению с $1 / t$. С другой стороны, наш расчет может считаться справедливым только для времен, малых по сравнению со временем жизни $\tau$ состояния $F$. Это значит, что ширина линии падающего света должна быть, по предположению, велика по сравнению с „естественной шириной“ $\hbar / \boldsymbol{\varepsilon}$. Вероятность того, что атом окажется в состоянии с энергией $F$, пропорциональна, согласно (6.17), интенсивности падающего света, квадрату матричного элемента $\left|X_{F E}\right|^{2}$ – что подтверждает предсказание матричной механики – и длительности $t$ световой волны, как и следовало ожидать. Замечаем снова, что (6.17) справедливо лишь для времен, коротких по сравнению со временем жизни возбужденного состояния и длинных по сравнению с величиной, обратной ширине полосы частот падающего света. Несмотря на это и на свою приближенность, соотношение (6.17) дает прекрасное подтверждение предположения, что $\left|a_{F}\right|^{2}$ является интенсивностью возбуждения состояния с энергией $F$. Вместе с понятием о волновых пакетах в конфигурационном пространстве, это выражение образует исключитель’ сильную основу для статистической интерпретации квантовой механики. Кроме того, (6.17) пропорциональна вероятности перехода, вызванного светом, поляризованным вдоль оси $x$, из стационарного состояния $\psi_{E}$ в стационарное состояние $\psi_{F}$. Эти результаты, которые были также получены при значительно более общих предположениях, чем рассмотренных здесь, образуют основу для вычисления интенсивностей (или отношений интенсивностей) спектральных линий.
|
1 |
Оглавление
|