Правила отбора, правила интенсивностей и правила интервалов в теории, включающей спин, можно разделить на два класса. Правила первого класса (правила 1-4, см. ниже) следуют из соображений симметрии без каких бы то ни было предположений относительно величины спиновых сил. Эти правила как по содержанию, так и по обоснованию весьма сходны с правилами простой (бесспиновой) теории (см. гл. 18), которые связаны с инвариантностью оператора энергии относительно вращений и отражений. Для вывода правил второго класса (правила 5–7, см. ниже) одной лишь изотропности пространства недостаточно; чтобы вывести их, следует также предположить, что спиновые силы малы по сравнению с электростатическими силами простой теории, так что собственные функции и собственные значения простой теории существенно не меняются при введении спина в оператор Гамильтона.
1. Правило отбора для квантового числа полного момента совпадает с правилом отбора для̀ орбитального квантового числа в простой теории. При переходе, связанном с дипольным излучением, $J$ меняется на $\pm 1$ или 0 с дополнительным ограничением, что переходы между уровнями с $J=0$ запрещены. Для дипольного излучения характерны матричные элементы векторных операторов (умножение на $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}$ и т. д.), а эти магричные элементы исчезают, если вышеупомянутые условия не выполнены.

Далее, правило отбора для четности (правило Лапорта) остается в силе, так как оператор $\mathrm{O}_{I}$ совпадает с оператором $\mathrm{P}_{I}$ простой теории Шредингера. Все матричные элементы
\[
\left(\Psi_{F}, \mathrm{~V}_{x} \Psi_{E}\right), \quad\left(\Psi_{F}, \mathrm{~V}_{y} \Psi_{E}\right), \quad\left(\Psi_{F}, \mathrm{~V}_{z} \Psi_{E}\right)
\]

любого полярного векторного оператора обращаются в нуль, если четности $w_{F}$ и $w_{E}$ состояний $\Psi_{F}$ и $\Psi_{E}$ одинаковы. При инверсии осей полярный вектор сохраняет свое направление, так что его компоненты меняют знак, т. е.
\[
\mathrm{O}_{I} \mathrm{~V}_{x} \mathrm{O}_{I}^{-1}=-\mathrm{V}_{x} .
\]
Так как $\mathrm{O}_{I} \Psi_{F}=w_{F} \Psi_{F}$ и $\mathrm{O}_{I} \Psi_{E}=w_{E} \Psi_{E}$, из унитарности операторов $\mathrm{O}_{I}$ следует, что
\[
\left(\Psi_{F}, \mathrm{~V}_{x} \Psi_{E}\right)=\left(\mathrm{O}_{I} \Psi_{F}, \mathrm{O}_{I} \mathrm{~V}_{x} \mathrm{O}_{I}^{-1} \cdot \mathrm{O}_{I} \Psi_{E}\right)=-w_{F} w_{E}\left(\Psi_{F}, \mathrm{~V}_{x} \Psi_{E}\right)
\]

Таким образом, матричные элементы (23.1) должны обращаться в нуль, если $\Psi_{F}$ и $\Psi_{E}$ имеют одинаковую четность. (Аналогичным образом можно показать, что матричный элемент аксиального векторного оператора равен нулю, если $\Psi_{F}$ и $\Psi_{E}$ имеют различную четность.)

Поскольку четность уровня основной структуры сохраняется во всех компонентах тонкой структуры, правило Лапорта применимо в равной степени ко всем компонентам уровня основной структуры.

Если спектр состоит только из дублетных уровней с четностью $w=(-1)^{L}$. как, например, в спектре всякого водородоподобного атома, из правил отбора для $j$ и $w$ следуют также правила отбора для $L$. Согласно правилу Ланорта, $L$ может меняться только на нечетное число; разрешено изменение $L$ на 1 , но не на 3 и более, так как в этом случае $j(=L \pm 1 / 2)$ изменялось бы на 2 или более, что ведет к запрету.

Правило, что трансформационные свойства не меняются при перестановке электронов, уже содержится в утверждении о том, что волновые функции, которые все антисимметричны, остаются антисимметричными при произвольном возмущении (не только под влиянием излучения).
2. В магнитном поле, параллельном оси $Z$, уровни с квантовым числом $j$ расщепляются на $2 j+1$ зеемановских компонент. „Правильными линейными комбинациями“ для вычисления магнитной энергии как возмущения являются сами функции $\Psi_{\mu}^{j}$, как и в простой теории. Если оператор $\mathrm{O}_{R}$ применяется к функциям $\Psi_{\mu}^{j}$, причем $R$ есть вращение на угол $\alpha$ вокруг оси $Z$, волновая функция $\Psi_{\mu}^{j}$ просто умножается на $e^{i \mu \alpha}$. Магнитное поле полностью устраняет вырождение; в магнитном поле каждому собственному значению принадлежит только одна собственная функция.

