1. На ранней стадии развития квантовой механики основное внимание было уделено определению уровней энергии, вероятностей спонтанных переходов и т. д.; затем все большее внимание стало уделяться принципиальным вопросам и отысканию физического истолкования матриц, операторов и собственных функций. Такое истолкование дается статистической интерпретацией квантовой механики, в развитии которой существенную роль сыграли Борн, Дирак, Гейзенберг, Йордан и Паули.

В то время как в классической механике для описания системы с $f$ степенями свободы необходимо $2 f$ чисел ( $f$ пространственных координат и $f$ импульсных координат), квантовая механика описывает состояние такой системы нормированной волновой функцией $\varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right)[(\varphi, \varphi)=1]$, аргументами которой являются пространственные координаты. Точно так же, как классическая теория определяет состояние $2 f$ произвольными числами, квантовая теория определяет состояние волновой бункцией, удовлетворяющей одному ограничению:
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int\left|\varphi\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{f}\right)\right|^{2} d x_{1} \ldots d x_{f}=1 .
\]

Әто состояние может быть собственной функцией уравнения Шредингера или линейной комбинацией таких собственных функций. Таким образом, множество состояний гораздо обширнее в квантовой механике, чем в классической теории.

Эволюция системы во времени определяется в классической механике уравнениями движения Ньютона, а в квантовой механике — зависящим от времени уравнением Шредингера
\[
\text { iћ } \frac{\partial \varphi}{\partial t}=\mathrm{H} \varphi \text {. }
\]

где $\mathrm{H}$-гамильтониан. В простейшем случае $\mathrm{H}$ имеет вид
\[
\mathrm{H}=-\sum_{k=1}^{f} \frac{\hbar^{2}}{2 m_{k}} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}^{2}}+V\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right) .
\]
Разумеется, точное определение оператора $\mathrm{H}$ является наиболее важной задачей квантовой механики.

В классической механике $2 f$ чисел, служащих для описания ссстояния, непосредственно дают координаты и скорости отдельных частиц, посредством которых можно без труда вычислить произвольные функции этих величин. В квантовой механике вопрос о положении частицы в общем случае не имеет смысла. Можно лишь говорить о вероятности, с которой частица может быть найдена в определенном месте. То же самое относится к импульсу и к функциям этих величин, как, например, энергии.

Всем величинам, имеющим бизический смысл, соответствуют квантовомеханические әрмитовы операторы. Так, например, оператором, соответствующим координате $x_{k}$, является ${ }_{n}$ умножение на $x_{k}$ \», оператором импульса является — $i \hbar\left(\partial / \partial x_{k}\right)$, оператором энергии, согласно (6.2), является Н ит. д. Последний оператор играет особую роль, поскольку он входит в зависящее от времени уравнение Шредингера.

В общем случае эти операторы получаются путем замены в классическом выражении физической величины, как функции координат и импульсов, пространственных координат $x_{k}$ оператором „умножения на $x_{k}{ }^{\prime \prime}$, а импульсных координат $p_{k}$ оператором — $і$ і ( $\left.\partial / \partial x_{k}\right)$. Например, энергия классического гармонического осциллятора равна
\[
\frac{1}{2 m}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)+\frac{K}{2}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right) .
\]

В квантовой механике она заменяется оператором
\[
-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{3}^{2}}\right)+\frac{K}{2}\left(x_{1} \cdot x_{1}+x_{2} \cdot x_{2}+x_{3} \cdot x_{3}\right) .
\]

