Прежде чем переходить к обсуждению унитарных матриц, нам следует ввести еще одно новое понятие. Уже в гл. 1 была определена сумма двух векторов и произведение вектора на число. Другим важным элементарным понятием является скалярное произведение двух векторов. Скалярное произведение вектора $\boldsymbol{a}$ на вектор $\boldsymbol{b}$ есть число. Мы будем различать эрмитово-скалярное произведение
\[
a_{1}^{*} b_{1}+a_{2}^{*} b_{2}+\ldots+a_{n}^{*} b_{n}=(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})
\]

и простое скалярное произведение
\[
a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\ldots+a_{n} b_{n}=((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})) .
\]

Всюду, где противное не оговорено особо, будем подразумевать эрмитово-скалярное произведение, а не простое скалярное произведение. Если компоненты вектора $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ вещественны, то оба скалярных произведения совпадают.

Если $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=0=(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a})$, то векторы $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ называются ортогональными друг другу. Если ( $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a})=1$, то $\boldsymbol{a}$ называют единичным вектором, или говорят, что он нормирован. Произведение ( $a \boldsymbol{a}$ ) всегда вещественно и положительно, и обращается в нуль только тогда, когда все компоненты вектора $\boldsymbol{a}$ обращаются в нуль. Это верно только для эрмитово-скалярного произведения в противоположность простому скалярному произведению. Пусть, например, $\boldsymbol{a}$ есть двумерный вектор $(1, i)$. Тогда $((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}))=0$, но $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a})=2$. Действительно, из $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a})=0$ следует, что $\boldsymbol{a}=0$, однако это не следует из $((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}))=0$.
Свойства скалярного произведения:
1. При перестановке векторов в эрмитово-скалярном произведении

тогда как
\[
(a, b)=(b, a)^{*},
\]
\[
((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}))=((\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a})) .
\]
2. Если с есть число, то
\[
(\boldsymbol{a}, c \boldsymbol{b})=c(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) \text { и }((\boldsymbol{a}, c \boldsymbol{b}))=c((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})) .
\]

С другой стороны,
\[
(c \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=c^{*}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}), \quad \text { тогда как } \quad((c \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}))=c((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})) .
\]
3. Скалярное произведение линейно по второму сомножителю, так как
\[
(\boldsymbol{a}, b \boldsymbol{b}+c \boldsymbol{c})=b(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})+c(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}) .
\]

Однако оно „антилинейно“ по первому сомножителю:
\[
(a \boldsymbol{a}+b \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})=a^{*}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c})+b^{*}(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}) .
\]
4. Далее, для произвольных векторов $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ и любой матрицы $\boldsymbol{\alpha}$ имеет место важное правило, что
\[
(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{b})=\left(\boldsymbol{\alpha}^{+} a, b\right) \text { или } \quad(\beta \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=\left(\boldsymbol{a}, \beta^{\dagger} \boldsymbol{b}\right) .
\]

Чтобы показать это, запишем
\[
(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{b})=\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{*}(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{b})_{k}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{*} \sum_{\lambda=1}^{n} a_{k \lambda} b_{\lambda}
\]

и
\[
\left(\boldsymbol{\alpha}^{+} \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{b}\right)=\sum_{\lambda=1}^{n}\left(\boldsymbol{\alpha}^{+} \boldsymbol{\alpha}\right)_{\lambda}^{*} b_{\lambda}=\sum_{\lambda=1}^{n} \sum_{k=1}^{n}\left(\alpha_{k \lambda}^{*} a_{\lambda}\right)^{*} b_{\lambda}=\sum_{\lambda=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \alpha_{k \lambda} a_{k}^{*} b_{\lambda} .
\]

Вместо применения матрицы $\boldsymbol{\alpha} \kappa$ одному сомножителю скалярного произведения, ее эрмитово-сопряженную $\boldsymbol{\alpha}^{\dagger}$ можно применять к другому сомножителю.

Для простого скалярного произведения то же правило справедливо для транспонированных матриц, т. е.
\[
((a, \boldsymbol{a} b))=\left(\left(\boldsymbol{a}^{T} a, b\right)\right) .
\]
5. Выпишем теперь условие $\mathbf{U}^{\dagger}=\mathbf{U}^{-1}$ унитарности матрицы в несколько более явном виде: из $\mathbf{U}^{+} \mathbf{U}=1$ следует, что
\[
\sum_{j=1}^{n}\left(\mathbf{U}^{\dagger}\right)_{i j} U_{j k}=\sum_{j=1}^{n} U_{j i}^{*} U_{j k}=\delta_{i k} ; \quad\left(U_{\cdot i}, U_{\cdot k}\right)=\delta_{i k} .
\]

Если рассматривать п столбцов унитарной матрицы как векторы, они составляют $n$ ортогональных единичных векторов. Аналогичным образом, из $\mathbf{U U}^{\dagger}=1$ следјет, что
\[
\sum_{j} U_{i j} U_{k j}^{*}=\delta_{i k}, \quad\left(U_{k .}, U_{i .}\right)=\delta_{i k} .
\]
$n$ строк унитарной матрицы также образуют $n$ единичных вектојов, которые взаимно ортогональны.
6. Унитарное преобразование оставляет эрмитово-скалярное произведение неизменным; иными словами, для произвольных векторов $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$
\[
(\mathrm{U} a, \mathrm{U} b)=\left(a, \mathrm{U}^{\dagger} \mathrm{U} b\right)=(a, b) .
\]

Наоборот, если соотношение (3.15) справедливо для некоторой матрицы $\mathbf{U}$ и для каждой пары произвольных векторов $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$, то U унитарна, поскольку тогда соотношение (3.15) справедливо также для $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{l}}$ и $\boldsymbol{b}=\boldsymbol{e}_{k}$, где $\left(\boldsymbol{e}_{k}\right)_{l}=\delta_{k l}$. В этом специальном случае (3.15) принимает вид
\[
\begin{aligned}
\delta_{i k} & =\left(e_{i}, e_{k}\right)=\left(\mathrm{U} e_{i}, \mathrm{U} e_{k}\right)=\sum_{j}\left(\mathrm{U} e_{i}\right)_{j}^{*}\left(\mathrm{U} e_{k}\right)_{j}= \\
& =\sum_{j}\left(\sum_{l} U_{j l} \delta_{i l}\right)^{*} \cdot \sum_{l} U_{j l} \delta_{k l}=\sum_{j} U_{j i}^{*} U_{j k},
\end{aligned}
\]

что совпадает с равенством (3.14). Таким образом, (3.15) есть необходимое и достаточное условие унитарности $\mathbf{U}$.

То же правило применимо к комплексно ортогональным матрицам относительно простого скалярного произведеная.
7. Произведение UV двух унитарных матриц U и V унитарно:
\[
(\mathbf{U V})^{\dagger}=\mathbf{V}^{\dagger} \mathbf{U}^{\dagger}=\mathbf{V}^{-1} \mathbf{U}^{-1}=(\mathbf{U V})^{-1} .
\]

Матрица $U^{-1}$, обратная унитарной, также унитарна:
\[
\left(\mathbf{U}^{-1}\right)^{\dagger}=\left(\mathbf{U}^{+}\right)^{\dagger}=\mathbf{U}=\left(\mathbf{U}^{-1}\right)^{-1} .
\]