Пусть вспомогательный оператор $\mathrm{H}_{2}$, в который входит магнитное поле, разложен в ряд по степеням компонент напряженности поля $\mathscr{H} \mathcal{H}_{x}, \mathscr{H}_{y}, \mathscr{H}_{z}$ :
\[
\mathrm{H}_{2}=\left(\mathscr{H}_{x} \mathrm{~V}_{x}+\mathscr{H}_{y} \mathrm{~V}_{y}+\mathscr{H}_{z} \mathrm{~V}_{z}\right)+\left(\mathscr{H}_{x}^{2} \mathrm{~V}_{x x}+\ldots\right)+\ldots \text { (23.2) }
\]

Тогда коэффициенты $\mathrm{V}_{x}, \mathrm{~V}_{y}, \mathrm{~V}_{z}$ при первой степени должны образовывать аксиальный векторный оператор, так как само поле $\mathscr{H}$ является аксиальным вектором, а оператор $\mathrm{H}_{2}$ в целом должен быть скаляром. Первое приближение для энергии возмущения, обусловленной взаимодействием с магнитным полем, которое направлено по оси $Z$,
\[
\mathscr{H}_{z}\left(\Psi_{\mu}^{j}, V_{z} \Psi_{\mu}^{j}\right)
\]
согласно формуле для матричных элементов векторных операторов, пропорционально $\mu$ [см. среднюю формулу (21.19б)]. Поэтому рас: щепление в магнитном поле пропорционально первой степени напряженности поля при слабых полях, причем первоначальный уровень расщепляется на $2 j+1$ равноотстоящих компонент. Однако, в противоположность расщеплению в простой теории это расщепление не одинаково для всех уровней и не может быть вычислено в общем виде. Оно может быть рассчитано численно только для \”нормальной связи“, т. е. если выражение (22.27) является хорошим приближением для собственных функций.

Иначе обстоит дело с соотношениями интенсивностей зеемановских компонент. Сила линии, соответствующей переходу с $\mu$-компоненты более высоко лежащего уровня на $\mu^{\prime}$-компоненту более низкого уровня, ‘с точностью до универсального постоянного множителя равна квадрату абсолютной величины одного из матричных элементов
\[
\begin{array}{c}
\left(\Psi_{\mu^{\prime}}^{N j}, \sum_{k} z_{k} \Psi_{\mu^{\prime}}^{N^{\prime} j^{\prime}}\right), \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\Psi_{\mu}^{N j}, \sum_{k}\left(x_{k}+i y_{k}\right) \Psi_{\mu^{\prime}}^{N^{\prime} j^{\prime}}\right), \\
\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\Psi_{\mu}^{N j},-\sum_{k}\left(x_{k}-i y_{k}\right) \Psi_{\mu^{\prime}}^{N^{\prime} j^{\prime}}\right),
\end{array}
\]

в зависимости от того, является ли свет поляризованным соответственно по оси $Z$, по кругу вправо или влево относительно оси $Z$. Эти три величины представляют собой матричные элементы трех различных компонент $(0,-1,+1$ ) векторного оператора. Их отношения при различных $\mu, \mu^{\prime}$ и поляризациях можно получить непосредственно из выражений (21.19). Эти формулы показывают также, что магнитное квантовое число $\mu$ может изменяться только на 0 ( $\pi$-компоненты) или $\pm 1$ ( $\sigma$-компоненты). Относительные интенсивности в переходах, например с $j \rightarrow j-1$, равны
\[
\begin{aligned}
A_{\mu \rightarrow \mu-1} & =(j+\mu)(j+\mu-1), \\
A_{\mu \rightarrow \mu} & =2(j+\mu)(j-\mu), \\
A_{\mu \rightarrow \mu+1} & =(j-\mu-1)(j-\mu) .
\end{aligned}
\]

Сумма этих трех выражений, представляющая собой вероятность перехода с более высокого уровня с магнитным квантовым числом $\mu$ на все зеемановские уровни более низкого уровня, одинакова для всех зеемановских компонент верхнего уровня, т. е. не зависит от $\mu$. То же самое справедливо для суммы вероятностей переходов для всех линий, имеющих общий нижний зеемановский уровень.

Это правило сумм для вероятностей переходов имеет простое физическое обоснование. Сумма трех выражений в (23.3) является полной вероятностью перехода из состояния $\Psi_{\mu}^{N j}$ во все состояния, энергии которьх соответствуют нижнему уровню. Но так как состояния $\Psi_{\mu}^{N j}$ с различными $\mu$ преобразуются в линейные комбинации тех же состояний при вращениях осей и поэтому отличаются лишь вращением и так как полная вероятность перехода не должна зависеть от вращений, она не может зависеть от $\mu$.