Этот оператор имеет как раз вид (6.2).
Измерение некоторой величины (координаты, энергии) может в общем случае дать только такое значение, которое является собственным значением соответствующего оператора. Так, например, возможными уровнями энергии являются собственные значения оператора $\mathrm{H}$. Какова вероятность того, что величина, представляемая оператором $\mathrm{G}$, имеет значение $\lambda_{k}$, если система находится в состоянии $\varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{f}\right)$ ? Эта вероятность равна нулю, если $\lambda_{k}$ не является собственным значением оператора G; с другой стороны, если $\lambda_{k}$ есть собственное значение и если $\psi_{k}$ есть соответствующая нормированная собственная функция, то
\[
\left|\left(\varphi, \psi_{k}\right)\right|^{2}=\left|\left(\psi_{k}, \varphi\right)\right|^{2}
\]

дает искомую вероятность.
Согласно статистической интерпретации, могут быть вычислены только вероятности возможных исходов измерений; результат измерения или опыта в общем случае не может быть предсказан с достоверностью.

Если ф разложена по полной ортогональной системе собственных функций оператора G, т. е.
\[
\varphi=a_{1} \psi_{1}+a_{2} \psi_{2}+\ldots,
\]

и если
\[
\mathrm{G} \psi_{k}=\lambda_{k} \psi_{k},
\]

то (6.3) показывает, что вероятность того, что в результате измерения будет получено значение $\lambda_{k}$, равна как раз квадрату абсолютного значения $\left|a_{k}\right|^{2}$ величины
\[
\left(\psi_{k}, \varphi\right)=a_{k} .
\]

Конечно, сумма вероятностей всех возможных значений $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$, должна быть равна единице. Это значит, что
\[
\left|a_{1}\right|^{2}+\left|a_{2}\right|^{2}+\ldots=1 .
\]

То, что это дейтвительно имеет место, следует из нормировки функции $\varphi$ :
\[
\begin{aligned}
(\varphi, \varphi) & =\left(\sum_{k} a_{k} \psi_{k}, \sum_{l} a_{l} \psi_{l}\right)=\sum_{k, l} a_{k}^{*} a_{l}\left(\psi_{k}, \psi_{l}\right)= \\
& =\sum_{k, l} a_{k}^{*} a_{l} \delta_{k l}=\sum_{k}\left|a_{k}\right|^{2}=1 .
\end{aligned}
\]

Волновая функция $c \varphi(\mathrm{c}|c|=1)$ соответствует тому же состоянию, что и волновая функция ч; поэтому волновая функция определяется бизическим состоянием только с точностью до множителя с модулем единица. Все вероятности, вычисленные с помощью волновой функции $\varphi$, совпадают с вероятностями, найденными с помощью волновой функции $c \varphi$, как это непосредственно видно из соотношений
\[
\left|\left(\psi_{k}, c \varphi\right)\right|^{2}=\left|c\left(\psi_{k}, \varphi\right)\right|^{2}=|c|^{2}\left|\left(\psi_{k}, \varphi\right)\right|^{2}=\left|\left(\psi_{k}, \varphi\right)\right|^{2} .
\]

Поскольку эти вероятности являются единственными физически реалыными характеристиками состояния, то состояния, описываемые этими двумя волновыми функциями, с физической точки зрения совпадают.

Если одному и тому же собственному значению $\lambda_{k}$ принадлежат несколько линейно независимых собственных функций $\psi_{k 1}, \psi_{k 2}$, $\psi_{k 3}, \ldots$ (которые предполагаются взаимно ортогональными), то вероятность для $\lambda_{k}$ равна сумме квадратов коэффициентов разложения:
\[
\left|\left(\psi_{k 1}, \varphi\right)\right|^{2}+\left|\left(\psi_{k 2}, \varphi\right)\right|^{2}+\left|\left(\psi_{k 3}, \varphi\right)\right|^{2}+\ldots
\]
Предшествующее обсуждение относится только к вероятностям дискретных собственных значений. Вероятность вполне определенного собственного значения непрерывного спектра всегда равна нулю, поскольку в непрерывном спектре только конечные области могут иметь конечные вероятности. Если рассматриваемая область достаточно мала, эта вероятность равна квадрату абсолютной величины коэффициента разложения нормированного собственного дифференциала, принадлежащего к этой области.
2. Только в одном случае выражение для вероятности, вычисленное с помощью квантовой механики, вырождается во вполне определенное утверждение; это тот случай, когда волновая функция состояния $\varphi$ является собственной функцией оператора $\mathrm{G}$, соответствующего измеряемой физической величине, так что $\mathrm{G}_{\rho}=\lambda_{k} \varphi$. Тогда $\varphi$ ортогональна всем собственным функциям оператора $\mathrm{G}$, не принадлежащим $\lambda_{k}$, и вероятность этих собственных значений равна нулю. Поэтому вероятность для $\lambda_{k}$ равна 1. В этом случае измерение дает значение $\lambda_{k}$ с достоверностью.