Математически правило сумм можно вывести наиболее просто с помощью соотношения (21.18a), если составить выражение
\[
\begin{array}{l}
\left|T_{N j \mu ; N^{\prime} j^{\prime} \mu^{\prime}}^{(\rho)}\right|^{2}=\sum_{
u \sigma
u^{\prime}} \sum_{\lambda \tau \lambda^{\prime}} \mathfrak{D}^{(j)}(R)_{\psi \mu}^{*} \mathfrak{D}^{(j)}(R)_{\lambda \mu \mu} \mathfrak{D}^{(\omega)}(R)_{\sigma \rho}^{*} \mathfrak{D}^{(\omega)}(R)_{\tau \rho} \times \\
\times \mathfrak{D}^{\left(j^{\prime}\right)}(R)_{
u^{\prime} \mu^{\prime}} \mathfrak{D}^{\left(j^{\prime}\right)}(R)_{\lambda^{\prime} \mu^{\prime}}^{*} T_{N j v, N^{\prime} j^{\prime}
u^{\prime}}^{(\sigma)} T_{N j \lambda ; N^{\prime} j^{\prime} \lambda^{\prime}}^{(\tau) *} \\
\end{array}
\]

Если просуммировать это выражение по $\mu$ и р, то в силу унитарности $\mathfrak{D}^{(j)}$ и $\mathfrak{D}^{(\omega)}$ первые четыре множителя в правой части заменятся на $\hat{\delta}_{
u \lambda} \cdot \hat{\delta}_{\sigma \tau}$.

Тогда интегрирование по всем вращениям дает, если учесть соотношения ортогональности,
\[
\sum_{\mu \rho}\left|T_{N j \mu ; N^{\prime} j^{\prime} \mu^{\prime}}^{(\rho)}\right|^{2}=\frac{1}{2 j^{\prime}+1} \sum_{v \sigma
u^{\prime}}\left|T_{N j ; ; N^{\prime} j^{\prime}
u^{\prime}}^{(\rho)}\right|^{2} .
\]

Это непосредственно показывает, что сумма (23.E.1) не зависит от $\mu^{\prime}$.
3. Электрическое поле, параллельное оси $Z$, расщепляет уровень с полным квантовым числом $j$ на $j+1$ компонент в случае четного числа электронов, как и в простой теории, которая обсуждалась в гл. 18. Они принадлежат представлениям
\[
\mathbf{3}^{(j)}, \mathbf{3}^{(j-1)}, \ldots, \mathbf{3}^{(2)}, \mathbf{3}^{(1)}, \mathbf{3}^{(0)} \text { или } \mathbf{3}^{\left(0^{\prime}\right)}
\]

двумерной группы вращений и отражений Последний уровень принадлежит представлениям $\mathbf{3}^{(0)}$ или $\mathbf{3}^{\left(0^{\prime}\right)}$, если $w(-1)^{j}$ равно соответственно +1 или – 1 . Правила отбора из гл. 18 можно также вывести здесь тем же способом, за тем лишь исключением, что $L$ следует заменить на $j$.

Эффект Штарка в случае нечетного числа электронов будет рассмотрен более подробно. Фактически сам результат можно получить весьма просто. Однако здесь есть один принципиатьный вопрос, который следует обсудить.

Трудность возникает вследствие того, что каждому вращению $R$ соответствуют две матрицы $\pm \mathfrak{2}^{(j)}(R)$. То же самое имеет место для несобственных вращений:
\[
\mathfrak{T}^{(j, w)}(R /)=上 w \mathfrak{T}^{(j)}(R) .
\]

Тол ко инверсии соогветствует одна матрица + w1. Однако э.тк. трическое поле снимает сиимарию относитетіно инерсий, и, хотя остаются многие несобственные вращения, соотьетствующие матрицы остаются теми же в силу их двузначности, независимо от того, $w=+1$ или $w=-1$. Это показывает, что некоторый существенный элемент оказался потерянным вследствие двузначности. Для некоторых определенных свойств симметрии это действительно так. В случае же группы симметрии в электрическом поле нижеследующий более подробный анализ не приводит к каким-либо новым результатам, кроме очевидных.

Чтобы получить однозначные представления, вспомним, что для нечетного числа электронов вращательная симметрия выражается с помощью операторов $\mathrm{O}_{\mathfrak{u}}$, которые образуют группу, изоморфную двумерной унитарной групп. Чтобы выразить инвариантность относительно несобственных вращений, воспользуемся операторами $\mathrm{O}_{I} \mathrm{O}_{\mathbf{u}}$. Набор операторов $\mathrm{O}_{\mathbf{u}}=1 \mathrm{O}_{\mathbf{u}}, \mathrm{O}_{I} \mathrm{O}_{\mathbf{u}}$ представляет собой прямое произведение группы отражений $\left(\mathrm{O}_{E}=1, \mathrm{O}_{I}\right)$ и группы операторов $\mathrm{O}_{\mathbf{u}}$. Если обозначить общий элемент группы прямого произведения группы отражений и унитарной группы ${ }^{1}$ ) через 3 , то полная симметрия относительно вращений и отражений может быть выражена с помощью операторов $O_{z}$, которые образуют группу, изоморфную. группе z. Элементы z и $\mathrm{O}_{z}$ соответствуют либо чистым вращениям, и в этом случае $\boldsymbol{z}$ имеет вид $E \mathbf{u}$, либо несобственным вращениям, и в этом случае $\mathfrak{z}$ имеет вид Iu. Однако каждому вращению, собственному или несобственному, соответствуют два $z$ или $\mathrm{O}_{z}$.

Если накладывается внешнее поле, то операциями симметрии ${ }^{2}$ ) остаются только те $\boldsymbol{z}$, которые соответствуют вращениям, собственным или несобственным, принадлежащим группе симметрии системы во внешнем поле. Соответствующие им матрицы D(夕),
\[
\mathrm{O}_{z} \Psi_{\mu}^{\prime}=\sum_{\mu^{\prime}} D(3)_{\mu^{\prime} \mu^{\prime}} \Psi_{\mu^{\prime}},
\]

образуют (однозначное) представление группы соответствующих $\mathfrak{3}$, а различные уровни системы в поле принадлежат различным представлениям этой группы. Группа симметрии системы не изоморфна этой группе, а (двукратно) гомоморфна, так как два $\boldsymbol{z}$ соответствуют каждому из ее элементов.

В случае однородного электрического поля, параллельного оси $Z$, к группе симметрии принадлежат вращения вокруг $Z$ и отражения
I) Таким образом, величины 8 являются элементами абстрактной группы, но не матриц, а пар $J \mathbf{u}$, где $J$ есть либо $E$, либо $I$, а и есть элемент унитарной группы. Закон умножения (см. гл. 16) имеет вид $J \mathfrak{u} \cdot J_{1} \mathbf{u}_{1} \cong J J_{1} \mathbf{u} \mathbf{u}_{1}$. функции заданного собственного значения в собственные функции того же собственного значения.
в плоскостях, проходящих через $Z$. Вращениям вокруг оси $Z$ на угол $\alpha$ соответствуют матрицы
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\gamma}_{\alpha}=E\left(\begin{array}{cc}
e^{-i \frac{1}{2} \alpha} & 0 \\
0 & e^{i \frac{1}{2} \alpha}
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\gamma}_{\alpha}^{\prime}=E\left(\begin{array}{cc}
-e^{-i \frac{1}{2} \alpha} & 0 \\
0 & -e^{i \frac{1}{2} \alpha}
\end{array}\right) \\
(-\pi<\alpha \leqslant \pi)
\end{array}
\]
[см. (15.16)]. Отражение в плоскости $Z X$ является произведением инверсии и вращения вокруг оси $Y$ на угол $\pi$. Поэтому соответствующие $\boldsymbol{z}$ имеют вид
\[
z_{y}=I\left(\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad z_{y}^{\prime}=I\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right) .
\]

Произведения (23.5) и (23.5a) соответствуют отражениям в других плоскостях. В представлении прямого произведения группы отражений и унитарной группы, принадлежащем уровню с четностью $w$ и полным квантовым числом $j$, матрицы, соответствующие элементам группы (23.5), имеют вид
\[
\mathbf{D}\left(\boldsymbol{\gamma}_{\alpha}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
e^{-i j \alpha} & \ldots & 0 \\
\cdot & & \cdot \\
\cdot & & \cdot \\
\cdot & & \cdot \\
0 & \ldots & e^{i j \alpha}
\end{array}\right), \quad \mathbf{D}\left(\boldsymbol{z}_{\alpha}^{\prime}\right)=-\left(\begin{array}{ccc}
e^{-i j \alpha} & \ldots & 0 \\
\cdot & & \cdot \\
\cdot & & \cdot \\
\cdot & & \cdot \\
0 & \ldots & e^{i j \alpha}
\end{array}\right) .
\]