Если в результате измерения некоторой величины мы нашли, что она имеет определенное значение, мы должны получить то же самое значение при достаточно быстром повторении измерения. В противном случае утверждение, которое делается на основании измерения, что рассматриваемая величина имеет то или иное значение, не имело бы смысла. Вероятность при повторном измерении, а также волновая функция, существующая только для вычисления вероятностей, меняются в течение измерения ${ }^{1}$ ). В самом деле, волновая функция после измерения, давшего собственное значение $\lambda_{k}$ для $\mathrm{G}$, должна быть собственной функцией оператора $\mathrm{G}$, принадлежащей к $\lambda_{k}$. Только в этом случае повторное измерение $\mathrm{G}$ даст наверняка снова значение $\lambda_{k}$. При измерении величины, изображаемой оператором $\mathrm{G}$, волновая функция возмущается и переходит в некоторую собственную функцию оператора G, в частности в $\psi_{k}$, если измерение имело результатом $\lambda_{k}$.

В общем случае невозможно предсказать с достоверностью, какой именно собственной функцией оператора G станет волновая функция состояния системы; квантовая механика дает лишь вероятность $\left|\left(\psi_{k}, \varphi\right)\right|^{2}$ для определенной собственной функции $\psi_{k}$ и сойственного значения $\lambda_{k}$. Так как вероятность перехода волновой функции $\varphi$ в $\psi_{k}$ при измерении величины $\mathrm{G}$ может быть вычислена с помощью двух волновых функций $\varphi$ и $\psi_{k}$ выражением $\left|\left(\psi_{k}, \varphi\right)\right|^{2}$,
1) Таким образом, волновая функция меняется двояким, существенно различным образом. Во-первых, она непрерывно меняется со временем, согласно дифференциальному уравнению (6.1), и, во-вторых, — скачком во время измерений, производимых над системой в определенные моменты времени, согласно заколам теории вероятностей (см. последующее обсуждение).
эту величину называют вероятностью перехода из состояния $\varphi$ в состояние $\psi_{k}$. Если известна вероятность перехода волновой функции во всякую функцию, то тем самым задана вероятность всех мыслимых опытов.

С точки зрения вышеизложенного особенно важно заметить, что вероятность перехода имеет физический смысл и поэтому должна иметь одно и то же значение при двух эквивалентных описаниях одной и той же системы.
3. Переход к новой \»системе координат\». Пусть G, G’, $\mathrm{G}^{\prime \prime}$… — операторы, соответствующие различным физическим величинам, как энергии, импульсу, координате и т. д., а $\varphi_{1}$, $\varphi_{2}, \ldots$ — волновые функции различных состояний. Тогда те же самые результаты, которые получаются с помощью этой системы операторов и волновых функции, можно получить с помощью системы операторов
\[
\overline{\mathrm{G}}=\mathrm{UGU}^{-1}, \quad \overline{\mathrm{G}}^{\prime}=\mathrm{UG}^{\prime} \mathrm{U}^{-1}, \quad \overline{\mathrm{G}}^{\prime \prime}=\mathrm{UG}^{\prime \prime} \mathrm{U}^{-1}, \ldots
\]