Аналогичным образом матрицы, соответствующие элементам группы (23.5a), равны
\[
\mathbf{D}\left(\mathbf{z}_{y}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & \ldots & 0 & -w \\
0 & 0 & \ldots & w & 0 \\
\cdot & \cdot & & \cdot & \cdot \\
\cdot & \cdot & & \cdot & \cdot \\
\cdot & \cdot & & \cdot & \cdot \\
0 & -w & \ldots & 0 & 0 \\
w & 0 & \ldots & 0 & 0
\end{array}\right)=-\mathbf{D}\left(\boldsymbol{\gamma}_{y}^{\prime}\right)
\]
(при этом в (15.21a) следует подставить $a=0, b=-1$ для д $_{y}$ и $a=0, b=+1$ для $\left.z_{y}^{\prime}\right]$. Матрицы (23.6) и (23.6a) и их произведения образуют представление той подгруппы п̈рямого произведения группы отражений и унитарной группы, элементы которой соответствуют элементам симметрии системы, остающимся и при наличии электрического поля. Это представление может быть приведено путем перемены порядка строк и столбцов так, чтобы они находились в порядке $-j, j,-j+1, j-1, \ldots,-1 / 2,1 / 2$ вместо $-j,-j+1, \ldots, j-1, j$. Тогда оно распадается на последовательность двухрядных неприводимых представлений
\[
\mathbf{Z}^{(m)}\left(\boldsymbol{\gamma}_{\alpha}\right)=\left(\begin{array}{cc}
e^{-i m \alpha} & 0 \\
0 & e^{l m \alpha}
\end{array}\right), \quad \mathbf{Z}^{(m)}\left(\boldsymbol{\gamma}_{\alpha}^{\prime}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-e^{-i m \alpha} & 0 \\
0 & -e^{i m \alpha}
\end{array}\right)
\]

и
\[
\mathbf{Z}^{(m)}\left(\boldsymbol{\gamma}_{y}\right)=(-1)^{j-m}\left(\begin{array}{cc}
0 & -w \\
w & 0
\end{array}\right), \quad \mathbf{Z}^{(m)}\left(\boldsymbol{\gamma}_{y}^{\prime}\right)=(-1)^{j-m}\left(\begin{array}{cc}
0 & w \\
-w & 0
\end{array}\right),
\]

где $m$ принимает значения
\[
m=j, j-1, j-2, \ldots, \frac{3}{2}, \frac{1}{2},
\]

так что урфвень с квантовым числом полного момента $j$ расщепляется на $j+1 / 2$ штарковских компонент с электрическими квантовыми числами (23.8).

В этом случае оказывается, что представления $\mathbf{Z}^{(m)}$ для $w=+1$ и $w=-1$ эквивалентны, так как они могут быть преобразованы одно в другое с помощью матрицы
\[
\left(\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) \text {. }
\]

Таким образом, уровни с одинаковыми электрическими квантовыми числами, возникающие из четных и нечетных уровней, имеют одинаковые трансформационные свойства, и правила отбора будут «ля них одинаковыми. Этого следовало ожидать, так как правило Лапорта неприменимо в электрическом поле также и к четному числу электронов, а единственным различием между уровнями, возникающими от четных или нечетных уровней, является появление уровней 0 и $0^{\prime}$ соответственно. Для нечетного числа электронов даже эта черта, связанная с четностью, исчезает, поскольку уровни 0 и $0^{\prime}$ не могут возникать.
4. Если оператор возмущения для электрического поля разложить в ряд типа (23.2), то из полярной природы вектора электрического поля следует, что коэффициенты $\mathrm{V}_{x}, \mathrm{~V}_{y}, \mathrm{~V}_{z}$ должны быть компонентами полярного вектора. Поэтому матричные элементы
\[
\left(\Psi_{\mu}^{N J}, \vee_{z} \Psi_{\mu}^{N J}\right),
\]

которые могли бы описывать эффект, пропорциональный первой степени напряженности поля, обращаются в нуль, так как $\Psi_{
ot}^{N j}$ и $\Psi_{\mu^{\prime}}^{N j^{\prime}}$ имеют одинаковую четность
Расщепление, возникающее во втором приближении, пропорционально 82 ; можно показать, что в этом приближении смещение и расщепление пропорциональны $\mu^{2}$.
5. Большинство из выведенных до сих пор правил в той мере, в какой они относятся к изотропному случаю, являются частными случаями соотношений (21.19):
\[
T_{N j \mu ; N^{\prime} j^{\prime \mu^{\prime}}}^{(\rho)}=s_{j^{\prime} \mu \rho}^{(j \omega)} \delta_{\mu+\rho, \mu^{\prime}} T_{N j ; N^{\prime} j^{\prime}}
\]

Последнее равенство позволяет определить отношение матричных элементов
\[
\frac{T_{N j \mu^{\prime} ; N^{\prime} j^{\prime} \mu^{\prime}}^{(\rho)}}{T_{N j v ; N^{\prime} j^{\prime}
u^{\prime}}^{(\sigma)}}=\frac{\left(\Psi_{\mu}^{N j}, T^{(\rho)} \Psi_{\mu^{\prime}}^{N^{\prime} j^{\prime}}\right)}{\left(\Psi_{v}^{N f}, T^{(\sigma)} \Psi_{v^{\prime}}^{N^{\prime} j^{\prime}}\right)},
\]