и волновых функций
\[
\bar{\varphi}_{1}=U \varphi_{1}, \quad \bar{\varphi}_{2}=U \varphi_{2}, \quad \bar{\varphi}_{3}=U \varphi_{3}, \ldots,
\]

где $\mathrm{U}$ — произвольный унитарный ${ }^{1}$ ) оператор. Прежде всего, собственные значения, определяющие возможные результаты измерений величин $\mathrm{G}$ и $\overline{\mathrm{G}}=\mathrm{UGU}^{-1}$, совпадают, так как собственные значения не меняются при преобразовании подобия. Если $\lambda_{k}$ есть некоторое собственное значение оператора $\mathrm{G}$, а $\psi_{k}$ — соответствующая собственная функция, то $\lambda_{k}$ также является собственным значением оператора $\overline{\mathrm{G}}=\mathrm{UGU}^{-1}$, а соответствующая собственная функция равна $\mathrm{U} \psi_{k}$. Чтобы показать это, заметим, что из $\mathrm{G} \psi_{k}=\lambda_{k} \psi_{k}$ следует, что
\[
\overline{\mathrm{G}} \psi_{k}=\mathrm{UGU} \mathrm{U}^{-1} \mathrm{U} \psi_{k}=\mathrm{UG} \psi_{k}=\mathrm{U} \lambda_{k} \psi_{k}=\lambda_{k} \mathrm{U} \psi_{k} .
\]

Кроме того, вероятности этого собственного значения $\lambda_{k}$ для величины, соответствующей оператору G в первой „системе координат“ и оператору $\overline{\mathrm{G}}$ — во второй, равны для этих двух случаев. В первом случае эта вероятность равна
\[
\left|\left(\psi_{k}, \varphi\right)\right|^{2} \text {. }
\]
1) Унитарность оператора $U$ определяется аналогично определению эрмитовости: требуется, чтобы для двух произвольных функций $f$ и $g$
\[
(f, g)=(\mathrm{U} f, \cup g) .
\]

Если $f$ и $g$ являются векторами, то $U$ есть матрица, и определение сводится к обычному (необходимому и достаточному) условию унитарности.
Во втором случае $\varphi$ заменяется на $U \varphi$, а $\psi_{k}$ — на собственную функцию оператора $\overline{\mathrm{G}}$, соответствующую $\lambda_{k}$, т. е. функцию $\mathrm{U} \psi_{k}$. Таким образом, для вероятности во второй „системе координат“ получаем
\[
\left|\left(U \psi_{k}, U \varphi\right)\right|^{2},
\]

что совпадает с выражением, полученным выше, в силу унитарности оператора $U$. Аналогично, вероятности перехода между парами соответствующих состояний $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ и $U \varphi_{1}, U \varphi_{2}$ также одинаковы в двух системах координат, так как из равенства

следует
\[
\begin{array}{c}
\left(U \varphi_{1}, U \varphi_{2}\right)=\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right) \\
\left|\left(U \varphi_{1}, U \varphi_{2}\right)\right|^{2}=\left|\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)\right|^{2} .
\end{array}
\]

Такой переход к другой системе координат путем преобразования подобия для операторов и одновременной замены волновой функции $\varphi$ на $\bigcup \varphi$ называется каноническим преобразовднием. Два описания, получающиеся одно из другого каноническим преобразованием, эквивалентны. Наоборот, в гл. 20 будет показано, что два квантовомеханических описания, которье эквивалентны друг другу, могут быть преобразованы друг в друга с помощью канонического преобразования (кроме случая, когда имеет место обращение времени, обсуждаемое в гл. 26).
4. Применение теории преобразований и статистической интерпретации мы проследим на одном примере. Возьмем для этой цели доказательство Шредингером физического значения квадрата абсслютной величины матричного элемента
\[
\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{N}\right)_{F E}=\left(\psi_{F},\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{N}\right) \psi_{E}\right)=X_{F E^{\prime}}
\]

где $N=f / 3$ — число электронов, а $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}$ — их $x$-координаты. Согласно матричной теории, этот матричный элемент определяет вероятность перехода, вызванного излучением, поляризованным вдоль оси $x$, из стационарного состояния $\psi_{E}$ в стационарное состояние $\psi_{F}$. Индексы $E$ и $F$ обозначают энергии этих двух стационарных состояний:
\[
H \psi_{E}=E \psi_{E}, \quad H \psi_{F}=F \psi_{F} .
\]

Понятие о переходах, вызванных излучением, не имеет ничего общего с переходами, вызванными измерением и обсуждавшимися выше. Последние возникают в силу логической структуры статистической интерпретации и приводят к несколько парадоксально ввучащей вероятности существования состояния $\varphi^{\prime}$, если состояние системы есть $\varphi$. Она является безразмерной величиной. Излагаемые
здесь соображения дадут вероятность того, что в течение последующей секунды атом претерпит переход из состояния $\psi_{E}$ в состояние $\psi_{F}$ путем поглощения светового кванта с энергией $\hbar \omega=F-E$. Эта вероятность имеет размерность, обратную времени, и имеет смысл только для переходов между двумя стационарными состояниями (собственными функциями гамильтониана $\mathrm{H}$ ), в то время как первая была определена для произвольных состояний $\varphi$ и $\varphi^{\prime}$. Поскольку вероятность индуцированного перехода относится к процессу, развивающемуся во времени, она должна подчиняться зависящему от времени уравнению Шредингера.

В действительности, последнее утверждение не вполне справедливо, так как зависящее от времени уравнение Шредингера не может объяснить спонтанного излучения. Согласно этому уравнению, атомы стабильны в течение сколь угодно долгого времени даже в возбужденных состояниях (таких, как $\Psi_{F}$ ), потому что $\varphi=\psi_{F} \exp [-i(F / \hbar) t]$ является решением уравнения (6.1). Тем не менее уравнение Шредингера охватывает процесс поглощения (так же как и индуцированное излучение), так что мы должны получать правильные результаты, коль скоро спонтанное, излучение не играет существенной роли, т. е. до тех пор, пока атом находится почти полностью в основном состоянии $\psi_{E}$. Мы увидим позднее, что то же предположение понадобится для завершения вычислений; оно справедливо, если атом первоначально находился в наинизшем состоянии $\psi_{E}$, если рассмотрение ограничено сравнительно короткими промежутками времени и если интенсивность падающего света не является слишком большой (что трудно осуществимо на практике).

Рассмотрим теперь процесс поглощения. Предположим, что в момент $t=0$ система находилась в состоянии $\varphi(0)=\psi_{E}$; затем состояние меняется согласно уравнению
\[
i \hbar \frac{\partial \varphi}{\partial t}=H \varphi=\left(H_{0}+H_{1}\right) \varphi .
\]

где член $\mathrm{H}_{0}$-гамильтониан в отсутствие падающего излучения, а $\mathrm{H}_{1}$ — дополнительный оператор, включающий излучение. Излучение является просто переменным электрическим полем
\[
\mathscr{E}_{x}=P \sin \omega t, \quad \mathscr{g}_{y}=0, \quad \mathscr{g}_{z}=0 .
\]

Зависимостью напряженности поля от координат можно пренебречь в силу того, что размеры атома малы. Таким образом, потенциальная энергия в (6.2) должна быть заменена на
\[
V+H_{1}=V+e\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{N}\right)^{P} \sin \omega t .
\]
Зависимость волновой функции от времени, которая имела бы вид
\[
\varphi=\psi_{E} \exp \left(-i \frac{E}{\hbar} t\right)
\]

если бы $P$ было равно нулю, видоизменяется дополнительным потенциалом, рассматриваемым как возмущение. Уравнение для $\varphi$ записывается в виде
\[
i \hbar \frac{\partial \varphi}{\partial t}=\mathrm{H}_{0} \varphi+(e P \sin \omega t)\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{N}\right) \varphi .
\]