если соответствующие собственные функции $\Psi_{\mu}^{N j}$ и $_{
u} \Psi_{
u}^{N^{\prime}}$, а также $\Psi_{\mu^{\prime}}^{N^{\prime} j^{\prime}}$ и $\Psi_{v^{\prime}}^{N^{\prime} j^{\prime}}$ принадлежат одним и тем же собственным значениям $E_{j}^{N}$ и $E_{j^{\prime}}^{N^{\prime}}$ (т. е. если они являются партнерами) и если операторы $\mathrm{T}^{(\rho)}$ и $\mathrm{T}^{(\text {() }}$ являются компонентами одного и того же неприводимого тензорного оператора
\[
\mathrm{O}_{R}^{-1} \mathrm{~T}^{(\rho)} \mathrm{O}_{R}=\sum_{\sigma} \mathfrak{D}^{(\omega)}(R)_{\rho \sigma} \mathrm{T}^{(\sigma)} .
\]

Скаляры, соответствующие представлению $\mathfrak{2}^{(0)}$, и векторы, соответствующие $\mathfrak{D}^{(1)}$, и т. д. являются неприводимыми тензорами. Величины $T_{N j ; N^{\prime} j^{\prime}}$ в (23.9) являются числами, которые нельзя определить общими методами, так как они зависят от набора операторов $T$ и от частного вида используемого гамильтониана.

До сих пор нам встретилась лишь одна формула, которую нельзя было записать в виде (23.9). Это было соотношение (18.8) для нормального эффекта Зеемана. При выводе его было учтено, что рассматриваемый векторный оператор $L_{z}$ определяется соотношением (17.8), т. е. имеет вид
\[
\mathrm{L}_{z}=-i \hbar \frac{\partial}{\partial \varphi} \mathrm{P}_{\{\varphi 00\}}
\]

при $\varphi=0$. В других случаях вывод правил, выходящих за рамки соотношения (23.9), возможен только с помощью дополнительных предположений или приближений.

Наиболее важным предположением этого рода является допущение о ${ }_{n}$ нормальной “ связи между спиновым и орбитальным моментами, или связи Рессела-Саундерса. Подобная связь предполагалась в предыдущей главе; она характеризуется расщеплением тонкой структуры, которое мало по сравнению с расстояниями между соседними уровнями основной структуры. В этом случае может быть определено не только квантовое число полного момента,
$\begin{array}{lll}\text { Глав а } & 23\end{array}$
но и сохранен смысл понятий мультиплетного числа и орбитального квантового числа. Это полезно выразить в явном виде, заменив символ $N$ на тройной символ $N S L$ для уровней с одним и тем же квантовым числом $J$, где $S$ – мультиплетное число, $L$ – орбитальное квантовое число, а $N$ служит только для различения между уровнями с одними и теми же $S, L$ и $J^{1}$ ). Изложение в оставшейся части этой главы будет опираться на предположение о „нормальной связи\”.
Согласно (22.27), собственные функции имеют вид
\[
\Psi_{m}^{N S L J}=\sum_{\mu} s_{J_{\mu}, m-\mu}^{(L S)} \mathbb{E}_{m-\mu, \mu}^{N S L} .
\]

Функции $\Xi_{-S \mu}^{N S L}, \Xi_{-S+1 ; \mu}^{N S L}, \ldots, \Xi_{S}^{N S L}$ являются функциями-партнерами относительно $\mathrm{Q}_{R}$ и принадлежат различным строкам представления $\mathfrak{D}^{(S)}$; то же самое имеет место для $\Xi_{\mathrm{v},-L}^{N S L}, \Xi_{\mathrm{y},-L+1}^{N S L}, \ldots, \Xi_{\mathrm{v}, L}^{N S L}$ по отношению к операторам $\mathrm{P}_{R}$ и представлению $\mathfrak{D}^{(L)}$. Если (23.11) справедливо, то отношение матричных элементов
\[
\left(\Psi_{m}^{N S L J}, T^{(\sigma \rho)} \Psi_{m^{\prime}}^{N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime} J^{\prime}}\right)=\mathrm{T}_{N S L J m ; N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime} J^{\prime} m^{\prime}}^{(\sigma \rho)}
\]

с различными $J, J^{\prime}, m, m^{\prime}, \sigma, \rho$, но с одинаковыми $N S L$ и $N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime}$ можно вычислить, если только $T^{(\circ \rho)}$ являются компонентами тензора ранга $q$ по отношению к $\mathrm{Q}_{R}$, ранга $p$ по отношению к $\mathrm{P}_{R}$, и неприводимого по отношению к ним обоим:
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{Q}_{R}^{-1} \mathrm{~T}^{(\sigma \rho)} \mathrm{Q}_{R}=\sum_{\sigma^{\prime}} \mathfrak{D}^{(q)}(R)_{\sigma \sigma^{\prime}} \mathrm{T}^{\left(\sigma^{\prime} \rho\right)}, \\
\mathrm{P}_{R}^{-1} \mathrm{~T}^{(\sigma \rho)} \mathrm{P}_{R}=\sum_{\rho^{\prime}} \mathfrak{D}^{(p)}(R)_{\rho \rho^{\prime}} \mathrm{T}^{\left(\sigma \rho^{\prime}\right)} .
\end{array}
\]

По отношению к действительным операторам симметрии $\mathrm{O}_{R}$ тензор $T$ не является в общем случае неприводимым; он принадлежит прямому произведению двух неприводимых представлений
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{O}_{R}^{-1} \mathrm{~T}^{(\sigma \rho)} \mathrm{O}_{R}=\mathrm{Q}_{R}^{-1} \mathrm{P}_{R}^{-1} \cdot \mathrm{T}^{(\sigma \rho)} \mathrm{P}_{R} \mathrm{Q}_{R}= \\
=\sum_{\rho^{\prime}} \mathrm{Q}_{R}^{-1} \mathfrak{D}^{(p)}(R)_{\rho \rho^{\prime}} \mathrm{T}^{\left(\sigma \rho^{\prime}\right)} \mathrm{Q}_{R}=\sum_{\sigma^{\prime} \rho^{\prime}} \mathfrak{D}^{(q)}(R)_{\sigma \sigma^{\prime}} \mathfrak{D}^{(p)}(R)_{\rho \rho^{\prime}} \mathrm{T}^{\left(\sigma^{\prime}, \rho^{\prime}\right) .}
\end{array}
\]

Относительно операций $\mathrm{Q}_{R}$ функции $\Xi_{\text {мц. }}^{N S L}$ при $
u=-S, \ldots, S$ принадлежат $\mathfrak{D}^{(S)}$ и являются партнерами. Из (23.13a) следует, что соотношение, аналогичное (23.9), имеет вид
\[
\left(\Xi_{
u \mu}^{N S L}, T^{(\sigma \rho)} \Xi_{
u^{\prime} \mu^{\prime}}^{N^{\prime}} S^{\prime} L\right)=\delta_{
u+\sigma,
u^{\prime}} s_{S^{\prime}
u \sigma}^{(S q)} \cdot t_{N S L \mu ; N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime} \mu^{\prime}}^{(\rho)}
\]
1) Как и всюду при нормальной связи, символом $J$ мы снова обозначаем квантовое число полного момента.
Подобным образом, имеем
\[
\left(\Xi_{
u \mu}^{N S L}, \mathrm{~T}^{(\sigma \rho)} \Xi_{
u^{\prime} \mu^{\prime}}^{N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime}}\right)=\delta_{\mu+\rho, \mu^{\prime}} S_{L^{\prime} \mu \rho}^{(L p)} \bar{t}_{N S L
u ; N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime}
u^{\prime}}^{(\sigma)},
\]

в силу (23.13б) и поскольку $\Xi_{\text {м }}^{N S L}$ при $\mu=-L, \ldots, L$ преобразуются согласно представлению $\mathfrak{D}^{(L)}$ при операциях $\mathrm{P}_{R}$.
Комбинируя (23.14a) и (23.146), имеем
\[
\left(\Xi_{\gamma \mu}^{N S L}, T^{(\sigma \rho)} \Xi_{\gamma^{\prime} \mu^{\prime}}^{N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime}}\right)=\delta_{
u+\sigma,
u^{\prime}} \delta_{\mu+\rho, \mu^{\prime}} S_{S^{\prime}{ }^{\prime} s^{\prime}}^{(S q)} S_{L^{\prime} \mu \rho}^{(L p)} t_{N S L ; N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime}}
\]

или, с учетом (23.11),
\[
\begin{array}{l}
\left(\Psi_{m}^{N S L J}, \mathrm{~T}^{(\sigma \rho)} \Psi_{m^{\prime}}^{N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime} J^{\prime}}\right)= \\
=\sum_{\mu \mu^{\prime}} s_{J, \mu, m-\mu^{\prime}}^{(L S)} S_{J^{\prime}, \mu^{\prime}, m^{\prime}-\mu^{\prime}}^{\left(L^{\prime} S^{\prime}\right)} \delta_{m-\mu+\sigma, m^{\prime}-\mu^{\prime}} \delta_{\mu+\rho, \mu^{\prime}} s_{S^{\prime}, m-\mu, \sigma}^{(S q)} \times \\
\times s_{L^{\prime} \mu \rho}^{(L p)} t_{N S L ; N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime}}=\sum_{\mu} s_{J, \mu, m-\mu}^{(L S)} s_{J^{\prime}, \mu+\rho, m-\mu+\sigma}^{\left(L^{\prime} S^{\prime}\right)} \times \\
\times \delta_{m+\sigma+\rho, m^{\prime}} S_{S^{\prime}, m-\mu, \sigma}^{(S q)} S_{L^{\prime} \mu \rho}^{(L p)} t_{N S L ; N^{\prime}
u^{\prime} L^{\prime}} . \\
\end{array}
\]

Эти формулы определяют отношения всех матричных элементов (23.12) с одинаковыми $N S L$ и $N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime}$.