Чтобы решить это уравнение, разложим $\varphi$ по полной системе собственных функций оператора $\mathrm{H}_{0}$ :
\[
\varphi(t)=a_{E}(t) \psi_{E}+a_{F}(t) \psi_{F}+a_{G}(t) \psi_{G}+\ldots .
\]

где коэффициенты $a_{E}, a_{F}, a_{Q}, \ldots$ не зависят от координат $x_{1}$, $x_{2}, \ldots, x_{N}$, а функции $\psi_{E}, \psi_{F}, \psi_{Q}, \ldots$ не зависят от времени. Тогда состояние может быть охарактеризовано коэффициентами разложения $a_{E}, a_{F}, a_{Q}, \ldots$, вместо волновой функции $\varphi$.

Квадраты модулей этих величин, $\left|a_{E}\right|^{2},\left|a_{F}\right|^{2},\left|a_{Q}\right|^{2}, \ldots$ дают вероятности различных возбужденных состояний атома. Если атом не возбужден световой волной, эти вероятности не меняются во времени, и, поскольку вначале только $\left|a_{E}\right|^{2}=1$ было отличным от нуля, то же самое остается справедливым и все время. С другой стороны, если световая волна падает на атом, возбуждаются также более высокие состояния. Вычислим интенсивность такого возбуждения. Для этого предположим, что при $t=0$
\[
a_{E}(0)=1, \quad a_{F}(0)=0, \quad a_{G}(0)=0, \ldots
\]

и что частота света ш приближенно дается частотой, соответствующей энергии перехода,
\[
F-E=\hbar \omega .
\]

Если выражение (6.12) для $\varphi$ подставить в (6.11), получим дифференциальное уравнение для временно́й зависимости коэффициентов $a_{E}, a_{F}, a_{a}, \ldots$ Так как мы интересуемся возбуждением первого возбужденного состояния $\psi_{F}$, составим скалярное произведение этого уравнения на $\psi_{F}$; тогда в левой части остается лишь член с $a_{F}$ в силу ортогональности собственных функций оператора $\mathrm{H}_{0}$ [см. (4.12), (4.12a)], и мы получим
\[
i \hbar \frac{\partial a_{F}(t)}{\partial t}=F a_{F}+(P e \sin \omega t)\left(X_{F E} a_{E}+X_{F F} a_{F}+X_{F G} a_{G}+\ldots\right) \text {, }
\]

где мы подставили (6.6):
\[
\left(\psi_{F},\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{N}\right) \psi_{E}\right)=X_{F E^{*}}
\]
Два члена в правой части (6.13) имеют совершенно различный порядок величины. Энергия $E$ имеет порядок величины в несколько электронвольт. С другой стороны, лишь в очень интенсивном луче монохроматического света амплитуда электрического вектора $P$ достигает величины $10^{-2}$ в/см. Матричные элементы величины $\mathbf{X}$ равны примерно $10^{-8} \mathrm{~cm}$, так что $P e \mathbf{X} \approx 10^{-10}$ в. Поэтому мы можем написать
\[
a_{E}=\exp \left(-t \frac{E}{\hbar} t\right), \quad a_{F}=0, \quad a_{Q}=0, \ldots
\]

во втором члене в правой части (6.13). Поскольку этот член уже мал, подставим в него приближенную волновую функцию (6.10). Она в свою очередь получается при полном пренебрежении возмущением в правой части уравнения (6.13). Это дает
\[
i \hbar \frac{\partial a_{F}(t)}{\partial t}=F a_{F}(t)+P \mathrm{e} X_{F E} \sin \omega t \exp \left(-l \frac{E}{\hbar} t\right) .
\]

Для интегрирования этого уравнения мы сделаем подстанөвку
\[
a_{F}(t)=b(t) \exp \left(-i \frac{F}{\hbar} t\right) .
\]