В выражении (23.15), как и в (23.9), все $s_{J \mu
u}^{(L S)}$, первый нижний индекс которых больше, чем сумма двух верхних индексов, или меньше, чем абсолютная величина их разности ( $J>L+S$ или $J<|L-S|$ ), должны быть положены равными нулю. То же самое будет при $|\mu|>L$, при $|
u|>S$ или $|\mu+
u|>J$.
6. Может показаться, будто класс операторов, определенный соотношениями (23.13a) и (23.13б), является весьма искусственным. Однако почти все важнейшие операторы являются компонентами тензоров или суммами компонент тензоров этого рода. В частности, все бесспиновые операторы симметричны (т. е. скаляры) по отношению к $\mathrm{Q}_{R}$, так что (23.13a) справедливо для них при $q=0$. Поэтому под действием $\mathrm{P}_{R}$ они преобразуются точно так же, как и под действием $\mathrm{O}_{R}$, и являются скалярами, векторами и т. д. по отношению к последнему, если они являются ими в действительности.

Проверим соотношение (23.15) в нескольких простых случаях. Для бесспиновых операторов и всех операторов с $q=0$ мы видим, что скалярное произведение (23.15) обращается в нуль, если $S^{\prime}
eq S$. Это соответствует выведенному ранее правилу, что матричные элементы между состояниями, принадлежащими различным мультиплетностям, обращаются в нуль (правило А, стр. 234). Если к тому же $p=0$ (т. е. если этот оператор является скаляром по отношению к $\mathrm{P}_{R}$, а следовательно, и по отношению к $\mathrm{O}_{R}$ ), то должно быть $L^{\prime}=L$. Поскольку $p=0=0$ (скаляр имеет только 0 -компоненту),
сумма (23.15) может быть вычислена, если воспользоваться соотношениями ортогональности для коэффициентов векторного сложения [см. (17.28)]
\[
\sum_{\mu} s_{J, \mu, m-\mu}^{(L S)} s_{J^{\prime}, \mu, m-\mu}^{(L S)}=\delta_{J J^{\prime}}
\]

и тем обстоятельством, что $s_{L \mu, 0}^{(L 0)}=s_{S, m-\mu, 0}^{(S 0)}=1$. Для оператора, являющегося скаляром в обоих смыслах ( $p=0, q=0$ ), получаем, что матричные элементы
\[
\left(\Psi_{m}^{N S L J}, T \Psi_{m}^{N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime} J^{\prime}}\right)=\delta_{S S^{\prime}} \delta_{L L^{\prime}} \delta_{J J^{\prime}} \delta_{m m^{\prime}} t_{N S \iota} ; N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime}
\]
a) обращаются в нуль при $J^{\prime}
eq J$ или $m^{\prime}
eq m$ и не зависят от $m$ при $J^{\prime}=J$ и $m^{\prime}=m$, что является правилом для операторов, симметричных относительно $\mathrm{O}_{R}$, и б) одинаковы для всех компонент тонкой структуры некоторого уровня основной структуры независимо от J. Для этого недостаточно, чтобы оператор $T$ был скаляром относительно $\mathrm{O}_{R}=\mathrm{P}_{R} \mathrm{Q}_{R}$; он должен быть скаляром относительно $\mathrm{P}_{R}$ и $\mathrm{Q}_{R}$ в отдельности, причем связь должна быть „нормальной“.

Одним из операторов, скалярным в обоих смыслах, является, например, гамильтониан $\mathrm{H}_{0}$ простой теории Шредингера. В этом случае
\[
\left(\Psi_{m}^{N S L J}, \mathrm{H}_{0} \Psi_{m^{\prime}}^{N^{\prime} S^{\prime} L^{\prime} J^{\prime}}\right)=E^{N S L_{\delta_{N N^{\prime}}} \delta_{S S^{\prime}} \delta_{L L^{\prime}} \delta_{J J^{\prime}}{ }_{m m^{\prime}},}
\]

где $E^{N S L}$ является собственным значением простого уравнения Шредингера; $E^{N S L}$ одинаково для всех компонент тонкой структуры, так как эта теория не дает никакого расщепления тонкой структуры.