Тогда
\[
\begin{array}{l}
\exp \left(-i \frac{E}{\hbar} t\right) i \hbar \frac{\partial b(t)}{\partial t}= \\
\quad=\frac{i P e}{2} X_{F E}\left\{\exp \left[-i\left(\frac{E}{\hbar}+\omega\right) t\right]-\exp \left[-i\left(\frac{E}{\hbar}-\omega\right) t\right]\right\},
\end{array}
\]

откуда, умножая на $\exp \left(i \frac{E}{\hbar} t\right)$ и интегрируя, получаем $i \hbar b(t)=\frac{i P e}{2} X_{F E}\left\{\frac{\exp \left[-i\left(\omega-\frac{F-E}{\hbar}\right) t\right]}{-i\left(\omega-\frac{F-E}{\hbar}\right)}-\right.$
\[
\left.-\frac{\exp \left[-i\left(-\omega-\frac{F-E}{\hbar}\right) t\right]}{-i\left(-\omega-\frac{F-E}{\hbar}\right)}+C\right\} \text {. }
\]

Постоянная интегрирования определяется условием $b(0)=0$. Тогда выражение для $b(t)$ может быть разбито на две части:
\[
\begin{array}{l}
b(t)=\frac{i P e}{2} X_{F E}\left\{\frac{\exp \left[-i\left(\omega-\frac{F-E}{\hbar}\right) t\right]-1}{\hbar \omega-F+E}+\right. \\
\left.+\frac{\exp \left[-i\left(-\omega-\frac{F-E}{h}\right) t\right]-1}{h \omega+F-E}\right\} \text {. } \\
\end{array}
\]
Это выражение денствительно обращается в нуль при $t=0$, как и следовало ожидать; мы видим также, что $b(t)$ является суммой двух периодических функций.

Если интенсивность света $P^{2}$ будет оставаться постоянной, а частота будет меняться, то первый член суммы (6.15) становится очень большим, когда энергия $ћ \omega$ приближенно равна $F-E$. Заметное возбуждение происходит вообще только тогда, когда это условие соблюдено. Это объясняет условие частот Бора: частота света, осуществляющего заданный переход из состояния с энергией $E$ в состояние с энергией $F$, должна удовлетворять условйю (6.Е.1); а именно, $\hbar \omega \approx(F-E)$.

В силу этого условия в дальнейем можно пренебречь вторым членом выражения (6.15) по сравнению с первым. Для вероятности $\left|a_{F}(t)\right|^{2}=|b(t)|^{2}$ состояния $F$ теперь получаем
\[
|b(t)|^{2}=\frac{P^{2} e^{2}}{2}\left|X_{F E}\right|^{2} \frac{1-\cos \left(\omega-\frac{F-E}{\hbar}\right) t}{(\hbar \omega-F+E)^{2}} .
\]
5. До сих пор мы предполагали, что световая волна, падающая на атом в момент $t=0$, имеет чисто синусоидальную форму. В действительности свет состоит обычно из суперпозиции синусоидальных волн с частотами, покрывающими интервал, примерно симметричный вокруг $\omega=(F-E) / \hbar$ и со случайно распределенными фазами. Ввиду случайности фаз можно предположить, что действие этих накладывающихся друг на друга волн складывается; тогда полная вероятность того, что в момент времени $t$ атом окажется в состоянии $F$, равна
\[
|b(t)|^{2}=\sum_{\omega}\left|X_{F E}\right|^{2} \frac{P_{\omega}^{2} e^{2}}{2} \cdot \frac{1-\cos \left(\omega-\frac{F-E}{\hbar}\right) t}{(\hbar \omega-F+E)^{2}},
\]

где $\omega$ пробегает все частоты падающего света, а $P_{\omega}$-амплитуда колебания с частотой $\omega$.

Если часто́ты падающего излучения плотно группируются в малой области, симметричной относительно ( $F-E) / \hbar=\omega$ и ограниченной, например, частотой $\omega_{2}$ сверху и $\omega_{1}$ снизу, то можно написать, что $P_{\omega}^{2}=4 J d \omega$, где $J$ — интенсивность (плотность энергии) света на единичный интервал частоты $\omega / 2 \pi$, а $d \omega$ — бесконечно малый интервал частоты $\omega$. Тогда (6.16) становится интегралом.
\[
|b(t)|^{2}=2 e^{2} J\left|X_{F E}\right|^{2} \int_{\omega_{1}}^{\omega_{2}} \frac{1-\cos \left(\omega-\frac{F-E}{\hbar}\right) t}{(\hbar \omega-F+E)^{2}} d \omega,
\]
который после введения новой переменной интегрирования
\[
x=t\left(\omega-\frac{F-E}{\hbar}\right)
\]

приводится к виду
\[
|b(t)|^{2}=\frac{2}{\hbar^{2}} e^{2} J t\left|X_{F E}\right|^{2} \int_{x_{1}}^{x_{3}} \frac{1-\cos x}{x^{2}} d x .
\]

Тогда новые пределы интегрирования будут равны
\[
x_{1}=t\left(\omega_{1}-\frac{F-E}{\hbar}\right), \quad x_{2}=t\left(\omega_{2}-\frac{F-E}{\hbar}\right) .
\]

Однако, поскольку подынтегральное выражение в (6.16б) дает наибольший вклад в узкой области около $x=0$, интегрирование может быть распространено на интервал от — до $+\infty$. Вероятность состояния с энергией $F$ тогда приобретает вид
\[
|b(t)|^{2}=\frac{2 \pi e^{2} J t}{\hbar^{2}}\left|X_{F E}\right|^{2} .
\]

Распространение области интегрирования на бесконечный интервал законно только в том случае, если $x_{1}$ и $x_{2}$ велики, откуда, согласно (6.Е.2), следует, что падающий свет должен покрывать область частот с обеих сторон от $\omega=(F-E) / \hbar$, большу́ю по сравнению с $1 / t$. С другой стороны, наш расчет может считаться справедливым только для времен, малых по сравнению со временем жизни $\tau$ состояния $F$. Это значит, что ширина линии падающего света должна быть, по предположению, велика по сравнению с „естественной шириной“ $\hbar / \boldsymbol{\varepsilon}$.

Вероятность того, что атом окажется в состоянии с энергией $F$, пропорциональна, согласно (6.17), интенсивности падающего света, квадрату матричного элемента $\left|X_{F E}\right|^{2}$ — что подтверждает предсказание матричной механики — и длительности $t$ световой волны, как и следовало ожидать. Замечаем снова, что (6.17) справедливо лишь для времен, коротких по сравнению со временем жизни возбужденного состояния и длинных по сравнению с величиной, обратной ширине полосы частот падающего света.

Несмотря на это и на свою приближенность, соотношение (6.17) дает прекрасное подтверждение предположения, что $\left|a_{F}\right|^{2}$ является интенсивностью возбуждения состояния с энергией $F$. Вместе с понятием о волновых пакетах в конфигурационном пространстве, это выражение образует исключитель’ сильную основу для статистической интерпретации квантовой механики. Кроме того, (6.17)
также показывает, что величина
\[
\left|X_{F E}\right|^{2}=\left|\left(\psi_{F},\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{N}\right) \psi_{E}\right)\right|^{2}
\]

пропорциональна вероятности перехода, вызванного светом, поляризованным вдоль оси $x$, из стационарного состояния $\psi_{E}$ в стационарное состояние $\psi_{F}$. Эти результаты, которые были также получены при значительно более общих предположениях, чем рассмотренных здесь, образуют основу для вычисления интенсивностей (или отношений интенсивностей) спектральных линий.